Ecuación diferencial parcial elíptica

Las ecuaciones diferenciales parciales lineales (PDE) de segundo orden se clasifican como elípticas, hiperbólicas o parabólicas. Cualquier PDE lineal de segundo orden en dos variables se puede escribir en la forma

${\displaystyle Au_{xx}+2Bu_{xy}+Cu_{yy}+Du_{x}+Eu_{y}+Fu+G=0,\,}$

Donde A, B, C, D, E, F, y G son funciones de x y Sí. y dónde ${\displaystyle ¿Por qué? #$, ${\displaystyle {\fnK} {\fnMicroc {\fnMicrosoft}}} {\fnK}}}$ y de manera similar para ${\displaystyle ¿Qué?$. Un PDE escrito en esta forma es elíptico si

${\displaystyle B^{2}-AC obtenidos0,}$

con esta convención de nombrar inspirado en la ecuación para un elipse plano. Ecuaciones con ${\displaystyle B^{2}-AC=0}$ se denominan parabólicos mientras que los con ${\displaystyle B^{2}-AC fiel0}$ son hiperbólicos.

Los ejemplos más simples de PDE elíptico son la ecuación Laplace, ${\displaystyle \Delta U=u_{xx}+u_{yy}=0}$, y la ecuación Poisson, ${\displaystyle \Delta u=u_{xx}+u_{yy}=f(x,y).}$ En cierto sentido, cualquier otro PDE elíptico en dos variables puede considerarse como una generalización de una de estas ecuaciones, ya que siempre se puede poner en la forma canónica

${\displaystyle U_{xx}+u_{yy}+{\text{ (lower-order terms)}=0}$

mediante un cambio de variables.

Comportamiento cualitativo

Las ecuaciones elípticas no tienen curvas características reales, curvas a lo largo de las cuales no es posible eliminar al menos un segundo derivado de ${\displaystyle u}$ de las condiciones del problema Cauchy. Dado que las curvas características son las únicas curvas a lo largo de las cuales las soluciones a ecuaciones diferenciales parciales con parámetros lisos pueden tener derivados discontinuas, las soluciones a ecuaciones elípticas no pueden tener derivados discontinuas en ningún lugar. Esto significa que las ecuaciones elípticas son adecuadas para describir estados de equilibrio, donde ya se han suavizado las discontinuidades. Por ejemplo, podemos obtener la ecuación de Laplace de la ecuación de calor ${\displaystyle U_{t}=\Delta u$ por configuración ${\displaystyle U_{t}=0}$. Esto significa que la ecuación de Laplace describe un estado constante de la ecuación de calor.

En las ecuaciones parabólicas e hiperbólicas, las características describen líneas a lo largo de las cuales viaja la información sobre los datos iniciales. Dado que las ecuaciones elípticas no tienen curvas características reales, no existe un sentido significativo de propagación de información para las ecuaciones elípticas. Esto hace que las ecuaciones elípticas sean más adecuadas para describir procesos estáticos que dinámicos.

Derivación de la forma canónica

Se deriva la forma canónica para ecuaciones elípticas en dos variables, ${\displaystyle U_{xx}+u_{xy}+u_{yy}+{\text{ (lower-order terms)}=0}$.

${\displaystyle \xi =\xi (x,y)}$ y ${\displaystyle \eta =\eta (x,y)}$.

Si ${\displaystyle u(\xi\eta)=u[\xi (x,y),\eta (x,y)}$, aplicar la regla de la cadena una vez

${\displaystyle ¿Por qué?$ y ${\displaystyle . ¿Qué? }\eta _{y}$,

una segunda aplicación da

${\displaystyle U_{xx}=u_{\xi \xi ^{2}_{x}+u_{\eta \eta ^{2}_{x}+2u_{\xi \eta }\xi _{x}\eta - ¿Por qué?$

${\displaystyle ¿Por qué? - ¿Qué? # ¿Qué? \eta ¿Qué? ¿Qué? ¿Por qué? }\eta _{yyy}$ y

