Ecuación de Schrödinger

La ecuación de Schrödinger inscrita en la piedra de Annemarie y Erwin Schrödinger. (La notación de puntos de Newton para el derivado del tiempo se utiliza.)

La ecuación de Schrödinger es una ecuación diferencial parcial lineal que gobierna la función de onda de un sistema mecánico cuántico. Es un resultado clave en la mecánica cuántica, y su descubrimiento fue un hito significativo en el desarrollo del tema. La ecuación lleva el nombre de Erwin Schrödinger, quien postuló la ecuación en 1925 y la publicó en 1926, formando la base del trabajo que resultó en su Premio Nobel de Física en 1933.

Conceptualmente, la ecuación de Schrödinger es la contraparte cuántica de la segunda ley de Newton en la mecánica clásica. Dado un conjunto de condiciones iniciales conocidas, la segunda ley de Newton hace una predicción matemática sobre qué camino tomará un sistema físico dado con el tiempo. La ecuación de Schrödinger da la evolución en el tiempo de una función de onda, la caracterización mecánica cuántica de un sistema físico aislado. La ecuación se puede derivar del hecho de que el operador de evolución temporal debe ser unitario y, por lo tanto, debe generarse mediante la exponencial de un operador autoadjunto, que es el hamiltoniano cuántico.

La ecuación de Schrödinger no es la única forma de estudiar los sistemas mecánicos cuánticos y hacer predicciones. Las otras formulaciones de la mecánica cuántica incluyen la mecánica matricial, presentada por Werner Heisenberg, y la formulación de la integral de caminos, desarrollada principalmente por Richard Feynman. Paul Dirac incorporó la mecánica de matrices y la ecuación de Schrödinger en una sola formulación. Cuando se comparan estos enfoques, el uso de la ecuación de Schrödinger a veces se denomina "mecánica ondulatoria".

Definición

Preliminares

Complejo trama de una función de onda que satisface la ecuación Schrödinger no relativista con V = 0. En otras palabras, esto corresponde a una partícula que viaja libremente a través del espacio vacío.

Los cursos de introducción a la física o la química suelen presentar la ecuación de Schrödinger de una manera que se puede apreciar conociendo solo los conceptos y las notaciones del cálculo básico, en particular las derivadas con respecto al espacio y el tiempo. Un caso especial de la ecuación de Schrödinger que admite un enunciado en esos términos es la ecuación de Schrödinger en el espacio de posición para una sola partícula no relativista en una dimensión:

$${displaystyle ihbar {frac}{partial t}Psi (x,t)=left[-{frac] {hbar ^{2}{2m}{frac {partial ^{2}{partial x^{2}}}+V(x,t)right]Psi (x,t). }$$

${displaystyle Psi (x,t)}$

${displaystyle x}$

${displaystyle t}$

${displaystyle m}$

${displaystyle V(x,t)}$

${displaystyle i}$

${displaystyle hbar }$

Ampliando más allá de este simple caso, la formulación matemática de la mecánica cuántica desarrollada por Paul Dirac, David Hilbert, John von Neumann y Hermann Weyl define el estado de un sistema mecánico cuántico para ser un vector ${displaystyle TENED rangle }$ perteneciente a un (separable) Hilbert espacio ${displaystyle {fnMithcal}}$. Este vector es postulado para ser normalizado bajo el producto interior del espacio Hilbert, es decir, en la notación Dirac obedece ${displaystyle langle psi tenciónpsi rangle =1}$. La naturaleza exacta de este espacio de Hilbert depende del sistema, por ejemplo, para describir la posición y el impulso que el espacio de Hilbert es el espacio de funciones complejas de integración cuadrada ${displaystyle L^{2}(mathbb {C})}$, mientras que el espacio Hilbert para la vuelta de un solo protón es simplemente el espacio de vectores complejos de dos dimensiones ${displaystyle mathbb {C} {2}$ con el producto interno habitual.

Las cantidades físicas de interés – posición, impulso, energía, giro – están representadas por "observables", que son operadores lineales Hermitianos (más precisamente, autoadjuntos) que actúan en el espacio Hilbert. Una función de onda puede ser un eigenvector de un observable, en cuyo caso se llama un eigenstate, y el eigenvalue asociado corresponde al valor del observable en ese eigenstate. Más generalmente, un estado cuántico será una combinación lineal de los eigentales, conocida como una superposición cuántica. Cuando se mide un observable, el resultado será uno de sus eigenvalues con probabilidad dada por la regla del Born: en el caso más simple el eigenvalue ${displaystyle lambda }$ no es degenerado y la probabilidad es dada por ${displaystyle Нlanglelangle lambda Нpsi rangle Н^{2}$, donde ${displaystyle ← }$ es su eigenvector asociado. Más generalmente, el eigenvalue es degenerado y la probabilidad es dada por ${displaystyle langle psi tenciónP_{lambda }Sobrevivientepsi rangle }$, donde ${displaystyle P_{cfnMicrosoft }$ es el proyector sobre su eigenspace asociado.

