Ecuación diferencial lineal

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Ecuaciones diferenciales lineales respecto a la función desconocida y sus derivados

En matemáticas, una ecuación diferencial lineal es una ecuación diferencial que está definida por un polinomio lineal en la función desconocida y sus derivadas, es decir, una ecuación de la forma

{displaystyle a_{0}(x)y+a_{1}(x)y'+a_{2}(x)y''cdots +a_{n}(x)y^{(n)}=b(x)}

a 0 () x)

,...

a n () x)

b () x)

Sí.',..., Sí. () n)

Sí.

x

Esta ecuación es una ecuación diferencial ordinaria (EDO). Una ecuación diferencial lineal también puede ser una ecuación diferencial parcial lineal (PDE), si la función desconocida depende de varias variables y las derivadas que aparecen en la ecuación son derivadas parciales.

Una ecuación diferencial lineal o un sistema de ecuaciones lineales tal que las ecuaciones homogéneas asociadas tengan coeficientes constantes se pueden resolver mediante cuadratura, lo que significa que las soluciones se pueden expresar en términos de integrales. Esto también es válido para una ecuación lineal de orden uno, con coeficientes no constantes. Una ecuación de orden dos o superior con coeficientes no constantes no puede, en general, resolverse mediante cuadratura. Para el orden dos, el algoritmo de Kovacic permite decidir si existen soluciones en términos de integrales y calcularlas, si las hay.

Las soluciones de ecuaciones diferenciales lineales homogéneas con coeficientes polinomiales se denominan funciones holonómicas. Esta clase de funciones es estable en sumas, productos, diferenciación e integración y contiene muchas funciones habituales y funciones especiales como función exponencial, logaritmo, seno, coseno, funciones trigonométricas inversas, función de error, funciones de Bessel y funciones hipergeométricas. Su representación mediante la ecuación diferencial definitoria y las condiciones iniciales permite realizar algorítmicas (en estas funciones) la mayoría de las operaciones de cálculo, como el cálculo de antiderivadas, límites, expansión asintótica y evaluación numérica con cualquier precisión, con un límite de error certificado.

Terminología básica

El orden más alto de derivación que aparece en una ecuación diferencial (lineal) es el orden de la ecuación. El término $b (x)$ , que no depende de la función desconocida y sus derivadas, a veces se denomina término constante de la ecuación (por analogía con las ecuaciones algebraicas), incluso cuando este término sea una función no constante. Si el término constante es la función cero, entonces se dice que la ecuación diferencial es homogénea, ya que es un polinomio homogéneo en la función desconocida y sus derivadas. La ecuación que se obtiene reemplazando, en una ecuación diferencial lineal, el término constante por la función cero es la ecuación homogénea asociada. Una ecuación diferencial tiene coeficientes constantes si solo aparecen funciones constantes como coeficientes en la ecuación homogénea asociada.

Una solución de una ecuación diferencial es una función que satisface la ecuación. Las soluciones de una ecuación diferencial lineal homogénea forman un espacio vectorial. En el caso ordinario, este espacio vectorial tiene una dimensión finita, igual al orden de la ecuación. Todas las soluciones de una ecuación diferencial lineal se encuentran agregando a una solución particular cualquier solución de la ecuación homogénea asociada.

Operador diferencial lineal

Un operador diferencial básico de orden $i$ es un mapeo que mapea cualquier función diferenciable a su con derivada, o, en el caso de varias variables, a una de sus derivadas parciales de orden $i$ . Se denota comúnmente

{displaystyle {frac {d^{i}}{dx^{i}}}}

{displaystyle {frac {partial ^{i_{1}+cdots +i_{n}}}{partial x_{1}^{i_{1}}cdots partial x_{n}^{i_{n}}}}}

n

Un operador diferencial lineal (abreviado, en este artículo, como operador lineal o, simplemente, operador) es una combinación lineal de operadores diferenciales, con funciones diferenciables como coeficientes. En el caso univariante, un operador lineal tiene, por tanto, la forma

{displaystyle a_{0}(x)+a_{1}(x){frac {d}{dx}}+cdots +a_{n}(x){frac {d^{n}}{dx^{n}}},}

a 0 () x),... a n () x)

n

orden

a n () x)

Sea $L$ un operador diferencial lineal. La aplicación de $L$ a una función $f$ normalmente se denota $Lf$ o $Lf (X)$ , si es necesario especificar la variable (esto no debe confundirse con una multiplicación). Un operador diferencial lineal es un operador lineal, ya que asigna sumas a sumas y el producto por un escalar al producto por el mismo escalar.

