Ecuación de pell
Ecuación de Pell, también llamado el Ecuación de férmat, es cualquier ecuación Diofantina de la forma x2− − nSí.2=1,{displaystyle x^{2}-ny^{2}=1,} Donde n es un entero no cuadrado positivo dado, y se buscan soluciones enteros x y Sí.. En las coordenadas cartesianas, la ecuación está representada por una hiperbola; las soluciones ocurren donde la curva pasa a través de un punto cuya x y Sí. las coordenadas son ambos enteros, como la solución trivial con x= 1 y Sí.= 0. Joseph Louis Lagrange demostró que, mientras n no es un cuadrado perfecto, la ecuación de Pell tiene infinitamente muchas soluciones de enteros distintos. Estas soluciones pueden utilizarse para aproximar con precisión la raíz cuadradan por números racionales de la formax/Sí..
Esta ecuación fue estudiada extensamente en la India comenzando con Brahmagupta, que encontró una solución entero para 92x2+1=Sí.2{displaystyle 92x^{2}+1=y^{2} en su Brāhmasphuijkasiddhānta alrededor de 628. Bhaskara II en el siglo XII y Narayana Pandit en el siglo XIV encontraron soluciones generales a la ecuación de Pell y otras ecuaciones indeterminadas cuadráticas. Bhaskara II se acredita generalmente con el desarrollo del método chakravala, basándose en el trabajo de Jayadeva y Brahmagupta. Soluciones a ejemplos específicos de la ecuación de Pell, como los números de Pell que surgen de la ecuación con n= 2, había sido conocido por mucho más tiempo, desde el tiempo de Pitágoras en Grecia y una fecha similar en la India. William Brouncker fue el primer europeo en resolver la ecuación de Pell. El nombre de la ecuación de Pell surgió de Leonhard Euler atribuyendo erróneamente la solución de Brouncker de la ecuación a John Pell.
Historia
Ya en el año 400 a. C. en India y Grecia, los matemáticos estudiaron los números que surgen del caso n = 2 de la ecuación de Pell,
- x2− − 2Sí.2=1,{displaystyle x^{2}-2y^{2}=1,}
y de la ecuación estrechamente relacionada
- x2− − 2Sí.2=− − 1{displaystyle x^{2}-2y^{2}=-1}
debido a la conexión de estas ecuaciones con la raíz cuadrada de 2. De hecho, si x y y son números enteros positivos que satisfacen esta ecuación, entonces x/y es una aproximación de √2. Los números x e y que aparecen en estas aproximaciones, llamados números de lado y de diámetro, eran conocidos por los pitagóricos, y Proclo observó que en sentido contrario estos números obedecían a uno de estos dos ecuaciones De manera similar, Baudhayana descubrió que x = 17, y = 12 y x = 577, y = 408 son dos soluciones a la ecuación de Pell, y que 17/12 y 577/408 son aproximaciones muy cercanas a la raíz cuadrada de 2.
Más tarde, Arquímedes aproximó la raíz cuadrada de 3 por el número racional 1351/780. Aunque no explicó sus métodos, esta aproximación se puede obtener de la misma manera, como solución a la ecuación de Pell. Del mismo modo, el problema del ganado de Arquímedes, un antiguo problema verbal sobre cómo encontrar la cantidad de ganado que pertenece al dios solar Helios, puede resolverse reformulándolo como una ecuación de Pell. El manuscrito que contiene el problema afirma que fue ideado por Arquímedes y registrado en una carta a Eratóstenes, y la atribución a Arquímedes se acepta generalmente en la actualidad.
Alrededor del año 250 d. C., Diofanto consideró la ecuación
- a2x2+c=Sí.2,{displaystyle a^{2}x^{2}+c=y^{2}
donde a y c son números fijos, y x e y son las variables a resolver. Esta ecuación tiene una forma diferente a la ecuación de Pell pero es equivalente a ella. Diofanto resolvió la ecuación para (a, c) igual a (1, 1), (1, −1), (1, 12) y (3, 9). Al-Karaji, un matemático persa del siglo X, trabajó en problemas similares a los de Diofanto.