Un impulso eigenstat sería una onda perfectamente monocromática de alcance infinito, que no es cuadrada-integrable. Asimismo, una posición eigenstat sería una distribución Dirac delta, no cuadrada-integrable y técnicamente no una función en absoluto. En consecuencia, ninguno puede pertenecer al espacio de Hilbert de la partícula. Los físicos a veces introducen "bases" ficticias para un espacio de Hilbert que incluye elementos fuera de ese espacio. Estos son inventados para la comodidad calculadora y no representan estados físicos. Por lo tanto, una función de onda de posición-espacio ${displaystyle Psi (x,t)}$ como se utiliza anteriormente se puede escribir como el producto interno de un vector de estado dependiente del tiempo ${displaystyle TENIDOPsi (t)rangle }$ con un físico pero conveniente "posición eigenstates" ${displaystyle ← }$:

$${displaystyle Psi (x,t)=langle x durablePsi (t)rangle.}$$

Ecuación dependiente del tiempo

La forma de la ecuación de Schrödinger depende de la situación física. La forma más general es la ecuación de Schrödinger dependiente del tiempo, que da una descripción de un sistema que evoluciona con el tiempo:

Donde ${displaystyle t}$ es tiempo, ${displaystyle vert Psi (t)rangle }$ es el vector de estado del sistema cuántico (${displaystyle Psi }$ ser la letra griega psi), y ${displaystyle {hat {}}}$ es un observable, el operador Hamiltoniano.

Cada una de estas tres filas es una función de onda que satisface la ecuación Schrödinger dependiente del tiempo para un oscilador armónico. Izquierda: La parte real (azul) e parte imaginaria (rojo) de la función de onda. Bien. La distribución de probabilidad de encontrar la partícula con esta función de onda en una posición determinada. Las dos primeras filas son ejemplos de Estados fijos, que corresponden a ondas de pie. La fila inferior es un ejemplo de un estado que es no un estado estacionario. La columna derecha ilustra por qué los estados estacionarios se llaman "estacionarios".

El término "ecuación de Schrödinger" puede referirse tanto a la ecuación general como a la versión específica no relativista. De hecho, la ecuación general es bastante general y se usa en toda la mecánica cuántica, para todo, desde la ecuación de Dirac hasta la teoría cuántica de campos, conectando diversas expresiones para el hamiltoniano. La versión no relativista específica es una aproximación que produce resultados precisos en muchas situaciones, pero solo hasta cierto punto (ver Mecánica cuántica relativista y Teoría cuántica de campos relativista).

Para aplicar la ecuación de Schrödinger, escriba el Hamiltonian para el sistema, contando las energías cinéticas y potenciales de las partículas que constituyen el sistema, a continuación, insertarlo en la ecuación de Schrödinger. La ecuación diferencial parcial resultante se resuelve para la función de onda, que contiene información sobre el sistema. En la práctica, se toma el cuadrado del valor absoluto de la función de onda en cada punto para definir una función de densidad de probabilidad. Por ejemplo, dada una función de onda en el espacio de posición ${displaystyle Psi (x,t)}$ como arriba, tenemos

$${displaystyle Pr(x,t)= ToddPsi (x,t) WordPress^{2}.$$

Ecuación independiente del tiempo

La ecuación de Schrödinger dependiente del tiempo descrita anteriormente predice que las funciones de onda pueden formar ondas estacionarias, llamadas estados estacionarios. Estos estados son particularmente importantes ya que su estudio individual simplifica posteriormente la tarea de resolver la ecuación de Schrödinger dependiente del tiempo para cualquier estado. Los estados estacionarios también se pueden describir mediante una forma más simple de la ecuación de Schrödinger, la ecuación de Schrödinger independiente del tiempo.

Donde ${displaystyle E}$ es la energía del sistema. Esto sólo se utiliza cuando el propio Hamiltoniano no depende explícitamente del tiempo. Sin embargo, incluso en este caso la función total de onda depende del tiempo como se explica en la sección sobre linearidad abajo. En el lenguaje del álgebra lineal, esta ecuación es una ecuación de eigenvalue. Por lo tanto, la función de onda es un eigenfunction del operador Hamiltoniano con eigenvalue(s) correspondiente ${displaystyle E}$.

Propiedades

Linealidad

La ecuación Schrödinger es una ecuación diferencial lineal, lo que significa que si dos vectores estatales ${displaystyle ← _{1}rangle }$ y ${displaystyle Silenciopsi _{2}rangle }$ son soluciones, entonces es cualquier combinación lineal

$${displaystyle TENpsi rangle = a pacienciapsi ¿Qué?$$

${displaystyle TENIDOPsi (t)rangle }$

$${displaystyle НPsi (t)rangle =sum _{n}A_{n}e^{-iE_{n}t}/hbar - ¿Qué?$$

${displaystyle A_{n}$

${displaystyle ← _{E_{n}rangle }$

${displaystyle {hat {fnh} ¿Qué? ################################################################################################################################################################################################################################################################ ¿Qué?$

Unidad

Sosteniendo al Hamiltonian ${displaystyle {hat {}}}$ constante, la ecuación Schrödinger tiene la solución

$${displaystyle ¦Psi (t)rangle =e^{-i{hat {H}t/hbar - ¿Qué?$$

${displaystyle {hat {}(t)=e^{-i{hat No.$

${displaystyle TENIDOPsi (0)rangle }$

${displaystyle t}$

$${displaystyle ¦Psi (t)rangle ={hat {U}(t) habitPsi (0)rangle }$$

${displaystyle {hat {U}(t)}$

${displaystyle {hat {U}(t)}$

${displaystyle t}$

${displaystyle {hat {U}(0)}$

${displaystyle {hat {U}(t/N)}{N}={hat {U}(t)}$

${displaystyle N confiar0}$

${displaystyle {hat {U}(t)}$

${displaystyle t}$

$${displaystyle {hat {}(t)=e^{-i{hat {G}t}$$

${displaystyle {hat {}}}$

${displaystyle {hat {U}(t)}$

${displaystyle {hat {U}(delta t)approx {hat {U}(0)-i{hat {G}delta t}$

$${fnMicrosoft Sans Serif} {fnMicrosoft Sans Serif} {fnMicrosoft Sans Serif} {f} {fnK} {f}} {fnK} {fnK}} {fnK}} {f}f} {f}fnKfnK}f} {f} {f}f}f}f}f}f}f}f}}f}f}f}f}fnKf}f}f}f}fnKfnKfnKf}f}f}f}f}fnKfnKfnKfnun}fnun}fnKfnKfnKf}fnKfnun}fnKfnun}fnKfnKfnun}fnun}fnK$$

