Ecuación de vorticidad

La ecuación de vorticidad de la dinámica de fluidos describe la evolución de la vorticidad ω de una partícula de un fluido a medida que se mueve con su fluir; es decir, la rotación local del fluido (en términos de cálculo vectorial, esto es el rotacional de la velocidad del flujo). La ecuación gobernante es:

donde D/Dt es el operador material derivado, u es la velocidad del flujo, ρ es la densidad del fluido local, p es la presión local, τ< /span> es el tensor de tensión viscoso y B representa la suma de las fuerzas externas del cuerpo. El primer término fuente en el lado derecho representa el estiramiento del vórtice.

La ecuación es válida en ausencia de pares concentrados y fuerzas lineales para un fluido newtoniano comprimible. En el caso de flujo incompresible (es decir, bajo número de Mach) y fluidos isotrópicos, con fuerzas de cuerpo conservadoras, la ecuación se simplifica a la ecuación de transporte de vorticidad:

${displaystyle {frac {fnMicrosoft Sansigubol {omega } {}} {cdot nabla right)mathbf {u} +nu nabla ^{2}{boldsymbol {omega }$

Donde . es la viscosidad cinemática y ${displaystyle nabla ^{2}$ es el operador de Laplace. Bajo el nuevo supuesto de flujo bidimensional, la ecuación simplifica:

${displaystyle {frac {fnMicrosoft Sansigubol {omega } {} {}=nu nabla ^{2}{boldsymbol {omega }$

Interpretación física

• El término D⋅/Dt en el lado izquierdo es el derivado material del vector de vorticidad ⋅. Describe la tasa de cambio de vorticidad de la partícula líquida en movimiento. Este cambio puede atribuirse a la inestabilidad en el flujo (∂⋅/∂t, el término inestable) o debido al movimiento de la partícula del fluido mientras se mueve de un punto a otro (()u - ∙ latitud)⋅, el término convección).
• El término ()⋅ - ∙ latitud) u en el lado derecho describe el estiramiento o inclinación de la vorticidad debido a los gradientes de velocidad de flujo. Note que ()⋅ - ∙ latitud) u es una cantidad vectorial, como ⋅ ∙ latitud es un operador diferencial de escalar, mientras Silenciou es una cantidad de tensor de nueve elementos.
• El término ⋅(Enfermería) u) describe el estiramiento de la vorticidad debido a la compresión del flujo. Se sigue de la ecuación de Navier-Stokes para la continuidad, a saber
  $${displaystyle {begin{aligned}{frac {partial rho }{partial t}}+nabla cdot left(rho mathbf {u}right) ventaja=0\\Longleftright nabla cdot mathbf {u} &=-{frac] {1}{rho }{frac {drho {} {fn} {f} {f}} {fn}f} {f} {fn} {fn}}} {fn}}} {f}}} {fn}}} {fn}}}} {f}} {f}} {f}}}} {f}}}}}} {f}}} {f}}}}}} {f}}}}}} {f}} {f}}}}} {f} {f}}} {f} {f}} {f}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}} {f} {f}} {f}}} {f}}}} {f} {f} {f} {f} {f}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}$$

  
  Donde v = 1/*** es el volumen específico del elemento fluido. Uno puede pensar en ∙ u como medida de compresibilidad de flujo. A veces el signo negativo está incluido en el término.
• El término 1/***²Silencio*** × restablecimientop es el término baroclinico. Cuenta con los cambios en la vorticidad debido a la intersección de densidad y superficies de presión.
• El término restablecimiento ×∙ τ/***), explica la difusión de la vorticidad debido a los efectos viscosos.
• El término Levántate × B proporciona cambios debido a las fuerzas del cuerpo externas. Son fuerzas que se extienden sobre una región tridimensional del fluido, como la gravedad o las fuerzas electromagnéticas. (A diferencia de fuerzas que actúan sólo sobre una superficie (como arrastrar sobre una pared) o una línea (como la tensión superficial alrededor de un menisco).

Simplificaciones

• En caso de fuerzas conservadoras del cuerpo, Levántate × B = 0.
• Para un líquido barotrópico, Silencio*** × restablecimientop = 0. Esto también es cierto para un fluido de densidad constante (incluyendo líquido incompresible) donde Silencio*** = 0. Tenga en cuenta que esto no es lo mismo que un flujo incompresible, para el cual el término barotrópico no puede ser descuidado.
• Para fluidos invisidos, el tensor de viscosidad τ es cero.

Por lo tanto, para un fluido barotrópico no viscoso con fuerzas de cuerpo conservativas, la ecuación de vorticidad se simplifica a

${displaystyle {frac {d}{dt}}left({frac {boldsymbol {omega }{rho }}}right)=left({frac {boldsymbol {omega }{rho }}}}}cdot nabla mathbf {} {}} {} {} {} {} {}}} {}}} {}}}}} {c}}}}} {c}} {c}}}}}}}} {c}}}}}c}}c}c}c}}c}c}c}cdotcdotcdotc}c}c}cdotc}cdotc}c}c}c}c}}c}c}c}c}c}c}c}c}cdot}c}$

Alternativamente, en caso de fluido no viscoso e incompresible con fuerzas de cuerpo conservadoras,

${displaystyle {frac {fnMicrosoft {fnMicrosoft {fnMicrosoft {fnMicrosoft {\fnMicrosoft} {omega {fnK}} {fnMicroc {fncipal {boldsymbol {omega {cdotnabla){boldsymbol {omega }=({boldsymbol {omega }={boldsymbol {omega }}cdot nabla)mathbf {u}$

Para una breve revisión de casos adicionales y simplificaciones, consulte también. Para la ecuación de vorticidad en la teoría de la turbulencia, en el contexto de los flujos en los océanos y la atmósfera, consulte.

