Ecuación diofántica

Encontrar todos los triángulos correctos con longitudes laterales enteros es equivalente a resolver la ecuación Diofantina a² + b² = c².

En matemáticas, una ecuación diofántica es una ecuación, normalmente una ecuación polinómica con dos o más incógnitas con coeficientes enteros, de modo que las únicas soluciones de interés son las enteras. Una ecuación diofántica lineal equivale a una constante la suma de dos o más monomios, cada uno de grado uno. Una ecuación diofántica exponencial es aquella en la que pueden aparecer incógnitas en los exponentes.

Problemas diofánticos tienen menos ecuaciones que incógnitas e implican encontrar números enteros que resuelvan simultáneamente todas las ecuaciones. Dado que tales sistemas de ecuaciones definen curvas algebraicas, superficies algebraicas o, de manera más general, conjuntos algebraicos, su estudio forma parte de la geometría algebraica que se denomina geometría diofántica.

La palabra Diofantino se refiere al matemático helenístico del siglo III, Diofanto de Alejandría, quien hizo un estudio de tales ecuaciones y fue uno de los primeros matemáticos en introducir el simbolismo en el álgebra. El estudio matemático de los problemas diofánticos que inició Diofanto se llama ahora análisis diofántico.

Si bien las ecuaciones individuales presentan una especie de rompecabezas y han sido consideradas a lo largo de la historia, la formulación de teorías generales de ecuaciones diofánticas (más allá del caso de ecuaciones lineales y cuadráticas) fue un logro del siglo XX.

Ejemplos

En las siguientes ecuaciones diofánticas, w, x, y y z son las incógnitas y las otras letras se dan constantes:

Ecuaciones diofánticas lineales

Una ecuación

La ecuación diofántica lineal más simple toma la forma ax + by = c, donde a, b y c son números enteros. Las soluciones se describen mediante el siguiente teorema:

Esta ecuación de Diofantina tiene una solución (donde) x y Sí. son enteros) si c es un múltiplo del mayor divisor común a y b. Además, si ()x, Sí.) es una solución, entonces las otras soluciones tienen la forma ()x + kv, Sí. − ku), Donde k es un entero arbitrario, y u y v son los cocientes de a y b (respectivamente) por el mayor divisor común a y b.

Prueba: Si d es este máximo común divisor, la identidad de Bézout afirma la existencia de números enteros e y f tales que ae + bf = d. Si c es un múltiplo de d, entonces c = dh para algún número entero h, y (eh, fh) es una solución. Por otro lado, para cada par de enteros x y y, el máximo común divisor d de a y b divide ax + por. Por lo tanto, si la ecuación tiene una solución, entonces c debe ser un múltiplo de d. Si a = ud y b = vd, entonces para cada solución (x, y), tenemos

a()x + kv) + b()Sí. − ku) ax + por + k()av − bu) ax + por + k()udv − vdu) ax + por,

mostrando que (x + kv, y − ku) es otra solución. Finalmente, dadas dos soluciones tales que ax₁ + by₁ = < i>ax₂ + by₂ = c, se deduce que < abarcan clase="texhtml">u(x₂ − x₁) + v(y₂ − y₁) = 0. Como u y v son coprimos, Euclid's lema muestra que v divide x₂ − < i>x₁, y por tanto existe un entero k tal que < abarcan clase="texhtml">x₂ − x₁ = kv< /span> y y₂ − y₁ = − ku. Por lo tanto, x₂ = x₁ + kv y y₂ = y₁ − < i>ku, que completa la prueba.

Teorema del resto chino

El teorema chino del resto describe una clase importante de sistemas de ecuaciones diofánticas lineales: sea n₁, …, n _k ser k enteros coprimos por parejas mayores que uno, a₁, …, a_k ser k enteros arbitrarios y N sea el producto n₁ ⋯ n_k. El teorema chino del resto afirma que el siguiente sistema diofántico lineal tiene exactamente una solución (x, x₁, …, x_k) tal que 0 ≤ x < N, y que las demás soluciones se obtienen sumando a x un múltiplo de N:

${fnMicrosoft Sans Serif} \x=a_{k}+n_{k},x_{k}end{aligned}}$

Sistema de ecuaciones diofánticas lineales

De forma más general, todo sistema de ecuaciones diofánticas lineales puede resolverse calculando la forma normal de Smith de su matriz, de forma similar al uso de la forma escalonada por filas reducida para resolver un sistema de ecuaciones lineales sobre un campo. Usando notación matricial, todo sistema de ecuaciones diofánticas lineales puede escribirse

AX = C,

donde A es un m × n matriz de enteros, X es una n × 1< /span> matriz de columnas de incógnitas y C es una m × 1 columna matriz de enteros.