Como la suma de dos operadores lineales es un operador lineal, así como el producto (a la izquierda) de un operador lineal por una función diferenciable, los operadores diferenciales lineales forman un espacio vectorial sobre los números reales o los números complejos. (dependiendo de la naturaleza de las funciones que se consideren). También forman un módulo libre sobre el anillo de funciones diferenciables.

Did you mean:

The language of creators allows a compact writing for differential equations: of

{displaystyle L=a_{0}(x)+a_{1}(x){frac {d}{dx}}+cdots +a_{n}(x){frac {d^{n}}{dx^{n}}},}

{displaystyle a_{0}(x)y+a_{1}(x)y'+a_{2}(x)y''+cdots +a_{n}(x)y^{(n)}=b(x)}

{displaystyle Ly=b(x).}

Puede haber varias variantes de esta notación; en particular la variable de diferenciación puede aparecer explícitamente o no en $y$ y en la mano derecha y de la ecuación, como $Ly (x) = b (x)$ o $Ly = b$ .

El núcleo de un operador diferencial lineal es su núcleo como mapeo lineal, es decir, el espacio vectorial de las soluciones de la ecuación diferencial (homogénea) $Ly = 0$ .

En el caso de un operador diferencial ordinario de orden $n$ , el teorema de existencia de Carathéodory implica que, en condiciones muy En condiciones suaves, el núcleo de $L$ es un espacio vectorial de dimensión $n$ , y que las soluciones de la ecuación $Ly (x) = b (x)$ tiene la forma

{displaystyle S_{0}(x)+c_{1}S_{1}(x)+cdots +c_{n}S_{n}(x),}

c 1,... c n

I

b, a 0,... a n

I

k

Silencio a n () x) Silencio k

x

I

Ecuación homogénea con coeficientes constantes

Did you mean:

A homogeneous linear differential equation has constant coefficients if it has the form

{displaystyle a_{0}y+a_{1}y'+a_{2}y''+cdots +a_{n}y^{(n)}=0}

a 1,... a n

El estudio de estas ecuaciones diferenciales con coeficientes constantes se remonta a Leonhard Euler, quien introdujo la función exponencial $e x$ , que es la solución única de la ecuación $f' = f$ tal que f(0) = 1. De ello se deduce que la $n$ ésima derivada de $e cx$ es $c n e cx$ , y esto permite resolver ecuaciones diferenciales lineales homogéneas con bastante facilidad.

Dejar

{displaystyle a_{0}y+a_{1}y'+a_{2}y''+cdots +a_{n}y^{(n)}=0}

a 0,... a n

Buscar soluciones de esta ecuación que tengan la forma $e αx$ es equivalente a buscando las constantes $α$ tales que

{displaystyle a_{0}e^{alpha x}+a_{1}alpha e^{alpha x}+a_{2}alpha ^{2}e^{alpha x}+cdots +a_{n}alpha ^{n}e^{alpha x}=0.}

e αx

α

característica polinomial

{displaystyle a_{0}+a_{1}t+a_{2}t^{2}+cdots +a_{n}t^{n}}

{displaystyle a_{0}+a_{1}t+a_{2}t^{2}+cdots +a_{n}t^{n}=0.}

Cuando estas raíces son todas distintas, uno tiene $n$ soluciones distintas que no son necesariamente reales, incluso si los coeficientes de las las ecuaciones son reales. Se puede demostrar que estas soluciones son linealmente independientes, considerando el determinante de Vandermonde de los valores de estas soluciones en $x = 0,..., n - 1$ . Juntos forman la base del espacio vectorial de soluciones de la ecuación diferencial (es decir, el núcleo del operador diferencial).

