Ecuaciones de Cauchy-Riemann

${displaystyle Delta z+Delta {bar {z}=2,Delta x}$

${displaystyle Delta z-Delta {bar {z}=2i,Delta y}$

$${displaystyle Delta f(z_{0})={frac ######################## Delta z+{frac ################################################################################################################################################################################################################################################################ Delta {bar {}+eta (Delta z),Delta z,}$$

Definiendo las dos derivadas de Wirtinger como

$${fnMicrosoft {fnMicrosoft {fnMicrosoft {fnMicrosoft {fnMicrosoft {\fnMicrosoft} }{partial z}={frac {1}{2}left({frac {partial }{partial }{partial {fnMicroc {partial} {f}}}} {fn}}}} {fn}}} {fn}}} {fn}}} {fn}}} {fn} {fn}}}}m} {fn}}f}}}}}}fn}fn}} {f}}}}}}f}}}}f}}}}}}}f}}}f}}}}}}}}}f} {f}}}f}}f}}fn}}}}f}}}f}}f}}f}}f}}f}}fn}}f}}}}}}f}}}}}f}}}}}f}}}}}}}}}}}}}}}}}}fn}}}}}fn}}}b}}}}}}b}$$

en el límite ${displaystyle Delta zto 0,Delta {bar {z}to} 0}$ la igualdad anterior se puede escribir como

$${displaystyleleft. {fnMicrosoft Sans Serif} {fnMicrosoft Sans Serif}=left. {partial f}{partial ¿Qué? {fnK} {fnK}}}derechoso. {fnMicroc {fnMicroc} {z} {dz}}+eta (Delta z),;;;;(Delta zneq 0). }$$

Ahora considere los valores potenciales ${displaystyle d{bar {z}/dz}$ cuando el límite se toma en el origen. Para z a lo largo de la línea real, ${displaystyle {bar}=z}$ así ${displaystyle d{bar {z}/dz=1}$. Del mismo modo, puramente imaginario z tenemos ${displaystyle d{bar {z}/dz=-1}$ para que el valor de ${displaystyle d{bar {z}/dz}$ no está bien definido en el origen. Es fácil verificar que ${displaystyle d{bar {z}/dz}$ no está bien definido en ningún complejo z, por lo tanto f es complejo diferenciable en z₀ si ${displaystyle left(partial f/partial {bar {z}right)=0}$ a ${displaystyle z=z_{0}$. Pero esto es exactamente las ecuaciones Cauchy-Riemann, así f es diferente en z₀ si y sólo si las ecuaciones Cauchy-Riemann se mantienenz₀.

Independencia del complejo conjugado

La prueba anterior sugiere otra interpretación de las ecuaciones Cauchy-Riemann. El complejo conjugado de z, denotado ${displaystyle {bar}}}$, se define por

$${displaystyle {fnMicrosoft Sans Serif} {x+iy}=x-iy}$$

$${displaystyle {frac {partial f}{partial {fnK}}=0}$$

()3)

utilizando el derivado de Wirtinger con respecto a la variable conjugada. En esta forma, las ecuaciones Cauchy-Riemann pueden interpretarse como la afirmación de que f es independiente de la variable ${displaystyle {bar}}}$. Como tal, podemos ver las funciones analíticas como verdaderas funciones de uno compleja variable en lugar de funciones complejas dos. variables reales.

Interpretación física

Contorno de un par u y v satisfaciendo las ecuaciones Cauchy-Riemann. Racionalización (v= const, rojo) son perpendiculares a equipotentiales (u= const, azul). El punto (0,0) es un punto estacionario del flujo potencial, con seis aerolíneas reunidas, y seis equipostentials también reuniéndose y bisectando los ángulos formados por las aerolíneas.

Una interpretación física estándar de las ecuaciones Cauchy-Riemann volviendo al trabajo de Riemann en la teoría de la función es que u representa un potencial de velocidad de un flujo de fluido constante incompresible en el plano, y v es su función de flujo. Supongamos que el par de funciones (twice continuamente diferenciables) ${displaystyle u,v}$ satisface las ecuaciones Cauchy-Riemann. Tomaremos u para ser un potencial de velocidad, lo que significa que imaginamos un flujo de fluido en el plano tal que el vector de velocidad del fluido en cada punto del plano es igual al gradiente de u, definida por

$${displaystyle nabla u={partial u}{partial x}mathbf {i} {fnMicroc {fnK} {fnMicrosoft}$$

