Ecuación integral

En matemáticas, las ecuaciones integrales son ecuaciones en las que una función desconocida aparece bajo un signo integral. En notación matemática, las ecuaciones integrales pueden expresarse de la forma:

$${displaystyle f(x_{1},x_{2},x_{3},x_{n};u(x_{1},x_{2},x_{3},...,x_{n});I^{1}(u),I^{2}(u),I^{3}(u),...$$

${displaystyle I^{i}(u)}$

$${displaystyle f(x_{1},x_{2},x_{3},x_{n};u(x_{1},x_{2},x_{3},...,x_{n});D^{1}(u),D^{2}(u),D^{3}(u),...$$

${displaystyle D^{i}(u)}$

Clasificación y descripción general

Existen varios métodos de clasificación para ecuaciones integrales. Algunas clasificaciones estándar incluyen distinciones entre lineal y no lineal; homogéneo y no homogéneo; Fredholm y Volterra; primer orden, segundo orden y tercer orden; y ecuaciones integrales singulares y regulares. Estas distinciones suelen basarse en alguna propiedad fundamental, como la consideración de la linealidad de la ecuación o la homogeneidad de la ecuación. Estos comentarios se concretan a través de las siguientes definiciones y ejemplos:

Linealidad

Lineal: Una ecuación integral es lineal si la función desconocida u(x) y sus integrales aparecen lineales en la ecuación. Por tanto, un ejemplo de ecuación lineal sería:

$${displaystyle u(x)=f(x)+int _{alpha (x)}{beta (x)}K(x,t)cdot u(t)dt}$$

No linear: Una ecuación integral no es lineal si la función desconocida u(x) o cualquiera de sus integrales aparecen no lineales en la ecuación. Por lo tanto, ejemplos de ecuaciones no lineales sería la ecuación anterior si sustituimos u(t) con ${displaystyle u^{2}(x),,,cos(u(x)),,{text{or },e^{u(x)}}$, tales como:

$${displaystyle u(x)=f(x)+int _{alpha (x)}{beta (x)}K(x,t)cdot u^{2}(t)dt}$$

• Ecuaciones integrales no lineales Volterra del segundo tipo que tienen la forma general: ${displaystyle u(x)=f(x)+lambda int _{a}^{x}K(x,t),F(x,t,u(t)),dt,}$ Donde F es una función conocida.
• Las ecuaciones integrales no lineales de Fredholm del segundo tipo que tienen la forma general: ${displaystyle f(x)=F(x,int _{a}K(x,y,f(x),f(y)),dy)}$.
• Un tipo especial de ecuaciones integrales no lineales de Fredholm del segundo tipo es dado por la forma: ${displaystyle f(x)=g(x)+int _{a}K(x,y,f(x),f(y)),dy}$, que tiene las dos subclases especiales:
  • Ecuación de Urysohn: ${displaystyle f(x)=g(x)+int _{a}{b}k(x,y,f(y)),dy}$.
  • Ecuación de Hammerstein: ${displaystyle f(x)=g(x)+int _{a}{b}k(x,y),G(y,f(y)),dy}$.

Puede encontrar más información sobre la ecuación de Hammerstein y las diferentes versiones de la ecuación de Hammerstein en la sección de Hammerstein a continuación.

Ubicación de la ecuación desconocida

Primera clase: Una ecuación integral se llama una ecuación integral del primer tipo si la función desconocida aparece sólo bajo el signo integral. Un ejemplo sería: ${displaystyle f(x)=int _{a}K(x,t),u(t),dt}$.

De segundo tipo: Una ecuación integral se denomina ecuación integral de segundo tipo si la función desconocida también aparece fuera de la integral.

Tercer tipo: Una ecuación integral se llama ecuación integral de tercer tipo si es una ecuación integral lineal de la siguiente forma:

$${displaystyle g(t)u(t)+lambda int _{a}^{b}K(t,x)u(x),dx=f(t)}$$

Límites de la integración

Fredholm: Una ecuación integral se llama una ecuación integral de Fredholm si ambos de los límites de la integración en todas las integrales son fijos y constantes. Un ejemplo sería que la integral se toma sobre un subconjunto fijo ${displaystyle mathbb {R} {} {}} {fn}}$. Por lo tanto, los dos ejemplos siguientes son las ecuaciones de Fredholm:

• Ecuación de Fredholm del primer tipo: ${displaystyle f(x)=int _{a}K(x,t),u(t),dt}$.
• Ecuación de Fredholm del segundo tipo: ${displaystyle u(x)=f(x)+lambda int _{a}K(x,t),u(t),dt.}$