${displaystyle {hat {U}(t)}$

Cambios de base

La ecuación de Schrödinger a menudo se presenta utilizando cantidades que varían como funciones de posición, pero como ecuación de operador vectorial tiene una representación válida en cualquier base completa arbitraria de kets en el espacio de Hilbert. Como se mencionó anteriormente, las "bases" que se encuentran fuera del espacio físico de Hilbert también se emplean con fines de cálculo. Esto se ilustra con las ecuaciones de Schrödinger posición-espacio y momento-espacio para una partícula no relativista sin espín. El espacio de Hilbert para tal partícula es el espacio de funciones cuadradas integrables complejas en el espacio euclidiano tridimensional, y su hamiltoniano es la suma de un término de energía cinética que es cuadrático en el operador de cantidad de movimiento y un término de energía potencial:

$${displaystyle ihbar {fnMicroc {d}{dt} Psi (t)rangle =left({frac {1}{2m}{hat {p}}{2}+{hat {V}}right) eternaPsi (t)rangle.}$$

${displaystyle mathbf {r}$

${displaystyle mathbf {p}$

$${displaystyle ihbar {fnMicrosoft Sans Serif} {fnMicrosoft Sans Serif} t}Psi (mathbf {r}t)=-{frac {hbar ^{2}{2m}nabla ^{2}Psi (mathbf {r}t)+V(mathbf {r})Psi (mathbf {r}t). }$$

$${displaystyle ihbar {fnMicrosoft Sans Serif} {fnMicrosoft Sans Serif} {f} {f} {f} {f}} {f}} {f}} {f} {f} {}} {}} {}} {c}} {f}} {f} {f} {f} {f} {f} {f} {f} {f}f} {f}f}f}f}f}f}}f}f} {f}f}}f}f}f} {f}}f}f}}}f}f}f}}}}f}f}}f}}}f} {f}f} {f} {f}}}}f} {f} {f} {f} {f}f}f}}f}f} {f} {f}f}f}}f}f}f}}}}}}}}}}$$

${displaystyle Psi (mathbf {r}t)}$

${displaystyle {tilde {Psi}}(mathbf {p}t)}$

${displaystyle TENIDOPsi (t)rangle }$

$${displaystyle Psi (mathbf {r}t)=langle mathbf {r} SilencioPsi (t)rangle}$$

$${displaystyle {tilde {Psi}}(mathbf {p}t)=langle mathbf {p}$$

${displaystyle TENIDOMathbf {r} rangle }$

${displaystyle TENIDOMathbf {p} rangle }$

Cuando se restringe de tres dimensiones a una, la ecuación de posición-espacio es sólo la primera forma de la ecuación Schrödinger dada arriba. La relación entre la posición y el impulso en la mecánica cuántica se puede apreciar en una sola dimensión. En la cuantificación canónica, las variables clásicas ${displaystyle x}$ y ${displaystyle p}$ son promovidos a operadores autónomos ${displaystyle {hat {x}}$ y ${displaystyle {hat {}}}$ que satisface la relación de conmutación canónica

$${displaystyle [{hat {x}},{hat {}]=ihbar.}$$

$${displaystyle langle x arrest{hat {p} AnteriorPsi rangle =-ihbar {frac} {dx}Psi (x),}$$

${displaystyle {hat {}}}$

${textstyle - ihbar {frac {dx}}$

${displaystyle {hat {}{2}}} {fnK}} {fnK}}}} {fnK}}}}} {fn}}}}}}} {fnK}}}}} {fnK}}}}}}}}} {f}}}}}}}}}}}}} {f}}}$

${displaystyle nabla ^{2}$

La relación de conmutación canónica implica también que los operadores de posición e impulso son conjugados Fourier entre sí. En consecuencia, las funciones definidas originalmente en términos de su dependencia de posición pueden convertirse a funciones de impulso utilizando la transformación Fourier. En física de estado sólido, la ecuación Schrödinger se escribe a menudo para funciones de impulso, ya que el teorema de Bloch asegura las parejas potenciales de celosía periódica ${displaystyle {tilde {Psi}(p)}$ con ${displaystyle {tilde {Psi}}(p+K)}$ para los vectores de celosía recíprocos únicos ${displaystyle K}$. Esto hace que sea conveniente resolver la ecuación de Schrödinger en cada punto de la zona de Brillouin independientemente de los otros puntos de la zona de Brillouin.

Probabilidad actual

La ecuación de Schrödinger es coherente con la conservación de la probabilidad local. Multiplicando la ecuación de Schrödinger a la derecha por la función de onda compleja conjugada, y multiplicando la función de onda a la izquierda del complejo conjugado de la ecuación de Schrödinger y restando, se obtiene la ecuación de continuidad para la probabilidad:

$${displaystyle {frac {partial }{partial t}rho left(mathbf {r}tright)+nabla cdot mathbf {j} =0,}$$

$${displaystyle rho = pacienciaPsi Psi ^{*}(mathbf {r}t)Psi (mathbf {r}t)}$$

$${displaystyle mathbf {j}={frac {1}{2m}left(Psi ^{*}{hat {mathbf {p} }Psi -Psi {hat {mathbf}Psi ^{*}derecho)}$$

