Ecuación de transferencia radiativa y teoría de la difusión para el transporte de fotones en tejido biológico

El transporte de fotones en el tejido biológico puede modelarse numéricamente de forma equivalente mediante simulaciones de Monte Carlo o analíticamente mediante la ecuación de transferencia radiativa (ETR). Sin embargo, la ETR es difícil de resolver sin introducir aproximaciones. Una aproximación común que se resume aquí es la aproximación de difusión. En general, las soluciones de la ecuación de difusión para el transporte de fotones son más eficientes computacionalmente, pero menos precisas que las simulaciones de Monte Carlo.

El RTE puede modelar matemáticamente la transferencia de energía a medida que los fotones se mueven dentro de un tejido. El flujo de energía de radiación a través de un pequeño elemento de área en el campo de radiación puede caracterizarse por la radiación ${\displaystyle L({\vec {}},{\hat {s},t)}$ con unidades ${\displaystyle {\frac {\mathrm}{\mathrm {\m}\m}\m}\m}\mhm} {\m} }$. La radiación se define como flujo de energía por área normal unidad por ángulo sólido unidad por tiempo unidad. Aquí, ${\displaystyle {\vec}}$ denota posición, ${\displaystyle {\hat {}}}$ denotes unit direction vector and ${\displaystyle t}$ denota tiempo (Figura 1).
Varias otras cantidades físicas importantes se basan en la definición de radiación:

• Tasa de fluencia o intensidad ${\displaystyle \Phi ({\vec {r},t)=\int _{4\pi }L({\vec {r}},{\hat {s}},t)d\Omega \quad \left[{\frac {\mathrm {W}{\mathrm {m} } {}} {}}}}}\right]$
• Fluence ${\displaystyle F({\vec {}})=\int _{-\infty }\infty }\Phi ({\vec {r}},t)dt\quad\left[\frac {\mathrm {} {\m} {\m} {\m} {} {}}}}}}}\derech}}}}}}}}}}}}}}} {\dere}}}}}}}} {\dere}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}} {\$
• Densidad actual (flujo energético) ${\displaystyle {\vec {\fnK} {\fnMicrosoft Sans Serif}=\int _{4\pi} {\fnh} {\fnh}, {\fnh}, t)d\Omega \quad \left[{\frac {\mathrm {}{\mathrm {m} {m} } {} {}\right}}}}}}}$. Esta es la contraparte vectorial de la tasa de fluencia apuntando en la dirección predominante del flujo energético.

El RTE es una ecuación diferencial que describe la radiancia ${\displaystyle L({\vec {}},{\hat {s},t)}$. Puede derivarse mediante la conservación de la energía. En resumen, el RTE afirma que un haz de luz pierde energía a través de la divergencia y la extinción (incluyendo la absorción y la dispersión de la viga) y gana energía de fuentes de luz en el medio y la dispersión dirigida hacia el haz. Se descuida la coherencia, la polarización y la no linealidad. Propiedades ópticas como el índice refractivo ${\displaystyle n}$, coeficiente de absorción μ_a, coeficiente de dispersión μ_s, y la dispersión de la anisotropía ${\displaystyle g}$ son tomados como invariantes del tiempo, pero pueden variar espacialmente. Se supone que la estafación es elástica. El RTE (ecuación de Boltzmann) está escrito como:

${\displaystyle {\frac {\partial L({\vec {r},{\hat {}},t)/c}{\partial L({\vec {\vec {}},{\hat {}} {\f} {\fnK}} {\c}} {\f}\fnMicroc}} {\fnMicroc}} {\f}}}}}}}}}}}}}}}} {\c}}}} {\c}}}{\f}\f}}\f}}}}}}}\f}}\\f} {\f}}\f}\f}}}}}\f}\f}\f}\f}\f}\f}\f}\f}}}}}\f}\\\\f}\f}\\f}\f}\f}\f}\f}\f}\f}\f}\f}\f}\f}\f}\f}\f}\f}\f {\fnMicrosoft Sans Serif} {\fnMicrosoft Sans Serif} {\fnMicrosoft Sans Serif}$

