Ecuación lineal

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Ecuación que no implica poderes o productos de variables

Dos gráficos de ecuaciones lineales en dos variables

En matemáticas, a ecuación lineal es una ecuación que se puede poner en la forma ${displaystyle a_{1}x_{1}+ldots +a_{n}x_{n}+b=0,}$ Donde $x_{1},ldotsx_{n}$ son las variables (o desconocidas), y ${displaystyle b,a_{1},ldotsa_{n}}$ son los coeficientes, que a menudo son números reales. Los coeficientes pueden considerarse como parámetros de la ecuación, y pueden ser expresiones arbitrarias, siempre que no contengan ninguna de las variables. Para producir una ecuación significativa, los coeficientes $a_1, ldots, a_n$ están obligados a no ser todos cero.

Alternativamente, se puede obtener una ecuación lineal igualando a cero un polinomio lineal sobre algún campo, del cual se toman los coeficientes.

Las soluciones de tal ecuación son los valores que, cuando se sustituyen por las incógnitas, hacen que la igualdad sea verdadera.

En el caso de una sola variable, hay exactamente una solución (siempre que ${displaystyle a_{1}neq 0}$ ). A menudo, el término ecuación lineal se refiere implícitamente a este caso particular, en el que la variable se llama sensiblemente desconocida.

En el caso de dos variables, cada solución puede interpretarse como las coordenadas cartesianas de un punto del plano euclidiano. Las soluciones de una ecuación lineal forman una línea en el plano euclidiano y, a la inversa, cada línea puede verse como el conjunto de todas las soluciones de una ecuación lineal en dos variables. Este es el origen del término lineal para describir este tipo de ecuaciones. Más generalmente, las soluciones de una ecuación lineal en $n$ variables forman un hiperplano (un subespacio de dimensión $n - 1$ ) en el espacio euclidiano de dimensión $n$ .

Las ecuaciones lineales aparecen con frecuencia en todas las matemáticas y sus aplicaciones en física e ingeniería, en parte porque los sistemas no lineales suelen aproximarse bien mediante ecuaciones lineales.

Este artículo considera el caso de una sola ecuación con coeficientes del campo de los números reales, para la cual se estudian las soluciones reales. Todo su contenido se aplica a soluciones complejas y, en general, a ecuaciones lineales con coeficientes y soluciones en cualquier campo. Para el caso de varias ecuaciones lineales simultáneas, véase sistema de ecuaciones lineales.

Una variable

Una ecuación lineal en una variable $x$ es de la forma ${displaystyle ax+b=0,}$ Donde $a$ y $b$ son números reales y ${displaystyle aneq 0}$ .

La raíz de ${displaystyle x=-{frac {b}{a}}}$ .

Dos variables

Una ecuación lineal en dos variables $x$ y $Sí.$ es de la forma ${displaystyle ax+by+c=0,}$ Donde $a$ , $b$ y $c$ son números reales tales que ${displaystyle a^{2}+b^{2}neq 0}$ .

Tiene infinitas soluciones posibles.

Función lineal

Si $b \neq 0$ , la ecuación

{displaystyle ax+by+c=0}

es una ecuación lineal en la variable única $y$ para cada valor de $x$ . Por lo tanto, tiene una solución única para $y$ , que viene dada por

{displaystyle y=-{frac {a}{b}}x-{frac {c}{b}}.}

Esto define una función. El gráfico de esta función es una línea con pendiente ${displaystyle -{frac {a}{b}}}$ e intercepto ${displaystyle -{frac {c}{b}}.}$ Las funciones cuyo gráfico es una línea generalmente se llaman funciones lineales en el contexto del cálculo. Sin embargo, en álgebra lineal, una función lineal es una función que mapea una suma a la suma de las imágenes de los summands. Así que, para esta definición, la función anterior es lineal sólo cuando $c = 0$ , es decir, cuando la línea pasa por el origen. Para evitar confusión, las funciones cuyo gráfico es una línea arbitraria se llaman a menudo affine functions.

