Ecuación de Slutsky

En microeconomía, la ecuación de Slutsky (o identidad de Slutsky), que lleva el nombre de Eugen Slutsky, relaciona los cambios en la demanda marshalliana (no compensada) con los cambios en la demanda hicksiana (compensada). , que se conoce como tal ya que compensa mantener un nivel fijo de utilidad.

Hay dos partes de la ecuación de Slutsky, a saber, el efecto sustitución y el efecto ingreso. En general, el efecto sustitución puede ser negativo para los consumidores, ya que puede limitar las opciones. Diseñó esta fórmula para explorar la respuesta del consumidor a medida que cambia el precio. Cuando el precio aumenta, el presupuesto establecido se mueve hacia adentro, lo que también hace que la cantidad demandada disminuya. Por el contrario, cuando el precio disminuye, el presupuesto establecido se mueve hacia afuera, lo que conduce a un aumento en la cantidad demandada. El efecto sustitución se debe al efecto del cambio de precio relativo, mientras que el efecto ingreso se debe al efecto de la liberación de ingreso. La ecuación demuestra que el cambio en la demanda de un bien, causado por un cambio de precio, es el resultado de dos efectos:

• un efecto de sustitución: cuando el precio de los buenos cambios, ya que se vuelve relativamente más barato, si el consumo hipotético sigue siendo el mismo, los ingresos serían liberados que podrían ser gastados en una combinación de cada o más de los bienes.
• un efecto de ingreso: el poder adquisitivo de un consumidor aumenta como resultado de una disminución de precios, por lo que el consumidor puede ahora permitir mejores productos o más de los mismos productos, dependiendo de si el producto en sí es un bien normal o un bien inferior.

La ecuación de Slutsky descompone el cambio en la demanda del bien i en respuesta a un cambio en el precio del bien j:

${\displaystyle {\partial x_{i}(\mathbf {p}w) \over \partial p_{j}={\partial h_{i}(\mathbf {p}u) \over \partial p_{j}-{\partial x_{i}(\mathbf {p}w) \over \partial w}x_{j}(\mathbf {p}w),\,}$

Donde ${\displaystyle h(\mathbf {p}u)}$ es la demanda Hicksian y ${\displaystyle x(\mathbf {p}w)}$ es la demanda Marshall, en el vector de los niveles de precios ${\displaystyle \mathbf {p}$, nivel de riqueza (o, alternativamente, nivel de ingresos) ${\displaystyle w}$, y nivel de utilidad fijo ${\displaystyle u}$ dado por la máxima utilidad al precio original y los ingresos, otorgados formalmente por la función de utilidad indirecta ${\displaystyle v(\mathbf {p}w)}$. El lado derecho de la ecuación es igual al cambio en la demanda del bien i utilidad fijada u menos la cantidad de bueno j demandado, multiplicado por el cambio de demanda para el bien i cuando la riqueza cambia.

El primer término del lado derecho representa el efecto sustitución y el segundo término representa el efecto ingreso. Tenga en cuenta que, dado que la utilidad no es observable, el efecto de sustitución no es directamente observable, pero puede calcularse con referencia a los otros dos términos de la ecuación de Slutsky, que son observables. Este proceso a veces se conoce como descomposición de Hicks de un cambio de demanda.

La ecuación se puede reescribir en términos de elasticidad:

${\displaystyle \varepsilon _{p,ij}=\varepsilon ¿Qué? ¿Qué?$

donde ε_p es la elasticidad precio (no compensada), ε_p^h es la elasticidad precio compensada, ε_w,i la elasticidad ingreso del bien i y b_{j< /sub>} la proporción del presupuesto del bien j.

En general, en palabras simples, la ecuación de Slutsky establece que el cambio total en la demanda consiste en un efecto ingreso y un efecto sustitución y ambos efectos en conjunto deben igualar el cambio total en la demanda.

${\displaystyle \Delta x_{1}=\ Delta x_{1}{s}+\ Delta.$

La ecuación anterior es útil ya que representa la fluctuación de la demanda y es indicativa de diferentes tipos de bienes. El efecto sustitución siempre resultará negativo ya que las curvas de indiferencia siempre tienen pendiente negativa. Sin embargo, no se aplica lo mismo al efecto ingreso, ya que depende de cómo cambia el consumo de un bien con el ingreso.

