Ecuaciones de Cauchy-Riemann

Una representación visual de un vector X en un dominio que se multiplica por un número complejo z, luego mapeado por f, contra ser mapeado por f entonces siendo multiplicado por z después. Si ambos resultan en el punto que termina en el mismo lugar para todos los X y z, entonces f satisfice la condición Cauchy-Riemann

En el campo del análisis complejo en matemáticas, las ecuaciones de Cauchy-Riemann, denominadas así por Augustin Cauchy y Bernhard Riemann, consisten en un sistema de dos ecuaciones en derivadas parciales que, junto con cierta continuidad y diferenciabilidad criterios, forman una condición necesaria y suficiente para que una función compleja sea holomorfa (diferenciable compleja). Este sistema de ecuaciones apareció por primera vez en el trabajo de Jean le Rond d'Alembert. Más tarde, Leonhard Euler conectó este sistema con las funciones analíticas. Cauchy luego usó estas ecuaciones para construir su teoría de funciones. La disertación de Riemann sobre la teoría de funciones apareció en 1851.

Las ecuaciones de Cauchy-Riemann sobre un par de funciones de valor real de dos variables reales u(x, y ) y v(x, y) son las dos ecuaciones:

$${displaystyle {frac {partial u}{partial x}={frac {partial v}{partial Sí.$$

()1a)

$${displaystyle {frac {partial u}{partial Y... #$$

()1b)

Por lo general, u y v se toman como las partes real e imaginaria respectivamente de una función de valor complejo de una única variable compleja z = x + iy, f(x + iy) = u(x,y) + iv< /i>(x,y). Suponga que u y v son diferenciables reales en un punto en un subconjunto abierto de C, que pueden considerarse funciones de R< sup>2 a R. Esto implica que las derivadas parciales de u y v existen (aunque no es necesario que sean continuos), por lo que podemos aproximar pequeñas variaciones de f linealmente. Entonces f = u + iv es diferenciable complejo, en ese punto si y solo si las derivadas parciales de u y v satisfacen el Cauchy– ecuaciones de Riemann (1a) y (1b) en ese punto. La existencia de derivadas parciales que satisfagan las ecuaciones de Cauchy-Riemann no garantiza diferenciabilidad compleja: u y v debe ser diferenciable real, que es una condición más fuerte que la existencia de las derivadas parciales, pero en general, más débil que la diferenciabilidad continua.

La holomorfía es la propiedad de una función compleja de ser diferenciable en cada punto de un subconjunto abierto y conectado de C (esto se denomina dominio en C). En consecuencia, podemos afirmar que una función compleja f, cuyas partes real e imaginaria u y v son funciones reales diferenciables, es holomorfa si y solo si las ecuaciones (1a) y (1b) se cumplen en todo el dominio que estamos tratando. Las funciones holomorfas son analíticas y viceversa. Esto significa que, en análisis complejo, una función que es diferenciable compleja en un dominio completo (holomorfa) es lo mismo que una función analítica. Esto no es cierto para funciones diferenciables reales.

Ejemplo sencillo

Supongamos que ${displaystyle z=x+iy}$. Función de valor complejo ${displaystyle f(z)=z^{2}$ es diferente en cualquier punto z en el plano complejo.

$${displaystyle f(z)=(x+iy)}=x^{2}-y^{2}+2ixy}$$

${displaystyle u(x,y)}$${displaystyle v(x,y)}$

$${displaystyle {begin{aligned}u(x,y) limit=x^{2}-y^{2}v(x,y) limit=2xyend{aligned}}$$

$${displaystyle u_{x}=2x;quad U_{y}=-2y;quad v_{x}=2y;quad V_{y}=2x}$$

Vemos que las ecuaciones Cauchy-Riemann están satisfechas, ${displaystyle U_{x}=v_{y}$ y ${displaystyle U_{y}=-v_{x}$.

Interpretación y reformulación

Las ecuaciones son una forma de ver la condición de que una función sea diferenciable en el sentido del análisis complejo: en otras palabras, encapsulan la noción de función de una variable compleja por medio del cálculo diferencial convencional. En la teoría, hay varias otras formas principales de ver esta noción, y a menudo se necesita la traducción de la condición a otro idioma.