dónde

• ${\displaystyle c}$ es la velocidad de la luz en el tejido, según lo determinado por el índice refractivo relativo
• μ_t${\displaystyle =}$μ_a+μ_s es el coeficiente de extinción
• ${\displaystyle P({\hat {s}',{\hat {s}}}}$ es la función de fase, representando la probabilidad de luz con dirección de propagación ${\displaystyle {\hat {}}}$ esparcido en ángulo sólido ${\displaystyle d\Omega }$ alrededor ${\displaystyle {\hat {}}}$. En la mayoría de los casos, la función de fase depende sólo del ángulo entre el disperso ${\displaystyle {\hat {}}}$ y incidentes ${\displaystyle {\hat {}}}$ direcciones, es decir. ${\displaystyle P({\hat {s}',{\hat {s})=P({\hat {}'\cdot {\hat {\s}}}}}}$. La anisotropía dispersa se puede expresar como ${\displaystyle g=\int _{4\pi }({\hat {\s}\cdot {\hat {}}) ¿Qué?$
• ${\displaystyle S({\vec {}},{\hat {s},t)}$ describe la fuente de luz.

En el RTE, seis variables independientes diferentes definen el radiance en cualquier punto espacial y temporal (${\displaystyle x}$, ${\displaystyle y}$, y ${\displaystyle z}$ desde ${\displaystyle {\vec}}$, ángulo polar ${\displaystyle \theta }$ y ángulo azimutal ${\displaystyle \phi }$ desde ${\displaystyle {\hat {}}}$, y ${\displaystyle t}$). Al hacer suposiciones apropiadas sobre el comportamiento de los fotones en un medio de dispersión, se puede reducir el número de variables independientes. Estas suposiciones conducen a la teoría de la difusión (y la ecuación de difusión) para el transporte de fotones. Dos supuestos permiten la aplicación de la teoría de la difusión al RTE:

• Relativo a eventos de dispersión, hay muy pocos eventos de absorción. Del mismo modo, después de numerosos eventos de dispersión, se producirán pocos eventos de absorción, y el resplandor se convertirá en casi isotrópico. Esta suposición a veces se llama ampliación direccional.
• En un medio principalmente dispersante, el tiempo para el cambio de densidad corriente sustancial es mucho más largo que el tiempo para atravesar un transporte significa camino libre. Por lo tanto, sobre un transporte significa camino libre, el cambio fraccional en la densidad actual es mucho menos que unidad. Esta propiedad a veces se llama ampliación temporal.

Ambos supuestos requieren un medio con un albedo elevado (predominantemente disperso).

La radiación se puede ampliar sobre una base de armónicos esféricos ${\displaystyle Sí.$_{n, m}. En la teoría de la difusión, la radiación se toma para ser en gran medida isotrópica, por lo que sólo se utilizan los términos isotrópicos y anisotrópicos de primer orden: ${\displaystyle L({\vec {}},{\hat {s}},t)\approx \sum _{n=0}^{1}\sum Y...$Donde ${\displaystyle L.$_{n, m} son los coeficientes de expansión. La radiación se expresa con 4 términos: uno para n = 0 (el término isotrópico) y 3 términos para n = 1 (los términos anisotrópicos). Utilizar propiedades de armónicos esféricos y las definiciones de la tasa de fluencia ${\displaystyle "Phi" ({\vec {r},t)}$ y densidad actual ${\displaystyle {\vec}({\vec}},t)}$, los términos isotropic y anisotropic se pueden expresar respectivamente de la siguiente manera:

• ${\displaystyle L_{0,0}({\vec {r}},t)Y_{0,0}({\hat {\hat {}}})={\frac {\Phi ({\vec {r}},t)}{4\pi}}}} {\f}}}} {\f}}} {\f}}}}}}}} {\f}} {\f}}}}}}}}}}}}} {\f}}}}}}}}}}}} {\f}}}}} {\f}}}}}}}}}}}}} {\f}}}}}}}}}} {\f}}}}}}}}} {\f}}}}}}}}}} {\f}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}} {\f}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}$
• ${\displaystyle \sum {\fnh} {\fnh} {\fnh}} {\fnh}} {\fnh} {\fnh}} {\fn}} {\fn} {\fn} {\fn}} {\fn\fn} {\fnh} {\fn}}}}}\cdot {\cdot}}}}}} {\f}}}}}} {\f} {\f}}}}}}} {\f}}} {\f}}} {\f}}}}}} {\cdot}} {\f}}}}}}}}}}} {\f}}}}}}}}}}}} {\f} {\f}}}} {\f}}}}}}}}}} {\f}}}}\f}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}} {\cdot\cdot} {\cdot}$