El efecto renta sobre un bien normal es negativo, y si el precio disminuye, en consecuencia el poder adquisitivo o la renta aumentan. Lo contrario ocurre cuando el precio aumenta y el poder adquisitivo o el ingreso disminuyen, como resultado de lo cual también lo hace la demanda.

En general, no todos los bienes son "normales". Aunque en el sentido económico algunos son inferiores. Sin embargo, eso no equivale en términos de calidad a que sean pobres, sino que establece un perfil de ingresos negativo: a medida que aumentan los ingresos, el consumo del bien por parte de los consumidores disminuye.

Por ejemplo, los consumidores que se están quedando sin dinero para comprar alimentos compran fideos instantáneos; sin embargo, el producto generalmente no se considera algo que la gente normalmente consumiría a diario. Esto se debe a las limitaciones en términos de dinero; A medida que aumenta la riqueza, disminuye el consumo. En este caso, el efecto sustitución es negativo, pero el efecto renta también es negativo.

En cualquier caso el efecto sustitución o efecto renta son positivos o negativos cuando los precios aumentan depende del tipo de bien:

Sin embargo, es imposible saber si el efecto total será siempre negativo si se mencionan bienes complementarios inferiores. Por ejemplo, el efecto sustitución y el efecto ingreso van en direcciones opuestas. El efecto total dependerá de qué efecto sea finalmente más fuerte.

Derivación

Aunque hay varias maneras de derivar la ecuación Slutsky, el siguiente método es probablemente el más simple. Comenzar notando la identidad ${\displaystyle h_{i}(\mathbf {p}u)=x_{i}(\mathbf {p}e(\mathbf {p}u)}$ Donde ${\displaystyle e(\mathbf {p}u)}$ es la función de gastos, y u es la utilidad obtenida maximizando la utilidad dada p y w. Totalmente diferenciado con respecto a p_j rendimientos como los siguientes:

${\fnMicrosoft {\fnMicrosoft {\fnMicrosoft {\fnMicrosoft {\fnMicrosoft {\\fnMicrosoft} {\fnMicrosoft Sans Serif} {\fnMicrosoft Sans Serif} p_{j}}={\frac {\partial x_{i}(\mathbf {p}e(\mathbf {p}u)}{\partial {\fnMitbf} {\fnMitbf} {\fnMitbf {\f} {\cHFF}} {\m]}{\mthbf {p}u)}\cdot {\frac {\partial e(\mathbf {p}u)} {\cdot {\cdot {\f {\f}p}u)}\cdot {\cdot {\f {\f {\f}p}t\cdot {\f {\f}p}p}u)}p}p}p}t {\c\c\c\c\c\c\c\c\c\c\c\f}p}p\cH00}p}p}p}p}p}p\cdot {\cH00}\cH00\c\c\cdot {\c\cH00\cH00}\c\cH00\c\c\cH00}\c\cH00}\cdot {\c ¿Qué?$.

Hacer uso del hecho de que ${\displaystyle {\frac {\partial e(\mathbf {p}u)}{\partial ¿Qué?$ por el lema de Shephard y que al máximo,

${\displaystyle h_{j}(\mathbf {p}u)=h_{j}(\mathbf {p}v(\mathbf {p}w)=x_{j}(\mathbf {p}w),}$ Donde ${\displaystyle v(\mathbf {p}w)}$ es la función de utilidad indirecta,

Se puede sustituir y reescribir la derivación anterior como la ecuación de Slutsky.

La matriz Slutsky

La ecuación de Slutsky se puede reescribir en forma matricial:

${\fnMitbf {\fnMitbf} {\fnMitbf {\f}h} (\mathbf {p}h}h)-\mathbf {d_{w}x} (\mathbf {\f}w)\mathbf {x} (\Mathbf} {\f} {\cH00\f}\cH00\f}\f}\f}\f}\f}\cH00\cH00}\cH00\f}\cH00\cH00\cH00\cH00\cH00\cH00\cH00\cH00\cH00\cH00}\cH00\cH00}\cH00\cH00}\cH00}\cH00\cH00\cH00\cH00\cH00}\cH00}\cH00}\cH00\cH00}\cH00\cH00\cH00\cH00}\cH$

donde D_p es el operador de derivados con respecto a los precios y D_w es el operador de derivados con respecto a la riqueza.