Asignaciones conformes

Primero, las ecuaciones de Cauchy-Riemann pueden escribirse en forma compleja

$${fnMicrosoft {f} {fnMicrosoft} {fnMicrosoft} {fnMicrosoft {f}} {f}fnMicrosoft} {f} {fnMicrosoft} {f}fnMicrosoft {f}f}f}fnMicrosoft}f} {f}f} {f}f}f}f}f}f}f}f}f}f}f}f}f}f}f}f}f}f}b9f}f}f}f}f}f}f}f}f}f}b9f}b9f}f}b}b9f}f}f}f}f}f}b9b9b9b9b9f}b9f}b9fn {fnK}}={fnMicroc {partial f}{partial Sí.$$

()2)

De esta forma, las ecuaciones corresponden estructuralmente a la condición de que la matriz jacobiana sea de la forma

$${displaystyle {begin{pmatrix}a âTMa âTMa âTMa {begin{pmatrix}}}}$$

${displaystyle a=partial u/partial x=partial v/partial y}$${displaystyle b=partial v/partial x=-partial u/partial y}$f()z)f()z)

Además, debido a que la composición de una transformación conforme con otra transformación conforme también es conforme, la composición de una solución de las ecuaciones de Cauchy-Riemann con un mapa conforme debe resolver las ecuaciones de Cauchy-Riemann. Por tanto, las ecuaciones de Cauchy-Riemann son conformemente invariantes.

Diferenciabilidad compleja

Supongamos que

$${displaystyle f(z)=u(z)+icdot v(z)}$$

${displaystyle z=x+iy}$${displaystyle f}$${displaystyle z_{0}$

$${displaystyle lim _{underset {hin mathbb {C}{hto 0}{frac {f(z_{0}+h)-f(z_{0} {h}=f'(z_{0}}}}}} {f' {0}}}}}} {f}}}} {f}}} {}}}}}} {}}}}} {}}}}}}}}}}}} {} {}}}} {}}}} {}}}}}} {} {} {} {} {} {}}}}}}}}}}}}}}} {}}}} {}}}}}}} {}} {} {} {}}}}}}}} {}}}}}}}} {}}}}}}}}}}} {}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}} {$$

Si este límite existe, entonces puede ser calculado tomando el límite como ${displaystyle hto 0}$ a lo largo del eje real o el eje imaginario; en cualquier caso debe dar el mismo resultado. Acercándose a lo largo del eje real, se encuentra

$${displaystyle lim _{underset {hin mathbb {R} {hto 0}{frac {f(z_{0}+h)-f(z_{0}} {h}={frac {partial f}{partial x} {0} {f} {f}} {f}} {f}}} {f} {f}} {f}} {f}}}}} {f}}}}}}} {f}}}}}}} {f} {f}}}} {f} {f}}}}}} {f}}}} {f}}}}}} {f}}}}} {f}}}}}}}}} {f}} {f} {f} {f}}}}}}}} {f} {f}}f}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}} {f}}}}}}}}}}}}}}} }$$

Por otro lado, acercándose a lo largo del eje imaginario,

$${displaystyle lim _{underset {eta in mathbb {R}{etato 0}{frac {f(z_{0}+ieta)-f(z_{0}}{ieta)}{ieta ¿Qué? }$$

La igualdad de la derivada de f tomada a lo largo de los dos ejes es

$${displaystyle i{frac {partial f}{partial x} {f}={f}={frac {partial f}{partial y}}} {f}}}} {f}}}} {f}}} {f}}}} {f}}} {f}}}}}}}} {$$

cuáles son las ecuaciones de Cauchy-Riemann (2) en el punto z₀.

Por el contrario, si f: C → C es una función diferenciable cuando se considera como una función en R², entonces f es diferenciable complejo si y solo si se cumplen las ecuaciones de Cauchy-Riemann. En otras palabras, si u y v son funciones diferenciables reales de dos variables reales, obviamente u + iv es una (de valor complejo) función real-diferenciable, pero u + iv es compleja-diferenciable si y solo si las ecuaciones de Cauchy-Riemann se cumplen.

De hecho, siguiendo a Rudin, supongamos que f es una función compleja definida en un conjunto abierto Ω ⊂ C. Luego, escribiendo z = x + iy para cada z ∈ Ω, también se puede considerar a Ω como un subconjunto abierto de R², y f como una función de dos variables reales x y y, que mapea Ω ⊂ R ² a C. Consideramos las ecuaciones de Cauchy-Riemann en z = z₀. Entonces suponga que f es diferenciable en z₀, como una función de dos variables reales de Ω a C. Esto es equivalente a la existencia de la siguiente aproximación lineal

$${displaystyle f(z_{0}+Delta z)-f(z_{0}=f_{x}, Delta x+f_{y}, Delta y+eta (Delta z),Delta z}$$

z = x + i.(Δ)z) → 0Δz → 0${displaystyle Delta z+Delta {bar {z}=2,Delta x}$${displaystyle Delta z-Delta {bar {z}=2i,Delta y}$

$${displaystyle Delta f(z_{0})={frac ######################## Delta z+{frac ################################################################################################################################################################################################################################################################ Delta {bar {}+eta (Delta z),Delta z,}$$