Ejemplo

{displaystyle y''''-2y'''+2y''-2y'+y=0}

tiene la ecuación característica

{displaystyle z^{4}-2z^{3}+2z^{2}-2z+1=0.}

Esto tiene ceros,

i

- i

, y

1

(multiplicidad 2). Así pues, la base de la solución es

{displaystyle e^{ix},;e^{-ix},;e^{x},;xe^{x}.}

Por lo tanto, una base real de solución

{displaystyle cos x,;sin x,;e^{x},;xe^{x}.}

En el caso en que el polinomio característico tenga solo raíces simples, lo anterior proporciona una base completa del espacio vectorial de soluciones. En el caso de raíces múltiples, se necesitan soluciones más linealmente independientes para tener una base. Estos tienen la forma

{displaystyle x^{k}e^{alpha x},}

k

α

m

k . m

α

m

P () t) t - α) m

m

{textstyle {frac {d}{dx}}-alpha }

P

{displaystyle left({frac {d}{dx}}-alpha right)left(x^{k}e^{alpha x}right)=kx^{k-1}e^{alpha x},}

y así uno consigue cero después $k + 1$ aplicación de ${textstyle {frac {d}{dx}}-alpha }$ .

Como, según el teorema fundamental del álgebra, la suma de las multiplicidades de las raíces de un polinomio es igual al grado del polinomio, el número de soluciones anteriores es igual al orden de la ecuación diferencial, y estas soluciones forman una base de el espacio vectorial de las soluciones.

En el caso común donde los coeficientes de la ecuación son reales, es generalmente más conveniente tener una base de las soluciones que consisten en funciones de valor real. Esa base puede obtenerse de la base anterior señalando que, si $a + ib$ es una raíz del polinomio característico, entonces $a - ib$ es también una raíz, de la misma multiplicidad. Así se obtiene una base real usando la fórmula de Euler, y reemplazando ${displaystyle x^{k}e^{(a+ib)x}}$ y ${displaystyle x^{k}e^{(a-ib)x}}$ por ${displaystyle x^{k}e^{ax}cos(bx)}$ y ${displaystyle x^{k}e^{ax}sin(bx)}$ .

Caso de segundo orden

Se puede escribir una ecuación diferencial lineal homogénea de segundo orden

{displaystyle y''+ay'+by=0,}

{displaystyle r^{2}+ar+b.}

Si $a$ y $b$ son reales, existen tres casos para las soluciones, dependiendo del discriminante $D = a 2 - 4 b$ . En los tres casos, la solución general depende de dos constantes arbitrarias $c 1$ y $c 2$ .

Si $D ■ 0$ , el polinomio característico tiene dos raíces reales distintas $α$ , y $β$ . En este caso, la solución general es ${displaystyle c_{1}e^{alpha x}+c_{2}e^{beta x}.}$
Si $D = 0$ , el polinomio característico tiene una raíz doble $- a /2$ , y la solución general es ${displaystyle (c_{1}+c_{2}x)e^{-ax/2}.}$
Si $D 0$ , el polinomio característico tiene dos complejas raíces conjugadas $α \pm βi$ , y la solución general es ${displaystyle c_{1}e^{(alpha +beta i)x}+c_{2}e^{(alpha -beta i)x},}$ que puede ser reescrito en términos reales, usando la fórmula de Euler como ${displaystyle e^{alpha x}(c_{1}cos(beta x)+c_{2}sin(beta x)).}$

Encontrar la solución $y (x)$ que satisfaga $y (0) = d 1$ y $y'(0) = d 2$ , se equiparan los valores de la solución general anterior en $0$ y su derivada allí con $d 1$ y $d 2$ , respectivamente. Esto da como resultado un sistema lineal de dos ecuaciones lineales con las dos incógnitas $c 1$ y $c 2$ . Resolver este sistema da la solución al llamado problema de Cauchy, en el que se especifican los valores en $0$ para la solución del DEQ y su derivada.