Por lo tanto, podemos aproximar la radiancia como

${\displaystyle L({\vec {}},{\hat {\s},t)={\frac {1}{4\pi} {\fnh} {\fnh}} {\fnh} {\fnh} {\fnh} {\fnh} {\fn} {\fn} {\fn\fnh}}}\cdot {\fnh}}}}}$

Sustituyendo la expresión anterior para el resplandor, el RTE puede ser reescrito respectivamente en formas escalar y vectoriales como sigue (El término de dispersión del RTE está integrado sobre el ${\displaystyle 4\pi}$ ángulo sólido. Para la forma vectorial, el RTE se multiplica por la dirección ${\displaystyle {\hat {}}}$ antes de la evaluación:

${\fnMicrosoft {\fnMicrosoft {\fnMicrosoft {\fnMicrosoft {\fnMicrosoft {\\fnMicrosoft} {c\partial} ¿Qué? Phi ({\vec {r},t)+\nabla \cdot {\vec {J}({\vec {r},t)=S({\vec {r},t)}$

${\fnh} {\fnh} {\fnh} {\fnh}} {\fnh} {\fnh}}}+(\mu _{a}+\mu}){\vec {} {\fnh} {\fnh} {\fn\fnh}\fnh}\fn\fn\fnhnh}\f}\f}\fnh}}}}}\f}}}}\nblablablablablablablablablablablablan} {\f}}} {\f}}}}}}\n}\fn}}\\n\nh}\fnh}\\fnh}}\fn\fn}\fnh}}\fnh}}\fn\fn}\\fnhn\\fnhnh}\fnK\fnh}\fn}\fnh}\fnhnh}}\fnhnh}\fnhnhn "Phi" ({\vec {r},t)=0}$

La aproximación de difusión se limita a sistemas donde los coeficientes de dispersión reducidos son mucho mayores que sus coeficientes de absorción y tienen un espesor de capa mínimo del orden de unos pocos pasos libres medios de transporte.

Usando la segunda suposición de la teoría de la difusión, observamos que el cambio fraccional en la densidad actual ${\displaystyle {\vec}({\vec}},t)}$ sobre un transporte significa camino libre es insignificante. La representación vectorial de la teoría de la difusión RTE reduce a la ley de Fick ${\displaystyle {\vec {}({\vec {}},t)={\frac {-\nabla {\fnh}}}}}}}$, que define la densidad actual en términos de la gradiente de la tasa de fluencia. Sustituir la ley de Fick en la representación escalar del RTE da la ecuación de difusión:

${\displaystyle {\frac}{\frac {\partial \Phi ({\vec {}},t)}{\partial {\f} ¿Qué? Phi ({\vec {r},t)-\nabla \cdot [D\nabla \Phi ({\vec {r},t)]=S({\vec {r},t)}$

${\displaystyle D={}{3(\mu _{a}+\mu _{s}}}}}}}$ es el coeficiente de difusión y μ '_s${\displaystyle =(1-g)}$μ_s es el coeficiente de dispersión reducido.
Notablemente, no hay dependencia explícita del coeficiente de dispersión en la ecuación de difusión. En cambio, sólo el coeficiente de dispersión reducido aparece en la expresión para ${\displaystyle D}$. Esto conduce a una relación importante; la difusión no se ve afectada si la anisotropía del medio de dispersión se cambia mientras que el coeficiente de dispersión reducido permanece constante.

Para diversas configuraciones de límites (por ejemplo, capas de tejido) y fuentes de luz, la ecuación de difusión puede resolverse aplicando condiciones de límites apropiadas y definiendo el término fuente ${\displaystyle S({\vec},t)}$ como la situación exige.