Definiendo las dos derivadas de Wirtinger como

$${fnMicrosoft {fnMicrosoft {fnMicrosoft {fnMicrosoft {fnMicrosoft {\fnMicrosoft} }{partial z}={frac {1}{2}left({frac {partial }{partial }{partial {fnMicroc {partial} {f}}}} {fn}}}} {fn}}} {fn}}} {fn}}} {fn}}} {fn} {fn}}}}m} {fn}}f}}}}}}fn}fn}} {f}}}}}}f}}}}f}}}}}}}f}}}f}}}}}}}}}f} {f}}}f}}f}}fn}}}}f}}}f}}f}}f}}f}}f}}fn}}f}}}}}}f}}}}}f}}}}}f}}}}}}}}}}}}}}}}}}fn}}}}}fn}}}b}}}}}}b}$$

en el límite ${displaystyle Delta zto 0,Delta {bar {z}to} 0}$ la igualdad anterior se puede escribir como

$${displaystyleleft. {fnMicrosoft Sans Serif} {fnMicrosoft Sans Serif}=left. {partial f}{partial ¿Qué? {fnK} {fnK}}}derechoso. {fnMicroc {fnMicroc} {z} {dz}}+eta (Delta z),;;;;(Delta zneq 0). }$$

Ahora considere los valores potenciales ${displaystyle d{bar {z}/dz}$ cuando el límite se toma en el origen. Para z a lo largo de la línea real, ${displaystyle {bar}=z}$ así ${displaystyle d{bar {z}/dz=1}$. Del mismo modo, puramente imaginario z tenemos ${displaystyle d{bar {z}/dz=-1}$ para que el valor de ${displaystyle d{bar {z}/dz}$ no está bien definido en el origen. Es fácil verificar que ${displaystyle d{bar {z}/dz}$ no está bien definido en ningún complejo z, por lo tanto f es complejo diferenciable en z₀ si ${displaystyle left(partial f/partial {bar {z}right)=0}$ a ${displaystyle z=z_{0}$. Pero esto es exactamente las ecuaciones Cauchy-Riemann, así f es diferente en z₀ si y sólo si las ecuaciones Cauchy-Riemann se mantienenz₀.

Independencia del complejo conjugado

La prueba anterior sugiere otra interpretación de las ecuaciones Cauchy-Riemann. El complejo conjugado de z, denotado ${displaystyle {bar}}}$, se define por

$${displaystyle {fnMicrosoft Sans Serif} {x+iy}=x-iy}$$

xSí.

$${displaystyle {frac {partial f}{partial {fnK}}=0}$$

()3)

utilizando el derivado de Wirtinger con respecto a la variable conjugada. En esta forma, las ecuaciones Cauchy-Riemann pueden interpretarse como la afirmación de que f es independiente de la variable ${displaystyle {bar}}}$. Como tal, podemos ver las funciones analíticas como verdaderas funciones de uno compleja variable en lugar de funciones complejas dos. variables reales.

Interpretación física

Contorno de un par u y v satisfaciendo las ecuaciones Cauchy-Riemann. Racionalización (v= const, rojo) son perpendiculares a equipotentiales (u= const, azul). El punto (0,0) es un punto estacionario del flujo potencial, con seis aerolíneas reunidas, y seis equipostentials también reuniéndose y bisectando los ángulos formados por las aerolíneas.

Una interpretación física estándar de las ecuaciones Cauchy-Riemann volviendo al trabajo de Riemann en la teoría de la función es que u representa un potencial de velocidad de un flujo de fluido constante incompresible en el plano, y v es su función de flujo. Supongamos que el par de funciones (twice continuamente diferenciables) ${displaystyle u,v}$ satisface las ecuaciones Cauchy-Riemann. Tomaremos u para ser un potencial de velocidad, lo que significa que imaginamos un flujo de fluido en el plano tal que el vector de velocidad del fluido en cada punto del plano es igual al gradiente de u, definida por

$${displaystyle nabla u={partial u}{partial x}mathbf {i} {fnMicroc {fnK} {fnMicrosoft}$$