Derivación

La ecuación de vorticidad se puede derivar de la ecuación de Navier-Stokes para la conservación del momento angular. En ausencia de pares concentrados y fuerzas lineales, se obtiene:

${displaystyle {frac {fnMithbf} {} {f}= {fnMitbf {f} {f}m}mch}mbf {u} cdot nabla right)mathbf {u} =-{rho }} {nbla p+{f} {f} {f}f} {f}f}f}f} {f}f} {f}f}f}f}f} {f}f}f}f}f}f}f}f}f}f}f}f}f}f}f}f}f}f}f}f}f}f}f}f}f}f} ¿Qué?$

Ahora, la vorticidad se define como el rotacional del vector de velocidad del flujo; tomando la ecuación del rotacional de la cantidad de movimiento se obtiene la ecuación deseada. Las siguientes identidades son útiles en la derivación de la ecuación:

${displaystyle {begin{aligned}{boldsymbol ################################################################################################################################################################################################################################################################$

Donde ${displaystyle phi }$ es cualquier campo de escalar.

Notación tensorial

La ecuación de vorticidad se puede expresar en notación tensorial utilizando la convención de sumatoria de Einstein y el símbolo de Levi-Civita e_ijk :

${displaystyle {begin{aligned}{frac} {Domega {fnK} {fnK}} {fnMicroc {partial omega {fnMicrosoft Sans Serif} {fnMicrosoft Sans Serif} {fnMicrosoft Sans Serif} t}+v_{j}{frac {partial omega {fnMicrosoft Sans Serif} {fnMicrosoft Sans Serif} {fnMicrosoft Sans Serif} ################################################################################################################################################################################################################################################################ {fnMicrosoft Sans Serif} {fnMicrosoft} {fnMicrosoft Sans Serif} {fnMicrosoft Sans Serif}} {fnMicrosoft Sans Serif}} {f}}}} {fnMicrosoft}} {fnMicrosoft}} {f}}} {f}}}}} {fnMicrosoft}}}}}}}}}}}}}}}}} {\b}}}} {b}}}}}}} {b} {b}}}}}}}}} {b}}}}}}}}}}}}}}}}}}} {b}} {b}}}}}}} {b}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}b}}}}}}}}}}}}} {pb}}}}}bb}}bb}}}}b}}} ################################################################################################################################################################################################################################################################ {fnMicroc {fnMicrosoft Sans Serif} {fnMicrosoft Sans Serif} {fn} {fn} {fn} {fn} {fn} {fnK}} {f} {f}fnf}} {fnf}} {fn}fnf}}}} {fnfnf}}\fnK}}} {f}}}}}\\\f}}}}}}}\\\\\\\\\\\\m}}}\\\\\\\\\m}f}}}}}}}}}}}}\\\\\m}m}m}m}}}}}}\\m}m}m}m}m}}}}}}}}}}}}m}m}m}m}m}m}}}}}m}} }{partial {fnK} {fnMicroc} {fnMicrosoft} {fnMicrosoft} {f} {f}}} {fnMicroc} {fnMicrosoft}}} {fnMicrosoft}} {f} {fnMicroc} {f}fnMicroc} {f}}}}}} {f} {f}f}}}f}}}}f}f}f}f}f}f}f}f}f}f}f}f}f}f}f}f}f}f}f}f}f}f}f}f}f}f}f}f} {f}f}f}f}f}f}f}f}f}f}f}f}f}f}f}f}f}f ¿Qué? {fnMicroc {}{f} {f}} {fnh} {fnh} {fnh} {fn}}} {fn} {fnfnh}} {fnh}} {fn}} {fnh}}}} {fnfnh}}} {f}}f}}}}}}f}}}}}b}}}}}}p}p}p}p}p}p}p}p}pp}p}ppppb}b}}}pp}ppppppppppppppppcccccccccccccccccccccccccc ¿Qué? ¿Qué? {partial B_{k}{partial ¿Qué?$

En ciencias específicas

Ciencias atmosféricas

En las ciencias atmosféricas, la ecuación de vorticidad se puede establecer en términos de la vorticidad absoluta del aire con respecto a un marco inercial, o de la vorticidad con respecto a la rotación de la Tierra. La versión absoluta es

${displaystyle {frac {fnMicroc}deta {f} {f} {f}} {f}} {f}}} {f} {f}} {f}}} {f}}} {f} {f}} {f}} {f}} {f}}}} {f}}} {f} {f}}} {f}}}} {f}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}} {f} {f} {f} {f}}}}}}}}}}}}}}} {f} {f}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}} {f} {f}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}} cdot left(nabla _{h}ptimes nabla _{text{h}rho right)}$

Aquí, η es el polar (z) componente de la vorticidad, ρ es la densidad atmosférica, u, v y w son los componentes de la velocidad del viento, y ∇_h es el del de 2 dimensiones (es decir, solo componente horizontal).