Separación de variables

Si el hamiltoniano no es una función explícita del tiempo, la ecuación es separable en un producto de partes espaciales y temporales. Resolver la ecuación por separación de variables significa buscar una solución de la forma

$${displaystyle Psi (mathbf {r}t)=psi (mathbf {r})tau (t),}$$

${displaystyle psi (mathbf {r})}$

${displaystyle tau (t)}$

${displaystyle Psi }$

$${displaystyle Psi (mathbf {r}t)=psi (mathbf {r})e^{-i{Et/hbar }}$$

Esto se generaliza a cualquier número de partículas en cualquier número de dimensiones (en un potencial independiente del tiempo): las soluciones de onda estacionaria de la ecuación dependiente del tiempo son los estados con energía definida, en lugar de una distribución de probabilidad de diferentes energías. En física, estas ondas estacionarias se denominan "estados estacionarios" o "estados propios de energía"; en química se les llama "orbitales atómicos" o "orbitales moleculares". Las superposiciones de estados propios de energía cambian sus propiedades de acuerdo con las fases relativas entre los niveles de energía. Los estados propios de energía forman una base: cualquier función de onda puede escribirse como una suma de los estados de energía discretos o una integral sobre los estados de energía continuos, o más generalmente como una integral sobre una medida. Este es el teorema espectral en matemáticas, y en un espacio de estado de dimensión finita es solo una declaración de la integridad de los vectores propios de una matriz hermitiana.

La separación de variables también puede ser un método útil para la ecuación de Schrödinger independiente del tiempo. Por ejemplo, dependiendo de la simetría del problema, los ejes cartesianos pueden estar separados,

$${displaystyle psi (mathbf {r})=psi _{x}(x)psi _{y}(y)psi _{z}(z),}$$

$${displaystyle psi (mathbf {r})=psi _{r}(r)psi _{theta }(theta)psi _{phi }(phi).}$$

Ejemplos

Partícula en una caja

1-dimensional caja de energía potencial (o pozo potencial infinito)

La partícula en una caja de energía potencial única es el ejemplo más matemáticamente simple donde las restricciones conducen a la cuantificación de los niveles de energía. La caja se define como tener energía potencial cero dentro cierta región y energía potencial infinita afuera. Para el caso unidimensional en el ${displaystyle x}$ dirección, la ecuación de Schrödinger que depende del tiempo puede ser escrita

$${displaystyle - ¿Qué? {2}{2m}{2m} {frac {d^{2}psi Sí.$$

Con el operador diferencial definido por

$${displaystyle {hat {}_{x}=-ihbar {fnK} {fnMicroc} {fnK}}} {fnMicroc {} {} {fn}}} {fn}}}} {fn}}} {fnK}}}} {fn}}}}} {fn}}}}}}}}}}}}}$$

$${displaystyle {frac}{2m}{hat ¿Qué?$$

${displaystyle psi }$

${displaystyle E}$

Las soluciones generales de la ecuación de Schrödinger para la partícula en una caja son

$${displaystyle psi (x)=Ae^{ikx}+Be^{-ikx}qquad qquad E={frac {hbar ^{2} {2m}}}}} {c}}}} {cH}}$$

$${displaystyle psi (x)=Csin(kx)+Dcos(kx). }$$

Las paredes potencial infinitas de la caja determinan los valores de ${displaystyle C,D,}$ y ${displaystyle k}$ a ${displaystyle x=0}$ y ${displaystyle x=L}$ Donde ${displaystyle psi }$ debe ser cero. Así, en ${displaystyle x=0}$,

$${displaystyle psi (0)=0=Csin(0)+Dcos(0)=D}$$

${displaystyle D=0}$

${displaystyle x=L}$

$${displaystyle psi (L)=0=Csin(kL),}$$

${displaystyle C}$

${displaystyle psi }$

${displaystyle sin(kL)=0}$

${displaystyle kL}$

${displaystyle pi}$

$${displaystyle k={frac {npi} }qquad qquad n=1,2,3,ldots.}$$

Esta limitación ${displaystyle k}$ implica una limitación en los niveles energéticos, que

$${displaystyle ¿Qué? ¿Qué?$$

Un pozo de potencial finito es la generalización del problema del pozo de potencial infinito a pozos de potencial con profundidad finita. El problema del pozo de potencial finito es matemáticamente más complicado que el problema de la partícula infinita en una caja, ya que la función de onda no está fijada a cero en las paredes del pozo. En cambio, la función de onda debe satisfacer condiciones de contorno matemáticas más complicadas, ya que es distinta de cero en las regiones fuera del pozo. Otro problema relacionado es el de la barrera de potencial rectangular, que proporciona un modelo para el efecto túnel cuántico que juega un papel importante en el desempeño de las tecnologías modernas como la memoria flash y la microscopía de túnel de barrido.

Oscilador armónico

Un oscilador armónico en mecánica clásica (A–B) y mecánica cuántica (C–H). En (A-B), una bola, unida a una primavera, oscila de ida y vuelta. (C-H) son seis soluciones a la Ecuación de Schrödinger para esta situación. El eje horizontal es la posición, el eje vertical es la parte real (azul) o parte imaginaria (rojo) de la función de onda. Los estados estacionarios, o eigenstates energéticos, que son soluciones a la ecuación Schrödinger independiente del tiempo, se muestran en C, D, E, F, pero no G o H.