En esta sección se presenta una solución a la ecuación de difusión para el caso simple de una fuente de punto corta pulsada en un medio homogéneo infinito. El término fuente en la ecuación de difusión se convierte ${\displaystyle S({\vec {r}},t,{\vec {r}',t')=\delta ({\vec {r}}-{\vec {r}')\delta (t-t')}$, donde ${\displaystyle {\vec}}$ es la posición en la que se mide la tasa de fluencia y ${\displaystyle {\vec}}$ es la posición de la fuente. Los picos de pulso a la vez ${\displaystyle t}$. La ecuación de difusión se resuelve para la tasa de fluencia para producir la función verde para la ecuación de difusión:

${\displaystyle {\fnMicrosoft Sans Serif} {\fnMicroc {\fnMicroc} {\fnMicroc {\c} {\fnunci} {\fnunci} {\fnMicroc {\fnMicroc {\fn}- {\fnK} {\c\fnMicrosoft} {\fnMicrosoft}} {\f}}}}}}\f}}}\fn\c\c\c\c\c\c\c\c\c\c\c\c\c\c\c\c\c\c\c\c\c\c\c\c\c\c\c\c\c\c\c\c\c\c\c\c\c\c\c\c\c\c\c\c\c\c\c\c\c\c\c\c\c\c\c\c\c\c\c\c\c\c\c\c\c\c\c\c\c\c\c$

El término ${\displaystyle \exp \left[-\mu _{a}c(t-t')\right]$ representa el deterioro exponencial de la tasa de fluencia debido a la absorción de acuerdo con la ley de la Cerveza. Los otros términos representan la ampliación debido a la dispersión. Dada la solución anterior, una fuente arbitraria puede caracterizarse como una superposición de fuentes de puntos cortos. Tomar la variación del tiempo de la ecuación de difusión da lo siguiente para una fuente de punto independiente del tiempo ${\displaystyle S({\vec {})=\delta ({\vec {r})}$:

${\displaystyle {\fn} {\fn} {\fn0}} {4\pi} Dr.$

${\displaystyle \mu _{\mathrm {eff} }={\sqrt {\frac # - Sí.$ es el coeficiente de atenuación eficaz e indica la tasa de decaimiento espacial en la fluencia.

La consideración de las condiciones de límites permite el uso de la ecuación de difusión para caracterizar la propagación de la luz en medios de tamaño limitado (donde se deben considerar interfaces entre el medio y el medio ambiente). Para comenzar a abordar un límite, se puede considerar lo que sucede cuando los fotones en el medio alcanzan un límite (es decir, una superficie). El resplandor integrado por la dirección en el límite y dirigido hacia el medio es igual al radiante integrado por la dirección en el límite y dirigido hacia fuera del medio multiplicado por la reflectancia ${\displaystyle R_{F}$:

${\displaystyle \int _{\hat {\f}\cdot {\hat {} {\fn} {\fn} {\fn} {\fn}\fn} {\fn}}\cdot {\cdot {\fn}d} {\fn}d} Omega =\int _{\hat {}\cdot {\hat} {\fn} {\fn} {\fn}}\cdot {\fn})L({\vec {}},{\hat { s}},t){\hat {\fn}\cdot {\hat {\hat {\f}d}d} {\fn} {\f}} {\fn} {\f}}}} {\f}} {\f}}}}} {\f}}}}}}} {\f}}}} {\f}}} {\f} {\f}}}}}} {\f}}}}}}}}}} {\f}}}}}}}}}} {\f}}}}}}}} {\f} {\f} {\cdot}} {\cdot}} {\f}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}} {\f}}} {\f}}}}}}}}}}}}}} {\cdot} Omega$

Donde ${\displaystyle {\hat {n}}}$ es normal y apuntando lejos del límite. La aproximación de difusión da una expresión para el resplandor ${\displaystyle L.$ en términos de tasa de fluencia ${\displaystyle \Phi$ y densidad actual ${\displaystyle {\vec}}$. Evaluar las integrales anteriores después de la sustitución da:

${\displaystyle {\frac {\fnMic {\fnh}}}{4}}+{\vec {}} {\vec {\fnh}},t)\cdot {\frac {\hat {\hat} {\fnK}} {\fnMit} {n}{2}=R_{ Phi }{\frac {\fnh} {\fnh}} {\fnh} {\fnh} {\fnh} {\fnh}} {\fnh}}\cdot {\fn\fnh}\fnh00}\cdot} {n}{2}}}$

• ${\displaystyle R_{\phi }=\int _{0}{\pi /2}2\sin \theta \cos \theta R_{F}(\cos \theta)d\theta }$
• ${\displaystyle R_{J}=\int _{0}{\pi /2}3\sin \theta (\cos \theta)^{2}R_{F}(\cos \theta)d\theta }$