En las matemáticas indias, Brahmagupta descubrió que
- ()x12− − NSí.12)()x22− − NSí.22)=()x1x2+NSí.1Sí.2)2− − N()x1Sí.2+x2Sí.1)2,{displaystyle (x_{1}{2}-Ny_{1}{2} (x_{2}{2}-Ny_{2})=(x_{1}x_{2}+Ny_{1}y_{2})^{2}-N (x_{1}y_{2}+x_{2}y_{1} {2}}}
una forma de lo que ahora se conoce como identidad de Brahmagupta. Usando esto, fue capaz de "comprar" triples ()x1,Sí.1,k1){displaystyle (x_{1},y_{1},k_{1}} y ()x2,Sí.2,k2){displaystyle (x_{2},y_{2},k_{2}} que eran soluciones de x2− − NSí.2=k{displaystyle x^{2}-Ny^{2}=k}, para generar los nuevos triples
- ()x1x2+NSí.1Sí.2,x1Sí.2+x2Sí.1,k1k2){displaystyle (x_{1}x_{2}+Ny_{1}y_{2},x_{1}y_{2}+x_{2}y_{1},k_{2})}} y ()x1x2− − NSí.1Sí.2,x1Sí.2− − x2Sí.1,k1k2).{displaystyle (x_{1}x_{2}-Ny_{1}y_{2},x_{1}y_{2}-x_{2}y_{1},k_{2}}}}}
No sólo esto dio una manera de generar infinitamente muchas soluciones x2− − NSí.2=1{displaystyle x^{2}-Ny^{2}=1} comenzando con una solución, pero también, dividiendo tal composición k1k2{displaystyle K_{1}k_{2}, soluciones enteros o "casi inteligentes" a menudo se pueden obtener. Por ejemplo, N=92{displaystyle N=92}, Brahmagupta compuso el triple (10, 1, 8) 102− − 92()12)=8{displaystyle 10^{2}-92(1^{2})=8}) con sí mismo para conseguir el nuevo triple (192, 20, 64). Dividir a través de 64 ("8" para x{displaystyle x} y Sí.{displaystyle y}) dio el triple (24, 5/2, 1), que cuando compuesto por sí mismo dio la solución de entero deseada (1151, 120, 1). Brahmagupta resolvió muchas ecuaciones de Pell con este método, demostrando que da soluciones a partir de una solución entero de x2− − NSí.2=k{displaystyle x^{2}-Ny^{2}=k} para k = ±1, ±2, o ±4.
El primer método general para resolver la ecuación de Pell (para todos) N) fue dado por Bhāskara II en 1150, ampliando los métodos de Brahmagupta. Llamado el método chakravala (cíclico), comienza por elegir dos números enteros relativamente primos a{displaystyle a} y b{displaystyle b}, luego componer el triple ()a,b,k){displaystyle (a,b,k)} (es decir, uno que satisface a2− − Nb2=k{displaystyle a^{2}-Nb^{2}=k}) con el triple trivial ()m,1,m2− − N){displaystyle (m,1,m^{2}-N)} para conseguir el triple ()am+Nb,a+bm,k()m2− − N)){displaystyle {big (}am+Nb,a+bm,k(m^{2}-N){big)}}, que se puede escalar hasta
- ()am+Nbk,a+bmk,m2− − Nk).{displaystyle left({frac {am+Nb}{k},{frac} {a+bm}{k},{frac {m^{2}-N}derecha).}
Cuando m{displaystyle m} es elegido para que a+bmk{displaystyle {frac {a+bm}{k}} es un entero, así que los otros dos números en el triple. Entre esos m{displaystyle m}, el método elige uno que minimiza m2− − Nk{fnMicroc} {m^{2}-N} {k}} y repite el proceso. Este método siempre termina con una solución (probado por Joseph-Louis Lagrange en 1768). Bhaskara lo usó para dar la solución x=1766319049, Sí.=226153980 a la N= 61 caso.
