Ecuación de vorticidad

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La ecuación de vorticidad de la dinámica de fluidos describe la evolución de la vorticidad $ω$ de una partícula de un fluido a medida que se mueve con su fluir; es decir, la rotación local del fluido (en términos de cálculo vectorial, esto es el rotacional de la velocidad del flujo). La ecuación gobernante es:

${displaystyle {begin{aligned}{frac} ################################################################################################################################################################################################################################################################ {omega {fnK}} {fnMicroc {parial {boldsymbol {omega {fnMicrosoft Sans Serif}$

donde $D / Dt$ es el operador material derivado, $u$ es la velocidad del flujo, $ρ$ es la densidad del fluido local, $p$ es la presión local, $τ< /span> es el tensor de tensión viscoso y B representa la suma de las fuerzas externas del cuerpo. El primer término fuente en el lado derecho representa el estiramiento del vórtice.$

La ecuación es válida en ausencia de pares concentrados y fuerzas lineales para un fluido newtoniano comprimible. En el caso de flujo incompresible (es decir, bajo número de Mach) y fluidos isotrópicos, con fuerzas de cuerpo conservadoras, la ecuación se simplifica a la ecuación de transporte de vorticidad:

{displaystyle {frac {fnMicrosoft Sansigubol {omega } {}} {cdot nabla right)mathbf {u} +nu nabla ^{2}{boldsymbol {omega }

Donde $.$ es la viscosidad cinemática y ${displaystyle nabla ^{2}$ es el operador de Laplace. Bajo el nuevo supuesto de flujo bidimensional, la ecuación simplifica:

{displaystyle {frac {fnMicrosoft Sansigubol {omega } {} {}=nu nabla ^{2}{boldsymbol {omega }

Interpretación física

El término $D \cdot / Dt$ en el lado izquierdo es el derivado material del vector de vorticidad $\cdot$ . Describe la tasa de cambio de vorticidad de la partícula líquida en movimiento. Este cambio puede atribuirse a la inestabilidad en el flujo ( $\partial \cdot / \partial t$ , el término inestable) o debido al movimiento de la partícula del fluido mientras se mueve de un punto a otro ( $() u - ∙ latitud) \cdot$ , el término convección).
El término $() \cdot - ∙ latitud) u$ en el lado derecho describe el estiramiento o inclinación de la vorticidad debido a los gradientes de velocidad de flujo. Note que $() \cdot - ∙ latitud) u$ es una cantidad vectorial, como $\cdot ∙ latitud$ es un operador diferencial de escalar, mientras $Silencio u$ es una cantidad de tensor de nueve elementos.
El término $\cdot (Enfermería) u)$ describe el estiramiento de la vorticidad debido a la compresión del flujo. Se sigue de la ecuación de Navier-Stokes para la continuidad, a saber ${displaystyle {begin{aligned}{frac {partial rho }{partial t}}+nabla cdot left(rho mathbf {u}right) ventaja=0\\Longleftright nabla cdot mathbf {u} &=-{frac] {1}{rho }{frac {drho {} {fn} {f} {f}} {fn}f} {f} {fn} {fn}}} {fn}}} {f}}} {fn}}} {fn}}}} {f}} {f}} {f}}}} {f}}}}}} {f}}} {f}}}}}} {f}}}}}} {f}} {f}}}}} {f} {f}}} {f} {f}} {f}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}} {f} {f}} {f}}} {f}}}} {f} {f} {f} {f} {f}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}$ Donde $v = 1 / ***$ es el volumen específico del elemento fluido. Uno puede pensar en $∙ u$ como medida de compresibilidad de flujo. A veces el signo negativo está incluido en el término.
El término $1 / *** 2 Silencio *** \times restablecimiento p$ es el término baroclinico. Cuenta con los cambios en la vorticidad debido a la intersección de densidad y superficies de presión.
El término $restablecimiento \times ∙ τ / ***)$ , explica la difusión de la vorticidad debido a los efectos viscosos.
El término $Levántate \times B$ proporciona cambios debido a las fuerzas del cuerpo externas. Son fuerzas que se extienden sobre una región tridimensional del fluido, como la gravedad o las fuerzas electromagnéticas. (A diferencia de fuerzas que actúan sólo sobre una superficie (como arrastrar sobre una pared) o una línea (como la tensión superficial alrededor de un menisco).

Simplificaciones

En caso de fuerzas conservadoras del cuerpo, $Levántate \times B = 0$ .
Para un líquido barotrópico, $Silencio *** \times restablecimiento p = 0$ . Esto también es cierto para un fluido de densidad constante (incluyendo líquido incompresible) donde $Silencio *** = 0$ . Tenga en cuenta que esto no es lo mismo que un flujo incompresible, para el cual el término barotrópico no puede ser descuidado.
Para fluidos invisidos, el tensor de viscosidad $τ$ es cero.

Por lo tanto, para un fluido barotrópico no viscoso con fuerzas de cuerpo conservativas, la ecuación de vorticidad se simplifica a

{displaystyle {frac {d}{dt}}left({frac {boldsymbol {omega }{rho }}}right)=left({frac {boldsymbol {omega }{rho }}}}}cdot nabla mathbf {} {}} {} {} {} {} {}}} {}}} {}}}}} {c}}}}} {c}} {c}}}}}}}} {c}}}}}c}}c}c}c}}c}c}c}cdotcdotcdotc}c}c}cdotc}cdotc}c}c}c}c}}c}c}c}c}c}c}c}c}cdot}c}

Alternativamente, en caso de fluido no viscoso e incompresible con fuerzas de cuerpo conservadoras,

{displaystyle {frac {fnMicrosoft {fnMicrosoft {fnMicrosoft {fnMicrosoft {\fnMicrosoft} {omega {fnK}} {fnMicroc {fncipal {boldsymbol {omega {cdotnabla){boldsymbol {omega }=({boldsymbol {omega }={boldsymbol {omega }}cdot nabla)mathbf {u}

Para una breve revisión de casos adicionales y simplificaciones, consulte también. Para la ecuación de vorticidad en la teoría de la turbulencia, en el contexto de los flujos en los océanos y la atmósfera, consulte.

