Ecuaciones de campo de Einstein

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Ecuaciones sobre el terreno en la relatividad general

En la teoría general de la relatividad, las ecuaciones de campo de Einstein (EFE; también conocidas como ecuaciones de campo de Einstein) relacionan las geometría del espacio-tiempo hasta la distribución de la materia en su interior.

Las ecuaciones fueron publicadas por Albert Einstein en 1915 en forma de ecuación tensorial que relacionaba las curvatura del espacio-tiempo (expresada por el tensor de Einstein) con la energía local, momento y estrés dentro de ese espacio-tiempo (expresado por el tensor estrés-energía).

De manera análoga a la forma en que los campos electromagnéticos se relacionan con la distribución de cargas y corrientes a través de las ecuaciones de Maxwell, los EFE relacionan la geometría del espacio-tiempo con la distribución de masa-energía, momento y tensión, es decir, determinan el tensor métrico del espaciotiempo para una disposición dada de tensión-energía-momento en el espaciotiempo. La relación entre el tensor métrico y el tensor de Einstein permite que el EFE se escriba como un conjunto de ecuaciones diferenciales parciales no lineales cuando se usa de esta manera. Las soluciones del EFE son las componentes del tensor métrico. Las trayectorias inerciales de las partículas y la radiación (geodésicas) en la geometría resultante se calculan utilizando la ecuación geodésica.

Además de implicar una conservación local de la energía-momento, la EFE reduce a la ley de gravitación de Newton en el límite de un campo gravitacional débil y velocidades que son mucho menores que la velocidad de la luz.

Las soluciones exactas para el EFE sólo se pueden encontrar bajo supuestos simplificadores como la simetría. Las clases especiales de soluciones exactas se estudian con mayor frecuencia, ya que modelan muchos fenómenos gravitacionales, como los agujeros negros en rotación y el universo en expansión. Se logra una mayor simplificación al aproximar el espacio-tiempo con solo pequeñas desviaciones del espacio-tiempo plano, lo que lleva a la EFE linealizada. Estas ecuaciones se utilizan para estudiar fenómenos como las ondas gravitacionales.

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Mathematics form

Las ecuaciones de campo de Einstein (EFE) se pueden escribir en la forma:

{displaystyle G_{mu nu }+Lambda g_{mu nu }=kappa T_{mu nu }}

EFE en una pared en Leiden, Países Bajos

Donde $G_{mu nu}$ es el tensor de Einstein, $g_{mu nu }$ es el tensor métrico, $T_{mu nu }$ es el tensor de la energía, $Lambda$ es la constante cosmológica y $kappa$ es la constante gravitacional de Einstein.

El tensor de Einstein se define como

{displaystyle G_{mu nu }=R_{mu nu }-{frac {1}{2}}Rg_{mu nu },}

donde $R μν$ es el tensor de curvatura de Ricci y $R$ es la curvatura escalar. Este es un tensor simétrico de segundo grado que depende únicamente del tensor métrico y sus derivadas primera y segunda.

La constante gravitacional de Einstein se define como

{displaystyle kappa ={frac {8pi G}{c^{4}}}approx 2.076647442844times 10^{-43},{textrm {N}}^{-1},}

donde $G$ es la constante newtoniana de gravitación y $c$ es la velocidad de la luz en el vacío.

Por lo tanto, el EFE también se puede escribir como

{displaystyle R_{mu nu }-{frac {1}{2}}Rg_{mu nu }+Lambda g_{mu nu }=kappa T_{mu nu }.}

En unidades estándar, cada término de la izquierda tiene unidades de 1/longitud².

La expresión de la izquierda representa la curvatura del espacio-tiempo determinada por la métrica; la expresión de la derecha representa el contenido de tensión-energía-momento del espacio-tiempo. La EFE puede entonces interpretarse como un conjunto de ecuaciones que dictan cómo la tensión-energía-momento determina la curvatura del espacio-tiempo.

Estas ecuaciones, junto con la ecuación geodésica, que dicta cómo se mueve libremente la materia en caída libre a través del espacio-tiempo, forman el núcleo de la formulación matemática de la relatividad general.