Varios matemáticos europeos redescubrieron cómo resolver la ecuación de Pell en el siglo XVII. Pierre de Fermat descubrió cómo resolver la ecuación y en una carta de 1657 la emitió como un desafío para los matemáticos ingleses. En una carta a Kenelm Digby, Bernard Frénicle de Bessy dijo que Fermat encontró la solución más pequeña para N hasta 150 y desafió a John Wallis a resolver los casos N = 151 o 313 Tanto Wallis como William Brouncker dieron soluciones a estos problemas, aunque Wallis sugiere en una carta que la solución se debió a Brouncker.
La conexión de John Pell con la ecuación es que revisó la traducción de Thomas Branker del libro Teutsche Algebra de Johann Rahn de 1659 al inglés, con una discusión sobre Brouncker y #39;s solución de la ecuación. Leonhard Euler pensó erróneamente que esta solución se debía a Pell, por lo que nombró a la ecuación en honor a Pell.
La teoría general de la ecuación de Pell, basada en fracciones continuas y manipulaciones algebraicas con números de la forma P+Qa,{displaystyle P+Q{sqrt {a}} fue desarrollado por Lagrange en 1766-1769.
Soluciones
Solución fundamental mediante fracciones continuas
Vamos hi/ki{displaystyle H_{i}/k_{i} denota la secuencia de convergentes a la fracción continua regular para n{displaystyle {sqrt {n}}. Esta secuencia es única. Luego el par ()x1,Sí.1){displaystyle (x_{1},y_{1}} resolver la ecuación de Pell y minimizar x satisfizo x1 = hi y Sí.1 = ki para algunos i. Este par se llama solución fundamental. Así, la solución fundamental se puede encontrar realizando la expansión continua de la fracción y probando cada convergente sucesivo hasta que se encuentre una solución a la ecuación de Pell.
El tiempo para encontrar la solución fundamental utilizando el método de fracción continua, con la ayuda del algoritmo Schönhage-Strassen para la multiplicación rápida de enteros, está dentro de un factor logarítmico del tamaño de la solución, el número de dígitos en el par ()x1,Sí.1){displaystyle (x_{1},y_{1}}. Sin embargo, este no es un algoritmo polinomio porque el número de dígitos en la solución puede ser tan grande como √n, mucho más grande que un polinomio en el número de dígitos en el valor de entrada n.
Soluciones adicionales de la solución fundamental
Una vez que se encuentra la solución fundamental, todas las soluciones restantes se pueden calcular algebraicamente a partir de
- xk+Sí.kn=()x1+Sí.1n)k,{displaystyle ¿Qué?
ampliando el lado derecho, equiparando los coeficientes de n{displaystyle {sqrt {n}} en ambos lados, y equiparando los demás términos en ambos lados. Esto produce las relaciones de recurrencia
- xk+1=x1xk+nSí.1Sí.k,{displaystyle x_{k+1}=x_{1}x_{k}+ny_{1}y_{k}
- Sí.k+1=x1Sí.k+Sí.1xk.{displaystyle Y...
Representación concisa y algoritmos más rápidos
Aunque escribiendo la solución fundamental (x1, y1) como un par de números binarios puede requerir una gran cantidad de bits, en muchos casos puede representarse de manera más compacta en la forma
- x1+Sí.1n=∏ ∏ i=1t()ai+bin)ci{displaystyle x_{1}+y_{1}{sqrt {n}=prod ¿Qué?
utilizando números enteros mucho más pequeños ai, bi y ci.
Por ejemplo, el problema del ganado de Arquímedes es equivalente a la ecuación de Pell x2− − 410286423278424Sí.2=1{displaystyle x^{2}-410,286,423,278,424y^{2}=1}, cuya solución fundamental 206545 dígitos si se escribe explícitamente. Sin embargo, la solución también es igual a
- x1+Sí.1n=u2329,{displaystyle ¿Qué?
dónde
- u=x1.+Sí.1.4729494=()300426607914281713365609+841295076778583932587766)2{displaystyle u=x'_{1}+y'_{1}{sqrt {4,729,494}=(300,426,607,914,281,713,365{sqrt {609}}+84,129,507,858,393,258{sqrt {7766}}} {2}}
y x1.{displaystyle # y Sí.1.{displaystyle Y... sólo tienen 45 y 41 dígitos decimales respectivamente.
