Ecuación diferencial exacta

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Tipo de ecuación diferencial sujeto a una metodología de solución particular

En matemáticas, una ecuación diferencial exacta o una ecuación diferencial total es un cierto tipo de ecuación diferencial ordinaria que se usa ampliamente en física e ingeniería.

Definición

Dado un subconjunto simplemente conectado y abierto D de ${displaystyle mathbb {R} ^{2}}$ y dos funciones I y J que son continuos D, una ecuación diferencial ordinaria de primera orden implícita de la forma

{displaystyle I(x,y),dx+J(x,y),dy=0,}

se llama ecuación diferencial exacta si existe una función continuamente diferenciable F, llamada función potencial, de modo que

{displaystyle {frac {partial F}{partial x}}=I}

{displaystyle {frac {partial F}{partial y}}=J.}

Una ecuación exacta también se puede presentar de la siguiente forma:

{displaystyle I(x,y)+J(x,y),y'(x)=0}

donde las mismas limitaciones I y J aplicar para que la ecuación diferencial sea exacta.

La nomenclatura de "ecuación diferencial exacta" se refiere a la diferencia exacta de una función. Para una función ${displaystyle F(x_{0},x_{1},...,x_{n-1},x_{n})}$ , el derivado exacto o total con respecto a ${displaystyle x_{0}}$ es dado por

{displaystyle {frac {dF}{dx_{0}}}={frac {partial F}{partial x_{0}}}+sum _{i=1}^{n}{frac {partial F}{partial x_{i}}}{frac {dx_{i}}{dx_{0}}}.}

Ejemplo

La función ${displaystyle F:mathbb {R} ^{2}to mathbb {R} }$ dado por

{displaystyle F(x,y)={frac {1}{2}}(x^{2}+y^{2})+c}

es una función potencial para la ecuación diferencial

{displaystyle x,dx+y,dy=0.,}

Ecuaciones diferenciales exactas de primer orden

Identificar ecuaciones diferenciales exactas de primer orden

Dejar las funciones ${textstyle M}$ , ${textstyle N}$ , ${textstyle M_{y}}$ , y ${textstyle N_{x}}$ , donde los subscriptos denotan el derivado parcial con respecto a la variable relativa, ser continuo en la región $<math alttext="{textstyle R:alpha <x<betagamma <yR:α α c)xc)β β ,γ γ c)Sí.c)δ δ {textstyle R:alpha Identificadobetagamma <img alt="{textstyle R:alpha <x<betagamma <y$ . Entonces la ecuación diferencial

${displaystyle M(x,y)+N(x,y){frac {dy}{dx}}=0}$

es exacta si y sólo si

${displaystyle M_{y}(x,y)=N_{x}(x,y)}$

Es decir, existe una función ${displaystyle psi (x,y)}$ , llamado a función potencial, tal que

${displaystyle psi _{x}(x,y)=M(x,y){text{ and }}psi _{y}(x,y)=N(x,y)}$

Entonces, en general:

${displaystyle M_{y}(x,y)=N_{x}(x,y)iff {begin{cases}exists psi (x,y)\psi _{x}(x,y)=M(x,y)\psi _{y}(x,y)=N(x,y)end{cases}}}$

Prueba

La prueba tiene dos partes.

Primero, supongamos que hay una función ${displaystyle psi (x,y)}$ tales que ${displaystyle psi _{x}(x,y)=M(x,y){text{ and }}psi _{y}(x,y)=N(x,y)}$

A continuación, sigue que ${displaystyle M_{y}(x,y)=psi _{xy}(x,y){text{ and }}N_{x}(x,y)=psi _{yx}(x,y)}$

Desde ${displaystyle M_{y}}$ y ${displaystyle N_{x}}$ son continuos, entonces ${displaystyle psi _{xy}}$ y ${displaystyle psi _{yx}}$ son también continuos que garantizan su igualdad.

La segunda parte de la prueba implica la construcción de ${displaystyle psi (x,y)}$ y también se puede utilizar como un procedimiento para resolver ecuaciones diferenciales exactas de primer orden. Supongamos que ${displaystyle M_{y}(x,y)=N_{x}(x,y)}$ y dejar que haya una función ${displaystyle psi (x,y)}$ para la cual ${displaystyle psi _{x}(x,y)=M(x,y){text{ and }}psi _{y}(x,y)=N(x,y)}$

Comience por integrar la primera ecuación con respecto a ${displaystyle x}$ . En la práctica, no importa si integra la primera o la segunda ecuación, siempre y cuando la integración se haga con respecto a la variable adecuada.