El EFE es una ecuación tensorial que relaciona un conjunto de tensores simétricos de 4 × 4. Cada tensor tiene 10 componentes independientes. Las cuatro identidades de Bianchi reducen el número de ecuaciones independientes de 10 a 6, dejando a la métrica con cuatro grados de libertad de fijación de calibre, que corresponden a la libertad de elegir un sistema de coordenadas.

Aunque las ecuaciones de campo de Einstein se formularon inicialmente en el contexto de una teoría cuatridimensional, algunos teóricos han explorado sus consecuencias en $n dimensiones. Las ecuaciones en contextos fuera de la relatividad general todavía se conocen como ecuaciones de campo de Einstein. Las ecuaciones de campo de vacío (obtenidas cuando T μν es cero en todas partes) definen las variedades de Einstein.$

Las ecuaciones son más complejas de lo que parecen. Dada una distribución específica de la materia y la energía en forma de un tensor de estrés-energía, el EFE se entiende como ecuaciones para el tensor métrico $g_{mu nu }$ , ya que tanto el tensor Ricci como la curvatura escalar dependen de la métrica de una manera complicada no lineal. Cuando se escribe completamente, el EFE es un sistema de diez ecuaciones diferenciales parciales acopladas, no lineales, hiperbólicas y inteligentes.

Convención de signos

La forma anterior de EFE es el estándar establecido por Misner, Thorne y Wheeler (MTW). Los autores analizaron las convenciones que existen y las clasificaron según tres signos ([S1] [S2] [S3]):

{displaystyle {begin{aligned}g_{mu nu }&=[S1]times operatorname {diag} (-1,+1,+1,+1)\[6pt]{R^{mu }}_{alpha beta gamma }&=[S2]times left(Gamma _{alpha gammabeta }^{mu }-Gamma _{alpha betagamma }^{mu }+Gamma _{sigma beta }^{mu }Gamma _{gamma alpha }^{sigma }-Gamma _{sigma gamma }^{mu }Gamma _{beta alpha }^{sigma }right)\[6pt]G_{mu nu }&=[S3]times kappa T_{mu nu }end{aligned}}}

El tercer signo anterior está relacionado con la elección de la convención para el tensor de Ricci:

{displaystyle R_{mu nu }=[S2]times [S3]times {R^{alpha }}_{mu alpha nu }}

Con estas definiciones Misner, Thorne y Wheeler se clasifican como $(+ + +)$ , mientras que Weinberg (1972) es $(+ - -)$ , Peebles (1980) y Efstathiou et al. (1990) son $(- + +)$ , Rindler (1977), Atwater (1974), Collins Martin & Squires (1989) y Peacock (1999) son $(- + -)$ .

Autores, incluido Einstein, han utilizado un signo diferente en su definición del tensor de Ricci, lo que da como resultado que el signo de la constante del lado derecho sea negativo:

{displaystyle R_{mu nu }-{frac {1}{2}}Rg_{mu nu }-Lambda g_{mu nu }=-kappa T_{mu nu }.}

El signo del término cosmológico cambiaría en ambas versiones si se utiliza la convención de signos métricos $(+ - - -)$ en lugar de la MTW $(- + + +)$ convención de signos métricos adoptada aquí.

Formulaciones equivalentes

Tomando la traza con respecto a la métrica de ambos lados del EFE se obtiene

{displaystyle R-{frac {D}{2}}R+DLambda =kappa T,}

D

R

{displaystyle R_{mu nu }-{frac {2}{D-2}}Lambda g_{mu nu }=kappa left(T_{mu nu }-{frac {1}{D-2}}Tg_{mu nu }right).}

En $D = 4$ dimensiones esto se reduce a

{displaystyle R_{mu nu }-Lambda g_{mu nu }=kappa left(T_{mu nu }-{frac {1}{2}}T,g_{mu nu }right).}

Revertir el rastro de nuevo restauraría el EFE original. La forma reversada puede ser más conveniente en algunos casos (por ejemplo, cuando uno está interesado en un límite de campo débil y puede sustituir $g_{mu nu }$ en la expresión de la derecha con la métrica Minkowski sin pérdida significativa de precisión).