La matriz ${\displaystyle \mathbf {D_{p}h} (\mathbf {p}u)}$ es conocido como Matriz de sustitución de Hicksian y se define formalmente como:

${\displaystyle \sigma (\mathbf {p}u):=\mathbf {D_{p}h} (\mathbf {p}u)={\begin{bmatrix}{\frac] {\fnMicrosoft Sans Serif}}\end{bmatrix}}$

La matriz de Slutsky viene dada por:

${\displaystyle S(\mathbf {p}w)=\left({\begin{array}{ccc}{\frac {\partial x_{1}(\mathbf {p}w)}{\partial {\f}{\f}}{\f} p_{1}}}+x_{1}(\mathbf {p}w){\frac {\partial x_{1}(\mathbf {p}w)}{\partial w} {\cdots > {\frac {\partial x_{1}(\mathbf {p}w)}{\partial p_{n}}}+x_{n}(\mathbf {p}w){\frac {\partial x_{1}(\mathbf {p}w)}{\partial w}\\\\\vdots >\vdots \\{\frac {\partial x_{n} {\m} {\m} {\f}}}\f}\f}\f}\fn}\f}\fn}\f}\fn}\f}\fn}\f}\fn}\f}\fn\fn\fn\fn\fn\fn\fn\fn\fn\fn\fn\fn\fn\fn\fn\fn}\fn}\fn\fn\fn\fn\fnh00}\fn\fn}\fn}\fn\fn}\fn\fn\fn}\fnhn}\fn\fn p_{1}}}+x_{1}(\mathbf {p}w){\frac {\partial x_{n}(\mathbf {p}w)}{\partial w} {\cdots > {\frac {\partial x_{n} {\mathbf {p}w)}{\partial w)}{\partial ¿Por qué?$

Cuando ${\displaystyle u}$ es la utilidad máxima que el consumidor logra a precios ${\displaystyle \mathbf {p}$ e ingresos ${\displaystyle w}$, es decir, ${\displaystyle u=v(\mathbf {p}w)}$, la ecuación Slutsky implica que cada elemento de la matriz Slutsky ${\displaystyle S(\mathbf {p}w)}$ es exactamente igual al elemento correspondiente de la matriz de sustitución de Hicksian ${\displaystyle \sigma (\mathbf {p}u)}$. La matriz Slutsky es simétrica, y dado que la función de gasto ${\displaystyle e(\mathbf {p}u)}$ es concave, la matriz Slutsky también es semi-definida negativa.

Ejemplo

Una función de utilidad Cobb-Douglas (ver función de producción de Cobb-Douglas) con dos bienes e ingresos ${\displaystyle w}$ genera demanda Marshall de bienes 1 y 2 de ${\displaystyle x_{1}=.7w/p_{1}$ y ${\displaystyle x_{2}=.3w/p_{2}$Rearrange la ecuación Slutsky para poner el derivado Hicksian en el lado izquierdo produce el efecto de sustitución:

${\fnMicrosoft {\fnMicrosoft {\fnMicrosoft {\fnMicrosoft {\fnMicrosoft {\\fnMicrosoft} {\fnK} {\fnMicrosoft Sans Serif}} {\fnMicrosoft Sans Serif}} {\fnMicrosoft Sans Serif}} {\f}}}} {\fn}}} {\fnMicrosoft}}} {\f}}} {\f}}}} {\fnMicrob}}}}}}}}}}}}} {\b}}}}} {\b}}}}}} {\b}}}}}}}} {\b}}}}}}}}}}} {\b}}}} {\b}}}}}}}}}}}} {\b}}}}}}}}}} {\b}}}}}}}}}}}}}}}}}}}} {\b}}}}}}\p\p\p\p\p\p\p\p\p\p\p\p\b\p\p\p\p\p\p\p\p\p\ {\fnMicroc} {\fnMicrosoft {\fnMicrosoft}}}= {\fnMicrosoft {\fnMicrosoft {\fnMicrosoft {\fnMicrosoft {\fnMicrosoft {\fnMicrosoft}}}} {\fnMicroc {\\fnMicroc}}}}}}}}\\\\\\\\\\fnMicroc}}}}}}}}}}\\\\\\\\\\\fnMicroc\\\\\\\\\fnMicroc\fn\\\\\\\\\\\\\\\\\\fn\\\\\\\\fnMicroc\fnMicroc\\\\\\\\\\\\\\\fn\fn\fn\\\\\fn\\\\fn\\\\\\\\\\fn\\\\\\fn\\\\\\fn x_{1}{\partial {\fnK} {\fnMicroc {\fnK}{1}}{\partial} {\f}}{\f}}} {\f}}} {\fn}}}}} {\fn\fn\fn\fn}}}}}}}}\\\\\\\fnMicroc {\\fn\fn}\\\f}}}\\fn\\\\\\fn\\\\fn\fn\fn\fn\\\\fn}\\\\\\\\\fn\fn\fn}\fn}\fn}\\\\\\\\\fn\\\\\\\fn\fn\fn}\fn}\\\\\\\\\\\\\\\fn\fn}\\fn\fn}\\\fn}\fn\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\ ¿Qué? {7w}{1} {\fn}}+{\frac} {} {\fn} {\fnK}} {\fnK}}}} {\fnK}}} {\f}}}} {\f}}} {\fn}}}}} {\fn}}}}} {\fn}}}}}} {\f}} {\f}}} {\fnMicroc}}}} {\f}}}}} {\f}}}}}}}}}}} {\f}}}}}}}}}} {\f}}}}}} {\f}}}}}} {\f} {\f}}} {\f} {\f}}}}}}}}}}}}} {\f}} {\f} {\f} {\f} {\f}}}}} {\f}}}} {\f} {\f} {\f}} {\f}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}} {} {\fnMicroc}= {\fnMicrosoft Sans} {\fnMicrosoft Sans Serif}} {\fnMicrosoft Sans Serif}}} {\fnMicrosoft Sans Serif} {\fnMicrosoft Sans Serif}} {\fnMicrosoft Sans Serif}} {\f}}} {\fnMicrosoft Sans Serif}}} {\f}}}} {\f}}}}}}}}}}}}} {\f}}}}}}}}}}}}}} {\f}}}}} {\f}}}} {\f}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}} {\f}}}}}}}}}}}}}}} {\f}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}} {\f}}}}}}}}}}}}}}}} {\f}}}}}}}$

Volviendo a la ecuación original de Slutsky, se muestra cómo los efectos sustitución e ingreso se suman para dar el efecto total del aumento de precio sobre la cantidad demandada:

${\fnMicrosoft {\fnMicrosoft {\fnMicrosoft {\fnMicrosoft {\fnMicrosoft {\\fnMicrosoft} x_{1}{\partial {\fnK} {\fnMicroc {\fnK}{1}} {\fnMicroc {\fn} {\fn}} {\fn}} {\fn}}} {\fn}}}} {\fn\fn}}}}} {\fn\f}\fnMicroc {\f}\fn}}}}}}}}}}}}}\\\\\\\\\\\\fn\fn\fn\\\fn\fn\fn\fn\\\\fn\fn\fn\fn\fn\fn\fn\\\\\\\\fn\\\\\fn\fn\fn\fn\fn\fn\\fn\\\\\fn\fn\fn\fn\fn\fn}\fn}\fn\fn\\\fn}\\\\\\\fn\\\\\fn {\fnMicroc} {\fnMicroc} x_{1}{\partial w}x_{1}=-{\frac {\fnMicrosoft Sans Serif} {\fnMicrosoft Sans Serif} {\fnMicrosoft Sans Serif}}} {\fnMicrosoft}}} {\fnMicrosoft} {\fnMicrosoft}} {\fnMicros}}}} {\fnMicros}} {\fnMicros}}}} {\f}}}} {\f}}}}}}} {\f}}}}}}}}}}}} {\f}} {\f} {\f}}}} {\f} {\f}}} {\f}}\f}}}}}}}}}}}}}}}} {\f} {\f}}} {\f}} {\f}}}}}}}}}}}}}}}\f}}} {\f} {\f}\fnMicrob}} {\f}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}} {\fnMicrosoft Sans Serif}$

Así pues, del descenso total del ${\displaystyle.7w/p_{1} {2}}$ en cantidad demandada cuando ${\displaystyle P_{1}$ subidas, 21/70 es del efecto de sustitución y 49/70 del efecto de ingreso. Bien 1 es el bien que este consumidor gasta la mayor parte de sus ingresos en (${\displaystyle P_{1}q_{1}=7w}$), por lo que el efecto de ingreso es tan grande.