{displaystyle {frac {partial psi }{partial x}}(x,y)=M(x,y)}

{displaystyle psi (x,y)=int {M(x,y)dx}+h(y)}

{displaystyle psi (x,y)=Q(x,y)+h(y)}

Donde ${displaystyle Q(x,y)}$ es cualquier función diferenciable tal que ${displaystyle Q_{x}=M}$ . La función ${displaystyle h(y)}$ juega el papel de una constante de integración, pero en lugar de una constante, es función de ${displaystyle y}$ , desde ${displaystyle M}$ es una función de ambos ${displaystyle x}$ y ${displaystyle y}$ y sólo estamos integrando con respecto a ${displaystyle x}$ .

Ahora mostrar que siempre es posible encontrar un ${displaystyle h(y)}$ tales que ${displaystyle psi _{y}=N}$ .

{displaystyle psi (x,y)=Q(x,y)+h(y)}

Diferenciar ambas partes con respecto a ${displaystyle y}$ .

{displaystyle {frac {partial psi }{partial y}}(x,y)={frac {partial Q}{partial y}}(x,y)+h'(y)}

Establecer el resultado igual a ${displaystyle N}$ y resolver para ${displaystyle h'(y)}$ .

{displaystyle h'(y)=N(x,y)-{frac {partial Q}{partial y}}(x,y)}

Para determinar ${displaystyle h'(y)}$ de esta ecuación, el lado derecho debe depender sólo de ${displaystyle y}$ . Esto se puede probar mostrando que su derivado con respecto a ${displaystyle x}$ es siempre cero, así que diferencia el lado derecho con respecto a ${displaystyle x}$ .

{displaystyle {frac {partial N}{partial x}}(x,y)-{frac {partial }{partial x}}{frac {partial Q}{partial y}}(x,y)iff {frac {partial N}{partial x}}(x,y)-{frac {partial }{partial y}}{frac {partial Q}{partial x}}(x,y)}

Desde ${displaystyle Q_{x}=M}$ ,

{displaystyle {frac {partial N}{partial x}}(x,y)-{frac {partial M}{partial y}}(x,y)}

{displaystyle M_{y}(x,y)=N_{x}(x,y)}

Por lo tanto,

{displaystyle h'(y)=N(x,y)-{frac {partial Q}{partial y}}(x,y)}

{displaystyle h(y)=int {left(N(x,y)-{frac {partial Q}{partial y}}(x,y)right)dy}}

{displaystyle psi (x,y)=Q(x,y)+int {left(N(x,y)-{frac {partial Q}{partial y}}(x,y)right)dy}+C}

Y esto completa la prueba.

Soluciones a ecuaciones diferenciales exactas de primer orden

Ecuaciones diferenciales exactas de primer orden de la forma

{displaystyle M(x,y)+N(x,y){frac {dy}{dx}}=0}

se puede escribir en términos de la función potencial ${displaystyle psi (x,y)}$

{displaystyle {frac {partial psi }{partial x}}+{frac {partial psi }{partial y}}{frac {dy}{dx}}=0}

dónde

{displaystyle {begin{cases}psi _{x}(x,y)=M(x,y)\psi _{y}(x,y)=N(x,y)end{cases}}}

Esto equivale a tomar la diferencia exacta de ${displaystyle psi (x,y)}$ .

{displaystyle {frac {partial psi }{partial x}}+{frac {partial psi }{partial y}}{frac {dy}{dx}}=0iff {frac {d}{dx}}psi (x,y(x))=0}

Las soluciones de una ecuación diferencial exacta vienen dadas por

{displaystyle psi (x,y(x))=c}

y el problema se reduce a encontrar ${displaystyle psi (x,y)}$ .

Esto se puede hacer integrando las dos expresiones ${displaystyle M(x,y)dx}$ y ${displaystyle N(x,y)dy}$ y luego escribir cada término en las expresiones resultantes sólo una vez y resumirlas para conseguir ${displaystyle psi (x,y)}$ .