Ecuación no homogénea con coeficientes constantes

Se puede escribir una ecuación no homogénea de orden $n$ con coeficientes constantes

{displaystyle y^{(n)}(x)+a_{1}y^{(n-1)}(x)+cdots +a_{n-1}y'(x)+a_{n}y(x)=f(x),}

a 1,... a n

f

x

Sí.

() x)

Existen varios métodos para resolver dicha ecuación. El mejor método depende de la naturaleza de la función $f$ que hace que la ecuación no sea homogénea. Si $f$ es una combinación lineal de funciones exponenciales y sinusoidales, entonces se puede utilizar la fórmula de respuesta exponencial. Si, de manera más general, $f$ es una combinación lineal de funciones de la forma $x n e ax$ , $x n cos(ax)$ y $x n sin(ax)$ , donde $n$ es un entero no negativo y $a$ una constante (que no tienen por qué ser iguales en cada término), entonces se podrá utilizar el método de coeficientes indeterminados. Aún más general, el método aniquilador se aplica cuando $f$ satisface una ecuación diferencial lineal homogénea, típicamente, una función holonómica.

El método más general es la variación de constantes, que se presenta aquí.

La solución general de la ecuación homogénea asociada

{displaystyle y^{(n)}+a_{1}y^{(n-1)}+cdots +a_{n-1}y'+a_{n}y=0}

{displaystyle y=u_{1}y_{1}+cdots +u_{n}y_{n},}

() Sí. 1,... Sí. n)

u 1,... u n

u 1,... u n

Sí.

{displaystyle {begin{aligned}0&=u'_{1}y_{1}+u'_{2}y_{2}+cdots +u'_{n}y_{n}\0&=u'_{1}y'_{1}+u'_{2}y'_{2}+cdots +u'_{n}y'_{n}\&;;vdots \0&=u'_{1}y_{1}^{(n-2)}+u'_{2}y_{2}^{(n-2)}+cdots +u'_{n}y_{n}^{(n-2)},end{aligned}}}

{displaystyle y^{(i)}=u_{1}y_{1}^{(i)}+cdots +u_{n}y_{n}^{(i)}}

i = 1,... n - 1

{displaystyle y^{(n)}=u_{1}y_{1}^{(n)}+cdots +u_{n}y_{n}^{(n)}+u'_{1}y_{1}^{(n-1)}+u'_{2}y_{2}^{(n-1)}+cdots +u'_{n}y_{n}^{(n-1)}.}

Reemplazando en la ecuación original $y$ y sus derivadas por estas expresiones, y aprovechando el hecho de que $y 1,..., y n$ son soluciones de la ecuación homogénea original, se obtiene

{displaystyle f=u'_{1}y_{1}^{(n-1)}+cdots +u'_{n}y_{n}^{(n-1)}.}

Esta ecuación y las anteriores con $0$ como lado izquierdo forman un sistema de $n$ ecuaciones lineales en $u' 1,..., u' n$ cuyos coeficientes son funciones conocidas ( $f$ , el $y i$ , y sus derivados). Este sistema se puede resolver mediante cualquier método de álgebra lineal. El cálculo de las antiderivadas da $u 1,..., u n$ , y luego $y = u 1 y 1 + \dots + u n y n$ .

Como las antiderivadas se definen hasta la suma de una constante, se encuentra nuevamente que la solución general de la ecuación no homogénea es la suma de una solución arbitraria y la solución general de la ecuación homogénea asociada.