El cálculo de la forma normal de Smith de A proporciona dos matrices unimodulares (es decir, matrices que son invertibles sobre los enteros y tienen ±1 como determinante) U y V de dimensiones respectivas m × m y n × n, tal que la matriz

B =b_i,j= UAV

es tal que b_i,i no es cero para i no mayor que algún número entero k, y todas las demás entradas son cero. El sistema a resolver se puede reescribir como

B()V⁻¹X) UC.

Llamar a y_i las entradas de V⁻¹X y d_i los de D = UC, esto lleva al sistema

b_i,iSí._i = d_i para 1 ≤ i ≤ k,

0Sí._i = d_i para k. i ≤ n.

Este sistema es equivalente al dado en el siguiente sentido: Una matriz columna de enteros x es una solución del sistema dado si y solo si x = Vy para alguna matriz de columnas de enteros y< /i> tal que By = D.

Se sigue que el sistema tiene solución si y solo si b_i,i divide d_i por i ≤ k y d_{i< /i>} = 0 para i > k. Si se cumple esta condición, las soluciones del sistema dado son

${displaystyle V,{begin{bmatrix}{frac {d_{1}{b_{1,1}}\\vdots '{frac {d_{k}{b_{k}}\h_{k+1}\\vdots ¿Qué?$

donde h_k+1, …, h_n son números enteros arbitrarios.

La forma normal de Hermite también se puede utilizar para resolver sistemas de ecuaciones diofánticas lineales. Sin embargo, la forma normal de Hermite no proporciona directamente las soluciones; para obtener las soluciones de la forma normal de Hermite, uno tiene que resolver sucesivamente varias ecuaciones lineales. Sin embargo, Richard Zippel escribió que la forma normal de Smith "es algo más de lo que realmente se necesita para resolver ecuaciones diofánticas lineales". En lugar de reducir la ecuación a la forma diagonal, solo necesitamos hacerla triangular, lo que se llama la forma normal de Hermite. La forma normal de Hermite es sustancialmente más fácil de calcular que la forma normal de Smith."

La programación lineal entera equivale a encontrar algunas soluciones enteras (óptimas en cierto sentido) de sistemas lineales que también incluyen inecuaciones. Por lo tanto, los sistemas de ecuaciones diofánticas lineales son básicos en este contexto, y los libros de texto sobre programación entera suelen tratar los sistemas de ecuaciones diofánticas lineales.

Ecuaciones homogéneas

Una ecuación diofántica homogénea es una ecuación diofántica definida por un polinomio homogéneo. Una ecuación típica de este tipo es la ecuación del último teorema de Fermat

${displaystyle ¿Qué?$

Como un polinomio homogéneo en n indeterminados define una hipersuperficie en el espacio proyectivo de dimensión n − 1, resolver una ecuación diofántica homogénea es lo mismo que encontrar los puntos racionales de una hipersuperficie proyectiva.

Resolver una ecuación diofántica homogénea es generalmente un problema muy difícil, incluso en el caso no trivial más simple de tres indeterminados (en el caso de dos indeterminados, el problema es equivalente a probar si un número racional es el désima potencia de otro número racional). Un testigo de la dificultad del problema es el Último Teorema de Fermat (para d > 2, no hay solución entera del anterior ecuación), que necesitó más de tres siglos de matemáticos' esfuerzos antes de ser resuelto.

Para grados superiores a tres, la mayoría de los resultados conocidos son teoremas que afirman que no hay soluciones (por ejemplo, el último teorema de Fermat) o que el número de soluciones es finito (por ejemplo, el teorema de Falting).