El razonamiento detrás de esto es el siguiente. Desde

{displaystyle {begin{cases}psi _{x}(x,y)=M(x,y)\psi _{y}(x,y)=N(x,y)end{cases}}}

sigue, integrando ambos lados, que

{displaystyle {begin{cases}psi (x,y)=int {M(x,y)dx}+h(y)=Q(x,y)+h(y)\psi (x,y)=int {N(x,y)dy}+g(x)=P(x,y)+g(x)end{cases}}}

Por lo tanto,

{displaystyle Q(x,y)+h(y)=P(x,y)+g(x)}

Donde ${displaystyle Q(x,y)}$ y ${displaystyle P(x,y)}$ son funciones diferentes tales que ${displaystyle Q_{x}=M}$ y ${displaystyle P_{y}=N}$ .

Para que esto sea verdad y para ambas partes resulte en la misma expresión exacta, es decir, ${displaystyle psi (x,y)}$ Entonces ${displaystyle h(y)}$ Debe que figura en la expresión ${displaystyle P(x,y)}$ porque no se puede contener dentro ${displaystyle g(x)}$ , ya que es enteramente una función ${displaystyle y}$ y no ${displaystyle x}$ y por lo tanto no se permite tener nada que ver con ${displaystyle x}$ . Por analogía, ${displaystyle g(x)}$ Debe que figura en la expresión ${displaystyle Q(x,y)}$ .

Ergo,

{displaystyle Q(x,y)=g(x)+f(x,y){text{ and }}P(x,y)=h(y)+d(x,y)}

para algunas expresiones ${displaystyle f(x,y)}$ y ${displaystyle d(x,y)}$ . Enchufar en la ecuación anterior, encontramos que

{displaystyle g(x)+f(x,y)+h(y)=h(y)+d(x,y)+g(x)Rightarrow f(x,y)=d(x,y)}

{displaystyle f(x,y)}

{displaystyle d(x,y)}

{displaystyle Q(x,y)=g(x)+f(x,y){text{ and }}P(x,y)=h(y)+f(x,y)}

Como ya mostramos eso

{displaystyle {begin{cases}psi (x,y)=Q(x,y)+h(y)\psi (x,y)=P(x,y)+g(x)end{cases}}}

se deduce que

{displaystyle psi (x,y)=g(x)+f(x,y)+h(y)}

Así que podemos construir ${displaystyle psi (x,y)}$ haciendo ${displaystyle int {M(x,y)dx}}$ y ${displaystyle int {N(x,y)dy}}$ y luego tomando los términos comunes que encontramos dentro de las dos expresiones resultantes (que sería ${displaystyle f(x,y)}$ ) y luego añadir los términos que se encuentran únicamente en cualquiera de ellos - ${displaystyle g(x)}$ y ${displaystyle h(y)}$ .

Ecuaciones diferenciales exactas de segundo orden

El concepto de ecuaciones diferenciales exactas se puede extender a ecuaciones de segundo orden. Considere comenzar con la ecuación exacta de primer orden:

{displaystyle Ileft(x,yright)+Jleft(x,yright){dy over dx}=0}

Desde ambas funciones ${displaystyle Ileft(x,yright)}$ , ${displaystyle Jleft(x,yright)}$ son funciones de dos variables, diferenciando implícitamente los rendimientos de la función multivariada

{displaystyle {dI over dx}+left({dJ over dx}right){dy over dx}+{d^{2}y over dx^{2}}left(Jleft(x,yright)right)=0}

Ampliar las derivadas totales da que

{displaystyle {dI over dx}={partial I over partial x}+{partial I over partial y}{dy over dx}}

y eso

{displaystyle {dJ over dx}={partial J over partial x}+{partial J over partial y}{dy over dx}}

Combinando el ${textstyle {dy over dx}}$ términos

{displaystyle {partial I over partial x}+{dy over dx}left({partial I over partial y}+{partial J over partial x}+{partial J over partial y}{dy over dx}right)+{d^{2}y over dx^{2}}left(Jleft(x,yright)right)=0}

Si la ecuación es exacta, entonces ${textstyle {partial J over partial x}={partial I over partial y}}$ . Adicionalmente, el derivado total de ${displaystyle Jleft(x,yright)}$ es igual a su derivado ordinario implícito ${textstyle {dJ over dx}}$ . Esto conduce a la ecuación reescrita