Ecuación de primer orden con coeficientes variables

Did you mean:

The general form of a linear ordinary differential equation of order 1, after dividing out the coefficient of y′(x), is:

{displaystyle y'(x)=f(x)y(x)+g(x).}

Si la ecuación es homogénea, es decir, $g (x) = 0$ , se puede reescribir e integrar:

{displaystyle {frac {y'}{y}}=f,qquad log y=k+F,}

k

{displaystyle F=textstyle int f,dx}

f

{displaystyle y=ce^{F},}

c = e k

Para la ecuación general no homogénea, se puede multiplicar por el recíproco $e - F$ de una solución de la ecuación homogénea. Esto da

{displaystyle y'e^{-F}-yfe^{-F}=ge^{-F}.}

{displaystyle -fe^{-F}={tfrac {d}{dx}}left(e^{-F}right),}

{displaystyle {frac {d}{dx}}left(ye^{-F}right)=ge^{-F}.}

{displaystyle y=ce^{F}+e^{F}int ge^{-F}dx,}

c

F

f

Ejemplo

Resolver la ecuación

{displaystyle y'(x)+{frac {y(x)}{x}}=3x.}

{displaystyle y'(x)+{frac {y(x)}{x}}=0}

{displaystyle {frac {y'}{y}}=-{frac {1}{x}},}

{displaystyle y={frac {c}{x}}.}

Dividir la ecuación original por una de estas soluciones da

{displaystyle xy'+y=3x^{2}.}

{displaystyle (xy)'=3x^{2},}

{displaystyle xy=x^{3}+c,}

{displaystyle y(x)=x^{2}+c/x.}

{displaystyle y(1)=alpha}

{displaystyle y(x)=x^{2}+{frac {alpha -1}{x}}.}

Sistema de ecuaciones diferenciales lineales

Un sistema de ecuaciones diferenciales lineales consta de varias ecuaciones diferenciales lineales que involucran varias funciones desconocidas. En general, se restringe el estudio a sistemas tales que el número de funciones desconocidas es igual al número de ecuaciones.

Una ecuación diferencial lineal arbitraria y un sistema de tales ecuaciones se pueden convertir en un sistema de primer orden de ecuaciones diferenciales lineales añadiendo variables para todos pero los derivados de mayor orden. Eso es, si ${displaystyle y',y'',ldotsy^{(k)}}$ aparece en una ecuación, uno puede reemplazarlos por nuevas funciones desconocidas ${displaystyle y_{1},ldotsy_{k}}$ que debe satisfacer las ecuaciones ${displaystyle y'=y_{1}}$ y ${displaystyle y_{i}'=y_{i+1},}$ para $i = 1,... k - 1$ .

Un sistema lineal de primer orden, que tiene $n$ funciones desconocidas y $n$ normalmente se pueden resolver ecuaciones diferenciales para las derivadas de las funciones desconocidas. Si no es así, se trata de un sistema algebraico diferencial y ésta es una teoría diferente. Por lo tanto, los sistemas que aquí se consideran tienen la forma

{displaystyle {begin{aligned}y_{1}'(x)&=b_{1}(x)+a_{1,1}(x)y_{1}+cdots +a_{1,n}(x)y_{n}\[1ex]&;;vdots \[1ex]y_{n}'(x)&=b_{n}(x)+a_{n,1}(x)y_{1}+cdots +a_{n,n}(x)y_{n},end{aligned}}}

b_{n}

a_{i,j}

x

() x)

{displaystyle mathbf {y} '=Amathbf {y} +mathbf {b}.}

Did you mean:

The solving method is similar to that of a single first order linear differential equations, but with complications stemming from non commutativity of matrix multiplication.

Dejar

{displaystyle mathbf {u} '=Amathbf {u}.}

n

U(x)

n = 1

A

A

{displaystyle textstyle B=int Adx}

U

B

{displaystyle {frac {d}{dx}}exp(B)=Aexp(B).}

Conociendo la matriz $U$ , la solución general de la ecuación no homogénea es

{displaystyle mathbf {y} (x)=U(x)mathbf {y_{0}} +U(x)int U^{-1}(x)mathbf {b} (x),dx,}