Los métodos relacionados con el método de tamiz cuadrático para la factorización de enteros se pueden usar para recopilar relaciones entre números primos en el campo numérico generado por √n y combinar estas relaciones para encontrar una representación de producto de este tipo. El algoritmo resultante para resolver la ecuación de Pell es más eficiente que el método de la fracción continua, aunque requiere más tiempo que el polinomial. Bajo el supuesto de la hipótesis de Riemann generalizada, se puede demostrar que toma tiempo
- exp O()log Nlog log N),{displaystyle exp O({sqrt {log Nlog log N}}}}
donde N = log n es el tamaño de entrada, similar al tamiz cuadrático.
Algoritmos cuánticos
Hallgren demostró que una computadora cuántica puede encontrar una representación del producto, como se describe arriba, para la solución de la ecuación de Pell en tiempo polinomial. El algoritmo de Hallgren, que puede interpretarse como un algoritmo para encontrar el grupo de unidades de un cuerpo numérico cuadrático real, fue extendido a campos más generales por Schmidt y Völlmer.
Ejemplo
Como ejemplo, considere la instancia de la ecuación de Pell para n = 7; es decir,
- x2− − 7Sí.2=1.{displaystyle x^{2}-7y^{2}=1.
La secuencia de convergentes para la raíz cuadrada de siete son
h/k (convergente) h27 -k2 (Aproximación tipo pell) 2/1 −3 3/1 +2 5/2 −3 8/3 + 1
Por lo tanto, la solución fundamental está formada por el par (8, 3). La aplicación de la fórmula de recurrencia a esta solución genera la secuencia infinita de soluciones
- (1, 0); (8, 3); (127, 48); (2024, 765); (32257, 12192); (514088, 194307); (8193151, 3096720); (130576328, 49353213);...x) y A001080 (Sí.) en OEIS
La solución más pequeña puede ser muy grande. Por ejemplo, la solución más pequeña x2− − 313Sí.2=1{displaystyle x^{2}-313y^{2}=1} es (32188120829134849,1819380158564160), y esta es la ecuación que Frenicle desafió a Wallis para resolver. Valores de n tal que la solución más pequeña x2− − nSí.2=1{displaystyle x^{2}-ny^{2}=1} es mayor que la solución más pequeña para cualquier valor menor n son
- 1, 2, 5, 10, 13, 29, 46, 53, 61, 109, 181, 277, 397, 409, 421, 541, 661, 1021, 1069, 1381, 1549, 1621, 2389, 3061, 3469, 4621, 4789, 4909, 5581, 6301, 6829, 8269, 8941, 9949,... (secuencia A033316 en el OEIS).
(Para estos registros, consulte OEIS: A033315 para x y OEIS: A033319 para y.)
Lista de soluciones fundamentales de las ecuaciones de Pell
A continuación figura una lista de la solución fundamental x2− − nSí.2=1{displaystyle x^{2}-ny^{2}=1} con n ≤ 128. Para cuadrado n, no hay solución excepto (1, 0). Los valores de x son secuencia A002350 y los de Sí. son secuencia A002349 en OEIS.