{displaystyle {partial I over partial x}+{dy over dx}left({partial J over partial x}+{dJ over dx}right)+{d^{2}y over dx^{2}}left(Jleft(x,yright)right)=0}

Ahora, supongamos que haya alguna ecuación diferencial de segundo orden

{displaystyle fleft(x,yright)+gleft(x,y,{dy over dx}right){dy over dx}+{d^{2}y over dx^{2}}left(Jleft(x,yright)right)=0}

Si ${displaystyle {partial J over partial x}={partial I over partial y}}$ para las ecuaciones diferenciales exactas, entonces

{displaystyle int left({partial I over partial y}right)dy=int left({partial J over partial x}right)dy}

{displaystyle int left({partial I over partial y}right)dy=int left({partial J over partial x}right)dy=Ileft(x,yright)-hleft(xright)}

Donde ${displaystyle hleft(xright)}$ es alguna función arbitraria sólo de ${displaystyle x}$ que fue diferenciado a cero al tomar el derivado parcial de ${displaystyle Ileft(x,yright)}$ con respecto a ${displaystyle y}$ . Aunque el signo en ${displaystyle hleft(xright)}$ podría ser positivo, es más intuitivo pensar en el resultado de la integral como ${displaystyle Ileft(x,yright)}$ que falta alguna función extra original ${displaystyle hleft(xright)}$ eso fue parcialmente diferenciado a cero.

A continuación, si

{displaystyle {dI over dx}={partial I over partial x}+{partial I over partial y}{dy over dx}}

entonces el término ${displaystyle {partial I over partial x}}$ debe ser una función solamente ${displaystyle x}$ y ${displaystyle y}$ , desde la diferenciación parcial con respecto a ${displaystyle x}$ espera ${displaystyle y}$ constantes y no producen ningún derivado de ${displaystyle y}$ . En la segunda ecuación de orden

{displaystyle fleft(x,yright)+gleft(x,y,{dy over dx}right){dy over dx}+{d^{2}y over dx^{2}}left(Jleft(x,yright)right)=0}

sólo el término ${displaystyle fleft(x,yright)}$ es un término puramente ${displaystyle x}$ y ${displaystyle y}$ . Vamos. ${displaystyle {partial I over partial x}=fleft(x,yright)}$ . Si ${displaystyle {partial I over partial x}=fleft(x,yright)}$ Entonces

{displaystyle fleft(x,yright)={dI over dx}-{partial I over partial y}{dy over dx}}

Desde el derivado total de ${displaystyle Ileft(x,yright)}$ con respecto a ${displaystyle x}$ es equivalente al derivado ordinario implícito ${displaystyle {dI over dx}}$ entonces

{displaystyle fleft(x,yright)+{partial I over partial y}{dy over dx}={dI over dx}={d over dx}left(Ileft(x,yright)-hleft(xright)right)+{dhleft(xright) over dx}}

Entonces,

{displaystyle {dhleft(xright) over dx}=fleft(x,yright)+{partial I over partial y}{dy over dx}-{d over dx}left(Ileft(x,yright)-hleft(xright)right)}

{displaystyle hleft(xright)=int left(fleft(x,yright)+{partial I over partial y}{dy over dx}-{d over dx}left(Ileft(x,yright)-hleft(xright)right)right)dx}

Así, la ecuación diferencial de segundo orden

{displaystyle fleft(x,yright)+gleft(x,y,{dy over dx}right){dy over dx}+{d^{2}y over dx^{2}}left(Jleft(x,yright)right)=0}

es exacto sólo si ${displaystyle gleft(x,y,{dy over dx}right)={dJ over dx}+{partial J over partial x}={dJ over dx}+{partial J over partial x}}$ y sólo si la expresión siguiente

{displaystyle int left(fleft(x,yright)+{partial I over partial y}{dy over dx}-{d over dx}left(Ileft(x,yright)-hleft(xright)right)right)dx=int left(fleft(x,yright)-{partial left(Ileft(x,yright)-hleft(xright)right) over partial x}right)dx}

es una función única ${displaystyle x}$ . Una vez ${displaystyle hleft(xright)}$ se calcula con su constante arbitraria, se añade a ${displaystyle Ileft(x,yright)-hleft(xright)}$ para hacer ${displaystyle Ileft(x,yright)}$ . Si la ecuación es exacta, entonces podemos reducir a la primera orden exacta forma que es solvable por el método habitual para las ecuaciones exactas de primer orden.