{displaystyle mathbf {y_{0}} }

Si las condiciones iniciales se dan como

{displaystyle mathbf {y} (x_{0})=mathbf {y} _{0},}

{displaystyle mathbf {y} (x)=U(x)U^{-1}(x_{0})mathbf {y_{0}} +U(x)int _{x_{0}}^{x}U^{-1}(t)mathbf {b} (t),dt.}

Orden superior con coeficientes variables

Una ecuación lineal ordinaria de orden uno con coeficientes variables se puede resolver mediante cuadratura, lo que significa que las soluciones se pueden expresar en términos de integrales. Este no es el caso para el pedido de al menos dos. Este es el principal resultado de la teoría de Picard-Vessiot, iniciada por Émile Picard y Ernest Vessiot, y cuyos desarrollos recientes se denominan teoría diferencial de Galois.

La imposibilidad de resolver por cuadratura se puede comparar con el teorema de Abel-Ruffini, que establece que una ecuación algebraica de grado al menos cinco no puede, en general, resolverse mediante radicales. Esta analogía se extiende a los métodos de prueba y motiva la denominación de teoría diferencial de Galois.

De manera similar al caso algebraico, la teoría permite decidir qué ecuaciones pueden resolverse por cuadratura y, si es posible, resolverlas. Sin embargo, para ambas teorías, los cálculos necesarios son extremadamente difíciles, incluso con las computadoras más potentes.

Did you mean:

Nevertheless, the case of order two with rational coefficients has been completely solved by Kovacic 's algorithm.

Ecuación de Cauchy-Euler

Las ecuaciones de Cauchy-Euler son ejemplos de ecuaciones de cualquier orden, con coeficientes variables, que se pueden resolver explícitamente. Estas son las ecuaciones de la forma

{displaystyle x^{n}y^{(n)}(x)+a_{n-1}x^{n-1}y^{(n-1)}(x)+cdots +a_{0}y(x)=0,}

{displaystyle a_{0},ldotsa_{n-1}}

Funciones holonómicas

Una función holonómica, también llamada función D-finita, es una función que es una solución de una ecuación diferencial lineal homogénea con coeficientes polinomiales.

La mayoría de las funciones que se consideran comúnmente en matemáticas son holonómicas o cocientes de funciones holonómicas. De hecho, las funciones holonómicas incluyen polinomios, funciones algebraicas, logaritmos, funciones exponenciales, senos, cosenos, senos hiperbólicos, coseno hiperbólico, funciones trigonométricas inversas e hiperbólicas inversas, y muchas funciones especiales como las funciones de Bessel y las funciones hipergeométricas.

Las funciones holonómicas tienen varias propiedades de cierre; en particular, las sumas, productos, derivadas e integrales de funciones holonómicas son holonómicas. Además, estas propiedades de cierre son efectivas, en el sentido de que existen algoritmos para calcular la ecuación diferencial del resultado de cualquiera de estas operaciones, conociendo las ecuaciones diferenciales de la entrada.

Did you mean:

Usefulness of the concept of holonomic functions results of Zeilberger 's theorem, which follows.

Una secuencia holonómica es una secuencia de números que puede generarse mediante una relación de recurrencia con coeficientes polinomiales. Los coeficientes de la serie de Taylor en un punto de una función holonómica forman una secuencia holonómica. Por el contrario, si la secuencia de los coeficientes de una serie de potencias es holonómica, entonces la serie define una función holonómica (incluso si el radio de convergencia es cero). Existen algoritmos eficientes para ambas conversiones, es decir, para calcular la relación de recurrencia a partir de la ecuación diferencial, y viceversa.

De ello se deduce que, si uno representa (en una computadora) funciones holonómicas mediante sus ecuaciones diferenciales definitorias y condiciones iniciales, la mayoría de las operaciones de cálculo se pueden realizar automáticamente en estas funciones, como la derivada, la integral indefinida y la integral definida, y el cálculo rápido de Taylor. series (gracias a la relación de recurrencia de sus coeficientes), evaluación con alta precisión con límite certificado del error de aproximación, límites, localización de singularidades, comportamiento asintótico en singularidades infinitas y cercanas, prueba de identidades, etc.

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