Derivación

La ecuación de vorticidad se puede derivar de la ecuación de Navier-Stokes para la conservación del momento angular. En ausencia de pares concentrados y fuerzas lineales, se obtiene:

{displaystyle {frac {fnMithbf} {} {f}= {fnMitbf {f} {f}m}mch}mbf {u} cdot nabla right)mathbf {u} =-{rho }} {nbla p+{f} {f} {f}f} {f}f}f}f} {f}f} {f}f}f}f}f} {f}f}f}f}f}f}f}f}f}f}f}f}f}f}f}f}f}f}f}f}f}f}f}f}f}f} ¿Qué?

Ahora, la vorticidad se define como el rotacional del vector de velocidad del flujo; tomando la ecuación del rotacional de la cantidad de movimiento se obtiene la ecuación deseada. Las siguientes identidades son útiles en la derivación de la ecuación:

{displaystyle {begin{aligned}{boldsymbol ################################################################################################################################################################################################################################################################

Donde ${displaystyle phi }$ es cualquier campo de escalar.

Notación tensorial

La ecuación de vorticidad se puede expresar en notación tensorial utilizando la convención de sumatoria de Einstein y el símbolo de Levi-Civita $e ijk$ :

{displaystyle {begin{aligned}{frac} {Domega {fnK} {fnK}} {fnMicroc {partial omega {fnMicrosoft Sans Serif} {fnMicrosoft Sans Serif} {fnMicrosoft Sans Serif} t}+v_{j}{frac {partial omega {fnMicrosoft Sans Serif} {fnMicrosoft Sans Serif} {fnMicrosoft Sans Serif} ################################################################################################################################################################################################################################################################ {fnMicrosoft Sans Serif} {fnMicrosoft} {fnMicrosoft Sans Serif} {fnMicrosoft Sans Serif}} {fnMicrosoft Sans Serif}} {f}}}} {fnMicrosoft}} {fnMicrosoft}} {f}}} {f}}}}} {fnMicrosoft}}}}}}}}}}}}}}}}} {\b}}}} {b}}}}}}} {b} {b}}}}}}}}} {b}}}}}}}}}}}}}}}}}}} {b}} {b}}}}}}} {b}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}b}}}}}}}}}}}}} {pb}}}}}bb}}bb}}}}b}}} ################################################################################################################################################################################################################################################################ {fnMicroc {fnMicrosoft Sans Serif} {fnMicrosoft Sans Serif} {fn} {fn} {fn} {fn} {fn} {fnK}} {f} {f}fnf}} {fnf}} {fn}fnf}}}} {fnfnf}}\fnK}}} {f}}}}}\\\f}}}}}}}\\\\\\\\\\\\m}}}\\\\\\\\\m}f}}}}}}}}}}}}\\\\\m}m}m}m}}}}}}\\m}m}m}m}m}}}}}}}}}}}}m}m}m}m}m}m}}}}}m}} }{partial {fnK} {fnMicroc} {fnMicrosoft} {fnMicrosoft} {f} {f}}} {fnMicroc} {fnMicrosoft}}} {fnMicrosoft}} {f} {fnMicroc} {f}fnMicroc} {f}}}}}} {f} {f}f}}}f}}}}f}f}f}f}f}f}f}f}f}f}f}f}f}f}f}f}f}f}f}f}f}f}f}f}f}f}f}f} {f}f}f}f}f}f}f}f}f}f}f}f}f}f}f}f}f}f ¿Qué? {fnMicroc {}{f} {f}} {fnh} {fnh} {fnh} {fn}}} {fn} {fnfnh}} {fnh}} {fn}} {fnh}}}} {fnfnh}}} {f}}f}}}}}}f}}}}}b}}}}}}p}p}p}p}p}p}p}p}pp}p}ppppb}b}}}pp}ppppppppppppppppcccccccccccccccccccccccccc ¿Qué? ¿Qué? {partial B_{k}{partial ¿Qué?

En ciencias específicas

Ciencias atmosféricas

En las ciencias atmosféricas, la ecuación de vorticidad se puede establecer en términos de la vorticidad absoluta del aire con respecto a un marco inercial, o de la vorticidad con respecto a la rotación de la Tierra. La versión absoluta es

{displaystyle {frac {fnMicroc}deta {f} {f} {f}} {f}} {f}}} {f} {f}} {f}}} {f}}} {f} {f}} {f}} {f}} {f}}}} {f}}} {f} {f}}} {f}}}} {f}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}} {f} {f} {f} {f}}}}}}}}}}}}}}} {f} {f}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}} {f} {f}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}} cdot left(nabla _{h}ptimes nabla _{text{h}rho right)}

Aquí, $η$ es el polar ( $z$ ) componente de la vorticidad, $ρ$ es la densidad atmosférica, $u$ , $v$ y w son los componentes de la velocidad del viento, y $\nabla h$ es el del de 2 dimensiones (es decir, solo componente horizontal).

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