Ecuación de Tolman-Oppenheimer-Volkoff

En astrofísica, la ecuación de Tolman-Oppenheimer-Volkoff (TOV) restringe la estructura de un cuerpo de material isótropo con simetría esférica que se encuentra en equilibrio gravitacional estático, tal como lo modela la relatividad general. La ecuación es

${\displaystyle {\frac {}{dr}={\frac} {Gm}{2}}\rho \left(1+{\frac {}{\rho c^{2}}}\right)\left(1+{\frac {4\pi) ¿Qué?$

Aquí, ${\textstyle r}$ es una coordinación radial, y ${\textstyle \rho (r)}$ y ${\textstyle P(r)}$ son la densidad y la presión, respectivamente, del material en el radio ${\textstyle r}$. La cantidad ${\textstyle m(r)}$, la masa total dentro ${\textstyle r}$, se discute a continuación.

La ecuación se obtiene resolviendo las ecuaciones de Einstein para una métrica general invariante en el tiempo y esféricamente simétrica. Para una solución a la ecuación de Tolman-Oppenheimer-Volkoff, esta métrica tomará la forma

${\displaystyle ################################################################################################################################################################################################################################################################$

Donde ${\textstyle \nu (r)}$ se determina por la limitación

${\displaystyle {\frac {\fn\fn\fn\\fn\\\\fn\\fn\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\c\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\cH\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\ }=-\left({\frac {2} {\fn} {\fnK}}} {\fnK}}} {\f}}}} {\f}}} {\f}}}}} {\f}}}}} {\f}} {\f}}}}}}}}}}} {\f}}}}}}}}} {\f}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}} {\$

Cuando se complementa con una ecuación de estado, ${\textstyle F(\rhoP)=0}$, que relaciona densidad con presión, la ecuación Tolman-Oppenheimer-Volkoff determina completamente la estructura de un cuerpo simétrico esférico de material isotrópico en equilibrio. Si términos de orden ${\textstyle 1/c^{2}$ son descuidados, la ecuación Tolman-Oppenheimer-Volkoff se convierte en la ecuación hidrostática Newtoniana, utilizada para encontrar la estructura de equilibrio de un cuerpo esférico simétrico de material isotrópico cuando las correcciones general-relativista no son importantes.

Si la ecuación se utiliza para modelar una esfera atada de material en un vacío, la condición de cero presión ${\textstyle P(r)=0}$ y la condición ${\textstyle e^{\nu} }=1-2Gm/c^{2}r}$ debe imponerse en la frontera. La segunda condición límite se impone de modo que la métrica en el límite sea continua con la única solución estática esférica simétrica a las ecuaciones de campo de vacío, la métrica Schwarzschild:

${\displaystyle ########## {2GM}{2}\right)c^{2}\right)c^{2}\,dt^{2}-\left(1-{\frac {2GM}{2}{2}\right)^{-1}\dr^{2}-r^{2} {2} {2}{2} {\theta} {2} {\theta}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}} {\c}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}} {\c} {\c}}}}}}}} {\c}\c}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}} {\c}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}$

${\textstyle m(r)}$ es la masa total contenida dentro del radio ${\textstyle r}$, medido por el campo gravitacional sentido por un observador distante. Satisfecho ${\textstyle m(0)=0}$.

${\displaystyle {\frac {dm}=4\pi} .$

Aquí, ${\textstyle M}$ es la masa total del objeto, de nuevo, medida por el campo gravitacional que siente un observador distante. Si el límite está en ${\textstyle r=R}$, continuidad de la métrica y definición de ${\textstyle m(r)}$ exigir que

${\displaystyle M=m(R)=\int ¿Por qué?$

Por otra parte, calcular la masa integrando la densidad del objeto sobre su volumen dará como resultado el valor más grande.

${\displaystyle M_{1}= ¿Qué? {\fnMicroc {2Gm}}}\,dr}$

La diferencia entre estas dos cantidades,

${\displaystyle \delta M=\int ¿Por qué?$

será la energía de unión gravitacional del objeto dividido por ${\textstyle c^{2}$ y es negativo.

Supongamos un fluido perfecto, estático y esféricamente simétrico. Los componentes métricos son similares a los de la métrica de Schwarzschild:

${\displaystyle c^{2}\,d\tau ^{2}=g_{\nu }\,dx^{\mu }\,dx^{\nu }=e^{\nu }c^{2}\,dt^{2}-e^{\lambda }\,dr^{2}-r^{2}\,d\theta }$

Según el supuesto de fluido perfecto, el tensor de tensión-energía es diagonal (en el sistema de coordenadas esféricas central), con valores propios de densidad de energía y presión:

${\displaystyle T_{0}=\rho c^{2}$

y

${\displaystyle ¿Por qué?$

Donde ${\textstyle \rho (r)}$ es la densidad del fluido y ${\textstyle P(r)}$ es la presión del fluido.