La constante cosmológica

En las ecuaciones de campo de Einstein

{displaystyle G_{mu nu }+Lambda g_{mu nu }=kappa T_{mu nu },,}

▪

cualquier solución de estado estable deseada descrita por esta ecuación es inestable, y
observaciones de Edwin Hubble mostraron que nuestro universo se está expandiendo.

Did you mean:

Einstein then abandoned Λ, remarking to George Gamow "that the introduction of the cosmological term was the biggest blunder of his life ".

La inclusión de este término no crea inconsistencias. Durante muchos años se supuso casi universalmente que la constante cosmológica era cero. Observaciones astronómicas más recientes han mostrado una expansión acelerada del universo y para explicar esto se necesita un valor positivo de $Λ$ . La constante cosmológica es insignificante a la escala de una galaxia o más pequeña.

Einstein pensó en la constante cosmológica como un parámetro independiente, pero su término en la ecuación de campo también puede moverse algebraicamente al otro lado e incorporarse como parte del tensor de tensión-energía:

{displaystyle T_{mu nu }^{mathrm {(vac)} }=-{frac {Lambda }{kappa }}g_{mu nu },.}

Este tensor describe un estado de vacío con una densidad de energía $ρ vac$ y presión isotrópica $p vac$ que son constantes fijas y están dadas por

{displaystyle rho _{mathrm {vac} }=-p_{mathrm {vac} }={frac {Lambda }{kappa }},}

▪

⁻²

κ

La existencia de una constante cosmológica equivale, pues, a la existencia de una energía de vacío y una presión de signo opuesto. Esto ha llevado a los términos "constante cosmológica" y "energía de vacío" usándose indistintamente en la relatividad general.

Características

Conservación de energía y momento

La relatividad general es consistente con la conservación local de energía y momento expresada como

{displaystyle nabla _{beta }T^{alpha beta }={T^{alpha beta }}_{;beta }=0.}

Derivación de la conservación de energía local-momentum

Contratación de la identidad diferencial Bianchi

{displaystyle R_{alpha beta [gamma delta;varepsilon ]}=0}

con

g αβ

da, utilizando el hecho de que el tensor métrico es covariantemente constante, es decir.

g αβ;γ = 0

{displaystyle {R^{gamma }}_{beta gamma delta;varepsilon }+{R^{gamma }}_{beta varepsilon gamma;delta }+{R^{gamma }}_{beta delta varepsilon;gamma }=0}

La antisimetría del tensor Riemann permite que el segundo término en la expresión anterior sea reescrito:

{displaystyle {R^{gamma }}_{beta gamma delta;varepsilon }-{R^{gamma }}_{beta gamma varepsilon;delta }+{R^{gamma }}_{beta delta varepsilon;gamma }=0}

que equivale a

{displaystyle R_{beta delta;varepsilon }-R_{beta varepsilon;delta }+{R^{gamma }}_{beta delta varepsilon;gamma }=0}

usando la definición del tensor Ricci.

Siguiente, contrato de nuevo con la métrica

{displaystyle g^{beta delta }left(R_{beta delta;varepsilon }-R_{beta varepsilon;delta }+{R^{gamma }}_{beta delta varepsilon;gamma }right)=0}

para llegar

{displaystyle {R^{delta }}_{delta;varepsilon }-{R^{delta }}_{varepsilon;delta }+{R^{gamma delta }}_{delta varepsilon;gamma }=0}

Las definiciones del tensor de curvatura Ricci y la curvatura del escalar muestran que

{displaystyle R_{;varepsilon }-2{R^{gamma }}_{varepsilon;gamma }=0}

que puede ser reescrito como

{displaystyle left({R^{gamma }}_{varepsilon }-{tfrac {1}{2}}{g^{gamma }}_{varepsilon }Rright)_{;gamma }=0}

