Ecuación de Wheeler-DeWitt

La ecuación de Wheeler-DeWitt para física teórica y matemáticas aplicadas, es una ecuación de campo atribuida a John Archibald Wheeler y Bryce DeWitt. La ecuación intenta combinar matemáticamente las ideas de la mecánica cuántica y la relatividad general, un paso hacia una teoría de la gravedad cuántica.

En este enfoque, el tiempo desempeña un papel diferente al que desempeña en la mecánica cuántica no relativista, lo que lleva al llamado "problema del tiempo". Más específicamente, la ecuación describe la versión cuántica de la restricción hamiltoniana utilizando variables métricas. Sus relaciones de conmutación con las restricciones del difeomorfismo generan el "grupo" de Bergman-Komar. (que es el grupo de difeomorfismo en el shell).

Motivación y antecedentes

En la gravedad canónica, la hora espacial se folla en submanifolds espaciales. El trimétrico (es decir, métrica en la hipersuperficie) es γ γ ij{displaystyle gamma _{ij} y dado por

gμ μ.. dxμ μ dx.. =()− − N2+β β kβ β k)dt2+2β β kdxkdt+γ γ ijdxidxj.{displaystyle g_{munu },mathrm {d} ################################################################################################################################################################################################################################################################

En esa ecuación los índices latinos corren sobre los valores 1, 2, 3 y los índices griegos corren sobre los valores 1, 2, 3, 4. Los tres-métricos γ γ ij{displaystyle gamma _{ij} es el campo, y denotamos su conjugado momenta como π π ij{displaystyle pi ^{ij}. El Hamiltoniano es una limitación (característica de los sistemas más relativistas)

H=12γ γ Gijklπ π ijπ π kl− − γ γ ()3)R=0{fnMicroc}= {fnMicroc} {1}{2{sqrt {gamma} G_{ijkl} ^{kl}-{sqrt {gamma },{}c}cH00}cH0}

Donde γ γ =Det()γ γ ij){displaystyle gamma =det(gamma _{ij}} y Gijkl=()γ γ ikγ γ jl+γ γ ilγ γ jk− − γ γ ijγ γ kl){displaystyle G_{ijkl}=(gamma _{ik}gamma _{jl}+gamma _{il}gamma _{jk}-gamma _{ij}gamma _{kl} es la métrica Wheeler-DeWitt. En la notación sin índice, la métrica Wheeler-DeWitt en el espacio de formas cuadráticas definidas positivas g en tres dimensiones

tr⁡ ⁡ ()()g− − 1dg)2)− − ()tr⁡ ⁡ ()g− − 1dg))2.{displaystyle operatorname {tr} ((g^{-1}dg)^{2})-(operatorname {tr} (g^{-1}dg)}{2}.}

Cuantización "pone sombreros" sobre los momentos y variables de campo; es decir, las funciones de los números en el caso clásico se convierten en operadores que modifican la función de estado en el caso cuántico. Así obtenemos el operador

H^ ^ =12γ γ G^ ^ ijklπ π ^ ^ ijπ π ^ ^ kl− − γ γ ()3)R^ ^.{fnMicrosoft {fnMitcal} {H}={frac} {1}{2{sqrt {gamma} {fnMicrosoft Sans Serif} {fnMicrosoft Sans Serif}}}} {fnMicrosoft Sans {fnK} {f} {fnK}} {fnK}} {f}} {f}} {f}} {f}} {f}} {f}}}} {f}} {f}}}}} {\\\fnK}}}}}}}\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\fn\\\\\\\\\\\\\\\\fn {cHFF}. {gamma },{} {fnMicrosoft Sans Serif}

Trabajando en "espacio de posición", estos operadores son

γ γ ^ ^ ij()t,xk)→ → γ γ ij()t,xk){fnMicrosoft {fnfnMicrosoft {fnMicrosoft {fnMicrosoft {fnMicrosoft {fnMicrosoft {fnMicrosoft {fnMicrosoft {fnMicrosoft {f}fnMicrosoft {fnMicrosoft {fnMicrosoft {\\fnMicrosoft {\\fn\fnfnfn\\fn\\\\\\fn\\\\fn\fn\fn\fn\\\\\\\\fn\fn }_{ij}(t,x^{k})to gamma _{ij}(t,x^{k})}

π π ^ ^ ij()t,xk)→ → − − iδ δ δ δ γ γ ij()t,xk).{displaystyle {hat {pi}{ij}(t,x^{k}to -i{frac} {delta } {delta gamma _{ij}(t,x^{k}}}}}

Uno puede aplicar el operador a una onda general funcional de la métrica H^ ^ Ψ Ψ [γ γ ]=0{fnMicrosoft {fnMitcal} {H}} Psi [gamma]=0} Donde:

Ψ Ψ [γ γ ]=a+∫ ∫ ↑ ↑ ()x)γ γ ()x)dx3+∫ ∫ ∫ ∫ ↑ ↑ ()x,Sí.)γ γ ()x)γ γ ()Sí.)dx3dSí.3+...{displaystyle Psi [gamma ]=a+int psi (x)gamma (x)dx^{3}+int int psi (x,y)gamma (x)gamma (y)dx^{3}dy^{3}+...}

que daría un conjunto de limitaciones entre los coeficientes ↑ ↑ ()x,Sí.,...){displaystyle psi (x,y,...) }. Esto significa las amplitudes para N{displaystyle N} gravitones en ciertas posiciones está relacionado con las amplitudes para un número diferente de gravitones en diferentes posiciones. O, uno podría usar el formalismo de dos campos, tratando ⋅ ⋅ ()g){displaystyle omega (g)} como un campo independiente para que la función de onda sea Ψ Ψ [γ γ,⋅ ⋅ ]{displaystyle Psi [gammaomega].