Se puede comprobar que la respuesta de la ecuación de Slutsky es la misma que derivando directamente la función de demanda de Hicks, que aquí es

${\displaystyle h_{1}(p_{1},p_{2},u)=.7p_{1}^{-.3}p_{2}u}$

Donde ${\displaystyle u}$ es la utilidad. El derivado es

${\fnMicrosoft {\fnMicrosoft {\fnMicrosoft {\fnMicrosoft {\fnMicrosoft {\\fnMicrosoft} {\fnK} {\fnMicrosoft Sans Serif}} {\fnMicrosoft Sans Serif}} {\fnMicrosoft Sans Serif}} {\f}}}} {\fn}}} {\fnMicrosoft}}} {\f}}} {\f}}}} {\fnMicrob}}}}}}}}}}}}} {\b}}}}} {\b}}}}}} {\b}}}}}}}} {\b}}}}}}}}}}} {\b}}}} {\b}}}}}}}}}}}} {\b}}}}}}}}}} {\b}}}}}}}}}}}}}}}}}}}} {\b}}}}}}\p\p\p\p\p\p\p\p\p\p\p\p\b\p\p\p\p\p\p\p\p\p\ {\fnMicrosoft Sans Serif}$

así como desde la función de utilidad indirecta Cobb-Douglas ${\displaystyle ¿Qué?$ y ${\displaystyle u=v}$ cuando el consumidor utiliza las funciones de demanda especificadas, el derivado es:

${\fnMicrosoft {\fnMicrosoft {\fnMicrosoft {\fnMicrosoft {\fnMicrosoft {\\fnMicrosoft} {\fnK} {\fnMicrosoft Sans Serif}} {\fnMicrosoft Sans Serif}} {\fnMicrosoft Sans Serif}} {\f}}}} {\fn}}} {\fnMicrosoft}}} {\f}}} {\f}}}} {\fnMicrob}}}}}}}}}}}}} {\b}}}}} {\b}}}}}} {\b}}}}}}}} {\b}}}}}}}}}}} {\b}}}} {\b}}}}}}}}}}}} {\b}}}}}}}}}} {\b}}}}}}}}}}}}}}}}}}}} {\b}}}}}}\p\p\p\p\p\p\p\p\p\p\p\p\b\p\p\p\p\p\p\p\p\p\ p_{1}=-.21p_{1}{-1.3}p_{2}{.3}(wp_{1}^{-.7}p_{2}{-.3})=-.21wp_{1}{2}{0}=-{0}=-{0}=-{ {\fnMicrosoft Sans Serif} {\fnMicrosoft Sans Serif} {\fnMicrosoft Sans Serif}}} {\fnMicrosoft Sans Serif}}} {\fnMicrosoft Sans Serif} {\fnMicrosoft Sans Serif}}} {\fnMicrosoft Sans Serif}$

que es, de hecho, la respuesta de la ecuación de Slutsky.

La ecuación de Slutsky también se puede aplicar para calcular el efecto de sustitución de precios cruzados. Uno podría pensar que era cero aquí porque cuando ${\displaystyle p_{2}$ subidas, la cantidad Marshall demandada de buena 1, ${\displaystyle x_{1}(p_{1},p_{2},w),}$ no se ve afectada (${\displaystyle \partial x_{1}/\partial ¿Qué?$), pero eso está mal. Otra vez reorganizando la ecuación Slutsky, el efecto de sustitución de precios cruzados es:

${\fnMicrosoft {\fnMicrosoft {\fnMicrosoft {\fnMicrosoft {\fnMicrosoft {\\fnMicrosoft} {\fnK} {\fnMicrosoft Sans Serif}} {\fnMicrosoft Sans Serif}} {\fnMicrosoft Sans Serif}} {\f}}}} {\fn}}} {\fnMicrosoft}}} {\f}}} {\f}}}} {\fnMicrob}}}}}}}}}}}}} {\b}}}}} {\b}}}}}} {\b}}}}}}}} {\b}}}}}}}}}}} {\b}}}} {\b}}}}}}}}}}}} {\b}}}}}}}}}} {\b}}}}}}}}}}}}}}}}}}}} {\b}}}}}}\p\p\p\p\p\p\p\p\p\p\p\p\b\p\p\p\p\p\p\p\p\p\ {\fnMicroc} {\fnMicrosoft {\fnMicrosoft}}}= {\fnMicrosoft {\fnMicrosoft {\fnMicrosoft}\fnMicrosoft {\fnMicrosoft {\fnMicrosoft {\f}}}}}} {\\fnMicroc {\fnMicroc}}}}}}}}}}}}}\\\\\\\\\\\\\\fnMicroc\\fnMicroc\\\\\\f}\\\\\\fnMicroc}}}}}}}}}\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\fnMicroc}}}}}\fnMicroc}}}}}\\\\\\\\\\fnMicroc}}}}}}}}}}}}}}\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\fnMicro x_{1}{\partial {\fnK} {\fnMicroc {\fnK}{1} {\fn}} {\fnMicroc {\fn}} {\fn}} {\\fn}}} {\fnK}}} {\fn\f}}}}}}}\\\\\\\\fnMicroc {\fn}}}}}\\\\\\fn\\\\\\\\\\\\\\\fn\\fn\\\\\\\fn\fn}\\\\\fn\fn\\fn}\\\\\fn\\\\\\\\\fn\\\\\\\\\\fn\fn\fn\fn\\\\fn\\\\\\fn\\fn\fn\\\fn}\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\fn\\\\\\fn w}x_{2}=0+{\frac {} {\fn} {\fnK}} {\fnK}}}} {\fnK}}} {\f}}}} {\f}}} {\fn}}}}} {\fn}}}}} {\fn}}}}}} {\f}} {\f}}} {\fnMicroc}}}} {\f}}}}} {\f}}}}}}}}}}} {\f}}}}}}}}}} {\f}}}}}} {\f}}}}}} {\f} {\f}}} {\f} {\f}}}}}}}}}}}}} {\f}} {\f} {\f} {\f} {\f}}}}} {\f}}}} {\f} {\f} {\f}} {\f}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}} {3w}{2}=-{\frac} {\fnMicrosoft Sans} {\fnMicrosoft Sans Serif}} {\fnMicrosoft Sans Serif}}} {\fnMicrosoft Sans Serif} {\fnMicrosoft Sans Serif}} {\fnMicrosoft Sans Serif}} {\f}}} {\fnMicrosoft Sans Serif}}} {\f}}}}} {\f}}}}}}}}} {\f}}}}}}}}}}}}}}}} {\f}}}}} {\f}}}} {\f}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}} {\f}}}}}}}}}}}}}}} {\f}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}} {\f}}}}}}}}}}}}}}}}} {\f}}}}}}}$

Esto dice que cuando ${\displaystyle p_{2}$ aumentos, hay un efecto de sustitución ${\displaystyle - 21w/(p_{1}p_{2})}$ hacia el bien 1. Al mismo tiempo, el aumento ${\displaystyle p_{2}$ tiene un efecto negativo en la demanda de buena 1, un efecto opuesto del mismo tamaño que el efecto de sustitución, por lo que el efecto neto es cero. Esta es una propiedad especial de la función Cobb-Douglas.

Cambios en varios precios a la vez

Cuando hay dos bienes, la ecuación de Slutsky en forma matricial es:

${\displaystyle {\begin{bmatrix}{\frac} {\fnMicrosoft Sans Serif} {\fnMicrosoft Sans Serif} {\fnMicrosoft}} {\cH}} {\fnMicrosoft}}} {\fnMicrosoft}}}} {\fnMicrosoft}}}}} {\f}}}} {\fnMicrosoft}}}}}}}} {\ {\fnK}} {\fnMicroc {\fnK}{1}}{\partial} {\f}} {\f}}} {\f}}}}} {\f}}}}} {\f}}}}}}}}} {\f}}} {\f}}}}} {\fnK}\\\\fnMicroc {\fnMicroc}\fnMicroc {\fnMicrosoft}\\\\fnMicroc}\\\\fnMicroc}\\\\\fnMicroc}}\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\fn}}}}}}}}\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\fn x_{2}{\partial ################################################################################################################################################################################################################################################################ x_{2}{\partial {\begin{bmatrix}{\begin{\bmatrix}{\begin{\bmatrix}{\frac {\fnMicrosoft Sans Serif} {\fnMicrosoft Sans Serif}} {\fnMicrosoft Sans Serif} {\f}}} {\fn}} {\fnMicrosoft}}} {\fnMicrosoft}}}}} {\fnMicrosoft}} {\fnMicrosoft}}} {\f}}}}}}}}} {\f}}}}}}}}}}}}}} {\b}}}}}}}}} {\b}}}}}}} {\b}}}}}} {\b}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}} {\b} {\b}} {\b}}}}}}}}}}}} {\b}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}} {}}} {\frac {\partial h_{1}{\partial}{}} {\ {\fnK}}\\\\fnMicroc {\fnMicrosoft} {\fnMicrosoft} {\fnK}} {\f}} {\fn}} {\fnMicroc}}}} {\\fnK}}}}\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\fn\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\fn {}}} {\frac {\partial h_{2}{2}{\partial}} {\ {\begin{bmatrix}{\begin{\bmatrix}{\frac {\fnMicrosoft Sans Serif} {\fnMicrosoft Sans Serif} {\fnMicrosoft}} {\cH}} {\fnMicrosoft}}} {\fnMicrosoft}}}} {\fnMicrosoft}}}}} {\f}}}} {\fnMicrosoft}}}}}}}} {\ w}x_{1} {\fnMicrosoft Sans Serif} {\fnMicrosoft Sans Serif} {\fnMicrosoft}} {\cH}} {\fnMicrosoft}}} {\fnMicrosoft}}}} {\fnMicrosoft}}}}} {\f}}}} {\fnMicrosoft}}}}}}}} {\ {\fnMicroc {\fnK} {\fnK}} {\fnMicroc {\fnK} {\fn}} {\fn}}} {\f}\f}\\\fn}\\fn\fn}\\\\\\\\\\\\\\\\\\\fnK\\\\\\\\\\\\\\\\\fn}\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\fn}\\\\\\\\\\\\\\\fn}\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\fn}\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\fn w}x_{1} {\fnMicrosoft Sans Serif} {\fnMicrosoft Sans Serif} {\fnMicrosoft Sans Serif}} {\f}} {\fnMicrosoft}} {\fnMicrosoft}}}}} {\fnMicrosoft}} {\fnMicrosoft}}} {\fnMicrosoft}}}}} {\f}}}}} {\f}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}} {\ {\fnK}$

Aunque estrictamente hablando la ecuación Slutsky sólo se aplica a los cambios infinitesimal en los precios, se utiliza de forma estándar una aproximación lineal para los cambios finitos. Si los precios de las dos mercancías cambian por ${\displaystyle Delta p_{1}$ y ${\displaystyle Delta p_{2}$, el efecto en las demandas de las dos mercancías son:

${\displaystyle {\begin{bmatrix}\ Delta x_{1}\Delta x_{2}\end{bmatrix}\approx {\begin{bmatrix}{\frac {\fnMicrosoft Sans Serif} {\fnMicrosoft Sans Serif}} {\fnMicrosoft Sans Serif} {\f}}} {\fn}} {\fnMicrosoft}}} {\fnMicrosoft}}}}} {\fnMicrosoft}} {\fnMicrosoft}}} {\f}}}}}}}}} {\f}}}}}}}}}}}}}} {\b}}}}}}}}} {\b}}}}}}} {\b}}}}}} {\b}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}} {\b} {\b}} {\b}}}}}}}}}}}} {\b}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}} {}}} {\frac {\partial h_{1}{\partial}{}} {\ {\fnK}}\\\\fnMicroc {\fnMicrosoft} {\fnMicrosoft} {\fnK}} {\f}} {\fn}} {\fnMicroc}}}} {\\fnK}}}}\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\fn\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\fn {}}} {\frac {\partial h_{2}{2}{\partial}} {\ {\begin{bmatrix}\cdot {\begin{bmatrix}\cdot {\cdot}\cdot {\begin{bmatrix}\cdot}\cdot {\cdot}\cdot {\cdot}\cdot {\cdot}\cdot}\cdot {\cdot}\cdot {\cdot {\cdot}\cdot {\cdot {\cdot {\cdot {\cdot {\cdot {\cdot {\cdot {\cdot {\cdot {\cdot {\cdot {\cdot}\cdot {\cdot {\cdot {\cdot {\cdot {\cdot {\cdot {\cdot {\cdot {\cdot {\begin{\cdot {\cdot {\cdot {\cdot {\cdot Delta ################################################################################################################################################################################################################################################################ {\fnMicrosoft Sans Serif} {\fnMicrosoft Sans Serif} {\fnMicrosoft}} {\cH}} {\fnMicrosoft}}} {\fnMicrosoft}}}} {\fnMicrosoft}}}}} {\f}}}} {\fnMicrosoft}}}}}}}} {\ w}x_{1} {\fnMicrosoft Sans Serif} {\fnMicrosoft Sans Serif} {\fnMicrosoft}} {\cH}} {\fnMicrosoft}}} {\fnMicrosoft}}}} {\fnMicrosoft}}}}} {\f}}}} {\fnMicrosoft}}}}}}}} {\ {\fnMicroc {\fnK} {\fnK}} {\fnMicroc {\fnK} {\fn}} {\fn}}} {\f}\f}\\\fn}\\fn\fn}\\\\\\\\\\\\\\\\\\\fnK\\\\\\\\\\\\\\\\\fn}\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\fn}\\\\\\\\\\\\\\\fn}\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\fn}\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\fn w}x_{1} {\fnMicrosoft Sans Serif} {\fnMicrosoft Sans Serif} {\fnMicrosoft Sans Serif}} {\f}} {\fnMicrosoft}} {\fnMicrosoft}}}}} {\fnMicrosoft}} {\fnMicrosoft}}} {\fnMicrosoft}}}}} {\f}}}}} {\f}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}} {\ {}x_{2}\\\\end{bmatrix}\cdot {\begin{bmatrix}\ Delta Delta p_{2}\end{bmatrix}}$

Multiplicando las matrices, el efecto sobre el bien 1, por ejemplo, sería

${\displaystyle \Delta x_{1}\approx \left({\frac {\partial {\fnK} {\fnMicrosoft Sans Serif}} {\fnMicrosoft Sans Serif}} {\fnMicrosoft Sans Serif}} {\f}}}} {\fn}}} {\fnMicrosoft}}} {\f}}} {\f}}}} {\fnMicrob}}}}}}}}}}}}} {\b}}}}} {\b}}}}}} {\b}}}}}}}} {\b}}}}}}}}}}} {\b}}}} {\b}}}}}}}}}}}} {\b}}}}}}}}}} {\b}}}}}}}}}}}}}}}}}}}} {\b}}}}}}\p\p\p\p\p\p\p\p\p\p\p\p\b\p\p\p\p\p\p\p\p\p\ Delta ################################################################################################################################################################################################################################################################ Delta p_{2}\right)-\left({\frac {\partial) x_{1}{\partial w}\right)\left(x_{1}\Delta P_{1}+x_{2}\Delta p_{2}\right)}$

El primer término es el efecto de sustitución. El segundo término es el efecto ingreso, compuesto por la respuesta del consumidor a la pérdida de ingreso multiplicada por el tamaño de la pérdida de ingreso por cada aumento de precio.

Artículos de regalo

Un bien Giffen es un producto que tiene mayor demanda cuando el precio aumenta, lo que también son casos especiales de bienes inferiores. En el caso extremo de inferioridad del ingreso, la magnitud del efecto ingreso supera la magnitud del efecto sustitución, lo que lleva a un cambio general positivo en la demanda en respuesta a un aumento en el precio. La descomposición que hace Slutsky del cambio en la demanda en un efecto sustitución puro y un efecto ingreso explica por qué la ley de la demanda no se cumple para los bienes de Giffen.

Referencias

Varian, HR (2020). Microeconomía intermedia: un enfoque moderno (Novena edición). W.W. Norton & Compañía.