Al derivar las ecuaciones de Cauchy-Riemann por segunda vez, se muestra que u resuelve la ecuación de Laplace:

$${fnMicrosoft {fnMicrosoft {fnMicrosoft {fnMicrosoft {fnMicrosoft {\fnMicrosoft} ^{2}u}{partial ##{2}}+{frac {partial ^{2}u}{partial Sí.$$

La función v también satisface la ecuación Laplace, por un análisis similar. Además, las ecuaciones Cauchy-Riemann implican que el producto del punto ${displaystyle nabla ucdot nabla v=0}$. Esto implica que el gradiente de u debe apuntar a ${displaystyle v={text{const}}$ curvas; por lo tanto estas son las aerolíneas del flujo. El ${displaystyle u={text{const}}$ las curvas son las curvas del flujo.

Por lo tanto, se puede visualizar una función holomorfa trazando las dos familias de curvas de nivel ${displaystyle u={text{const}}$ y ${displaystyle v={text{const}}$. Cerca de puntos donde el gradiente de u (o, equivalentemente, v) no es cero, estas familias forman una familia ortogonal de curvas. En los puntos donde ${displaystyle nabla u=0}$, los puntos estacionarios del flujo, las curvas equitenciales de ${displaystyle u={text{const}}$ Intersecta. Las aerodinámicas también se intersectan en el mismo punto, bisectando los ángulos formados por las curvas equipotentiales.

Campo vectorial armónico

Otra interpretación de las ecuaciones de Cauchy-Riemann se puede encontrar en Pólya & Szego. Suponga que u y v satisfacen las ecuaciones de Cauchy-Riemann en un subconjunto abierto de R², y considere el campo vectorial

$${f}} {begin{bmatrix}u-vend{bmatrix}}}}$$

${displaystyle {bar}}$

$${displaystyle {frac {partial (-v)}{partial x}-{frac {partial u}{partial y}}=0}$$

La primera ecuación de Cauchy-Riemann (1a) afirma que el campo vectorial es solenoidal (o libre de divergencias):

$${displaystyle {frac {partial u}{partial x}+{frac {partial (-v)}{partial y}}=0}$$

Debido al teorema de Green y al teorema de la divergencia, respectivamente, dicho campo es necesariamente conservativo y está libre de fuentes o sumideros, con un flujo neto igual a cero a través de cualquier dominio abierto sin agujeros. (Estas dos observaciones se combinan como partes reales e imaginarias en el teorema integral de Cauchy). En dinámica de fluidos, dicho campo vectorial es un flujo potencial. En magnetostática, tales campos vectoriales modelan campos magnéticos estáticos en una región del plano que no contiene corriente. En electrostática, modelan campos eléctricos estáticos en una región del plano que no contiene carga eléctrica.

Esta interpretación puede ser restablecida en el lenguaje de formas diferenciales. El par u,v satisfacer las ecuaciones Cauchy-Riemann si y sólo si la forma ${displaystyle v,dx+u,dy}$ está cerrado y encerrado (una forma diferencial armónica).

Preservación de estructuras complejas

Otra formulación de las ecuaciones de Cauchy-Riemann implica la estructura compleja en el plano, dada por

$${displaystyle J={begin{bmatrix}0 tarde-11⁄1 punto {bmatrix}}$$

${displaystyle J^{2}=-I}$

$${displaystyle f(x,y)={begin{bmatrix}u(x,y)v(x,y)end{bmatrix}}}$$

La matriz jacobiana de f es la matriz de derivadas parciales

$${f} {f} {f}} {f}} {f}} {f}}} {f}}} {begin{bmatrix} {f}} {f}} {fn}} {fn}} {f}} {f}}} {b}}}} {b}}} {b}}}}} {f}}}}}}}}}}}}} {b}}}}}}}}}} {b}} {b}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}} {b}}}}}}} {b} {b} {b} {b}} {b}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}} {b} {b}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}$$

Entonces el par de funciones u, v satisface las ecuaciones de Cauchy-Riemann si y solo si la matriz 2×2 Df conmuta con J.

Esta interpretación es útil en geometría simpléctica, donde es el punto de partida para el estudio de curvas pseudoholomórficas.