n | x | Sí. |
---|---|---|
1 | – | – |
2 | 3 | 2 |
3 | 2 | 1 |
4 | – | – |
5 | 9 | 4 |
6 | 5 | 2 |
7 | 8 | 3 |
8 | 3 | 1 |
9 | – | – |
10 | 19 | 6 |
11 | 10 | 3 |
12 | 7 | 2 |
13 | 649 | 180 |
14 | 15 | 4 |
15 | 4 | 1 |
16 | – | – |
17 | 33 | 8 |
18 | 17 | 4 |
19 | 170 | 39 |
20 | 9 | 2 |
21 | 55 | 12 |
22 | 197 | 42 |
23 | 24 | 5 |
24 | 5 | 1 |
25 | – | – |
26 | 51 | 10 |
27 | 26 | 5 |
28 | 127 | 24 |
29 | 9801 | 1820 |
30 | 11 | 2 |
31 | 1520 | 273 |
32 | 17 | 3 |
n | x | Sí. |
---|---|---|
33 | 23 | 4 |
34 | 35 | 6 |
35 | 6 | 1 |
36 | – | – |
37 | 73 | 12 |
38 | 37 | 6 |
39 | 25 | 4 |
40 | 19 | 3 |
41 | 2049 | 320 |
42 | 13 | 2 |
43 | 3482 | 531 |
44 | 199 | 30 |
45 | 161 | 24 |
46 | 24335 | 3588 |
47 | 48 | 7 |
48 | 7 | 1 |
49 | – | – |
50 | 99 | 14 |
51 | 50 | 7 |
52 | 649 | 90 |
53 | 66249 | 9100 |
54 | 485 | 66 |
55 | 89 | 12 |
56 | 15 | 2 |
57 | 151 | 20 |
58 | 19603 | 2574 |
59 | 530 | 69 |
60 | 31 | 4 |
61 | 1766319049 | 226153980 |
62 | 63 | 8 |
63 | 8 | 1 |
64 | – | – |
n | x | Sí. |
---|---|---|
65 | 129 | 16 |
66 | 65 | 8 |
67 | 48842 | 5967 |
68 | 33 | 4 |
69 | 7775 | 936 |
70 | 251 | 30 |
71 | 3480 | 413 |
72 | 17 | 2 |
73 | 2281249 | 267000 |
74 | 3699 | 430 |
75 | 26 | 3 |
76 | 57799 | 6630 |
77 | 351 | 40 |
78 | 53 | 6 |
79 | 80 | 9 |
80 | 9 | 1 |
81 | – | – |
82 | 163 | 18 |
83 | 82 | 9 |
84 | 55 | 6 |
85 | 285769 | 30996 |
86 | 10405 | 1122 |
87 | 28 | 3 |
88 | 197 | 21 |
89 | 500001 | 53000 |
90 | 19 | 2 |
91 | 1574 | 165 |
92 | 1151 | 120 |
93 | 12151 | 1260 |
94 | 2143295 | 221064 |
95 | 39 | 4 |
96 | 49 | 5 |
n | x | Sí. |
---|---|---|
97 | 62809633 | 6377352 |
98 | 99 | 10 |
99 | 10 | 1 |
100 | – | – |
101 | 201 | 20 |
102 | 101 | 10 |
103 | 227528 | 22419 |
104 | 51 | 5 |
105 | 41 | 4 |
106 | 32080051 | 3115890 |
107 | 962 | 93 |
108 | 1351 | 130 |
109 | 158070671986249 | 15140424455100 |
110 | 21 | 2 |
111 | 295 | 28 |
112 | 127 | 12 |
113 | 1204353 | 113296 |
114 | 1025 | 96 |
115 | 1126 | 105 |
116 | 9801 | 910 |
117 | 649 | 60 |
118 | 306917 | 28254 |
119 | 120 | 11 |
120 | 11 | 1 |
121 | – | – |
122 | 243 | 22 |
123 | 122 | 11 |
124 | 4620799 | 414960 |
125 | 930249 | 83204 |
126 | 449 | 40 |
127 | 4730624 | 419775 |
128 | 577 | 51 |
Conexiones
La ecuación de Pell tiene conexiones con varios otros temas importantes de las matemáticas.
