Ecuación funcional

En matemáticas, a ecuación funcionales, en el sentido más amplio, una ecuación en la que una o varias funciones aparecen como desconocidas. Por lo tanto, ecuaciones diferenciales y ecuaciones integrales son ecuaciones funcionales. Sin embargo, a menudo se utiliza un significado más restringido, donde se utiliza un ecuación funcional es una ecuación que relaciona varios valores de la misma función. Por ejemplo, las funciones de logaritmo se caracterizan esencialmente por el ecuación funcional logarítmica log⁡ ⁡ ()xSí.)=log⁡ ⁡ ()x)+log⁡ ⁡ ()Sí.).{displaystyle log(xy)=log(x)+log(y). }

Si el dominio de la función desconocida se supone que es el número natural, la función se ve generalmente como una secuencia, y, en este caso, una ecuación funcional (en el significado más estrecho) se llama una relación de recurrencia. Así el término ecuación funcional se utiliza principalmente para funciones reales y funciones complejas. Además, a menudo se asume una condición de suavidad para las soluciones, ya que sin tal condición, la mayoría de las ecuaciones funcionales tienen soluciones muy irregulares. Por ejemplo, la función gamma es una función que satisface la ecuación funcional f()x+1)=xf()x){displaystyle f(x+1)=xf(x)} y el valor inicial f()1)=1.{displaystyle f(1)=1.} Hay muchas funciones que satisfacen estas condiciones, pero la función gamma es la única que es meromorfa en todo el plano complejo, y logarítmicamente convexa para x real y positivo (Teorema de Bohr-Mollerup).

Ejemplos

• Las relaciones de repetición se pueden ver como ecuaciones funcionales en funciones sobre los números enteros o naturales, en las que las diferencias entre los índices de términos se pueden ver como una aplicación del operador de cambio. Por ejemplo, la relación de recurrencia que define los números Fibonacci, Fn=Fn− − 1+Fn− − 2{displaystyle F_{n}=F_{n-1}+F_{n-2}, donde F0=0{displaystyle F_{0}=0} y F1=1{displaystyle F_{1}=1}

• f()x+P)=f()x){displaystyle f(x+P)=f(x)}, que caracteriza las funciones periódicas

• f()x)=f()− − x){displaystyle f(x)=f(-x)}, que caracteriza las funciones uniformes, y también f()x)=− − f()− − x){displaystyle f(x)=-f(-x)}, que caracteriza las funciones extrañas

• f()f()x))=g()x){displaystyle f(f(x)=g(x)}, que caracteriza las raíces cuadradas funcionales de la función g

• f()x+Sí.)=f()x)+f()Sí.){displaystyle f(x+y)=f(x)+f(y),!} (La ecuación funcional de Cauchy), satisfecha por mapas lineales. La ecuación puede, dependiendo del axioma de elección, también tener otras soluciones patológicas no lineales, cuya existencia puede ser probada con base Hamel para los números reales
• f()x+Sí.)=f()x)f()Sí.),{displaystyle f(x+y)=f(x)f(y),,!} satisfecho con todas las funciones exponenciales. Como la ecuación funcional aditiva de Cauchy, esto también puede tener soluciones patológicas y discontinuas
• f()xSí.)=f()x)+f()Sí.){displaystyle f(xy)=f(x)+f(y),!}, satisfecho por todas las funciones logarítmicas y, sobre argumentos coprime integer, funciones aditivas
• f()xSí.)=f()x)f()Sí.){displaystyle f(xy)=f(x)f(y),!}, satisfecho por todas las funciones de poder y, sobre los argumentos de coprime entero, funciones multiplicativas
• f()x+Sí.)+f()x− − Sí.)=2[f()x)+f()Sí.)]{displaystyle f(x+y)+f(x-y)=2[f(x)+f(y)],!} (ecuación cuadrada o ley paralela)
• f()()x+Sí.)/2)=()f()x)+f()Sí.))/2{displaystyle f(x+y)/2)=(f(x)+f(y))/2,!} (Ecuación funcional de Jenny)
• g()x+Sí.)+g()x− − Sí.)=2[g()x)g()Sí.)]{displaystyle g(x+y)+g(x-y)=2(g(x)g(y)],!} (Ecuación funcional de Alembert)
• f()h()x))=h()x+1){displaystyle f(h(x)=h(x+1),!} (Ecuación de etiquetas)
• f()h()x))=cf()x){displaystyle f(h(x)=cf(x),!} (Ecuación de Schröder).
• f()h()x))=()f()x))c{displaystyle f(h(x)=(f(x)^{c},! (Ecuación de Böttcher).
• f()h()x))=h.()x)f()x){displaystyle f(h(x)=h'(x)f(x),!} (Ecuación de Julia).
• f()xSí.)=.. gl()x)hl()Sí.){displaystyle f(xy)=sum g_{l}(x)h_{l}(y),!} (Levi-Civita),
• f()x+Sí.)=f()x)g()Sí.)+f()Sí.)g()x){displaystyle f(x+y)=f(x)g(y)+f(y)g(x),!} (sine addition formula and hyperbolic sine addition formula),
• g()x+Sí.)=g()x)g()Sí.)− − f()Sí.)f()x){displaystyle g(x+y)=g(x)g(y)-f(x),!} (fórmula de adición de cocina),
• g()x+Sí.)=g()x)g()Sí.)+f()Sí.)f()x){displaystyle g(x+y)=g(x)g(y)+f(y)f(x),!} (Fórmula adicional cosina hiperbólica).
• Las leyes comunitarias y asociativas son ecuaciones funcionales. En su forma familiar, la ley asociativa se expresa escribiendo la operación binaria en notación de infijo,
  ()a∘ ∘ b)∘ ∘ c=a∘ ∘ ()b∘ ∘ c),{displaystyle (acirc b)circ c=acirco (bcirc c)~,}