Otras representaciones

Ocasionalmente surgen otras representaciones de las ecuaciones de Cauchy-Riemann en otros sistemas de coordenadas. Si (1a) y (1b) se cumplen para un par diferenciable de funciones u y v, entonces también

$${displaystyle {frac {partial u}{partial n}={frac {partial v}{partial s}}}quad {frac {partial v}{partial {partial v} {f} {f}} {f} {f}f}f}fnf}f}f}f}f}f}f}fnf}f}f}f}f}f}f}f}f}f}f}f}f}b9b9fnf}f}f}f}fnfnKb9b9b9b9fnb9fnb9fnfnfnh00}fnfnfnfnfnh00b9b9b9b9fnh00}b9b {fnMicroc} {fnK} {fn}}} {fn}} {fnK}}} {fn}} {fn}} {fn}}} {fn}}}}}} {fn} {fn}}}}}}}}} {fn\fnfn}}}}}}}}}}}}}}} {\\\\\fnfnfn\fnfnfnfn\fnfn\fn}\\fnfn}fnfnfnfnfnfn}fnfnfnfnfnfnfnfnfnfn\fnfnfnfn}fnfn}fn}fn\fnfn}fn}$$

para cualquier sistema de coordenadas ()n()x, Sí.), s()x, Sí.) tal que el par (aviso)n, restablecimientos) es ortonormal y positivamente orientado. As a consequence, in particular, in the system of coordinates given by the polar representation ${displaystyle z=re^{itheta }$, las ecuaciones entonces tomar la forma

$${displaystyle {partial u over partial r}={1 over r}{partial v over partial theta },quad {partial v over partial r}=-{1 over r}{partial u over partial theta }$$

Combinando estos en una ecuación para f da

$${displaystyle {partial f over partial r}={1 over ir}{partial f over partial theta }$$

Las ecuaciones no homogéneas de Cauchy-Riemann consisten en dos ecuaciones para un par de funciones desconocidas u(x, y ) y v(x, y) de dos variables reales

$${fnMicrosoft Sans Serif} {fnMicrosoft Sans Serif} {fnMicros {fnMicrosoft v} {partial y}}} {fa (x,y)[4pt]{fnMic {partial u}{f}}}}\fnMicroc {f} {fnMicrosoft}}} {f}}}}}}}}}}}}}}}}f} {f}f}f}f}f}}f}f}f}f}fnKf}f}f}f}f}f}f}fnKfnKf}f}fnMisoy}f}f}fnMisoy}f}f}fnKfnMinMinMinKfnMinMinMinMinMinMinMinMinMinMinMin$$

para algunas funciones dadas α(x, y) y β(x, y) definido en un subconjunto abierto de R². Estas ecuaciones generalmente se combinan en una sola ecuación.

$${displaystyle {frac {partial f}{partial [bar {z}}=varphi (z,{bar {z}]$$

Si 𝜑 es Ck, entonces la ecuación no homogénea es explícitamente resoluble en cualquier dominio acotado D, siempre que 𝜑 sea continua en el cierre de D. De hecho, por la fórmula integral de Cauchy,

$${displaystyle fleft(zeta{zeta }right)={frac {1}{2pi) i}iint _{D}varphi left(z,{bar {z}right),{frac {dzwedge d{bar {z}}{z-zeta }$$

Generalizaciones

El teorema de Goursat y sus generalizaciones

Suponga que f = u + iv es una función de valor complejo que es diferenciable como una función f: R² → R². Entonces, el teorema de Goursat afirma que f es analítico en un dominio complejo abierto Ω si y solo si satisface la ecuación de Cauchy-Riemann en el dominio. En particular, no es necesario suponer la diferenciabilidad continua de f.

Las hipótesis del teorema de Goursat pueden debilitarse significativamente. Si f = u + iv es continuo en un conjunto abierto Ω y el parcial derivadas de f con respecto a x y y existen en Ω, y satisfacen las ecuaciones de Cauchy-Riemann en todo Ω, entonces f< /i> es holomorfa (y por lo tanto analítica). Este resultado es el teorema de Looman-Menchoff.

La hipótesis de que f obedece a las ecuaciones de Cauchy-Riemann en todo el dominio Ω es fundamental. Es posible construir una función continua que satisfaga las ecuaciones de Cauchy-Riemann en un punto, pero que no sea analítica en el punto (por ejemplo, f(z ) = z⁵/|z|⁴). De manera similar, se necesita alguna suposición adicional además de las ecuaciones de Cauchy-Riemann (como la continuidad), como ilustra el siguiente ejemplo