{displaystyle Ileft(x,yright)+Jleft(x,yright){dy over dx}=0}

Ahora, sin embargo, en la solución implícita final habrá una ${displaystyle C_{1}x}$ de la integración ${displaystyle hleft(xright)}$ con respecto a ${displaystyle x}$ dos veces más ${displaystyle C_{2}}$ , dos constantes arbitrarias como se espera de una ecuación de segundo orden.

Ejemplo

Dada la ecuación diferencial

{displaystyle left(1-x^{2}right)y''-4xy'-2y=0}

siempre se puede comprobar fácilmente por la exactitud examinando el ${displaystyle y''}$ termino. En este caso, tanto el derivado parcial como total de ${displaystyle 1-x^{2}}$ con respecto a ${displaystyle x}$ son ${displaystyle -2x}$ , así que su suma es ${displaystyle -4x}$ , que es exactamente el término delante de ${displaystyle y'}$ . Con una de las condiciones para la exactitud cumplida, se puede calcular que

{displaystyle int left(-2xright)dy=Ileft(x,yright)-hleft(xright)=-2xy}

Letting ${displaystyle fleft(x,yright)=-2y}$ Entonces

{displaystyle int left(-2y-2xy'-{d over dx}left(-2xyright)right)dx=int left(-2y-2xy'+2xy'+2yright)dx=int left(0right)dx=hleft(xright)}

Entonces, ${displaystyle hleft(xright)}$ es en realidad una función sólo de ${displaystyle x}$ y la ecuación diferencial de segundo orden es exacta. Por lo tanto, ${displaystyle hleft(xright)=C_{1}}$ y ${displaystyle Ileft(x,yright)=-2xy+C_{1}}$ . Reducción a un rendimiento exacto de primera orden

{displaystyle -2xy+C_{1}+left(1-x^{2}right)y'=0}

Integración ${displaystyle Ileft(x,yright)}$ con respecto a ${displaystyle x}$ rendimientos

{displaystyle -x^{2}y+C_{1}x+ileft(yright)=0}

Donde ${displaystyle ileft(yright)}$ es una función arbitraria ${displaystyle y}$ . Diferenciando con respecto a ${displaystyle y}$ da una ecuación correlacionando el derivado y el ${displaystyle y'}$ término.

{displaystyle -x^{2}+i'left(yright)=1-x^{2}}

Entonces, ${displaystyle ileft(yright)=y+C_{2}}$ y la solución implícita completa

{displaystyle C_{1}x+C_{2}+y-x^{2}y=0}

Resolver explícitamente ${displaystyle y}$ rendimientos

{displaystyle y={frac {C_{1}x+C_{2}}{1-x^{2}}}}

Ecuaciones diferenciales exactas de orden superior

Los conceptos de ecuaciones diferenciales exactas se pueden extender a cualquier orden. Comenzando con la ecuación exacta de segundo orden

{displaystyle {d^{2}y over dx^{2}}left(Jleft(x,yright)right)+{dy over dx}left({dJ over dx}+{partial J over partial x}right)+fleft(x,yright)=0}

Anteriormente se demostró que la ecuación se define de manera que

{displaystyle fleft(x,yright)={dhleft(xright) over dx}+{d over dx}left(Ileft(x,yright)-hleft(xright)right)-{partial J over partial x}{dy over dx}}

Diferenciación implícita de la ecuación de segundo orden exacta ${displaystyle n}$ los tiempos darán ${displaystyle left(n+2right)}$ ecuación diferencial orden con nuevas condiciones para la exactitud que se puede deducir fácilmente de la forma de la ecuación producida. Por ejemplo, diferenciar la ecuación diferencial de segundo orden arriba una vez para producir una ecuación exacta de tercer orden da la siguiente forma