La ecuación de Schrödinger para esta situación es

$${displaystyle Epsi =-{hbar ^{2m}{2m}{2m}{2m} {f}{dx^{2}}}}}ps}} Estoy bien. ^{2}x^{2}psi}$$

${displaystyle x}$

${displaystyle omega }$

Las soluciones en el espacio de posiciones son

$${displaystyle psi _{n}(x)={sqrt {frac {1}{2^ {n},n}} left({frac {momega }{pihbar }right)^{1/4} e^{-{frac {momega {2}} {2hbar}}} {fnh}hbar}}xright)}$$

${displaystyle nin {0,1,2,ldots}$

${displaystyle {fn} {fn}}}$

${displaystyle n}$

$${displaystyle psi _{n}(x)={frac {1}{sqrt {n}}}left({sqrt {frac {frac} {sqrt {sqrt {sqrt}}}}}left({sqrt {sqrt {frac} {sqrt {fn} {fn}}}}}}}}}fn}}}}}fn}}}sqfnfnfnfn}}fnhnhnfnfnhn}fnfnhnhnhnfnhnhnhnhnhnhnhnhnhnhnhnhnhnhn}fnhnhnhnhnhnhnhnhnhnhnhnhnhnhnhnhnhnhnhnhnhnhnhnhnhn Bien. {hbar}{momega Está bien. {momega }{pihbar}right)}{frac {1}{4}e^{frac {-momega ¿Qué?$$

Los valores propios son

$${displaystyle E_{n}=left(n+{frac {1}right)hbar omega.}$$

El caso ${displaystyle n=0}$ se llama el estado del suelo, su energía se llama la energía de cero puntos, y la función de onda es un Gausian.

El oscilador armónico, como la partícula en una caja, ilustra la característica genérica de la ecuación de Schrödinger de que las energías de los estados propios ligados están discretizadas.

átomo de hidrógeno

La ecuación de Schrödinger para el electrón en un átomo de hidrógeno (o un átomo similar al hidrógeno) es

$${displaystyle Epsi =-{frac {hbar ^{2}{2mu}nabla }psi - {frac {q^{2}{4pivarepsilon ¿Qué?$$

${displaystyle q}$

${displaystyle mathbf {r}$

${displaystyle r= forevermathbf {r}$

${displaystyle varepsilon ¿Qué?$

$${displaystyle mu ={frac {m_{q}m_{m_{q}} {m_{p}} {m_{p}} {m_}} {m_}} {m_}} {m_{q}} {m_}}} {}}}}} {c}} {c}}} {c}}}}}} {m_}m_} {m_}}}}} {m_}}}}}} {m_}}}} {m_}}} {m_}}}} {m_}}} {m_}}} {m_}}}}}}}} {m_}} {} {}}}}}}}}}}}} {m} {m_} {m_} {m_} {} {} {m_}} {m_}}}}} {m_}}}}}}}}}} {}}}}}}}}}}} {m_}}}}}}}}}}} {m}}}}}}}}}}}} {$$

${displaystyle m_{p}$

${displaystyle M_{q}$

La ecuación de Schrödinger para un átomo de hidrógeno se puede resolver mediante la separación de variables. En este caso, las coordenadas polares esféricas son las más convenientes. Por lo tanto,

$${displaystyle psi (r,thetavarphi)=R(r)Y_{ell }^{m}(thetavarphi)=R(r)Theta (theta)Phi (varphi),}$$

${displaystyle Sí.$

${displaystyle ell }$

${displaystyle m}$

$${displaystyle psi _{nell m}(r,thetavarphi)={sqrt {left({frac] {2}{0}}} {3}{3}{frac {(n-ell -1)}{2n [(n+ell)}}}}}}}e^{-r/na_{0}left({frac]} {fn}} {fn0}} {fn0}} {fn0}}}}}}}}} {m}}}}}}}}}}}}} {m} {m}}}}}}}} {m} {m}}} {m} {m} {m}}}}}} {f}}}}}}}}}}} {f}}}}}}}}} {f}} {m} {m}} {f}}}} {m}}}}}}}} {f}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}} {m}}}} Vale.$$

• ${displaystyle A_{0}={frac {4fncH00} varepsilon ¿Qué? ¿Qué?$ es el radio Bohr,
• ${displaystyle L_{n-ell -1}{2ell +1}(cdots)}$ son los polinomios de grado generalizados de Laguerre ${displaystyle n-ell -1}$,
• ${displaystyle n,ellm}$ son los números principales, azimutales y cuánticos magnéticos respectivamente, que toman los valores ${displaystyle n=1,2,3,dots}$ ${displaystyle ell =0,1,2,dotsn-1,}$ ${displaystyle m=-elldotsell.}$

Soluciones aproximadas

Por lo general, no es posible resolver la ecuación de Schrödinger exactamente para situaciones de interés físico. En consecuencia, las soluciones aproximadas se obtienen utilizando técnicas como los métodos variacionales y la aproximación WKB. También es común tratar un problema de interés como una pequeña modificación de un problema que se puede resolver exactamente, un método conocido como teoría de la perturbación.

Límite semiclásico

Una manera sencilla de comparar la mecánica clásica con la mecánica cuántica es considerar la evolución del tiempo previstos posición y previstos ímpetu, que puede compararse con la evolución del tiempo de la posición y el impulso ordinario en la mecánica clásica. Los valores de expectativa cuántica satisfacen el teorema de Ehrenfest. Para una partícula cuántica unidimensional que se mueve en un potencial ${displaystyle V}$El teorema de Ehrenfest dice

$${displaystyle m{frac {d} {dt}langle xrangle =langle prangle;quad {frac {d} {dt}langle prangle =-leftlangle V'(X)rightrangle.}$$

${displaystyle (langle Xranglelangle Prangle)}$

$${displaystyle -V'left(leftlangle Xrightrangle right)}$$

${displaystyle -leftlangle V'(X)rightrangle$

${displaystyle V'}$

${displaystyle V'}$

Para los sistemas generales, lo mejor que podemos esperar es que la posición y el impulso esperados aproximadamente seguir las trayectorias clásicas. Si la función de onda está muy concentrada alrededor de un punto ${displaystyle x_{0}$, entonces ${displaystyle V'left(leftlangle Xrightrangle right)}$ y ${displaystyle leftlangle V'(X)rightrangle }$ será casi lo mismo, ya que ambos serán aproximadamente iguales ${displaystyle V'(x_{0}}$. En ese caso, la posición esperada y el impulso esperado permanecerán muy cerca de las trayectorias clásicas, por lo menos mientras la función de onda siga siendo altamente localizada en posición.