Para continuar, resolvemos las ecuaciones de campo de Einstein:

${\displaystyle {\frac {8\fn\fnMicrosoft {\fnMicrosoft {\fnMicrosoft {\c\c\c\fn\c\\fn\\fn\fn\fn\\fn\\\fn\\\fnMicroc} G} {c^{4}}T_{\mu\nu }=G_{\mu\nu }$

Consideremos primero el ${\textstyle G_{00}$ componente:

${\displaystyle {\frac {8\fn\fnMicrosoft {\fnMicrosoft {\fnMicrosoft {\c\c\c\fn\c\\fn\\fn\fn\fn\\fn\\\fn\\\fnMicroc} G} {c^{4}\rho c^{2}e^{\nu }={\frac {e^{\nu {\fnK} {\fnK} {\fnMicroc}[re^{-\lambda }}\right)}$

Integrar esta expresión de 0 a 0 ${\textstyle r}$, obtenemos

${\displaystyle e^{-\lambda }=1-{\frac {2Gm} {rc^{2}}}$

Donde ${\textstyle m(r)}$ se define en la sección anterior.

Siguiente, considerar el ${\textstyle G_{11}$ componente. Explícitamente, tenemos

${\displaystyle -{\frac {8\pi G} {c^{4}}Pe^{\lambda }={\frac {-r\nu '+e^{\lambda - Sí.$

que podemos simplificar (utilizando nuestra expresión para ${\textstyle e^{\lambda }$) a

${\displaystyle {\frac {\fn\fn\fn\\fn\\\\fn\\fn\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\c\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\cH\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\ } {dr}={\frac {1} {r}\left(1-{2Gm}{c^{2}r}\right)^{-1}\left({\frac {2Gm}{c^{2}r}}+{\frac {8\pic} G} {c^{4}}r^{2}P\right)}$

Obtenemos una segunda ecuación exigiendo la continuidad del tensor de energía del estrés: ${\textstyle \nabla _{\mu }T_{\,\nu }{\mu }=0}$. Observando que ${\textstyle \partial ¿Qué? =\partial ¿Qué?$ (ya que se supone que la configuración es estática) y que ${\textstyle \partial _{\phi }P=\partial _{\theta }P=0}$ (ya que la configuración es también isotrópica), obtenemos en particular

${\displaystyle 0=\nabla _{\mu }T_{1} {\mu }=-{\frac {\fnK} {\fnK}}\left(P+\rho c^{2}\right){\frac {d\nu } {dr}\;$

Reordenando los términos obtenemos:

${\displaystyle {\frac {\fnK}=-\left({\frac {\rho c^{2}+P}{2}}\right){\frac} {d\nu}{dr}\;}$

Esto nos da dos expresiones, ambas conteniendo ${\textstyle d\nu /dr}$. Eliminar ${\textstyle d\nu /dr}$, obtenemos:

${\displaystyle {\frac {\f}=-{\frac {} {\f}\left({\frac {\rho c^{2}+P}{2}\right)\left({\frac {\fnMicroc {\f}\f}\f}\f}\f}\fnK\fnK}\f}\f}\f}\f}\f}\f}\f}\f}\f}\f}\f}\f}\f}\f}\f}\f}\f}\f}\f}\f}\fnK\p}\f}\f}\f}\f}\f}\f}\f}\p}\fnhnh}\fnhnh}\fnh}\p}\fnhnMinhnh}\fnhnhnhnhnhnhnhnhnhnhnhnh}\fnhnhnh}\fnhn {2Gm}{2}r}+{\frac {8\pi} G} {c^{4}}r^{2}P\right)\left(1-{\frac ¿Qué?$

Sacar un factor de ${\textstyle G/r}$ y factores de reorganización de 2 y ${\textstyle c^{2}$ resultados en la ecuación Tolman-Oppenheimer-Volkoff:

${\displaystyle {\frac {}{dr}={\frac} {G}{2}\left(\rho +{\frac} {P}{2}}\derecha)\left(m+4\pi r^{3}{\frac} {P}{c^{2}}\right)\left(1-{\frac {2Gm}{c^{2}r}\right)}{-1}}$

Richard C. Tolman analizó métricas esféricamente simétricas en 1934 y 1939. La forma de la ecuación que se da aquí fue derivada por J. Robert Oppenheimer y George Volkoff en su artículo de 1939, "On Massive Neutron Cores". En este artículo, la ecuación de estado para un gas degenerado de neutrones de Fermi se utilizó para calcular un límite superior de ~0,7 masas solares para la masa gravitatoria de una estrella de neutrones. Dado que esta ecuación de estado no es realista para una estrella de neutrones, esta masa límite es igualmente incorrecta. Utilizando observaciones de ondas gravitacionales de fusiones de estrellas de neutrones binarias (como GW170817) y la información posterior de la radiación electromagnética (kilonova), los datos sugieren que el límite máximo de masa está cerca de 2,17 masas solares. Las estimaciones anteriores para este límite varían de 1,5 a 3,0 masas solares.

En la aproximación post-Newtoniana, es decir, campos gravitacionales que se desvían ligeramente del campo de Newtonian, la ecuación se puede ampliar en poderes de ${\textstyle 1/c^{2}$. En otras palabras, tenemos

${\displaystyle {\frac {}{dr}={\frac} {Gm}{2}}\rho \left(1+{\frac} {P}{\rho ¿Qué? }$

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