Para el grado tres, existen métodos generales de resolución, que funcionan en casi todas las ecuaciones que se encuentran en la práctica, pero no se conoce ningún algoritmo que funcione para todas las ecuaciones cúbicas.

Grado dos

Las ecuaciones diofánticas homogéneas de grado dos son más fáciles de resolver. El método de resolución estándar procede en dos pasos. Primero hay que encontrar una solución, o probar que no hay solución. Cuando se ha encontrado una solución, se deducen todas las soluciones.

Para demostrar que no hay solución, se puede reducir la ecuación módulo p. Por ejemplo, la ecuación diofántica

${displaystyle x^{2}+y^{2}=3z^{2}$

no tiene ninguna otra solución que la solución trivial (0, 0, 0). De hecho, dividiendo x, Sí., y z por su mayor divisor común, uno puede suponer que son coprime. Los cuadrados modulo 4 son congruentes con 0 y 1. Así el lado izquierdo de la ecuación es congruente con 0, 1, o 2, y el lado derecho es congruente con 0 o 3. Así, la igualdad sólo podrá obtenerse si x, Sí., y z son todos, y por lo tanto no son coprime. Así la única solución es la solución trivial (0, 0, 0). Esto muestra que no hay punto racional en un círculo de radio ${displaystyle {sqrt {3}}}$ centrado en el origen.

Más generalmente, el principio de Hasse permite decidir si una ecuación diofántica homogénea de grado dos tiene una solución entera y calcular una solución si la hay.

Si se conoce una solución entera no trivial, se pueden producir todas las demás soluciones de la siguiente manera.

Interpretación geométrica

Dejar

${displaystyle Q(x_{1},ldotsx_{n}=0}$

ser una ecuación Diofantina homogénea, donde ${displaystyle Q(x_{1},ldotsx_{n}}$ es una forma cuadrática (es decir, un polinomio homogéneo del grado 2), con coeficientes enteros. El Solución trivial es la solución donde todo ${displaystyle x_{i}}$ son cero. Si ${displaystyle (a_{1},ldotsa_{n}}$ es una solución no-trivial entero de esta ecuación, entonces ${displaystyle left(a_{1},ldotsa_{n}right)}$ son las coordenadas homogéneas de un punto racional de la hipersuperficie definida por Q. Por el contrario, si ${textstyle left({frac {p_{1}{q}},ldots{frac {fn} {fn}}derecho)}$ son coordenadas homogéneas de un punto racional de esta hipersuperficie, donde ${displaystyle q,p_{1},ldotsp_{n}$ son enteros, entonces ${displaystyle left(p_{1},ldotsp_{n}right)}$ es una solución entero de la ecuación Diofantina. Además, las soluciones enteros que definen un punto racional dado son todas las secuencias de la forma

${displaystyle left(k{frac {p_{1} {d}}ldotsk{frac} {fn} {fn}}derecha]$

Donde k es cualquier entero, y d es el mayor divisor común del ${displaystyle P_{i}.$

Sigue que resolver la ecuación de Diofantina ${displaystyle Q(x_{1},ldotsx_{n}=0}$ se reduce completamente a encontrar los puntos racionales de la hipersuperficie proyectiva correspondiente.

Parametrización

Ahora ${displaystyle A=left(a_{1},ldotsa_{n}right)}$ ser una solución entero de la ecuación ${displaystyle Q(x_{1},ldotsx_{n}=0.}$ As Q es un polinomio del grado dos, una línea que pasa por A cruza la hipersuperficie en un solo otro punto, que es racional si y sólo si la línea es racional (es decir, si la línea se define por parámetros racionales). Esto permite parameter la hipersuperficie por las líneas que pasan por A, y los puntos racionales son los que se obtienen de líneas racionales, es decir, los que corresponden a valores racionales de los parámetros.

Más precisamente, se puede proceder de la siguiente manera.