Una contracción final con $g εδ$ da

{displaystyle left(R^{gamma delta }-{tfrac {1}{2}}g^{gamma delta }Rright)_{;gamma }=0}

que por la simetría del término entre corchetes y la definición del tensor de Einstein, da, después de reetiquetar los índices,

{displaystyle {G^{alpha beta }}_{;beta }=0}

Usando el EFE, esto inmediatamente da,

{displaystyle nabla _{beta }T^{alpha beta }={T^{alpha beta }}_{;beta }=0}

que expresa la conservación local del estrés-energía. Esta ley de conservación es un requisito físico. Con sus ecuaciones de campo, Einstein aseguró que la relatividad general es consistente con esta condición de conservación.

No linealidad

La no linealidad de la EFE distingue la relatividad general de muchas otras teorías físicas fundamentales. Por ejemplo, las ecuaciones de electromagnetismo de Maxwell son lineales en los campos eléctrico y magnético, y en las distribuciones de carga y corriente (es decir, la suma de dos soluciones también es una solución); Otro ejemplo es la ecuación de Schrödinger de la mecánica cuántica, que es lineal en la función de onda.

El principio de correspondencia

El EFE se reduce a la ley de gravedad de Newton utilizando tanto la aproximación de campo débil como la aproximación de cámara lenta. De hecho, la constante $G$ que aparece en el EFE se determina haciendo estas dos aproximaciones.

Derivación de la ley de gravedad de Newton

La gravedad newtoniana puede ser escrita como la teoría de un campo escalar, $CCPR$ , que es el potencial gravitacional en joules por kilogramo del campo gravitacional $g = - reasentamiento$ , vea la ley de Gauss por gravedad

{displaystyle nabla ^{2}Phi left({vec {x}},tright)=4pi Grho left({vec {x}},tright)}

Donde

***

es la densidad de masa. La órbita de un satisfizo de partículas de caída libre

{displaystyle {ddot {vec {x}}}(t)={vec {g}}=-nabla Phi left({vec {x}}(t),tright),.}

En la notación de tensor, estos se vuelven

{displaystyle {begin{aligned}Phi _{,ii}&=4pi Grho \{frac {d^{2}x^{i}}{dt^{2}}}&=-Phi _{,i},.end{aligned}}}

En la relatividad general, estas ecuaciones son reemplazadas por las ecuaciones de campo de Einstein en la forma reversada de traza

{displaystyle R_{mu nu }=Kleft(T_{mu nu }-{tfrac {1}{2}}Tg_{mu nu }right)}

para alguna constante,

K

, y la ecuación geodésica

{displaystyle {frac {d^{2}x^{alpha }}{dtau ^{2}}}=-Gamma _{beta gamma }^{alpha }{frac {dx^{beta }}{dtau }}{frac {dx^{gamma }}{dtau }},.}

Para ver cómo este último se reduce al primero, asumimos que la velocidad de la partícula de prueba es aproximadamente cero

{displaystyle {frac {dx^{beta }}{dtau }}approx left({frac {dt}{dtau }},0,0,0right)}

y así

{displaystyle {frac {d}{dt}}left({frac {dt}{dtau }}right)approx 0}

y que la métrica y sus derivados son aproximadamente estáticos y que los cuadrados de desviaciones de la métrica Minkowski son insignificantes. Aplicando estos supuestos simplificadores a los componentes espaciales de la ecuación geodésica da

{displaystyle {frac {d^{2}x^{i}}{dt^{2}}}approx -Gamma _{00}^{i}}

donde dos factores

♪ / ♪

han sido divididos. Esto reducirá a su contraparte newtoniana, siempre

{displaystyle Phi _{,i}approx Gamma _{00}^{i}={tfrac {1}{2}}g^{ialpha }left(g_{alpha 0,0}+g_{0alpha0}-g_{00,alpha }right),.}

Nuestras suposiciones fuerza $α = i$ y el tiempo (0) derivados a ser cero. Así que esto simplifica

{displaystyle 2Phi _{,i}approx g^{ij}left(-g_{00,j}right)approx -g_{00,i},}

que está satisfecho por dejar

{displaystyle g_{00}approx -c^{2}-2Phi ,.}

Volviendo a las ecuaciones de Einstein, sólo necesitamos el componente de tiempo

{displaystyle R_{00}=Kleft(T_{00}-{tfrac {1}{2}}Tg_{00}right)}

las suposiciones de campo de baja velocidad y estática implican que

{displaystyle T_{mu nu }approx operatorname {diag} left(T_{00},0,0,0right)approx operatorname {diag} left(rho c^{4},0,0,0right),.}

Así que...