Al derivar las ecuaciones de Cauchy-Riemann por segunda vez, se muestra que u resuelve la ecuación de Laplace:

$${fnMicrosoft {fnMicrosoft {fnMicrosoft {fnMicrosoft {fnMicrosoft {\fnMicrosoft} ^{2}u}{partial ##{2}}+{frac {partial ^{2}u}{partial Sí.$$

u

La función v también satisface la ecuación Laplace, por un análisis similar. Además, las ecuaciones Cauchy-Riemann implican que el producto del punto ${displaystyle nabla ucdot nabla v=0}$. Esto implica que el gradiente de u debe apuntar a ${displaystyle v={text{const}}$ curvas; por lo tanto estas son las aerolíneas del flujo. El ${displaystyle u={text{const}}$ las curvas son las curvas del flujo.

Por lo tanto, se puede visualizar una función holomorfa trazando las dos familias de curvas de nivel ${displaystyle u={text{const}}$ y ${displaystyle v={text{const}}$. Cerca de puntos donde el gradiente de u (o, equivalentemente, v) no es cero, estas familias forman una familia ortogonal de curvas. En los puntos donde ${displaystyle nabla u=0}$, los puntos estacionarios del flujo, las curvas equitenciales de ${displaystyle u={text{const}}$ Intersecta. Las aerodinámicas también se intersectan en el mismo punto, bisectando los ángulos formados por las curvas equipotentiales.

Campo vectorial armónico

Otra interpretación de las ecuaciones de Cauchy-Riemann se puede encontrar en Pólya & Szego. Suponga que u y v satisfacen las ecuaciones de Cauchy-Riemann en un subconjunto abierto de R², y considere el campo vectorial

$${f}} {begin{bmatrix}u-vend{bmatrix}}}}$$

1b${displaystyle {bar}}$

$${displaystyle {frac {partial (-v)}{partial x}-{frac {partial u}{partial y}}=0}$$

La primera ecuación de Cauchy-Riemann (1a) afirma que el campo vectorial es solenoidal (o libre de divergencias):

$${displaystyle {frac {partial u}{partial x}+{frac {partial (-v)}{partial y}}=0}$$

Debido al teorema de Green y al teorema de la divergencia, respectivamente, dicho campo es necesariamente conservativo y está libre de fuentes o sumideros, con un flujo neto igual a cero a través de cualquier dominio abierto sin agujeros. (Estas dos observaciones se combinan como partes reales e imaginarias en el teorema integral de Cauchy). En dinámica de fluidos, dicho campo vectorial es un flujo potencial. En magnetostática, tales campos vectoriales modelan campos magnéticos estáticos en una región del plano que no contiene corriente. En electrostática, modelan campos eléctricos estáticos en una región del plano que no contiene carga eléctrica.

Esta interpretación puede ser restablecida en el lenguaje de formas diferenciales. El par u,v satisfacer las ecuaciones Cauchy-Riemann si y sólo si la forma ${displaystyle v,dx+u,dy}$ está cerrado y encerrado (una forma diferencial armónica).

Preservación de estructuras complejas

Otra formulación de las ecuaciones de Cauchy-Riemann implica la estructura compleja en el plano, dada por

$${displaystyle J={begin{bmatrix}0 tarde-11⁄1 punto {bmatrix}}$$

J${displaystyle J^{2}=-I}$uxSí.vxSí.

$${displaystyle f(x,y)={begin{bmatrix}u(x,y)v(x,y)end{bmatrix}}}$$

La matriz jacobiana de f es la matriz de derivadas parciales

$${f} {f} {f}} {f}} {f}} {f}}} {f}}} {begin{bmatrix} {f}} {f}} {fn}} {fn}} {f}} {f}}} {b}}}} {b}}} {b}}}}} {f}}}}}}}}}}}}} {b}}}}}}}}}} {b}} {b}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}} {b}}}}}}} {b} {b} {b} {b}} {b}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}} {b} {b}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}$$

Entonces el par de funciones u, v satisface las ecuaciones de Cauchy-Riemann si y solo si la matriz 2×2 Df conmuta con J.

Esta interpretación es útil en geometría simpléctica, donde es el punto de partida para el estudio de curvas pseudoholomórficas.