Teoría algebraica de números
La ecuación de Pell está estrechamente relacionada con la teoría de los números algebraicos, ya que la fórmula
- x2− − nSí.2=()x+Sí.n)()x− − Sí.n){displaystyle ¿Qué?
es la norma para el anillo Z[n]{displaystyle mathbb {Z} [{sqrt {n}]} y para el campo cuadrático estrechamente relacionado Q()n){displaystyle mathbb {Q} ({sqrt {n})}. Así, un par de enteros ()x,Sí.){displaystyle (x,y)} soluciones Ecuación de Pell si y sólo si x+Sí.n{displaystyle x+y{sqrt {n}} es una unidad con la norma 1 en Z[n]{displaystyle mathbb {Z} [{sqrt {n}]}. Teorema de unidad de Dirichlet, que todas las unidades Z[n]{displaystyle mathbb {Z} [{sqrt {n}]} se puede expresar como poderes de una sola unidad fundamental (y multiplicación por un signo), es un remanente algebraico del hecho de que todas las soluciones a la ecuación de Pell pueden ser generadas a partir de la solución fundamental. La unidad fundamental se puede encontrar en general resolviendo una ecuación similar a Pell, pero no siempre corresponde directamente a la solución fundamental de la ecuación misma de Pell, porque la unidad fundamental puede tener norma −1 en lugar de 1 y sus coeficientes pueden ser medio enteros en lugar de enteros.
Polinomios de Chebyshev
Demeyer menciona una conexión entre la ecuación de Pell y los polinomios Chebyshev: Si Ti()x){displaystyle T_{i}(x)} y Ui()x){displaystyle U_{i}(x)} son los polinomios Chebyshev de primer y segundo tipo respectivamente, entonces estos polinomios satisfacen una forma de la ecuación de Pell en cualquier anillo polinomio R[x]{displaystyle R[x]}, con n=x2− − 1{displaystyle N=x^{2}-1}:
- Ti2− − ()x2− − 1)Ui− − 12=1.{displaystyle T_{i}{2}-(x^{2}-1)U_{i-1}{2}=1.}
Por lo tanto, estos polinomios pueden generarse mediante la técnica estándar para las ecuaciones de Pell de tomar potencias de una solución fundamental:
- Ti+Ui− − 1x2− − 1=()x+x2− − 1)i.{displaystyle T_{i}+U_{i-1}{sqrt {x^{2}}=(x+{sqrt {x^{2}}} {i}}} {i}
Se puede observar además que si ()xi,Sí.i){displaystyle (x_{i},y_{i}} son las soluciones a cualquier ecuación de Pell entero, entonces xi=Ti()x1){displaystyle # y Sí.i=Sí.1Ui− − 1()x1){displaystyle Y....
Fracciones continuas
Un desarrollo general de soluciones de la ecuación de Pell x2− − nSí.2=1{displaystyle x^{2}-ny^{2}=1} en términos de fracciones continuas de n{displaystyle {sqrt {n}} se puede presentar, como las soluciones x y Sí. son aproximados a la raíz cuadrada n y por lo tanto son un caso especial de aproximaciones de fracción continua para los irracionales cuadráticos.
La relación con las fracciones continuas implica que las soluciones de la ecuación de Pell forman un subconjunto de semigrupos del grupo modular. Así, por ejemplo, si p y q satisfacen la ecuación de Pell, entonces
- ()pqnqp){displaystyle {begin{pmatrix}p dobleqnq limit {pmatrix}}}
es una matriz de determinante unitario. Los productos de tales matrices toman exactamente la misma forma y, por lo tanto, todos esos productos dan soluciones a la ecuación de Pell. Esto puede entenderse en parte como resultado del hecho de que los convergentes sucesivos de una fracción continua comparten la misma propiedad: Si pk−1/ qk−1 y pk/ qk son dos convergentes sucesivos de una fracción continua, entonces la matriz
- ()pk− − 1pkqk− − 1qk){displaystyle {begin{pmatrix}p_{k-1}q_{k}q_{k-1} {k}end{pmatrix}}}
tiene determinante (−1)k.