  
  pero si escribimos f()a,b) en lugar de a:: b entonces la ley asociativa se parece más a una ecuación funcional convencional,
  f()f()a,b),c)=f()a,f()b,c)).{displaystyle f(f(a,b),c)=f(a,f(b,c)).,!}

  

• La ecuación funcional
  f()s)=2sπ π s− − 1pecado⁡ ⁡ ()π π s2).. ()1− − s)f()1− − s){displaystyle f(s)=2^{s}pi ^{s-1}sin left({frac {pi s}{2}}right)Gamma (1-s)f(1-s)}

  
  está satisfecho por la función Riemann zeta, como se ha demostrado aquí. La capital . denota la función gamma.

• La función gamma es la solución única del siguiente sistema de tres ecuaciones:
  • f()x)=f()x+1)x{displaystyle f(x)={f(x+1) over x}
  • f()Sí.)f()Sí.+12)=π π 22Sí.− − 1f()2Sí.){displaystyle f(y)fleft(y+{frac {1}{2}right)={frac {sqrt {pi} {2}{2y-1}}f(2y)}
  • f()z)f()1− − z)=π π pecado⁡ ⁡ ()π π z){displaystyle f(z)f(1-z)={pi over sin(pi z)}(Fórmula de reflexión de Euler)
• La ecuación funcional
  f()az+bcz+d)=()cz+d)kf()z){displaystyle fleft({az+b over cz+d}right)=(cz+d)^{k}f(z)}

  
  Donde a, b, c, d son enteros satisfactorios ad− − bc=1{displaystyle ad-bc=1}, es decir. SilencioabcdSilencio{displaystyle {begin{vmatrix}a ventajabc recurdend{vmatrix}} = 1, define f ser una forma modular de orden k.

Una característica que todos los ejemplos enumerados anteriormente tienen en común es que, en cada caso, dos o más funciones conocidas (a veces la multiplicación por una constante, a veces la suma de dos variables, a veces la función identidad) están dentro del argumento de las funciones desconocidas a resolver.

Cuando se trata de pedir todas soluciones, puede darse el caso de que se deban aplicar condiciones del análisis matemático; por ejemplo, en el caso de la ecuación de Cauchy mencionada anteriormente, las soluciones que son funciones continuas son las soluciones 'razonables' unos, mientras que se pueden construir otras soluciones que probablemente no tengan aplicación práctica (utilizando una base de Hamel para los números reales como espacio vectorial sobre los números racionales). El teorema de Bohr-Mollerup es otro ejemplo bien conocido.

Involuciones

Las involuciones se caracterizan por la ecuación funcional f()f()x))=x{displaystyle f(f(x)=x}. Estos aparecen en la ecuación funcional de Babbage (1820),

f()f()x))=1− − ()1− − x)=x.{displaystyle f(f(x)=1-(1-x)=x,}

Otras involuciones y soluciones de la ecuación incluyen

• f()x)=a− − x,{displaystyle f(x)=a-x,}
• f()x)=ax,{displaystyle f(x)={frac {a}{x},} y
• f()x)=b− − x1+cx,{displaystyle f(x)={frac {b-x}{1+cx}~}

que incluye los tres anteriores como casos especiales o límites.

Solución

Un método para resolver ecuaciones funcionales elementales es la sustitución.

Algunas soluciones a ecuaciones funcionales han explotado la sobreyectividad, la inyectividad, la imparidad y la uniformidad.

Algunas ecuaciones funcionales se han resuelto con el uso de ansatzes, inducción matemática.

Algunas clases de ecuaciones funcionales se pueden resolver mediante técnicas asistidas por computadora.

In dynamic programming a variety of successive approximation methods are used to solve Bellman 's functional equation, including methods based on fixed point iterations.