Sustituyendo la ley de Fick (${\displaystyle {\vec {} {\vec} {\fn},t)=-D\nabla "Phi" ({\vec {r},t)}$) da, a una distancia de la frontera z=0,

${\displaystyle {\fnMicrosoft Sans {\fnMicrosoft Sans Serif} {\fnMicroc {\parial \Phi ({\vec {r}},t)}{\partial z}}}} {\f}}}$

• ${\displaystyle A_{z}=2D{\frac {1+R_{\mathrm {eff} }{1-R_{\mathrm {eff}}}} {}}} {\f}} {\fn}}}}}} {\f}}$
• ${\displaystyle ¿Qué? {\cHFF} Phi ¿Qué? Phi }$

Es deseable identificar un límite de influencia cero. Sin embargo, la tasa de fluencia ${\displaystyle \Phi (z=0,t)}$ en un límite físico es, en general, no cero. Un límite extrapolado, en ${\displaystyle z}$_b para qué tasa de fluencia es cero, se puede determinar para establecer fuentes de imagen. Usando una aproximación de la serie Taylor de primer orden,

${\displaystyle \left.\Phi (z=-A_{z},t)\approx \Phi (z=0,t)-A_{z}{\frac {\partial \Phi ({\vec {r},t)}{\partial z}}}}\right sometida_{z=0}}$

que evalúa a cero desde ${\displaystyle {\fnMicrosoft Sans {\fnMicrosoft Sans Serif} {\fnMicroc {\parial \Phi ({\vec {r}},t)}{\partial z}}}} {\f}}}$. Así, por definición, ${\displaystyle z}$_b Debe ser ${\displaystyle -A.$_z como se define anteriormente. Notablemente, cuando el índice de refracción es el mismo en ambos lados del límite, ${\displaystyle R.$_F es cero y el límite extrapolado está en ${\displaystyle z}$_b${\displaystyle =-2D}$.

Utilizando condiciones de contorno, se puede caracterizar aproximadamente la reflectancia difusa de un haz de luz lineal que incide normalmente en un medio semiinfinito. El haz se representará como dos fuentes puntuales en un medio infinito, como se indica a continuación (Figura 2):

1. Set dispersando la anisotropía ${\displaystyle g}$₂${\displaystyle =0}$ para el medio de dispersión y establecer el nuevo coeficiente de dispersión μ_s2 al μ original_s1 multiplicado por ${\displaystyle (1-g}$₁${\displaystyle)}$, donde ${\displaystyle g}$₁ es la anisotropía dispersa original.
2. Convertir el rayo de lápiz en una fuente de punto isotrópico a una profundidad de un transporte significa camino libre ${\displaystyle l}$' debajo de la superficie y el poder = ${\displaystyle a}$'.
3. Implementar la condición de límite extrapolado agregando una fuente de imagen de signo opuesto sobre la superficie ${\displaystyle l}$'${\displaystyle +2z}$_b.

Las dos fuentes puntuales pueden caracterizarse como fuentes puntuales en un medio infinito mediante

${\displaystyle \Phi _{\infty }(r,\thetaz;r,\theta ',z')={\frac {1}{4\pi ¿Qué?$

${\displaystyle \rho }$ es la distancia desde el punto de observación ${\displaystyle (r,\thetaz)}$ a la ubicación de origen ${\displaystyle (r',\theta ',z')}$ en coordenadas cilíndricas. La combinación lineal de las contribuciones de la tasa de fluencia de las dos fuentes de imagen es

${\displaystyle \Phi (r,\thetaz;r',\theta ',z')=a'\Phi _{\infty }(r,\thetaz;r',\theta ',z')-a'\Phi _{\infty }(r,\thetaz;r',\theta ',-z'-2z_{b})}$

Esto se puede utilizar para obtener una reflexión difusa ${\displaystyle R.$_d${\displaystyle (r)}$ via La ley de Fick:

${\fnMicrosoft Sans Serif} {\fnMicrosoft Sans Serif} {\fnMicrosoft Sans Serif} {\f} {\fnMicroc {\fnMicrosoft} {\fnMicrosoft} {\fnMicrosoft}}}\rho _{1}})\f}\m} {\m} {\m} {\m\m\m} {\f}}\f}\f}}}}\f}}}}\f} {\f}\f} {\f}\f} {\f}\f}\f}\f}\f}\f}\f}}\f}\f}\f}\f}\f}\f}\f}\f}\f}\f}\f}\f}\f}\f}\f}\f}\f}\f}\f}\f}\f}\f}\f}\f}\f}\f}\f}\f}\f}\f}\f ¿Por qué? ¿Qué?$