${\displaystyle U_{xy}=u_{\xi \xi }\xi _{x}\xi ¿Por qué? ¿Por qué? ################################################################################################################################################################################################################################################################ ¿Qué? ¿Por qué? - ¿Por qué? }\eta _{xy}$

Podemos reemplazar nuestro PDE en x y y con una ecuación equivalente en ${\displaystyle \xi }$ y ${\displaystyle \eta }$

${\displaystyle au_{\xi \xi }+2bu_{\xi \eta }+cu_{\eta \eta }{\text{ + ( términos de orden más bajo)}=0,\,}$

dónde

${\displaystyle a=A{\xi ¿Por qué? ¿Qué? ¿Qué?$

${\displaystyle b=2A\xi _{x}\eta _{x}+2B(\xi _{x}\eta ################################################################################################################################################################################################################################################################ ¿Qué? ¿Por qué? - ¿Qué?$ y

${\displaystyle c=A{\eta ¿Por qué? - ¿Qué? - Sí.$

Para transformar nuestro PDE en la forma canónica deseada, buscamos ${\displaystyle \xi }$ y ${\displaystyle \eta }$ tales que ${\displaystyle a=c}$ y ${\displaystyle b=0}$. Esto nos da el sistema de ecuaciones

${\displaystyle a-c=A({\xi _{x}{2}-{\eta ¿Por qué? ¿Por qué? ¿Qué? ¿Qué?$

${\displaystyle b=0=2A\xi _{x}\eta _{x}+2B(\xi _{x}\eta ################################################################################################################################################################################################################################################################ ¿Qué? ¿Por qué? - ¿Qué?$

Añadiendo ${\displaystyle i}$ tiempos la segunda ecuación a la primera ${\displaystyle \phi =\xi +i\eta }$ da la ecuación cuadrática

${\displaystyle A{\phi ¿Por qué? ¿Qué? ¿Qué?$

Desde el discriminante ${\displaystyle B^{2}-AC won0}$, esta ecuación tiene dos soluciones distintas,

${\displaystyle {\phi _{x}}},{\phi ¿Qué? {B\pm i{\sqrt} {}} {\f}} {\f}}}} {\f}}}} {\f}}}}} {\f}}}} {\f}}}}}} {\f}}}}}}}}} {\f}}}}}}}} {\f}}}}}}}}}}}}} {\$

que son conjugados complejos. Elegir cualquier solución, podemos resolver para ${\displaystyle \phi (x,y)}$, y recuperar ${\displaystyle \xi }$ y ${\displaystyle \eta }$ con las transformaciones ${\displaystyle \xi =\operatorname {Re} \phi }$ y ${\displaystyle \eta =\operatorname {Im} \phi }$. Desde ${\displaystyle \eta }$ y ${\displaystyle \xi }$ satisfacer ${\displaystyle a-c=0}$ y ${\displaystyle b=0}$, así con un cambio de variables de x y y a ${\displaystyle \eta }$ y ${\displaystyle \xi }$ transformará el PDE

${\displaystyle Au_{xx}+2Bu_{xy}+Cu_{yy}+Du_{x}+Eu_{y}+Fu+G=0,\,}$

en la forma canónica

${\displaystyle u_{\xi\xi\xi }+u_{\eta\eta }+{\text{ (texto más bajo)}}=0,}$

como desee.

En dimensiones superiores

Una ecuación diferencial parcial general de segundo orden en n variables toma la forma

${\displaystyle \sum - ¿Por qué? {\fnMicrosoft Sans Serif} x_{i}\partial {\fnMicrosoft Sans Serif}=0}$

Esta ecuación se considera elíptica si no existen superficies características, es decir, superficies a lo largo de las cuales no es posible eliminar al menos una segunda derivada de u de las condiciones del problema de Cauchy.

A diferencia del caso bidimensional, esta ecuación en general no puede reducirse a una forma canónica simple.