Ecuación de Riccati

En matemáticas, una ecuación de Riccati en el sentido más estricto es cualquier ecuación diferencial ordinaria de primer orden que es cuadrática en la función desconocida. En otras palabras, es una ecuación de la forma

Sí..()x)=q0()x)+q1()x)Sí.()x)+q2()x)Sí.2()x){displaystyle y'(x)=q_{0}(x)+q_{1}(x),y(x)+q_{2}(x),y^{2}(x)}

Donde q0()x)ل ل 0{displaystyle q_{0}(x)neq 0} y q2()x)ل ل 0{displaystyle q_{2}(x)neq 0}. Si q0()x)=0{displaystyle q_{0}(x)=0} la ecuación se reduce a una ecuación de Bernoulli, mientras que si q2()x)=0{displaystyle q_{2}(x)=0} la ecuación se convierte en una ecuación diferencial lineal de primer orden.

La ecuación lleva el nombre de Jacopo Riccati (1676–1754).

Más generalmente, el término ecuación de Riccati se usa para referirse a ecuaciones matriciales con un término cuadrático análogo, que ocurren tanto en tiempo continuo como en control gaussiano cuadrático lineal en tiempo discreto. La versión de estado estacionario (no dinámica) de estos se conoce como la ecuación algebraica de Riccati.

Conversión a una ecuación lineal de segundo orden

La ecuación no lineal de Riccati siempre se puede convertir a una ecuación diferencial ordinaria (EDO) lineal de segundo orden: Si

Sí..=q0()x)+q1()x)Sí.+q2()x)Sí.2{displaystyle y'=q_{0}(x)+q_{1}(x)y+q_{2}(x)y^{2}!}

entonces, donde sea q2{displaystyle q_{2} no es cero y diferente, v=Sí.q2{displaystyle v=yq_{2} satisfice una ecuación Riccati de la forma

v.=v2+R()x)v+S()x),{displaystyle v'=v^{2}+R(x)v+S(x),!}

Donde S=q2q0{displaystyle S=q_{2}q_{0} y R=q1+q2.q2{displaystyle R=q_{1}+{frac {q_{2}} {q_{2}}} {c}} {c}}} {c}}} {c}}}}} {c}}}}}}}}} {cH}}}}}}}}}}} {c}}}}}}}}}} {cH}}}}}}}}}}}}}}} {}} {}}}}}}}}}}} {}}}}}}}}}}}}}}}}}} {}}}}}}}}} {}}}}}}}}}}} {}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}} {}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}} {}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}, porque

v.=()Sí.q2).=Sí..q2+Sí.q2.=()q0+q1Sí.+q2Sí.2)q2+vq2.q2=q0q2+()q1+q2.q2)v+v2.{displaystyle v'=(yq_{2})'=y'q_{2}+yq_{2}'=(q_{0}+q_{1}y+q_{2}y^{2})q_{2}+v{frac} {q_{2} {q_{2}=q_{0}q_{2}+left(q_{1}+{frac} - Vale.

Sustitución v=− − u./u{displaystyle V=-u'/u, sigue que u{displaystyle u} satisfizo el segundo orden lineal ODE

u.− − R()x)u.+S()x)u=0{displaystyle u'-R(x)u'+S(x)u=0!}

desde

v.=− − ()u./u).=− − ()u./u)+()u./u)2=− − ()u./u)+v2{displaystyle v'=-(u'/u)'=-(u''/u)+(u'/u'/u)^{2}=-(u''/u)+v^{2}!}

para que

u./u=v2− − v.=− − S− − Rv=− − S+Ru./u{displaystyle u'/u=v^{2}-v'=-S-Rv=-S+Ru'/u!}

y por lo tanto

u.− − Ru.+Su=0.{displaystyle u''-Ru'+Su=0.}

Una solución de esta ecuación conducirá a una solución Sí.=− − u./()q2u){displaystyle y=-u'/(q_{2}u)} de la ecuación Riccati original.