${\displaystyle \rho ¿Qué?$ es la distancia desde el punto de observación ${\displaystyle (r,0,0)}$ a la fuente ${\displaystyle (0,0,z')}$ y ${\displaystyle \rho _{2}$ es la distancia desde el punto de observación a la fuente de imagen en ${\displaystyle (0,0,-z'-2z}$_b${\displaystyle)}$.

Vamos. ${\displaystyle "Phi" ({\vec {r},t)}$ ser la solución de función verde a la ecuación de difusión para un medio homogéneo de propiedades ópticas ${\displaystyle \mu _{a}}$, ${\displaystyle \mu _{s}}$, entonces la solución de función verde para un medio homogéneo que difiere del primero sólo por propiedades ópticas ${\displaystyle {\bar {\fnMicrosoft {\fnMicrosoft {\fnMicrosoft {\\fnMicrosoft {\\\fnMicrosoft {\\fnMicrosoft {\fnMicrosoft {\fnMicrosoft {\\\\fnMicrosoft {\\\\fnMicrosoft {\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\ }$, ${\displaystyle {\bar {\fnMicrosoft {\fnMicrosoft {\fnMicrosoft {\\fnMicrosoft {\\\fnMicrosoft {\\fnMicrosoft {\fnMicrosoft {\fnMicrosoft {\\\\fnMicrosoft {\\\\fnMicrosoft {\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\ }$, tal que ${\displaystyle {\bar {\fnMicrosoft {\fnMicrosoft {\fnMicrosoft {\\fnMicrosoft {\\\fnMicrosoft {\\fnMicrosoft {\fnMicrosoft {\fnMicrosoft {\\\\fnMicrosoft {\\\\fnMicrosoft {\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\ }_{a}/\mu {\fnMicrosoft Sans Serif} {\fnMicrosoft Sans Serif} {\fnMicrosoft Sans Serif} - Sí.$, se puede obtener con el siguiente escalado:

${\displaystyle {\bar {\Phi}} {\bar {\vec}}},{\bar {}}=\left({\frac {\frac}}} {\fn\fn\fnh} {\fnh\fnh\fnh\fnh\fnh\\\fn\\\fn\\\\\\fn\\\\\\\\cH00\fnh\\\\\\\\fnh\\\\\\fnh\\\\\\\\\\\\\\\\\\fnhnh\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\cH\cH\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\cH\\\\\\\\\\\\cH\\\\\\\\\\\\\\\cH\\\\\cH\\\\\cH\\\\cH\\\\\\\\\\cH\cH\cH\cH\\\\\\\\\\cH\\\\\\\\cH {\fnMicrosoft Sans Serif} Phi ({\vec {r},t)}$

Donde ${\displaystyle {\bar {\vec {}={\vec} {}{\frac} {\fnMicrosoft Sans Serif} {\fnMicrosoft Sans Serif} {\fnMicrosoft Sans Serif} {\f} {\fnMicrosoft Sans Serif} {\fnMicrosoft Sans Serif} {\fnMicrosoft Sans Serif} {\f}}} {\fnMicrosoft Sans}}} {\f} {\f}}}}}}}} {\f}} {\f}}}}}} {\b}}\b} {\b}}\f}}}}} {\b}\b} {\b} {\b} {\b}\b}}\b}\b}}}}}}\b\b} {\b}\b} {\b} {\b}\b}\b} {\b}\b}\b}\b}}}}}}\b}\b}\b}\b\b}\b}\b}\b}\b}\b}}\b}}} }$ y ${\displaystyle {\bar}=t{\frac} {\fnMicrosoft Sans Serif} {\fnMicrosoft Sans Serif} {\fnMicrosoft Sans Serif} {\f} {\fnMicrosoft Sans Serif} {\fnMicrosoft Sans Serif} {\fnMicrosoft Sans Serif} {\f}}} {\fnMicrosoft Sans}}} {\f} {\f}}}}}}}} {\f}} {\f}}}}}} {\b}}\b} {\b}}\f}}}}} {\b}\b} {\b} {\b} {\b}\b}}\b}\b}}}}}}\b\b} {\b}\b} {\b} {\b}\b}\b} {\b}\b}\b}\b}}}}}}\b}\b}\b}\b\b}\b}\b}\b}\b}\b}}\b}}} }$.