Permutando los índices, uno puede suponer, sin pérdida de generalidad que ${displaystyle a_{n}neq 0.}$ Entonces uno puede pasar al caso de afine considerando la hipersuperficie de afine definida por

${displaystyle q(x_{1},ldotsx_{n-1}=Q(x_{1},ldotsx_{n-1},1),}$

que tiene el punto racional

${displaystyle R=(r_{1},ldotsr_{n-1}=left({frac} {a_{1}{a_{n}}}ldots{frac {a_{n-1} {a_{n}}right).}$

Si este punto racional es un punto singular, es decir, si todas las derivadas parciales son cero en R, todas las líneas que pasan por R están contenidos en la hipersuperficie, y uno tiene un cono. El cambio de variable

${displaystyle Y...$

no cambia los puntos racionales y transforma q en un polinomio homogéneo en < i>n − 1 variables. En este caso, el problema puede resolverse aplicando el método a una ecuación con menos variables.

Si el polinomio q es un producto de polinomios lineales (posiblemente con coeficientes no racionales), entonces define dos hiperplanos. La intersección de estos hiperplanos es un plano racional y contiene puntos singulares racionales. Este caso es, pues, una instancia especial del caso anterior.

En el caso general, consideremos la ecuación paramétrica de una línea que pasa por R:

${displaystyle {begin{aligned}x_{2} limit=r_{2}+t_{2}(x_{1}-r_{1})\;;vdots \x_{n-1} {n-1}+t_{n-1}(x_{1}-r_{1}).end{aligned}}}$

Sustituir esto q, uno consigue un polinomio de grado dos en ${displaystyle x_{1},}$ que es cero para ${displaystyle x_{1}=r_{1}$ Es así divisible por ${displaystyle x_{1}-r_{1},}$. El cociente es lineal en ${displaystyle x_{1},}$ y puede ser resuelto para expresar ${displaystyle x_{1}}$ como cociente de dos polinomios de grado en la mayoría de dos ${displaystyle t_{2},ldotst_{n-1}$ con coeficientes enteros:

${displaystyle {f_{1}(t_{2},ldotst_{n-1}}{f_{n} {n}(t_{2},ldotst_{n-1}}}}}}}$

Sustituir esto en las expresiones para ${displaystyle x_{2},ldotsx_{n-1}$ uno consigue, i = 1,... n − 1,

${displaystyle ###### {f_{i}(t_{2},ldotst_{n-1}}{f_{n}(t_{2},ldotst_{n-1}}}}}}}}} {f_ {n}$

Donde ${displaystyle f_{1},ldotsf_{n}$ son polinomios de grado en la mayoría de dos con coeficientes enteros.

Entonces, se puede volver al caso homogéneo. Sea, para i = 1, …, n,

${displaystyle ¿Por qué? {fnMicrosoft Sans {fnMicrosoft Sans Serif} {T_{n-1} {t_{1}}derecha), }$

ser la homogeneización de ${displaystyle F_{i}.$ Estos polinomios cuadráticos con coeficientes enteros forman una parametrización de la hipersuperficie proyectiva definida por Q:

${displaystyle {begin{aligned}x_{1} {=F_{1}(t_{1},ldotst_{n-1})\\;;;vdots \x_{n} {n}(t_{1},ldotst_{n-1}}}end{aligned}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}} {$

Un punto de la hipersuperficie proyectiva definida por Q es racional si y sólo si puede obtenerse de valores racionales ${displaystyle t_{1},ldotst_{n-1}$ As ${displaystyle F_{1},ldots F_{n}$ son polinomios homogéneos, el punto no se cambia si todos ${displaystyle T_{i}$ son multiplicados por el mismo número racional. Así, uno puede suponer que ${displaystyle t_{1},ldotst_{n-1}$ son enteros coprime. Se sigue que las soluciones enteros de la ecuación Diofantina son exactamente las secuencias ${displaystyle (x_{1},ldotsx_{n}}$ Donde, para i = 1,... n,

${displaystyle ¿Qué?$

Donde k es un entero, ${displaystyle t_{1},ldotst_{n-1}$ son enteros coprime, y d es el mayor divisor común del n enteros ${displaystyle F_{i}(t_{1},ldotst_{n-1}). }$

Uno podría esperar que la coprimalidad de la ${displaystyle T_{i}$ podría implicar que d = 1. Lamentablemente este no es el caso, como se muestra en la siguiente sección.