La ecuación de Schrödinger en su forma general

$${displaystyle ihbar {frac {partial }{partial t}Psi left(mathbf {r}tright)={hat {H}psi left(mathbf {r}tright)}}}}} {f}f}fnMit]$$

$${displaystyle -{frac {partial t}S(q_{i},t)=Hleft(q_{i},{frac {partial S}{partial S}{partial - Sí.$$

${displaystyle S.$

${displaystyle H.$

${displaystyle q_{i}$

${displaystyle i=1,2,3}$

${displaystyle mathbf {r} =(q_{1},q_{2},q_{3})=(x,y,z)}$

Sustitución

$${displaystyle Psi ={sqrt {rho (mathbf {r}t)}e^{iS(mathbf {r}t)/hbar }$$

${displaystyle rho }$

${displaystyle hbar to 0}$

Matrices de densidad

Las funciones de onda no siempre son la forma más conveniente de describir los sistemas cuánticos y su comportamiento. Cuando la preparación de un sistema se conoce de manera imperfecta, o cuando el sistema bajo investigación es parte de un todo más grande, se pueden usar matrices de densidad en su lugar. Una matriz de densidad es un operador semidefinido positivo cuya traza es igual a 1. (El término "operador de densidad" también se usa, particularmente cuando el espacio de Hilbert subyacente es de dimensión infinita). El conjunto de todas las densidades matrices es convexo, y los puntos extremos son los operadores que se proyectan sobre los vectores en el espacio de Hilbert. Estas son las representaciones de matriz de densidad de las funciones de onda; en notación de Dirac, se escriben

$${fnMicrosoft {fnfnfnMicrosoft {fnMicrosoft {fnMicrosoft {fn\fnMicrosoft {\fnMicrosoft {fnMicrosoft {fnMicrosoft {\fnMicrosoft {\\fnMicrosoft {\\\\\\\\fnfn\\\\\fn\\fn\\\fnfn\\\fn\\\\\\\\\\\\fn\\\\\\\\fn\\fn\\fn\\\\\\\\\\\\\\\\\\fn\\\\\ }= AnteriorPsi rangle langle Psi tención.}$$

El análogo de matriz de densidad de la ecuación de Schrödinger para funciones de onda es

$${displaystyle ihbar {fnMicroc {fnMicrosoft {fnMicrosoft {fnMicrosoft {f {fnMicrosoft {fnMicrosoft {fnMicrosoft {fnMicrosoft {\fnMicrosoft {f}fnMicrosoft {\fnMicrosoft {\\f}fnMicrosoft {\\\\\fnMicrosoft {\\\\fnMicrosoft {\\\fnMicrosoft {\\\\fn\\\\\fn\\\\\fnMicrosoft {fnMicrosoft {fnMicrosoft {fnMicrosoft {\\\fnMicrosoft {fnMicrosoft {\\\\\\\fnMicrosoft {\fn {fnh} {fnh} {fnh}} {fnh}} {fnh}}}$$

$${displaystyle {hat {rho }(t)=e^{-i{hat {H}t/hbar }{hat {rho }}(0)e^{i{hat No.$$

Más generalmente, si el operador unitario ${displaystyle {hat {U}(t)}$ describe la evolución de la función de onda durante algún intervalo de tiempo, entonces la evolución del tiempo de una matriz de densidad sobre ese mismo intervalo se da por

$${displaystyle {hat {rho }(t)={hat {}(t){hat {rho }(0){hat {hat}(t)}{dagger }} {fnMicrosoft Sans Serif}}$$

La evolución unitaria de una matriz de densidad conserva su entropía de von Neumann.

Física cuántica relativista y teoría cuántica de campos

La ecuación de Schrödinger de una partícula descrita anteriormente es válida esencialmente en el dominio no relativista. Por una razón, es esencialmente invariante bajo las transformaciones galileanas, que comprenden el grupo de simetría de la dinámica newtoniana. Además, los procesos que cambian el número de partículas son naturales en relatividad, por lo que una ecuación para una partícula (o cualquier número fijo de la misma) solo puede tener un uso limitado. Una forma más general de la ecuación de Schrödinger que también se aplica en situaciones relativistas se puede formular dentro de la teoría cuántica de campos (QFT), un marco que permite la combinación de la mecánica cuántica con la relatividad especial. La región en la que ambos se aplican simultáneamente puede describirse mediante la mecánica cuántica relativista. Estas descripciones pueden utilizar la evolución temporal generada por un operador hamiltoniano, como en el método funcional de Schrödinger.