Esta propiedad también puede extenderse al resplandor en el marco general más general del RTE, sustituyendo los coeficientes de transporte ${\displaystyle {\bar {\fnMicrosoft {\fnMicrosoft {\fnMicrosoft {\\fnMicrosoft {\\\fnMicrosoft {\\fnMicrosoft {\fnMicrosoft {\fnMicrosoft {\\\\fnMicrosoft {\\\\fnMicrosoft {\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\ }$, ${\displaystyle \mu _{s}}$ con los coeficientes de extinción ${\displaystyle {\bar {\fnMicrosoft {\fnMicrosoft {\fnMicrosoft {\\fnMicrosoft {\\\fnMicrosoft {\\fnMicrosoft {\fnMicrosoft {\fnMicrosoft {\\\\fnMicrosoft {\\\\fnMicrosoft {\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\ }$, ${\displaystyle \mu _{t}$.

La utilidad de esta propiedad reside en tomar los resultados obtenidos para una geometría dada y un conjunto de propiedades ópticas, típicas de un entorno de laboratorio, reescalarlos y extenderlos a contextos en los que sería complicado realizar mediciones debido a su gran extensión o inaccesibilidad.

Vamos. ${\displaystyle "Phi" ({\vec {r},t,\mu _{a}=0)}$ ser la solución de función verde a la ecuación de difusión para un medio homogéneo no absorbente. Luego, la solución de función verde para el medio cuando su coeficiente de absorción es ${\displaystyle \mu _{a}}$ se puede obtener como:

${\displaystyle \Phi ({\vec {r},t,\mu _{a})=\Phi ({\vec {r}},t,\mu _{a}=0)\exp(-\mu _{a}vt)}$

De nuevo, la misma propiedad también se aplica a la radiancia dentro del RTE.

Las simulaciones de Monte Carlo del transporte de fotones, aunque requieren mucho tiempo, predicen con precisión el comportamiento de los fotones en un medio disperso. Las suposiciones involucradas en la caracterización del comportamiento de los fotones con la ecuación de difusión generan imprecisiones. Generalmente, la aproximación de difusión es menos precisa a medida que el coeficiente de absorción μ_a aumenta y el coeficiente de dispersión μ_s disminuye. Para un haz de fotones que incide en un medio de profundidad limitada, el error debido a la aproximación de difusión es más prominente dentro de una trayectoria libre media de transporte desde el punto de incidencia del fotón (donde la radiancia aún no es isótropa) (Figura 3). Entre los pasos para describir un haz de lápiz incidente en un medio semiinfinito con la ecuación de difusión, la conversión del medio de anisotrópico a isotrópico (paso 1) (Figura 4) y la conversión del haz a una fuente (paso 2) (Figura 5) generan mayor error que la conversión de una sola fuente a un par de fuentes de imagen (paso 3) (Figura 6). El paso 2 genera el error más significativo.

• 
  Figure 3: Diffuse reflectance vs. radius from an incident lápiz rayo as determined by a Monte Carlo simulation (red) and diffuse reflectance vs. radius from two isotropic point sources as determined by the diffusion theory solution to the RTE (blue). El transporte significa camino libre es de 0,1 cm.
• 
  Gráfico 4: Reflexión difusa vs. radius del rayo de lápiz de incidentes para un medio anisotrópico (azul) e isotrópico (rojo).
• 
  Figure 5: Diffuse reflectance vs. radius from photon source for a lápiz rayo (azul) and an isotropic point source (red).
• 
  Figure 6: Diffuse reflectance vs. radius from the photon source for an isotropic point source as characterized by the solution to the RTE (blue) and a Monte Carlo simulation (red).

• Monte Carlo método para el transporte de fotones
• Transferencia radiactiva

• LV Wang & HI Wu (2007). Óptica biomédica. Wiley. ISBN 978-0-471-74304-0.

• S.G. Proskurin (2011). "Quantum Electron. 41 402". Electrónica cuántica. 41 5): 402 –406. doi:10.1070/QE2011v041n05ABEH014597. S2CID 122946781. (2011)