Ejemplo de ternas pitagóricas

La ecuación

${displaystyle x^{2}+y^{2}-z^{2}=0}$

es probablemente la primera ecuación diofántica homogénea de grado dos que se ha estudiado. Sus soluciones son las ternas pitagóricas. Esta es también la ecuación homogénea del círculo unitario. En esta sección, mostramos cómo el método anterior permite recuperar la fórmula de Euclides para generar ternas pitagóricas.

Para recuperar exactamente la fórmula de Euclides, partimos de la solución (−1, 0, 1), correspondiente al punto (−1, 0) del círculo unitario. Una línea que pasa por este punto puede ser parametrizada por su pendiente:

${displaystyle y=t(x+1).}$

Poniendo esto en la ecuación del círculo

${displaystyle x^{2}+y^{2}-1=0,}$

uno obtiene

${displaystyle x^{2}-1+t^{2}(x+1)^{2}=0.}$

Dividir por x + 1 da como resultado

${displaystyle x-1+t^{2}(x+1)=0,}$

que es fácil de resolver en x:

${displaystyle x={frac {1-t^{2}{1+t^{2}}}$

Sigue

${displaystyle y=t(x+1)={frac {2t}{1+t^{2}}}$

Homogeneizando como se describe arriba, se obtienen todas las soluciones como

${displaystyle {begin{aligned}x limit=k,{frac {fnMicrosoft Sans Serif} {2st} {d}\\fnMicrosoft Sans Serif} {fnMicrosoft Sans Serif}}$

donde k es cualquier número entero, s y t son enteros coprimos, y d es el máximo común divisor de los tres numeradores. De hecho, d = 2 si s y t son impares, y d = 1 si uno es impar y el otro es par.

Las ternas primitivas son las soluciones donde k = 1 y s > t > 0.

Esta descripción de las soluciones difiere ligeramente de la fórmula de Euclides porque la fórmula de Euclides considera solo las soluciones tales que x, y y z son todos positivos, y no distinguen entre dos triples que difieren por el intercambio de x y y,

Análisis diofántico

Preguntas típicas

Las preguntas que se hacen en el análisis diofántico incluyen:

1. ¿Hay alguna solución?
2. ¿Hay alguna solución más allá de algunas que se encuentran fácilmente por inspección?
3. ¿Hay soluciones finitas o infinitas?
4. ¿Pueden encontrarse todas las soluciones en teoría?
5. ¿Puede uno en la práctica calcular una lista completa de soluciones?

Estos problemas tradicionales a menudo quedaron sin resolver durante siglos, y los matemáticos gradualmente llegaron a comprender su profundidad (en algunos casos), en lugar de tratarlos como acertijos.

Problema típico

La información dada es que la edad de un padre es 1 menos que el doble de la de su hijo, y que los dígitos AB hacen la edad del padre se invierten en la edad del hijo (es decir, BA). Esto lleva a la ecuación 10A + B = 2(10B + A) − 1, por lo tanto 19B − 8A = 1. La inspección da el resultado A = 7, B = 3, y así AB equivale a 73 años y BA equivale a 37 años. Uno puede mostrar fácilmente que no hay ninguna otra solución con A y B< /span> números enteros positivos menores que 10.

Muchos acertijos conocidos en el campo de las matemáticas recreativas conducen a ecuaciones diofánticas. Los ejemplos incluyen el problema de la bala de cañón, el problema del ganado de Arquímedes y el mono y los cocos.

Siglos XVII y XVIII

En 1637, Pierre de Fermat escribió en el margen de su copia de Arithmetica: "Es imposible separar un cubo en dos cubos, o una cuarta potencia en dos cuartas potencias, o en general, cualquier potencia superior a la segunda en dos potencias iguales." Expresado en un lenguaje más moderno, "La ecuación a^{n< /i>} + bⁿ< /span> = cⁿ tiene no hay soluciones para ningún n superior a 2." Después de esto, escribió: "He descubierto una prueba verdaderamente maravillosa de esta proposición, que este margen es demasiado estrecho para contener". Sin embargo, tal prueba eludió a los matemáticos durante siglos y, como tal, su declaración se hizo famosa como el último teorema de Fermat. No fue hasta 1995 que fue probado por el matemático británico Andrew Wiles.