Ecuaciones de Klein-Gordon y Dirac

Los intentos de combinar la física cuántica con la relatividad especial comenzaron con la construcción de ecuaciones de onda relativistas a partir de la relación energía-momento relativista

$${displaystyle E^{2}=(pc)^{2}+left(m_{0}c^{2}right)^{2}$$

$${displaystyle - {fnMicroc}{2} {fnK} {fnMicroc} {fnK}} {f} {fn}}} {fnK}}} {fnK}}}} {f}} {f}}} {f}}}}} {f}}}}}}}}}}}} { Frac {partial ^{2} {partial t^{2}psi ### Nabla ^{2}psi ={frac {m^{2}c^{2}{hbar} ^{2}}psi}$$

${displaystyle alpha _{1},alpha _{2},alpha _{3},beta }$

$${displaystyle left(beta mc^{2}+cleft(sum _{nmathop {=} 1} {3}Alpha ¿Por qué? =ihbar {frac {partial psi}{partial }$$

Esto tiene de nuevo la forma de la ecuación de Schrödinger, con la derivada temporal de la función de onda dada por un operador hamiltoniano que actúa sobre la función de onda. Incluir influencias sobre la partícula requiere modificar el operador hamiltoniano. Por ejemplo, el hamiltoniano de Dirac para una partícula de masa m y carga eléctrica q en un campo electromagnético (descrito por los potenciales electromagnéticos φ y A) es:

$${displaystyle {hat {fnh} {text{Dirac}= ^{0}left[c{boldsymbol {gamma}cdot left({hat {mathbf {p} }-qmathbf {A} right)+mc^{2}+gamma ^{0}qvarphi right],}$$

Para la ecuación de Klein-Gordon, la forma general de la ecuación de Schrödinger es inconveniente de usar y, en la práctica, el hamiltoniano no se expresa de manera análoga al hamiltoniano de Dirac. Las ecuaciones para campos cuánticos relativistas, de las cuales las ecuaciones de Klein-Gordon y Dirac son dos ejemplos, se pueden obtener de otras formas, como partir de una densidad lagrangiana y usar las ecuaciones de Euler-Lagrange para campos, o usar la teoría de representación de el grupo de Lorentz en el que se pueden usar ciertas representaciones para fijar la ecuación de una partícula libre de espín (y masa) dados.

En general, el hamiltoniano que se sustituirá en la ecuación general de Schrödinger no es solo una función de los operadores de posición y momento (y posiblemente del tiempo), sino también de las matrices de espín. Además, las soluciones a una ecuación de onda relativista, para una partícula masiva de espín s, tienen valores complejos < span class="texhtml">2(2s + 1)-component campos spinor.

Espacio divertido

Como se formuló originalmente, la ecuación Dirac es una ecuación para una sola partícula cuántica, al igual que la ecuación Schrödinger de una partícula única con función de onda ${displaystyle Psi (x,t)}$. Esto es de uso limitado en la mecánica cuántica relativista, donde el número de partículas no está fijo. Heurísticamente, esta complicación puede motivarse notando que la equivalencia entre masa y energía implica que las partículas materiales pueden crearse de la energía. Una manera común de abordar esto en QFT es introducir un espacio Hilbert donde los estados de base son etiquetados por el número de partículas, un espacio denominado Fock. La ecuación Schrödinger se puede formular para estados cuánticos en este espacio de Hilbert. Sin embargo, debido a que la ecuación de Schrödinger escoge un eje de tiempo preferido, la invariancia de Lorentz de la teoría ya no es manifiesta, y en consecuencia, la teoría se formula a menudo de otras maneras.

Historia

Erwin Schrödinger

Después de la cuantificación de la luz de Max Planck (ver la radiación del cuerpo negro), Albert Einstein interpretó el quanta de Planck como fotones, partículas de luz, y propuso que la energía de un fotón es proporcional a su frecuencia, uno de los primeros signos de la dualidad entre ondas y partículas. Puesto que la energía y el impulso están relacionados de la misma manera que la frecuencia y el número de onda en la relatividad especial, siguió que el impulso ${displaystyle p}$ de un fotón es inversamente proporcional a su longitud de onda ${displaystyle lambda }$, o proporcional a su número de onda ${displaystyle k}$:

$${displaystyle p={frac {h}{lambda }=hbar k,}$$

${displaystyle h}$

${displaystyle hbar = {h}/{2pi }$

${displaystyle L.$

$${displaystyle L=n{h}{2pi} - Sí.$$

$${displaystyle nlambda =2pi r.}$$

Este enfoque esencialmente confinaba la onda de electrones en una dimensión, a lo largo de una órbita circular de radio ${displaystyle r}$.

En 1921, antes de De Broglie, Arthur C. Lunn de la Universidad de Chicago había usado el mismo argumento basado en la finalización del 4-vector relativista de energía-momento para derivar lo que ahora llamamos la relación de De Broglie. A diferencia de De Broglie, Lunn pasó a formular la ecuación diferencial ahora conocida como ecuación de Schrödinger y resolvió sus valores propios de energía para el átomo de hidrógeno. Desafortunadamente, el artículo fue rechazado por la Physical Review, según cuenta Kamen.

Después de las ideas de de Broglie, el físico Peter Debye hizo un comentario improvisado de que si las partículas se comportaban como ondas, deberían satisfacer algún tipo de ecuación de onda. Inspirado por el comentario de Debye, Schrödinger decidió encontrar una ecuación de onda tridimensional adecuada para el electrón. Se guió por la analogía de William Rowan Hamilton entre la mecánica y la óptica, codificada en la observación de que el límite de longitud de onda cero de la óptica se asemeja a un sistema mecánico: las trayectorias de los rayos de luz se convierten en pistas nítidas que obedecen al principio de Fermat., un análogo del principio de mínima acción.