{displaystyle {d^{3}y over dx^{3}}left(Jleft(x,yright)right)+{d^{2}y over dx^{2}}{dJ over dx}+{d^{2}y over dx^{2}}left({dJ over dx}+{partial J over partial x}right)+{dy over dx}left({d^{2}J over dx^{2}}+{d over dx}left({partial J over partial x}right)right)+{dfleft(x,yright) over dx}=0}

dónde

{displaystyle {dfleft(x,yright) over dx}={d^{2}hleft(xright) over dx^{2}}+{d^{2} over dx^{2}}left(Ileft(x,yright)-hleft(xright)right)-{d^{2}y over dx^{2}}{partial J over partial x}-{dy over dx}{d over dx}left({partial J over partial x}right)=Fleft(x,y,{dy over dx}right)}

y dónde ${displaystyle Fleft(x,y,{dy over dx}right)}$ es una función sólo de ${displaystyle x,y}$ y ${displaystyle {dy over dx}}$ . Combinando todos ${displaystyle {dy over dx}}$ y ${displaystyle {d^{2}y over dx^{2}}}$ términos que no vienen de ${displaystyle Fleft(x,y,{dy over dx}right)}$ da

{displaystyle {d^{3}y over dx^{3}}left(Jleft(x,yright)right)+{d^{2}y over dx^{2}}left(2{dJ over dx}+{partial J over partial x}right)+{dy over dx}left({d^{2}J over dx^{2}}+{d over dx}left({partial J over partial x}right)right)+Fleft(x,y,{dy over dx}right)=0}

Así, las tres condiciones para la exactitud de una ecuación diferencial de tercera orden son: ${displaystyle {d^{2}y over dx^{2}}}$ término debe ser ${displaystyle 2{dJ over dx}+{partial J over partial x}}$ , el ${displaystyle {dy over dx}}$ término debe ser ${displaystyle {d^{2}J over dx^{2}}+{d over dx}left({partial J over partial x}right)}$ y

{displaystyle Fleft(x,y,{dy over dx}right)-{d^{2} over dx^{2}}left(Ileft(x,yright)-hleft(xright)right)+{d^{2}y over dx^{2}}{partial J over partial x}+{dy over dx}{d over dx}left({partial J over partial x}right)}

debe ser una función única ${displaystyle x}$ .

Ejemplo

Considere la ecuación diferencial no lineal de tercer orden

{displaystyle yy'''+3y'y''+12x^{2}=0}

Si ${displaystyle Jleft(x,yright)=y}$ Entonces ${displaystyle y''left(2{dJ over dx}+{partial J over partial x}right)}$ es ${displaystyle 2y'y''}$ y ${displaystyle y'left({d^{2}J over dx^{2}}+{d over dx}left({partial J over partial x}right)right)=y'y''}$ que en conjunto suma ${displaystyle 3y'y''}$ . Afortunadamente, esto aparece en nuestra ecuación. Por la última condición de la exactitud,

{displaystyle Fleft(x,y,{dy over dx}right)-{d^{2} over dx^{2}}left(Ileft(x,yright)-hleft(xright)right)+{d^{2}y over dx^{2}}{partial J over partial x}+{dy over dx}{d over dx}left({partial J over partial x}right)=12x^{2}-0+0+0=12x^{2}}

que es de hecho una función solamente ${displaystyle x}$ . Entonces, la ecuación diferencial es exacta. Integrando dos rendimientos que ${displaystyle hleft(xright)=x^{4}+C_{1}x+C_{2}=Ileft(x,yright)}$ . Reescribir la ecuación como una ecuación diferencial exacta de primer orden produce

{displaystyle x^{4}+C_{1}x+C_{2}+yy'=0}

Integración ${displaystyle Ileft(x,yright)}$ con respecto a ${displaystyle x}$ da eso ${displaystyle {x^{5} over 5}+C_{1}x^{2}+C_{2}x+ileft(yright)=0}$ . Diferenciando con respecto a ${displaystyle y}$ y equiparando eso al término delante de ${displaystyle y'}$ en la ecuación de primer orden da que ${displaystyle i'left(yright)=y}$ y eso ${displaystyle ileft(yright)={y^{2} over 2}+C_{3}}$ . La solución implícita completa

{displaystyle {x^{5} over 5}+C_{1}x^{2}+C_{2}x+C_{3}+{y^{2} over 2}=0}

La solución explícita, entonces, es

{displaystyle y=pm {sqrt {C_{1}x^{2}+C_{2}x+C_{3}-{frac {2x^{5}}{5}}}}}

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