Aplicación a la ecuación de Schwarzian

Una aplicación importante de la ecuación de Riccati es la ecuación diferencial Schwarziana de tercer orden

S()w):=()w./w.).− − ()w./w.)2/2=f{displaystyle S(w):=(w''/w')'-(w''/w')^{2}/2=f}

que ocurre en la teoría del mapeo conformal y funciones univalent. En este caso los ODE están en el dominio complejo y la diferenciación es con respecto a una variable compleja. (El derivado de Schwarzian S()w){displaystyle S(w)} tiene la propiedad notable que es invariante bajo las transformaciones de Möbius, es decir. S()()aw+b)/()cw+d))=S()w){displaystyle S(aw+b)/(cw+d)=S(w)} siempre ad− − bc{displaystyle ad-bc} no es cero.) La función Sí.=w./w.{displaystyle Y...satisfice la ecuación Riccati

Sí..=Sí.2/2+f.{displaystyle Y'=y^{2}/2+f.}

Por lo anterior Sí.=− − 2u./u{displaystyle Y=-2u'/u Donde u{displaystyle u} es una solución del ODE lineal

u.+()1/2)fu=0.{displaystyle u'+(1/2)fu=0.}

Desde w./w.=− − 2u./u{displaystyle w'/w'=-2u'/u}, la integración da w.=C/u2{displaystyle ¿Qué?para alguna constante C{displaystyle C}. Por otro lado, cualquier otra solución independiente U{displaystyle U} of the linear ODE tiene constante no cero Wronskian U.u− − Uu.{displaystyle U'u-Uu} que se puede tomar C{displaystyle C} después de escalar. Así

w.=()U.u− − Uu.)/u2=()U/u).{displaystyle w'=(U'u-Uu'u)/u^{2}=(U/u)'}

así que la ecuación Schwarziana tiene solución w=U/u.{displaystyle w=U/u.}

Obtención de soluciones por cuadratura

La correspondencia entre las ecuaciones Riccati y los ODE lineales de segunda orden tiene otras consecuencias. Por ejemplo, si se conoce una solución de ODE de 2o orden, se sabe que otra solución puede obtenerse por cuadratura, es decir, una simple integración. Lo mismo es cierto para la ecuación Riccati. De hecho, si una solución en particular Sí.1{displaystyle Y... se puede encontrar, la solución general se obtiene como

Sí.=Sí.1+u{displaystyle Y...

Sustitución

Sí.1+u{displaystyle Y...

en la ecuación de Riccati se obtiene

Sí.1.+u.=q0+q1⋅ ⋅ ()Sí.1+u)+q2⋅ ⋅ ()Sí.1+u)2,{displaystyle Y... (y_{1}+u)+q_{2}cdot (y_{1}+u)^{2},}

y desde entonces

Sí.1.=q0+q1Sí.1+q2Sí.12,{displaystyle Y...

se deduce que

u.=q1u+2q2Sí.1u+q2u2{displaystyle U'=q_{1},u+2,q_{2},y_{1},u+q_{2},u^{2}}

o

u.− − ()q1+2q2Sí.1)u=q2u2,{displaystyle u'-(q_{1}+2,q_{2},y_{1},u=q_{2},u^{2}}

que es una ecuación de Bernoulli. La sustitución que se necesita para resolver esta ecuación de Bernoulli es

z=1u{displaystyle z={frac {1}{u}}

Sustitución

Sí.=Sí.1+1z{displaystyle Y=y_{1}+{frac {1}{z}}

directamente en la ecuación de Riccati produce la ecuación lineal

z.+()q1+2q2Sí.1)z=− − q2{displaystyle z'+(q_{1}+2,q_{2},y_{1},z=-q_{2}}

Un conjunto de soluciones a la ecuación de Riccati viene dado por

Sí.=Sí.1+1z{displaystyle Y=y_{1}+{frac {1}{z}}

donde z es la solución general de la ecuación lineal antes mencionada.