Números suaves
El teorema de Størmer aplica las ecuaciones de Pell para encontrar pares de números lisos consecutivos, enteros positivos cuyos factores primos son todos menores que un valor dado. Como parte de esta teoría, Størmer también investigó las relaciones de divisibilidad entre las soluciones de la ecuación de Pell; en particular, mostró que cada solución que no sea la solución fundamental tiene un factor primo que no divide a n.
La ecuación negativa de Pell
La ecuación negativa de Pell está dada por
- x2− − nSí.2=− − 1{displaystyle x^{2}-ny^{2}=-1}
y también ha sido ampliamente estudiado. Se puede resolver por el mismo método de fracciones continuas y tiene soluciones si y solo si el período de la fracción continua tiene longitud impar. Sin embargo, no se sabe qué raíces tienen longitudes de períodos impares y, por lo tanto, no se sabe cuándo se puede resolver la ecuación negativa de Pell. Una condición necesaria (pero no suficiente) para la resolución es que n no sea divisible por 4 o por un primo de la forma 4k + 3. Así, por ejemplo, x2 − 3ny2 = −1 nunca tiene solución, pero x2 − 5ny2 = −1 puede ser.
Los primeros números n para los que x2 − ny2 = −1 tiene solución son
- 1, 2, 5, 10, 13, 17, 26, 29, 37, 41, 50, 53, 58, 61, 65, 73, 74, 82, 85, 89, 97,... A031396 en el OEIS).
Vamos α α =▪ ▪ jEs extraño.()1− − 2j){displaystyle alpha =Pi _{j{text{ is odd}} {1-2^{j}}}. La proporción de libre de plazas n divisible por k primos de la forma 4m+ 1 para el cual la ecuación negativa de Pell es solvable es al menos α. Cuando el número de divisores primarios no está fijo, la proporción es dada por 1 -α.
Si la ecuación negativa de Pell tiene una solución para un n particular, su solución fundamental conduce a la fundamental para el caso positivo elevando al cuadrado ambos lados de la ecuación definitoria:
- ()x2− − nSí.2)2=()− − 1)2{displaystyle (x^{2}-ny^{2} {2}=(-1)^{2}
implica
- ()x2+nSí.2)2− − n()2xSí.)2=1.{displaystyle (x^{2}+ny^{2})^{2}-n(2xy)^{2}=1.}
Como se indicó anteriormente, si la ecuación negativa de Pell es solvable, se puede encontrar una solución utilizando el método de fracciones continuas como en la ecuación positiva de Pell. Sin embargo, la relación de recursión funciona ligeramente diferente. Desde ()x+nSí.)()x− − nSí.)=− − 1{displaystyle (x+{sqrt {n}y)(x-{sqrt {n}y)=-1}, la siguiente solución se determina en términos de i()xk+nSí.k)=()i()x+nSí.))k{displaystyle i(x_{k}+{sqrt {n}y_{k}=(i(x+{sqrt {n}y)}{k}}} cuando hay una coincidencia, es decir, cuando k{displaystyle k} Es extraño. La relación de recursión resultante es (modulo un signo menos, que es inmaterial debido a la naturaleza cuadrática de la ecuación)
- xk=xk− − 2x12+nxk− − 2Sí.12+2nSí.k− − 2Sí.1x1,{displaystyle x_{k}=x_{k-2}x_{1}{2}+nx_{k-2}y_{1}{2}+2ny_{k-2}y_{1}x_{1}}
- Sí.k=Sí.k− − 2x12+nSí.k− − 2Sí.12+2xk− − 2Sí.1x1,{displaystyle Y...
lo que da una torre infinita de soluciones a la ecuación negativa de Pell.
Ecuación de Pell generalizada
La ecuación
- x2− − dSí.2=N{displaystyle x^{2}-dy^{2}=N}
se llama generalizado (o general) Ecuación de Pell. La ecuación u2− − dv2=1{displaystyle U^{2}-dv^{2}=1} es el correspondiente Pell está resuelto.. Un algoritmo recurrente fue dado por Lagrange en 1768 para resolver la ecuación, reduciendo el problema al caso <math alttext="{displaystyle |N|SilencioNSilencio.d{displaystyle TENSITO NO SUPERTENIDO {fn}<img alt="{displaystyle |N|. Tales soluciones pueden derivarse utilizando el método de fracturas continuas que se describe anteriormente.