La ecuación que encontró es

$${displaystyle ihbar {fnMicrosoft Sans Serif} {fnMicrosoft Sans Serif} t}Psi (mathbf {r}t)=-{frac {hbar ^{2}{2m}nabla ^{2}Psi (mathbf {r}t)+V(mathbf {r})Psi (mathbf {r}t). }$$

Sin embargo, en ese momento, Arnold Sommerfeld había refinado el modelo de Bohr con correcciones relativistas. Schrödinger usó la relación energía-momento relativista para encontrar lo que ahora se conoce como la ecuación de Klein-Gordon en un potencial de Coulomb (en unidades naturales):

$${displaystyle left(E+{frac {e^{2} {r}right)}{2}psi (x)=-nabla ^{2}psi (x)+m^{2}psi (x).}$$

Encontró las ondas estacionarias de esta ecuación relativista, pero las correcciones relativistas no estaban de acuerdo con la fórmula de Sommerfeld. Desanimado, dejó de lado sus cálculos y se recluyó con una amante en una cabaña de montaña en diciembre de 1925.

Mientras estaba en la cabina, Schrödinger decidió que sus cálculos no relativistas anteriores eran lo suficientemente nuevos para publicar y decidió dejar fuera el problema de las correcciones relativistas para el futuro. A pesar de las dificultades para resolver la ecuación diferencial del hidrógeno (había buscado ayuda de su amigo el matemático Hermann Weyl) Schrödinger mostró que su versión no relativista de la ecuación de onda produjo las energías espectrales correctas del hidrógeno en un documento publicado en 1926. Schrödinger computó la serie espectral de hidrógeno tratando el electrón de un átomo de hidrógeno como una ola ${displaystyle Psi (mathbf {x}t)}$, moverse en un pozo potencial ${displaystyle V}$, creado por el protón. Este cálculo reproduce con precisión los niveles de energía del modelo Bohr.

La ecuación Schrödinger detalla el comportamiento de ${displaystyle Psi }$ pero no dice nada de su naturaleza. Schrödinger intentó interpretar la parte real de ${displaystyle Psi {frac {partial Psi ^{*}{partial t}}}$ como densidad de carga, y luego revisó esta propuesta, diciendo en su próximo documento que el módulo cuadrado de ${displaystyle Psi }$ es una densidad de carga. Sin embargo, este enfoque no tuvo éxito. En 1926, pocos días después de la publicación de este artículo, Max Born interpretó con éxito ${displaystyle Psi }$ como la amplitud de probabilidad, cuyo módulo cuadrado es igual a la densidad de probabilidad. Más tarde, Schrödinger explicó esta interpretación como sigue:

El ya mencionado psi-función... ahora es el medio para predecir probabilidad de resultados de medición. En ella se encarna la suma momentáneamente alcanzada de la expectativa futura basada en teoría, algo como se establece en un catálogo.

—Erwin Schrödinger

Interpretación

La ecuación de Schrödinger proporciona una forma de calcular la función de onda de un sistema y cómo cambia dinámicamente en el tiempo. Sin embargo, la ecuación de Schrödinger no dice directamente qué es exactamente la función de onda. El significado de la ecuación de Schrödinger y cómo las entidades matemáticas en ella se relacionan con la realidad física depende de la interpretación de la mecánica cuántica que se adopte.

En las vistas que a menudo se agrupan como la interpretación de Copenhague, la función de onda de un sistema es una colección de información estadística sobre ese sistema. La ecuación de Schrödinger relaciona la información sobre el sistema en un momento con la información sobre él en otro. Si bien el proceso de evolución temporal representado por la ecuación de Schrödinger es continuo y determinista, en el sentido de que conocer la función de onda en un instante es en principio suficiente para calcularla para todos los tiempos futuros, las funciones de onda también pueden cambiar de forma discontinua y estocástica durante una medición. La función de onda cambia, según esta escuela de pensamiento, porque hay nueva información disponible. La función de onda posterior a la medición generalmente no se puede conocer antes de la medición, pero las probabilidades para las diferentes posibilidades se pueden calcular utilizando la regla de Born. Otras interpretaciones más recientes de la mecánica cuántica, como la mecánica cuántica relacional y el QBismo, también dan a la ecuación de Schrödinger un estatus de este tipo.

El mismo Schrödinger sugirió en 1952 que los diferentes términos de una superposición que evolucionan bajo la ecuación de Schrödinger son "no alternativas, sino que todos ocurren simultáneamente". Esto ha sido interpretado como una versión temprana de la interpretación de muchos mundos de Everett. Esta interpretación, formulada de forma independiente en 1956, sostiene que todas las posibilidades descritas por la teoría cuántica simultáneamente ocurren en un multiverso compuesto en su mayoría por universos paralelos independientes. Esta interpretación elimina el axioma del colapso de la función de onda, dejando solo la evolución continua bajo la ecuación de Schrödinger, por lo que todos los estados posibles del sistema medido y el aparato de medición, junto con el observador, están presentes en una superposición cuántica física real. Si bien el multiverso es determinista, percibimos un comportamiento no determinista regido por probabilidades, porque no observamos el multiverso como un todo, sino solo un universo paralelo a la vez. Exactamente cómo se supone que funciona esto ha sido objeto de mucho debate. ¿Por qué deberíamos asignar probabilidades a los resultados que con certeza ocurrirán en algunos mundos, y por qué las probabilidades deberían estar dadas por la regla de Born? Se han propuesto varias formas de responder a estas preguntas en el marco de muchos mundos, pero no hay consenso sobre si tienen éxito.

La mecánica bohmiana reformula la mecánica cuántica para hacerla determinista, al precio de hacerla explícitamente no local (un precio exigido por el teorema de Bell). Atribuye a cada sistema físico no solo una función de onda sino además una posición real que evoluciona determinísticamente bajo una ecuación guía no local. La evolución de un sistema físico viene dada en todo momento por la ecuación de Schrödinger junto con la ecuación guía.