Otras representaciones

Ocasionalmente surgen otras representaciones de las ecuaciones de Cauchy-Riemann en otros sistemas de coordenadas. Si (1a) y (1b) se cumplen para un par diferenciable de funciones u y v, entonces también

$${displaystyle {frac {partial u}{partial n}={frac {partial v}{partial s}}}quad {frac {partial v}{partial {partial v} {f} {f}} {f} {f}f}f}fnf}f}f}f}f}f}f}fnf}f}f}f}f}f}f}f}f}f}f}f}f}b9b9fnf}f}f}f}fnfnKb9b9b9b9fnb9fnb9fnfnfnh00}fnfnfnfnfnh00b9b9b9b9fnh00}b9b {fnMicroc} {fnK} {fn}}} {fn}} {fnK}}} {fn}} {fn}} {fn}}} {fn}}}}}} {fn} {fn}}}}}}}}} {fn\fnfn}}}}}}}}}}}}}}} {\\\\\fnfnfn\fnfnfnfn\fnfn\fn}\\fnfn}fnfnfnfnfnfn}fnfnfnfnfnfnfnfnfnfn\fnfnfnfn}fnfn}fn}fn\fnfn}fn}$$

para cualquier sistema de coordenadas ()n()x, Sí.), s()x, Sí.) tal que el par (aviso)n, restablecimientos) es ortonormal y positivamente orientado. As a consequence, in particular, in the system of coordinates given by the polar representation ${displaystyle z=re^{itheta }$, las ecuaciones entonces tomar la forma

$${displaystyle {partial u over partial r}={1 over r}{partial v over partial theta },quad {partial v over partial r}=-{1 over r}{partial u over partial theta }$$

Combinando estos en una ecuación para f da

$${displaystyle {partial f over partial r}={1 over ir}{partial f over partial theta }$$

Las ecuaciones no homogéneas de Cauchy-Riemann consisten en dos ecuaciones para un par de funciones desconocidas u(x, y ) y v(x, y) de dos variables reales

$${fnMicrosoft Sans Serif} {fnMicrosoft Sans Serif} {fnMicros {fnMicrosoft v} {partial y}}} {fa (x,y)[4pt]{fnMic {partial u}{f}}}}\fnMicroc {f} {fnMicrosoft}}} {f}}}}}}}}}}}}}}}}f} {f}f}f}f}f}}f}f}f}f}fnKf}f}f}f}f}f}f}fnKfnKf}f}fnMisoy}f}f}fnMisoy}f}f}fnKfnMinMinMinKfnMinMinMinMinMinMinMinMinMinMinMin$$

para algunas funciones dadas α(x, y) y β(x, y) definido en un subconjunto abierto de R². Estas ecuaciones generalmente se combinan en una sola ecuación.

$${displaystyle {frac {partial f}{partial [bar {z}}=varphi (z,{bar {z}]$$

fuvφαβ

Si ? es Ck, entonces la ecuación no homogénea es explícitamente resoluble en cualquier dominio acotado D, siempre que ? sea continua en el cierre de D. De hecho, por la fórmula integral de Cauchy,

$${displaystyle fleft(zeta{zeta }right)={frac {1}{2pi) i}iint _{D}varphi left(z,{bar {z}right),{frac {dzwedge d{bar {z}}{z-zeta }$$

EspecificacionesD

Generalizaciones

El teorema de Goursat y sus generalizaciones

Suponga que f = u + iv es una función de valor complejo que es diferenciable como una función f: R² → R². Entonces, el teorema de Goursat afirma que f es analítico en un dominio complejo abierto Ω si y solo si satisface la ecuación de Cauchy-Riemann en el dominio. En particular, no es necesario suponer la diferenciabilidad continua de f.

Las hipótesis del teorema de Goursat pueden debilitarse significativamente. Si f = u + iv es continuo en un conjunto abierto Ω y el parcial derivadas de f con respecto a x y y existen en Ω, y satisfacen las ecuaciones de Cauchy-Riemann en todo Ω, entonces f< /i> es holomorfa (y por lo tanto analítica). Este resultado es el teorema de Looman-Menchoff.

La hipótesis de que f obedece a las ecuaciones de Cauchy-Riemann en todo el dominio Ω es fundamental. Es posible construir una función continua que satisfaga las ecuaciones de Cauchy-Riemann en un punto, pero que no sea analítica en el punto (por ejemplo, f(z ) = z⁵/|z|⁴). De manera similar, se necesita alguna suposición adicional además de las ecuaciones de Cauchy-Riemann (como la continuidad), como ilustra el siguiente ejemplo

$${displaystyle f(z)={begin{cases}exp left(-z^{-4}right) limit{text{if }znot =0� }z=0end{cases}}$$

que satisface las ecuaciones de Cauchy-Riemann en todas partes, pero no es continua en z = 0.