En 1657, Fermat intentó resolver la ecuación diofántica 61x² + 1 = y< sup>2 (resuelto por Brahmagupta más de 1000 años antes). La ecuación finalmente fue resuelta por Euler a principios del siglo XVIII, quien también resolvió otras ecuaciones diofánticas. La solución más pequeña de esta ecuación en números enteros positivos es x = 226153980, y = 1766319049 (ver método Chakravala).

El décimo problema de Hilbert

En 1900, David Hilbert propuso la solución de todas las ecuaciones diofánticas como el décimo de sus problemas fundamentales. En 1970, Yuri Matiyasevich lo resolvió negativamente, basándose en el trabajo de Julia Robinson, Martin Davis y Hilary Putnam para demostrar que no puede existir un algoritmo general para resolver todas las ecuaciones diofánticas.

Geometría diofántica

Como resultado, la geometría diofántica, que es la aplicación de técnicas de la geometría algebraica en este campo, ha seguido creciendo; dado que tratar ecuaciones arbitrarias es un callejón sin salida, la atención se dirige a las ecuaciones que también tienen un significado geométrico. La idea central de la geometría diofántica es la de un punto racional, es decir, una solución a una ecuación polinómica o un sistema de ecuaciones polinómicas, que es un vector en un campo prescrito K, cuando K no es algebraicamente cerrado.

Investigación moderna

Uno de los pocos enfoques generales es a través del principio de Hasse. El descenso infinito es el método tradicional y se ha llevado a cabo desde hace mucho tiempo.

La profundidad del estudio de las ecuaciones diofánticas generales se muestra mediante la caracterización de los conjuntos diofánticos como equivalentemente descritos como recursivamente enumerables. En otras palabras, el problema general del análisis diofántico está bendecido o maldecido con la universalidad, y en cualquier caso no es algo que pueda resolverse sino reexpresándolo en otros términos.

El campo de la aproximación diofántica trata los casos de desigualdades diofánticas. Aquí todavía se supone que las variables son integrales, pero algunos coeficientes pueden ser números irracionales, y el signo de igualdad se reemplaza por límites superior e inferior.

La pregunta más célebre en el campo, la conjetura conocida como el último teorema de Fermat, fue resuelta por Andrew Wiles, usando herramientas de la geometría algebraica desarrollada durante el siglo pasado en lugar de dentro de la teoría de números donde la conjetura fue originalmente formulado. Otros resultados importantes, como el teorema de Faltings, han eliminado viejas conjeturas.

Ecuaciones diofánticas infinitas

Un ejemplo de una ecuación diofántica infinita es:

n = a² + 2b² + 3c² + 4d² + 5e² + ⋯, que se puede expresar como "Cuántas maneras puede un entero dado n ser escrito como la suma de un cuadrado más dos veces un cuadrado más tres un cuadrado y así sucesivamente?" El número de formas que esto puede hacerse por cada uno n forma una secuencia entero. Las ecuaciones infinitas de Diofantina están relacionadas con las funciones de theta y las trazas dimensionales infinitas. Esta ecuación siempre tiene una solución para cualquier positivo n. Compare esto con:

n = a² + 4b² + 9c² + 16d² + 25e² + ⋯,

que no siempre tiene solución para n positivos.

Ecuaciones diofánticas exponenciales

Si una ecuación diofántica tiene como variable adicional o variables que aparecen como exponentes, es una ecuación diofántica exponencial. Los ejemplos incluyen la ecuación de Ramanujan-Nagell, 2ⁿ − 7 = x², y la ecuación de la conjetura de Fermat-Catalan y la conjetura de Beal, a^m + bⁿ = c^k con restricciones de desigualdad en los exponentes. No se dispone de una teoría general para tales ecuaciones; Se han abordado casos particulares como la conjetura de Catalan. Sin embargo, la mayoría se resuelven mediante métodos ad hoc como el teorema de Størmer o incluso prueba y error.