Si ()x0,Sí.0){displaystyle (x_{0},y_{0}} es una solución x2− − dSí.2=N,{displaystyle ################################################################################################################################################################################################################################################################ } y ()un,vn){displaystyle (u_{n},v_{n}} es una solución u2− − dv2=1,{displaystyle. entonces ()xn,Sí.n){displaystyle (x_{n},y_{n}} tales que xn+Sí.nd=()x0+Sí.0d)()un+vnd){displaystyle x_{n}+y_{n}{sqrt {d}={big} (}x_{0}+y_{0}{sqrt {d}{big)}{big (}u_{n}+v_{n}{sqrt {d}{big)}}} {big)} es una solución x2− − dSí.2=N{displaystyle x^{2}-dy^{2}=N}, un principio llamado principio multiplicativo. La solución ()xn,Sí.n){displaystyle (x_{n},y_{n}} se llama Pell multiple de la solución ()x0,Sí.0){displaystyle (x_{0},y_{0}}.
Existe un conjunto finito de soluciones x2− − dSí.2=N{displaystyle x^{2}-dy^{2}=N} tal que cada solución es un Pell múltiples de una solución de ese conjunto. En particular, si ()u,v){displaystyle (u,v)} es la solución fundamental u2− − dv2=1{displaystyle U^{2}-dv^{2}=1}, entonces cada solución a la ecuación es un Pell múltiple de una solución ()x,Sí.){displaystyle (x,y)} con SilencioxSilencio≤ ≤ SilencioNSilencio()SilencioUSilencio+1)/2{fnMicrosoft Sans Serif} {fnMicrosoft Sans Serif}} {fnMicrosoft Sans Serif}}}nMicrosoft Sans Serif} y SilencioSí.Silencio≤ ≤ SilencioNSilencio()SilencioUSilencio+1)/()2d){fnMicrosoft Sans Serif} {fnMicrosoft Sans Serif}}} {fnMicrosoft Sans Serif}}}}}}}} {big} {big}} {big}}}}} {big}}}}, donde U=u+vd{displaystyle U=u+v{sqrt {d}}.
Si x y Sí. son soluciones inteligentes positivas a la ecuación de Pell con <math alttext="{displaystyle |N|SilencioNSilencio.d{displaystyle TENSITO NO SUPERTENIDO {fn}<img alt="{displaystyle |N|, entonces x/Sí.{displaystyle x/y} es una convergencia a la fracción continua d{displaystyle {sqrt {}}.
Las soluciones a la ecuación de Pell generalizada se utilizan para resolver ciertas ecuaciones diofánticas y unidades de ciertos anillos, y surgen en el estudio de SIC-POVM en la teoría cuántica de la información.
La ecuación
- x2− − dSí.2=4{displaystyle x^{2}-dy^{2}=4}
es similar al resuelto x2− − dSí.2=1{displaystyle x^{2}-di^{2}=1} en que si una solución mínima x2− − dSí.2=4{displaystyle x^{2}-dy^{2}=4} se puede encontrar, entonces todas las soluciones de la ecuación se pueden generar de manera similar al caso N=1{displaystyle N=1}. Por cierto d{displaystyle d}, soluciones a x2− − dSí.2=1{displaystyle x^{2}-di^{2}=1} se puede generar de aquellos con x2− − dSí.2=4{displaystyle x^{2}-dy^{2}=4}, en eso si d↑ ↑ 5()mod8),{displaystyle dequiv 5{pmod {8}} entonces cada tercera solución x2− − dSí.2=4{displaystyle x^{2}-dy^{2}=4} tiene x,Sí.{displaystyle x,y} incluso, generando una solución x2− − dSí.2=1{displaystyle x^{2}-di^{2}=1}.
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