Sin embargo, si una función satisface las ecuaciones de Cauchy-Riemann en un conjunto abierto en un sentido débil, entonces la función es analítica. Más precisamente:

Si f()z) es localmente integrado en un dominio abierto ΩC, y satisfice las ecuaciones Cauchy-Riemann débilmente, entonces f está de acuerdo casi en todas partes con una función analítica en Ω.

De hecho, este es un caso especial de un resultado más general sobre la regularidad de las soluciones de ecuaciones diferenciales parciales hipoelípticas.

Varias variables

Hay ecuaciones de Cauchy-Riemann, apropiadamente generalizadas, en la teoría de varias variables complejas. Forman un sistema sobredeterminado significativo de PDE. Esto se hace usando una generalización directa de la derivada de Wirtinger, donde se requiere que la función en cuestión tenga la derivada (parcial) de Wirtinger con respecto a cada variable compleja.

Formas diferenciales complejas

Como se formula a menudo, el operador de barra d

$${displaystyle {bar {fnMicrosoft Sans Serif} }$$

$${displaystyle {partial f over partial {bar {z}=0,}$$

$${displaystyle {partial f over partial {bar {z}}={1 over 2}left({partial f over partial x}+i{partial f over partial y}right). }$$

Transformada de Backlund

Vistas como funciones armónicas conjugadas, las ecuaciones de Cauchy-Riemann son un ejemplo simple de una transformada de Bäcklund. Las transformadas de Bäcklund más complicadas, generalmente no lineales, como en la ecuación del seno-Gordon, son de gran interés en la teoría de los solitones y los sistemas integrables.

Definición en álgebra de Clifford

En álgebra Clifford el número complejo ${displaystyle z=x+iy}$ está representado ${displaystyle zequiv x+Iy}$ Donde ${displaystyle Iequiv sigma _{1}sigma ¿Qué?$. El operador derivativo fundamental en álgebra Clifford de números complejos se define como ${displaystyle nabla equiv sigma ################################################################################################################################################################################################################################################################ _{x}+sigma - ¿Qué? ¿Qué?$. La función ${displaystyle f=u+Iv}$ se considera analítico si y sólo si ${displaystyle nabla f=0}$, que se puede calcular de la siguiente manera:

$${sigma _{1}sigma _{2}sigma _{2}sigma _{2}sigma _{2}partial _{y})(u+sigma _{1}sigma _{2}v)[4pt] ################################################################################################################################################################################################################################################################ ¿Por qué? _{1}sigma ¿Qué? _{=sigma ¿Por qué? - ¿Qué? ¿Qué? {sigma _{2}sigma _{1}sigma ¿Qué? _{=-sigma ♪♪♪ ¿Qué?$$

Grouping by ${displaystyle sigma ¿Qué?$ y ${displaystyle sigma _{2}$:

$${displaystyle nabla f=sigma _{1}(partial _{x}u-partial _{y}v)+sigma _{2}(partial _{x}v+partial _{y}u)=0Leftrightarrow {begin{cases}partial _{x}u-partial _{y}v=0[4pt]partial _{x}v+partial ¿Qué?$$

Por lo tanto, en notación tradicional:

$${displaystyle {begin{cases}{dfrac {partial u}{partial x}={dfrac {partial v}{partial y}}[12pt]{dfrac {partial u}{partial u}{partial u}}{c}}{dfrac} {c}}}{c}}}{c}}}}}}}}}}{c}}{c}}}{c}}}}}{c}}}}}}}}}}}}{c}}}}}}}}}}}}}}}}}\c\\\\cccccccccc\cccccccccccccccccccH00}}}}}}{cccc ¿Qué?$$

Asignaciones conformes en dimensiones superiores

Dejar Ω ser un conjunto abierto en el espacio Euclideano Rⁿ. La ecuación para un mapeo orientador ${displaystyle f: Omega to mathbb {R} {fn}$ ser un mapeo conformal (es decir, preservando ángulo) es que

$${displaystyle Df.$$

Donde Df es la matriz Jacobiana, con transpose ${displaystyle Df^{mathsf {T}}$, y I denota la matriz de identidad. Para n = 2, este sistema es equivalente a las ecuaciones estándar Cauchy-Riemann de variables complejas, y las soluciones son funciones holomorfas. En dimensión n ■ 2, esto todavía se llama a veces el sistema Cauchy-Riemann, y el teorema de Liouville implica, bajo suposiciones adecuadas de suavidad, que cualquier mapeo es una transformación Möbius.