Formalismo matemático

La ecuación de Wheeler-DeWitt es una ecuación diferencial funcional. Está mal definido en el caso general, pero es muy importante en física teórica, especialmente en gravedad cuántica. Es una ecuación diferencial funcional en el espacio de métricas espaciales tridimensionales. La ecuación de Wheeler-DeWitt tiene la forma de un operador que actúa sobre una onda funcional; lo funcional se reduce a una función en cosmología. Al contrario del caso general, la ecuación de Wheeler-DeWitt está bien definida en minisuperespacios como el espacio de configuración de las teorías cosmológicas. Un ejemplo de tal función de onda es el estado de Hartle-Hawking. Bryce DeWitt publicó por primera vez esta ecuación en 1967 con el nombre de "ecuación de Einstein-Schrödinger"; Más tarde pasó a llamarse "ecuación de Wheeler-DeWitt".

Restricción hamiltoniana

En pocas palabras, la ecuación de Wheeler-DeWitt dice

Donde H^ ^ ()x){displaystyle {hat {H}(x)} es la limitación Hamiltoniana en la relatividad general cuantificada y Silencio↑ ↑.. {displaystyle Нpsi rangle } representa la función de onda del universo. A diferencia de la teoría ordinaria del campo cuántico o la mecánica cuántica, el Hamiltonian es una limitación de primera clase en los estados físicos. También tenemos una limitación independiente para cada punto del espacio.

Aunque los símbolos H^ ^ {displaystyle {hat {}}} y Silencio↑ ↑.. {displaystyle Нpsi rangle } puede parecer familiar, su interpretación en la ecuación Wheeler-DeWitt es sustancialmente diferente de la mecánica cuántica no relativista. Silencio↑ ↑.. {displaystyle Нpsi rangle } ya no es una función de onda espacial en el sentido tradicional de una función de valor complejo que se define en una superficie espacial tridimensional y normalizada a la unidad. En cambio, es una funcionalidad de configuraciones de campo en todo el espacio. Esta función de onda contiene toda la información sobre la geometría y el contenido de materia del universo. H^ ^ {displaystyle {hat {}}} todavía es un operador que actúa en el espacio Hilbert de las funciones de onda, pero no es el mismo espacio Hilbert que en el caso no relativista, y el Hamiltoniano ya no determina la evolución del sistema, por lo que la ecuación Schrödinger H^ ^ Silencio↑ ↑.. =i▪ ▪ ∂ ∂ /∂ ∂ tSilencio↑ ↑.. {displaystyle {hat {H}Sobrevivirpsi rangle =ihbar partial /partial t WordPresspsi rangle } ya no se aplica. Esta propiedad es conocida como atemporalidad. Se han realizado diversos intentos de incorporar el tiempo en un marco totalmente cuántico, comenzando por el "mécanismo de lana y lana" y otras propuestas posteriores. También se propuso la reemergencia del tiempo como consecuencia de las correlaciones cuánticas entre un sistema en evolución y un sistema de reloj cuántico de referencia, el concepto de sistema-time entanglement se introduce como un cuantificador de la evolución distinguible real que sufre el sistema.

Restricción de impulso

También necesitamos aumentar la restricción hamiltoniana con restricciones de impulso

P→ → ()x)Silencio↑ ↑.=0{displaystyle {vec {mathcal {}(x)left arrestpsi rightrangle =0}

asociado con la invariancia del difeomorfismo espacial.

En aproximaciones minisuperespaciales, solo tenemos una restricción hamiltoniana (en lugar de una infinidad de ellas).

De hecho, el principio de covariancia general en la relatividad general implica que la evolución global per se no existe; el tiempo t{displaystyle t} es sólo una etiqueta que asignamos a uno de los ejes de coordenadas. Así, lo que pensamos como la evolución del tiempo de cualquier sistema físico es sólo una transformación de calibre, similar a la de QED inducida por la transformación de calibre local U(1) ↑ ↑ → → eiSilencio Silencio ()r→ →)↑ ↑ {displaystyle psi rightarrow e^{itheta ({vec {r}}psi } Donde Silencio Silencio ()r→ →){displaystyle theta ({vec {r})} juega el papel de la hora local. El papel de un Hamiltoniano es simplemente restringir el espacio de los estados "kinemáticos" del Universo al de los estados "físicos", los que siguen órbitas de calibre. Por esta razón lo llamamos "constreñimiento hamiltoniano". Tras la cuantificación, los estados físicos se convierten en funciones de onda que se encuentran en el núcleo del operador Hamiltoniano.

En general, el hamiltoniano desaparece para una teoría con covarianza general o invariancia de escala temporal.