Ecuación integral del campo eléctrico

La ecuación integral del campo eléctrico es una relación que permite calcular un campo eléctrico (E) generado mediante una distribución de corriente eléctrica (J).

Derivación

Cuando todas las cantidades en el dominio de frecuencia se consideran, una dependencia de tiempo ejwt{displaystyle e^{jwt} que se suprime a lo largo de todo es asumido.

Comenzando con las ecuaciones Maxwell relativas al campo eléctrico y magnético, y asumiendo un medio lineal y homogéneo con permeabilidad μ μ {displaystyle mu } y permisos ε ε {displaystyle varepsilon ,}:

Silencio Silencio × × E=− − j⋅ ⋅ μ μ HSilencio Silencio × × H=j⋅ ⋅ ε ε E+J{displaystyle {begin{aligned}nabla times mathbf {E} &=-jomega mu mathbf {H} \[1ex]nabla times mathbf {H} &=jomega varepsilon mathbf {E} +mathbf {J} end{aligned}}}}}

Siguiendo la tercera ecuación que involucra la divergencia de H

Silencio Silencio ⋅ ⋅ H=0{displaystyle nabla cdot mathbf {H} =0,}

Silencio Silencio × × A=H{displaystyle nabla times mathbf {A} =mathbf {H}

Silencio Silencio × × ()E+j⋅ ⋅ μ μ A)=0{displaystyle nabla times (mathbf {E} +jomega mu mathbf {A})=0}

E+j⋅ ⋅ μ μ A=− − Silencio Silencio CCPR CCPR {displaystyle mathbf {E} +jomega mu mathbf {A} =-nabla Phi

CCPR CCPR {displaystyle Phi

Silencio Silencio × × Silencio Silencio × × A− − k2A=J− − j⋅ ⋅ ε ε Silencio Silencio CCPR CCPR {displaystyle nabla times nabla times mathbf {A} k^{2}mathbf {A} =mathbf {J} -jomega varepsilon nabla Phi

k=⋅ ⋅ μ μ ε ε {displaystyle k=omega {sqrt {mu varepsilon }

Silencio Silencio ()Silencio Silencio ⋅ ⋅ A)− − Silencio Silencio 2A− − k2A=J− − j⋅ ⋅ ε ε Silencio Silencio CCPR CCPR {displaystyle nabla (nabla cdot mathbf {A})-nabla ^{2}mathbf {A} k^{2}mathbf {A} =mathbf {J} -jomega varepsilon nabla Phi

Como solo hemos especificado el rizo de A, somos libres de definir la divergencia y elegir lo siguiente:

Silencio Silencio ⋅ ⋅ A=− − j⋅ ⋅ ε ε CCPR CCPR {displaystyle nabla cdot mathbf {A} =-jomega varepsilon Phi ,}

Silencio Silencio 2A+k2A=− − J{displaystyle nabla ^{2}mathbf {A} +k^{2}mathbf {A} =-Mathbf {J} ,}

A()r)=14π π ∫ ∫ J()r. . ) G()r,r. . )dr. . {displaystyle mathbf {A}(mathbf {r}={frac {1}{4pi}}int mathbf {J} (mathbf {r} ^{prime }) G.

G()r,r. . ){displaystyle G(mathbf {r}mathbf {r} {} {prime}}}

G()r,r. . )=e− − jkSilencior− − r. . SilencioSilencior− − r. . Silencio{displaystyle G(mathbf {r}mathbf {r}={prime })={frac {e^{-jkleft durablemathbf {r} - Mathbf {r} - ¿Qué? - Mathbf {r} .

Ahora podemos escribir lo que se llama la ecuación integral del campo eléctrico (EFIE), relacionando el campo eléctrico E con el potencial vectorial Un

E=− − j⋅ ⋅ μ μ A+1j⋅ ⋅ ε ε Silencio Silencio ()Silencio Silencio ⋅ ⋅ A){displaystyle mathbf {E} =-jomega mu mathbf {A} +{frac {1}{jomega varepsilon }nabla (nabla cdot mathbf {A}),}

Podemos representar además el EFIE en forma diádica como

E=− − j⋅ ⋅ μ μ ∫ ∫ Vdr. . G()r,r. . )⋅ ⋅ J()r. . ){displaystyle mathbf {E} =-jomega mu int ¿Por qué?

G()r,r. . ){displaystyle mathbf {G} (mathbf {r}mathbf {r} ^{prime }),}

G()r,r. . )=14π π [I+Silencio Silencio Silencio Silencio k2]G()r,r. . ){displaystyle mathbf {G} (mathbf {r}mathbf {r} ^{prime })={frac {1}{4pi}left[mathbfff] {I} +{frac {nabla nabla G(Mathbf {r} ^{prime })}

Interpretación

El EFIE describe un campo radiado E dado un conjunto de fuentes J y, como tal, es la ecuación fundamental utilizada en el análisis y diseño de antenas. Es una relación muy general que se puede utilizar para calcular el campo radiado de cualquier tipo de antena una vez que se conoce la distribución de corriente. El aspecto más importante del EFIE es que nos permite resolver el problema de radiación/dispersión en una región ilimitada, o cuya frontera se encuentra en el infinito. Para superficies cerradas, es posible utilizar la Ecuación Integral del Campo Magnético o la Ecuación Integral del Campo Combinado, las cuales dan como resultado un conjunto de ecuaciones con un número de condición mejorado en comparación con el EFIE. Sin embargo, el MFIE y el CFIE aún pueden contener resonancias.

En los problemas de dispersión, es deseable determinar un campo disperso desconocido Es{displaystyle E. que se debe a un campo de incidentes conocido Ei{displaystyle E_{i}. Desafortunadamente, el EFIE relaciona el dispersa sobre el terreno J, no el campo del incidente, así que no sabemos qué J Lo es. Este tipo de problema se puede resolver imponiendo las condiciones límite en el incidente y el campo disperso, permitiendo a uno escribir el EFIE en términos de Ei{displaystyle E_{i} y J solo. Una vez hecho esto, la ecuación integral puede ser resuelta por una técnica numérica apropiada a ecuaciones integrales como el método de los momentos.