Interpretación geométrica

Línea vertical de ecuación

x = a

Línea horizontal de ecuación

Sí. = b

Cada solución $(x, y)$ de una ecuación lineal

ax+by+c=0

puede verse como las coordenadas cartesianas de un punto en el plano euclidiano. Con esta interpretación, todas las soluciones de la ecuación forman una línea, siempre que $a$ y $b$ no son cero. Por el contrario, cada línea es el conjunto de todas las soluciones de una ecuación lineal.

La frase "ecuación lineal" tiene su origen en esta correspondencia entre rectas y ecuaciones: una ecuación lineal de dos variables es una ecuación cuyas soluciones forman una recta.

Si $b ل 0$ , la línea es el gráfico de la función de $x$ que se ha definido en la sección anterior. Si $b = 0$ , la línea es una línea vertical (que es una línea paralela a la $Sí.$ -eje) de la ecuación ${displaystyle x=-{frac {c}{a}},}$ que no es el gráfico de una función $x$ .

Del mismo modo, si $a ل 0$ , la línea es el gráfico de una función de $Sí.$ , y si $a = 0$ , uno tiene una línea horizontal de ecuación ${displaystyle y=-{frac {c}{b}}.}$

Ecuación de una recta

Hay varias formas de definir una línea. En las siguientes subsecciones, se da una ecuación lineal de la recta en cada caso.

Forma pendiente-intersección o forma Gradiente-intersección

Una línea no vertical se puede definir por su pendiente $m$ , y su estilo $y$ -intercepción $y 0$ (la y coordenada de su intersección con $y$ -eje). En este caso su ecuación lineal se puede escribir

{displaystyle y=mx+y_{0}.}

Si, además, la línea no es horizontal, se puede definir por su pendiente y su $x$ -intersección x₀. En este caso, su ecuación se puede escribir

{displaystyle y=m(x-x_{0}),}

o, de manera equivalente,

{displaystyle y=mx-mx_{0}.}

Estas formas se basan en el hábito de considerar una línea no vertical como la gráfica de una función. Para una recta dada por una ecuación

{displaystyle ax+by+c=0,}

estas formas se pueden deducir fácilmente de las relaciones

{displaystyle {begin{aligned}m&=-{frac {a}{b}},\x_{0}&=-{frac {c}{a}},\y_{0}&=-{frac {c}{b}}.end{aligned}}}

Forma punto-pendiente o Forma punto-gradiente

Una línea no vertical se puede definir por su pendiente $m$ , y las coordenadas ${displaystyle x_{1},y_{1}}$ de cualquier punto de la línea. En este caso, una ecuación lineal de la línea es

{displaystyle y=y_{1}+m(x-x_{1}),}

{displaystyle y=mx+y_{1}-mx_{1}.}

Esta ecuación también se puede escribir

{displaystyle y-y_{1}=m(x-x_{1})}

para enfatizar que la pendiente de una línea se puede calcular a partir de las coordenadas de dos puntos cualesquiera.

Formulario de intercepción

Una línea que no es paralela a un eje y no pasa por el origen corta los ejes en dos puntos diferentes. Los valores de intersección $x 0$ y $y 0$ de estos dos puntos son distintos de cero, y una ecuación de la recta es

{displaystyle {frac {x}{x_{0}}}+{frac {y}{y_{0}}}=1.}

(Es fácil verificar que la línea definida por esta ecuación tiene $x 0$ y $y 0$ como valores de intersección).

Forma de dos puntos

Dados dos puntos diferentes $(x 1, y 1)$ y $(x 2, y 2)$ , hay exactamente una línea que los atraviesa. Hay varias formas de escribir una ecuación lineal de esta línea.