{displaystyle T=g^{alpha beta }T_{alpha beta }approx g^{00}T_{00}approx -{frac {1}{c^{2}}}rho c^{4}=-rho c^{2},}

y así

{displaystyle Kleft(T_{00}-{tfrac {1}{2}}Tg_{00}right)approx Kleft(rho c^{4}-{tfrac {1}{2}}left(-rho c^{2}right)left(-c^{2}right)right)={tfrac {1}{2}}Krho c^{4},.}

De la definición del tensor Ricci

{displaystyle R_{00}=Gamma _{00,rho }^{rho }-Gamma _{rho 0,0}^{rho }+Gamma _{rho lambda }^{rho }Gamma _{00}^{lambda }-Gamma _{0lambda }^{rho }Gamma _{rho 0}^{lambda }.}

Nuestras suposiciones simplificadoras hacen los cuadrados de $.$ desaparecer junto con los derivados del tiempo

{displaystyle R_{00}approx Gamma _{00,i}^{i},.}

Combinando las ecuaciones anteriores juntas

{displaystyle Phi _{,ii}approx Gamma _{00,i}^{i}approx R_{00}=Kleft(T_{00}-{tfrac {1}{2}}Tg_{00}right)approx {tfrac {1}{2}}Krho c^{4}}

que reduce a la ecuación de campo de Newtonian proporcionada

{displaystyle {tfrac {1}{2}}Krho c^{4}=4pi Grho ,}

que ocurrirá si

{displaystyle K={frac {8pi G}{c^{4}}},.}

Ecuaciones de campo de vacío

Si el tensor energía-momento $T μν$ es cero en la región considerada, entonces las ecuaciones de campo también se conocen como ecuaciones de campo de vacío. Al establecer $T μν = 0$ en las ecuaciones de campo de traza invertida, las ecuaciones de campo de vacío, también conocidas como &# 39;Ecuaciones de vacío de Einstein' (EVE), se puede escribir como

{displaystyle R_{mu nu }=0,.}

En el caso de una constante cosmológica distinta de cero, las ecuaciones son

{displaystyle R_{mu nu }={frac {Lambda }{{frac {D}{2}}-1}}g_{mu nu },.}

Las soluciones de las ecuaciones del campo de vacío se denominan soluciones de vacío. El espacio plano de Minkowski es el ejemplo más simple de solución de vacío. Ejemplos no triviales incluyen la solución de Schwarzschild y la solución de Kerr.

Las variedades con un tensor de Ricci que desaparece, $R μν = 0$ , se denominan variedades planas de Ricci y variedades con un tensor de Ricci proporcional a la métrica como variedades de Einstein.

Ecuaciones de Einstein-Maxwell

Si el tensor energía-momento $T μν$ es el de un campo electromagnético en el espacio libre, es decir, si el tensor tensión-energía electromagnética

{displaystyle T^{alpha beta }=,-{frac {1}{mu _{0}}}left({F^{alpha }}^{psi }{F_{psi }}^{beta }+{tfrac {1}{4}}g^{alpha beta }F_{psi tau }F^{psi tau }right)}

Ecuaciones de Einstein–Maxwell

▪

{displaystyle G^{alpha beta }+Lambda g^{alpha beta }={frac {kappa }{mu _{0}}}left({F^{alpha }}^{psi }{F_{psi }}^{beta }+{tfrac {1}{4}}g^{alpha beta }F_{psi tau }F^{psi tau }right).}