Tenga en cuenta que podemos expresar ecuaciones integrales como las anteriores también utilizando la notación de operador integral. Por ejemplo, podemos definir el operador integral de Fredholm como:

$${displaystyle ({mathcal {}y)(t):=int Y...$$

$${displaystyle y(t)=g(t)+lambda ({mathcal {F}y)(t). }$$

Volterra: Una ecuación integral se llama ecuación integral de Volterra si al menos uno de los límites de integración es una variable. Por tanto, la integral se toma en un dominio que varía con la variable de integración. Ejemplos de ecuaciones de Volterra serían:

• Volterrra ecuación integral del primer tipo: ${displaystyle f(x)=int _{a}K(x,t),u(t),dt}$
• Volterrra ecuación integral del segundo tipo: ${displaystyle u(x)=f(x)+lambda int _{a}^{x}K(x,t),u(t),dt.}$

Como con las ecuaciones de Fredholm, podemos adoptar de nuevo la notación del operador. Así, podemos definir el operador integral lineal Volterra ${displaystyle {mathcal}:C(I)to C(I)}$, como sigue:

$${displaystyle ({mathcal {V}phi)=int ¿Por qué?$$

${displaystyle tin I=[t_{0},T}$

${displaystyle D:={(t,s):0leq sleq tleq Tleq infty }$

$${displaystyle ({mathcal {}y)(t)=g(t)}$$

${displaystyle g(0)=0}$

${displaystyle y(t)}$

${displaystyle g(t)}$

${displaystyle Yo...$

${displaystyle tin I}$

$${displaystyle y(t)=g(t)+({mathcal {V}y)(t).}$$

$${displaystyle u(t,x)=g(t,x)+({mathcal {T}u)(t,x)}$$

${displaystyle xin Omega }$

${displaystyle Omega }$

${displaystyle mathbb {R}$

${displaystyle {mathcal {T}:C(Itimes Omega)to C(Itimes Omega)}$

$${displaystyle ({mathcal {}u)(t,x):=int _{0}int}int _{Omega }K(t,s,x,xi),G(u(s,xi)),dxi ,ds.}$$

${displaystyle [a,b]=I}$

Homogeneidad

Homogenous: Una ecuación integral se llama homogénea si la función conocida ${displaystyle f}$ es idéntico cero.

Inhomogenous: Una ecuación integral se llama inhomogeneous si la función conocida ${displaystyle f}$ No es cero.

Regularidad

Regular: Una ecuación integral se llama regular si las integrales utilizadas son todas integrales propias.

Singular o débilmente singular: Una ecuación integral se llama singular o débilmente singular si la integral es una integral impropia. Esto podría deberse a que al menos uno de los límites de integración es infinito o a que el núcleo se vuelve ilimitado, es decir, infinito, en al menos un punto del intervalo o dominio sobre el cual se está integrando.

Los ejemplos incluyen:

$${displaystyle F(lambda)=int _{-infty } {infty }e^{-ilambda x}u(x),dx}$$

$${displaystyle L[u(x)=int _{0}{infty }e^{-lambda x}u(x),dx}$$

${displaystyle K(x,t)=e^{-ilambda x}$

${displaystyle K(x,t)=e^{-lambda x}$

$${displaystyle x^{2}=int _{0}{x}{frac {1}{sqrt {x-t}},u(t),dt.}$$

$${displaystyle g(x)=int _{a}{x}{frac {f(y)}{sqrt - Sí.$$

Ecuaciones integro-diferenciales

Una ecuación integro-diferencial, como su nombre indica, combina operadores diferenciales e integrales en una sola ecuación. Hay muchas versiones que incluyen la ecuación integrodiferencial de Volterra y las ecuaciones de tipo retardo como se definen a continuación. Por ejemplo, utilizando el operador de Volterra como se definió anteriormente, la ecuación integrodiferencial de Volterra se puede escribir como:

$${displaystyle y'(t)=f(t,y(t))+(V_{alpha }y)(t)}$$

${displaystyle ({mathcal {}_{thetaalpha }y)}$

$${displaystyle ({mathcal {W}_{thetaalpha }y)(t):=int _{theta (t)} {t} {t-s)}cdot k_{2}(t,s,y'(s)),ds}$$

$${displaystyle y'(t)=f(t),y(theta (t)))+({mathcal {W}_{thetaalpha }y)(t).}$$

Ecuaciones integrales de Volterra

Teoremas de unicidad y existencia en 1D

La solución a una ecuación integral lineal de Volterra de primer tipo, dada por la ecuación:

