Ecuación integral de Volterra

En matemáticas, las ecuaciones integrales de Volterra son un tipo especial de ecuaciones integrales. Se dividen en dos grupos denominados primer y segundo tipo.

Una ecuación lineal de Volterra del primer tipo es

${\displaystyle f(t)=\int _{a}{t}K(t,s)\,x(s)\,ds}$

donde f es una función dada y x es una función desconocida que debe resolverse. Una ecuación lineal de Volterra del segundo tipo es

${\displaystyle x(t)=f(t)+\int _{a}K(t,s)x(s)\,ds.}$

En la teoría de operadores y en la teoría de Fredholm, los operadores correspondientes se denominan operadores de Volterra. Un método útil para resolver este tipo de ecuaciones, el método de descomposición de Adomian, se debe a George Adomian.

Una ecuación integral lineal de Volterra es una ecuación de convolución si

${\displaystyle x(t)=f(t)+\int _{t_{0} {t}K(t-s)x(s)\,ds.}$

La función ${\displaystyle K}$ en la integral se llama el núcleo. Estas ecuaciones se pueden analizar y resolver mediante técnicas de transformación de Laplace.

Para un núcleo débilmente singular de la forma ${\displaystyle K(t,s)=(t^{2}-s^{2}$ con ${\displaystyle 0 .$, La ecuación integral Volterra del primer tipo puede transformarse convenientemente en una ecuación integral clásica de Abel.

Las ecuaciones integrales de Volterra fueron introducidas por Vito Volterra y luego estudiadas por Traian Lalescu en su tesis de 1908, Sur les équations de Volterra, escrita bajo la dirección de Émile Picard. En 1911, Lalescu escribió el primer libro sobre ecuaciones integrales.

Las ecuaciones integrales de Volterra encuentran aplicación en demografía como la ecuación integral de Lotka, el estudio de materiales viscoelásticos, en ciencia actuarial a través de la ecuación de renovación, y en mecánica de fluidos para describir el comportamiento del flujo cerca de límites de tamaño finito.

Conversión de la ecuación de Volterra de primer tipo a segunda clase

Una ecuación lineal Volterra del primer tipo siempre se puede reducir a una ecuación lineal Volterra del segundo tipo, asumiendo que ${\displaystyle K(t,t)\neq 0}$. Tomar el derivado del primer tipo de ecuación Volterra nos da:

$${\displaystyle {df \over {dt}=\int _{a}{t}{\partial {\f} {\f} {\f} {\f}}}}=\int} {\f} {\f} {\f}} {\f}}} {\f}}}}}}}}}}} {\f}}}}}}}}}}} {\ K \over {\partial t}x(s)ds+K(t,t)x(t)}$$

${\displaystyle K(t,t)}$

$${\displaystyle x(t)={1 \over {K(t,t)}{df \over {dt}-\int _{a}^{t}{1\over {K(t,t)}{\partial K \over {\partial t}x(s)ds}$$

${\textstyle {\widetilde {f}(t)={1\over {K(t,t)}{df \over {dt}} {}} {\f}} {\f}}}}} {\f}}}}}}} {\f}}$

${\textstyle {\widetilde {K}(t,s)=-{1 \over {K(t,t)}{\partial K \over {\partial t}}$

Solución numérica usando regla trapezoidal

Un método estándar para calcular la solución numérica de una ecuación lineal Volterra del segundo tipo es la regla trapezoidal, que para subintervalos igualmente espaciados ${\displaystyle \Delta x}$ es dado por:

$${\displaystyle \int _{a}{b}f(x)dx\approx {\Delta x \over {2}\left[f(x_{0})+2\sum ¿Por qué?$$

$${\displaystyle \int _{a} {t}K(t,s)x(s)ds\approx [Delta s \over {2}}\left [K(t,s_{0})x(s_{0})+2K(t,s_{1})x(s_{1})+\cdots +2K(t,s_{n-1})x(s_{n-1})+K(t,s_{n})x(s_}$$

${\displaystyle x_{i}=x(s_{i}}$

${\displaystyle F_{i}=f(t_{i}$

${\displaystyle K_{ij}=K(t_{i},s_{j}}$

$${\f}\x_{0}}\x_======0}\x_{1} {\c}}\\\cH0} Delta s \over {2}\left(K_{10}x_{0}+K_{11}x_{1}\right)\\x_{2} Delta s \over {2}\left(K_{20}x_{0}+2K_{21}x_{1}+K_{22}x_{2}\right)\\\ \\x_{n} Delta s \over {2}\left(K_{n0}x_{0}+2K_{n1}x_{1}+\cdots #2K_{n,n-1}x_{n-1}+K_{n}x_{n}\right)\end{aligned}}$$

$${\displaystyle x=f+Mx\implies x=(I-M)^{-1}f}$$

Aplicación: Teoría de la ruina

Un área donde aparecen ecuaciones integrales de Volterra está en teoría de la ruina, el estudio del riesgo de insolvencia en ciencia actuarial. El objetivo es cuantificar la probabilidad de ruina ${\displaystyle \psi (u)=\mathbb {} [\tau (u) wony]}$, donde ${\displaystyle u}$ es el superávit inicial y ${\displaystyle \tau (u)}$ es el momento de la ruina. En el modelo clásico de la teoría de la ruina, la posición de caja neta ${\displaystyle X_{t}$ es una función del superávit inicial, los ingresos de prima ganado a la tasa ${\displaystyle c}$, y reclamaciones salientes ${\displaystyle \xi }$:

$${\displaystyle X_{t}=u+ct-\sum ¿Qué? - ¿Qué? 0}$$

${\displaystyle N_{t}$

${\displaystyle \lambda }$

$${\displaystyle \psi (u)={\lambda \over {c}\int _{u}^{\infty }S(x)dx+{\lambda \over {c}\int}\int ¿Qué?$$

${\displaystyle S(\cdot)}$