Además, las ecuaciones covariantes de Maxwell también son aplicables en el espacio libre:

{displaystyle {begin{aligned}{F^{alpha beta }}_{;beta }&=0\F_{[alpha beta;gamma ]}&={tfrac {1}{3}}left(F_{alpha beta;gamma }+F_{beta gamma;alpha }+F_{gamma alpha;beta }right)={tfrac {1}{3}}left(F_{alpha betagamma }+F_{beta gammaalpha }+F_{gamma alphabeta }right)=0.end{aligned}}}

F

A α

{displaystyle F_{alpha beta }=A_{alpha;beta }-A_{beta;alpha }=A_{alphabeta }-A_{betaalpha }}

Soluciones

Las soluciones de las ecuaciones de campo de Einstein son métricas del espacio-tiempo. Estas métricas describen la estructura del espacio-tiempo, incluido el movimiento inercial de los objetos en el espacio-tiempo. Como las ecuaciones de campo no son lineales, no siempre pueden resolverse por completo (es decir, sin hacer aproximaciones). Por ejemplo, no se conoce una solución completa para un espacio-tiempo con dos cuerpos masivos en él (que es un modelo teórico de un sistema estelar binario, por ejemplo). Sin embargo, en estos casos se suelen hacer aproximaciones. Estas se conocen comúnmente como aproximaciones posnewtonianas. Aun así, hay varios casos en los que las ecuaciones de campo se han resuelto por completo y se denominan soluciones exactas.

El estudio de las soluciones exactas de las ecuaciones de campo de Einstein es una de las actividades de la cosmología. Conduce a la predicción de los agujeros negros y a diferentes modelos de evolución del universo.

También se pueden descubrir nuevas soluciones de las ecuaciones de campo de Einstein a través del método de marcos ortonormales iniciado por Ellis y MacCallum. En este enfoque, las ecuaciones de campo de Einstein se reducen a un conjunto de ecuaciones diferenciales ordinarias, no lineales y acopladas. Como lo discutieron Hsu y Wainwright, las soluciones autosemejantes de las ecuaciones de campo de Einstein son puntos fijos del sistema dinámico resultante. LeBlanc, Kohli y Haslam han descubierto nuevas soluciones utilizando estos métodos.

La EFE linealizada

La no linealidad del EFE dificulta la búsqueda de soluciones exactas. Una forma de resolver las ecuaciones de campo es hacer una aproximación, es decir, que lejos de la(s) fuente(s) de materia gravitante, el campo gravitacional es muy débil y el espacio-tiempo se aproxima al del espacio de Minkowski. Luego, la métrica se escribe como la suma de la métrica de Minkowski y un término que representa la desviación de la métrica verdadera de la métrica de Minkowski, ignorando los términos de mayor poder. Este procedimiento de linealización se puede utilizar para investigar los fenómenos de la radiación gravitacional.

Forma polinómica

A pesar de que los EFE tal como están escritos contienen el inverso del tensor métrico, se pueden ordenar de una forma que contenga el tensor métrico en forma polinómica y sin su inverso. Primero, se puede escribir el determinante de la métrica en 4 dimensiones.

{displaystyle det(g)={tfrac {1}{24}}varepsilon ^{alpha beta gamma delta }varepsilon ^{kappa lambda mu nu }g_{alpha kappa }g_{beta lambda }g_{gamma mu }g_{delta nu }}

{displaystyle g^{alpha kappa }={frac {{tfrac {1}{6}}varepsilon ^{alpha beta gamma delta }varepsilon ^{kappa lambda mu nu }g_{beta lambda }g_{gamma mu }g_{delta nu }}{det(g)}},.}

Sustituyendo esta definición de la inversa de la métrica en las ecuaciones y luego multiplicando ambos lados por una potencia adecuada de $det(g)$ para eliminarla del denominador da como resultado ecuaciones polinómicas en el tensor métrico y sus derivadas primera y segunda. La acción de la que se derivan las ecuaciones también se puede escribir en forma polinómica mediante redefiniciones adecuadas de los campos.

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