$${displaystyle ({mathcal {}y)(t)=g(t)}$$

${displaystyle {mathcal}:C(I)to C(I)}$

$${displaystyle ({mathcal {V}phi)=int ¿Por qué?$$

${displaystyle tin I=[t_{0},T}$

${displaystyle D:={(t,s):0leq sleq tleq Tleq infty }$

La solución a una ecuación integral lineal de Volterra de segundo tipo, dada por la ecuación:

$${displaystyle y(t)=g(t)+({mathcal {V}y)}(t)}$$

Ecuaciones integrales de Volterra en ℝ2

Una ecuación integral de Volterra del segundo tipo se puede expresar de la siguiente manera:

$${displaystyle u(t,x)=g(t,x)+int _{0}{x}int _{0}^{y}K(x,xiy,eta),u(xieta),deta ,dxi }$$

${displaystyle (x,y)in Omega:=[0,X]times [0,Y]}$

${displaystyle gin C(Omega)}$

${displaystyle Kin C(D_{2}}$

${displaystyle D_{2}:={(x,xiy,eta):0leq xi leq xleq X,0leq eta leq yleq Sí.$

${displaystyle uin C(Omega)}$

$${displaystyle u(t,x)=g(t,x)+int _{0}{x}int _{0}^{y}R(x,xiy,eta),g(xieta),deta ,dxi }$$

${displaystyle R.$

Teoremas de unicidad y existencia de las ecuaciones de Fredhom-Volterra

Como se definió anteriormente, un VFIE tiene la forma:

$${displaystyle u(t,x)=g(t,x)+({mathcal {T}u)(t,x)}$$

${displaystyle xin Omega }$

${displaystyle Omega }$

${displaystyle mathbb {R}$

${displaystyle {mathcal {T}:C(Itimes Omega)to C(Itimes Omega)}$

$${displaystyle ({mathcal {}u)(t,x):=int _{0}int}int _{Omega }K(t,s,x,xi),G(u(s,xi)),dxi ,ds.}$$

${displaystyle K(t,s,x,xi)=k(t-s)H(x,xi)}$

Ecuaciones especiales de Volterra

Un tipo especial de ecuación de Volterra que se utiliza en diversas aplicaciones se define de la siguiente manera:

$${displaystyle y(t)=g(t)+(V_{alpha }y)(t)}$$

${displaystyle tin I=[t_{0},T}$

${displaystyle Yo...$

${displaystyle (V_{alpha }t)}$

$$[displaystyle (V_{alpha }t):=int _{t_{0}^{t}(t-s)^{-alpha }cdot k(t,s,y(s)),ds}$$

${displaystyle (0leq alpha.$

Conversión de IVP a ecuaciones integrales

En la siguiente sección, damos un ejemplo de cómo convertir un problema de valor inicial (IVP) en una ecuación integral. Existen múltiples motivaciones para hacerlo, entre ellas que las ecuaciones integrales a menudo pueden resolverse más fácilmente y son más adecuadas para demostrar teoremas de existencia y unicidad.

El siguiente ejemplo fue proporcionado por Wazwaz en las páginas 1 y 2 de su libro. Examinamos el PIV dado por la ecuación:

$${displaystyle u'(t)=2tu(t),,,,,,,,,xgeq 0}$$

$${displaystyle u(0)=1}$$

Si integramos ambos lados de la ecuación, obtenemos:

$${displaystyle int _{0}{x}u'(t)dt=int _{0}^{x}2tu(t)dt}$$

y por el teorema fundamental del cálculo, obtenemos:

$${displaystyle u(x)-u(0)=int _{0}{x}2tu(t)dt}$$

Reorganizando la ecuación anterior, obtenemos la ecuación integral:

$${displaystyle u(x)=1+int _{0}{x}2tu(t)dt}$$

que es una ecuación integral de Volterra de la forma:

$${displaystyle u(x)=f(x)+int _{alpha (x)}{beta (x)}K(x,t)cdot u(t)dt}$$

donde K(x,t) se llama núcleo y es igual a 2t, y f(x)=1.

Solución de series de potencias para ecuaciones integrales

En muchos casos, si el núcleo de la ecuación integral tiene la forma K(xt) y el La transformada de Mellin de K(t) existe, podemos encontrar la solución de la ecuación integral

${displaystyle g(s)=sint _{0}{infty }K(st),f(t),dt}$

en forma de serie de potencias

${displaystyle f(t)=sum _{n=0}{infty }{frac {fn} {fn} t} {n} {n}} {fn} {fn} {fn} {fn}} {fn}}} {fn}}}} {fn}}} {fn}}}}} {n}}} {n}}}} {n}}}}}}}}}}}}} {n}}}}}}}}}}} {n} {n}}}}}} {n}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}} {n}}}} {}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}} {}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}$

dónde

${displaystyle g(s)=sum _{n=0}{infty }a_{n}s^{-n},qquad M(n+1)=int ¿Qué?$

son la transformación Z de la función g (s), y M(n + 1) es el Transformada de Mellin del Kernel.