Si $x 1 ل x 2$ , la pendiente de la línea es ${displaystyle {frac {y_{2}-y_{1}}{x_{2}-x_{1}}}.}$ Por lo tanto, una forma de punto pendiente es

{displaystyle y-y_{1}={frac {y_{2}-y_{1}}{x_{2}-x_{1}}}(x-x_{1}).}

Al despejar los denominadores, se obtiene la ecuación

{displaystyle (x_{2}-x_{1})(y-y_{1})-(y_{2}-y_{1})(x-x_{1})=0,}

que es válido también cuando $x 1 = x 2$ (para verificar esto, basta verificar que los dos puntos dados satisfacen la ecuación).

Esta forma no es simétrica en los dos puntos dados, pero se puede obtener una forma simétrica reagrupando los términos constantes:

{displaystyle (y_{1}-y_{2})x+(x_{2}-x_{1})y+(x_{1}y_{2}-x_{2}y_{1})=0}

(intercambiar los dos puntos cambia el signo del lado izquierdo de la ecuación).

Forma determinante

La forma de dos puntos de la ecuación de una línea se puede expresar simplemente en términos de un determinante. Hay dos formas comunes para eso.

La ecuación ${displaystyle (x_{2}-x_{1})(y-y_{1})-(y_{2}-y_{1})(x-x_{1})=0}$ es el resultado de la expansión del determinante en la ecuación

{displaystyle {begin{vmatrix}x-x_{1}&y-y_{1}\x_{2}-x_{1}&y_{2}-y_{1}end{vmatrix}}=0.}

La ecuación ${displaystyle (y_{1}-y_{2})x+(x_{2}-x_{1})y+(x_{1}y_{2}-x_{2}y_{1})=0}$ se puede obtener se expandiendo con respecto a su primera fila el determinante en la ecuación

{displaystyle {begin{vmatrix}x&y&1\x_{1}&y_{1}&1\x_{2}&y_{2}&1end{vmatrix}}=0.}

Además de ser muy simple y nemotécnica, esta forma tiene la ventaja de ser un caso especial de la ecuación más general de un hiperplano que pasa por $n$ puntos en un espacio de dimensión $n - 1$ . Estas ecuaciones se basan en la condición de dependencia lineal de los puntos en un espacio proyectivo.

Más de dos variables

Siempre se puede suponer que una ecuación lineal con más de dos variables tiene la forma

{displaystyle a_{1}x_{1}+a_{2}x_{2}+cdots +a_{n}x_{n}+b=0.}

El coeficiente $b$ , a menudo denominado $a 0$ se llama el término constante (a veces el término absoluto en libros antiguos). Según el contexto, el término coeficiente puede reservarse para $a i$ con $i > 0$ .

Cuando se trata con $n=3$ variables, es común utilizar ${displaystyle x,;y}$ y $z$ en lugar de variables indexadas.

Una solución de tal ecuación es una $n$ -tuplas tal que al sustituir cada elemento de la tupla por la variable correspondiente se transforma la ecuación en una verdadera igualdad.

Para que una ecuación sea significativa, el coeficiente de al menos una variable debe ser distinto de cero. De hecho, si cada variable tiene un coeficiente cero, entonces, como se mencionó para una variable, la ecuación es inconsistente (para $b \neq 0$ ) como sin solución, o todas $n$ -tuplas son soluciones.

Las $n$ -tuplas que son soluciones de una ecuación lineal en $n$ variables son las coordenadas cartesianas de los puntos de una $(n - 1) hiperplano$ -dimensional en un $n$ -dimensional Espacio euclidiano (o espacio afín si los coeficientes son números complejos o pertenecen a cualquier campo). En el caso de tres variables, este hiperplano es un plano.

Si se da una ecuación lineal con $a j \neq 0$ , entonces el la ecuación se puede resolver para $x j$ , dando

{displaystyle x_{j}=-{frac {b}{a_{j}}}-sum _{iin {1,ldotsn},ineq j}{frac {a_{i}}{a_{j}}}x_{i}.}

Si los coeficientes son números reales, esto define una función de valor real de n variables reales.

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