Ecuación integral de Fredholm

En matemáticas, la ecuación integral de Fredholm es una ecuación integral cuya solución da lugar a la teoría de Fredholm, el estudio de los núcleos de Fredholm y los operadores de Fredholm. La ecuación integral fue estudiada por Ivar Fredholm. Un método útil para resolver este tipo de ecuaciones, el método de descomposición de Adomian, se debe a George Adomian.

Ecuación de primer tipo

Una ecuación de Fredholm es una ecuación integral en la que el término que contiene la función kernel (definida a continuación) tiene constantes como límites de integración. Una forma estrechamente relacionada es la ecuación integral de Volterra que tiene límites integrales variables.

Una ecuación de Fredholm no homogénea del primer tipo se escribe como

y el problema es, dada la función del núcleo continuo K{displaystyle K} y la función g{displaystyle g}, para encontrar la función f{displaystyle f}.

Un caso importante de estos tipos de ecuación es el caso cuando el núcleo es una función sólo de la diferencia de sus argumentos, es decir, K()t,s)=K()t− − s){displaystyle K(t,s)=K(t{-}s) }, y los límites de la integración son ±∞, entonces el lado derecho de la ecuación puede ser reescrito como una convolución de las funciones K{displaystyle K} y f{displaystyle f} y, por tanto, formalmente, la solución es dada por

f()s)=F⋅ ⋅ − − 1[Ft[g()t)]()⋅ ⋅ )Ft[K()t)]()⋅ ⋅ )]=∫ ∫ − − JUEGO JUEGO JUEGO JUEGO Ft[g()t)]()⋅ ⋅ )Ft[K()t)]()⋅ ⋅ )e2π π i⋅ ⋅ sd⋅ ⋅ {fnK} {fnMitcal} {fnK} {fnMitcal} {cHFF} {cHFF} {cHFF} {cHFF}} {cHFF} {cHFF} {cHFF}}cH00}}cH00}cH00} {cH00}cH00}cH00} {cH00}}cH00}cH00}cH00}cH00} {cH00}cH00}cH00}cH00}cH00}cH00}cH00}cH00}}}}}}cH00}cH00}cH00}cH00}cH00} {cH00}cH00}cH00}cH00}cH00} {cH00}cH00}cH00}cH00}}}cH00}

Donde Ft{fnMicrosoft Sans} y F⋅ ⋅ − − 1{displaystyle {máthcal}_{mega. son los transformados directos e inversos Fourier, respectivamente. Este caso no se incluiría típicamente bajo el paraguas de las ecuaciones integrales de Fredholm, un nombre que generalmente se reserva para cuando el operador integral define a un operador compacto (los operadores de convoluciones en grupos no-compactados no son completos, ya que, en general, el espectro del operador de la convolución con K{displaystyle K} contiene el rango de FK{displaystyle {fnMithcal} {}} {fnK}}} {fnK}}} {fnK}}} {fnK}}}} {fnK}}}}}}} {fnK}}}}}} {f}}}, que suele ser un conjunto no contable, mientras que los operadores compactos tienen espectros discretos contables).

Ecuación de segundo tipo

Una ecuación de Fredholm no homogénea del segundo tipo está dada como

Dado el núcleo K()t,s){displaystyle K(t,s)}, y la función f()t){displaystyle f(t)}, el problema es típicamente encontrar la función φ φ ()t){displaystyle varphi (t)}.

Un enfoque estándar para resolver esto es utilizar la iteración, lo que equivale al formalismo resolutivo; escrita como una serie, la solución se conoce como serie de Liouville-Neumann.

Teoría general

La teoría general subyacente a las ecuaciones de Fredholm se conoce como teoría de Fredholm. Uno de los principales resultados es que el núcleo K produce un operador compacto. La compacidad puede demostrarse invocando la equicontinuidad. Como operador, tiene una teoría espectral que puede entenderse en términos de un espectro discreto de valores propios que tienden a 0.

Aplicaciones

Las ecuaciones de Fredholm surgen de forma natural en la teoría del procesamiento de señales, por ejemplo, como el famoso problema de concentración espectral popularizado por David Slepian. Los operadores involucrados son los mismos que los filtros lineales. También surgen comúnmente en modelos lineales directos y problemas inversos. En física, la solución de tales ecuaciones integrales permite relacionar los espectros experimentales con varias distribuciones subyacentes, por ejemplo, la distribución de masa de polímeros en una masa fundida polimérica. o la distribución de los tiempos de relajación en el sistema. Además, las ecuaciones integrales de Fredholm también surgen en problemas de mecánica de fluidos que involucran interacciones hidrodinámicas cerca de interfaces elásticas de tamaño finito.

Una aplicación específica de la ecuación de Fredholm es la generación de imágenes fotorrealistas en gráficos por computadora, en las que la ecuación de Fredholm se utiliza para modelar el transporte de luz desde las fuentes de luz virtuales hasta el plano de la imagen. La ecuación de Fredholm a menudo se denomina ecuación de representación en este contexto.