Solución numérica

Vale la pena señalar que las ecuaciones integrales a menudo no tienen una solución analítica y deben resolverse numéricamente. Un ejemplo de esto es evaluar la ecuación integral del campo eléctrico (EFIE) o la ecuación integral del campo magnético (MFIE) sobre un objeto de forma arbitraria en un problema de dispersión electromagnética.

Un método para resolver numéricamente requiere discretizar variables y reemplazar la integral por una regla de cuadratura

${displaystyle sum _{j=1}{n}w_{j}Kleft(s_{i},t_{j}right)u(t_{j})=f(s_{i}),qquad i=0,1,dotsn.}$

Entonces tenemos un sistema con n ecuaciones y n variables. Resolviéndolo obtenemos el valor de las variables n

${displaystyle u(t_{0}),u(t_{1}),dotsu(t_{n}). }$

Ecuaciones integrales como generalización de ecuaciones de valores propios

Ciertas ecuaciones integrales lineales homogéneas pueden verse como el límite continuo de las ecuaciones de valores propios. Usando notación de índice, una ecuación de valores propios se puede escribir como

${displaystyle sum ¿Qué? V_{i}$

donde M = [M_i,j] es una matriz, < span class="texhtml">v es uno de sus vectores propios y λ es el valor propio asociado.

Tomando el límite continuo, es decir, reemplazando los índices discretos i y j con variables continuas x y estilo y, produce

${displaystyle int K(x,y),varphi (y),dy=lambda ,varphi (x),}$

donde la suma sobre j ha sido reemplazada por una integral sobre y y la matriz M y el vector v han sido reemplazados por el kernel K(x, y) y la función propia φ(y). (Los límites de la integral son fijos, de manera análoga a los límites de la suma sobre j.) Esto da una ecuación de Fredholm lineal homogénea del segundo tipo.

En general, K(x, y) puede ser una distribución, más que una función en sentido estricto. Si la distribución K tiene soporte solo en el punto x = y, entonces la ecuación integral se reduce a una ecuación de función propia diferencial.

En general, las ecuaciones integrales de Volterra y Fredholm pueden surgir de una única ecuación diferencial, dependiendo de qué tipo de condiciones se aplican en el límite del dominio de su solución.

Ecuaciones integrales de Wiener-Hopf

$${displaystyle y(t)=lambda x(t)+int _{0}{infty }k(t-s),x(s),ds,qquad 0leq t madeinfty.}$$

Ecuaciones de Hammerstein

Una ecuación de Hammerstein es una ecuación integral de Volterra no lineal de primer tipo de la forma:

$${displaystyle g(t)=int _{0}K(t,s),G(s,y(s)),ds.}$$

$${displaystyle G(t,y(t))=g_{1}(t)-int _{0}^{t}K_{1}(t,s),G(s,y(s)$$

$${fnK},,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,, ¿Qué? }$$

$${displaystyle ({mathcal {H}y)(t):=int _{0}K(t,s),G(s,y(s),ds}$$

${displaystyle G:Itimes mathbb {R} to mathbb {R}$

$${displaystyle y(t)=g(t)+({mathcal {H}y)}(t)}$$

$${displaystyle G(s,y)=y+H(s,y)}$$

$${displaystyle y(t)=g(t)+({mathcal {H}}y)=g(t)+int _{0}^{t}K(t,s)[y(s)+H(s,y(s)],ds}$$

También podemos escribir la ecuación de Hammerstein usando un operador diferente llamado el operador Niemytzki, o operador de sustitución, ${displaystyle {fn}$ definido como sigue:

$${displaystyle ({mathcal {N}phi)(t):=G(t,phi (t)}$$

Aplicaciones

Las ecuaciones integrales son importantes en muchas aplicaciones. Los problemas en los que se encuentran ecuaciones integrales incluyen la transferencia radiativa y la oscilación de una cuerda, membrana o eje. Los problemas de oscilación también se pueden resolver como ecuaciones diferenciales.

• Ciencias actuariales (teoría real)
• Electromagnética computacional
  • Boundary element method
• Problemas inversos
  • Marchenko ecuación (transforma de dispersión inversa)
• Opciones de fijación bajo salto-diiffusión
• Transferencia radiactiva
• Viscoelasticidad
• mecánicos fluidos