Ecuación de órbita

En astrodinámica, una ecuación de órbita define el camino del cuerpo orbitante ${\displaystyle m_{2}\,\!$ alrededor del cuerpo central ${\displaystyle m_{1}\,\!$ relativa a ${\displaystyle m_{1}\,\!$, sin especificar la posición como función del tiempo. Bajo hipótesis estándar, un cuerpo que se mueve bajo la influencia de una fuerza, dirigida a un cuerpo central, con una magnitud inversamente proporcional a la plaza de la distancia (como la gravedad), tiene una órbita que es una sección cónica (es decir, órbita circular, órbita elíptica, trayectoria parabólica, trayectoria hiperbólica o trayectoria radial) con el cuerpo central situado en uno de los dos foci, o el (Primera ley de Kepler).

Si la sección cónica intersecte el cuerpo central, entonces la trayectoria real sólo puede ser la parte por encima de la superficie, pero por esa parte la ecuación de órbita y muchas fórmulas relacionadas todavía se aplican, siempre y cuando sea una caída libre (situación de la falta de peso).

Fuerza de ley central del cuadrado inverso

Considere un sistema de dos cuerpos compuesto por un cuerpo central de masa M y un cuerpo de masa mucho más pequeño, orbitando ${\displaystyle m}$, y suponen que los dos cuerpos interactúan a través de una fuerza de ley central, inversa-cuarela (como la gravedad). En las coordenadas polares, la ecuación orbital se puede escribir como

$${\displaystyle r={\frac {\fnMicrosoft Sans Serif} ¿Qué? }{\frac {1}{1+e\cos \theta }$$

• ${\displaystyle r}$ es la distancia entre los dos cuerpos y
• ${\displaystyle \theta }$ es el ángulo que ${\displaystyle \mathbf {r}$ hace con el eje de la periapsis (también llamado verdadera anomalía).
• El parámetro ${\displaystyle \ell }$ es el impulso angular del cuerpo orbitante sobre el cuerpo central, y es igual a ${\displaystyle mr^{2}{\dot {\theta }$, o la masa multiplicada por la magnitud del producto cruzado de la posición relativa y los vectores de velocidad de los dos cuerpos.
• El parámetro ${\displaystyle \mu }$ es la constante para la cual ${\displaystyle \mu /r^{2}$ iguala la aceleración del cuerpo más pequeño (por gravedad, ${\displaystyle \mu }$ es el parámetro gravitacional estándar, ${\displaystyle -GM}$). Para una órbita dada, la mayor ${\displaystyle \mu }$, cuanto más rápido se mueve el cuerpo orbitante en él: dos veces más rápido si la atracción es cuatro veces más fuerte.
• El parámetro ${\displaystyle e}$ es la excentricidad de la órbita, y es dada por

  ${\displaystyle e={\sqrt {1+{\frac {2} ¿Qué?$

• Donde ${\displaystyle E}$ es la energía de la órbita.

La relación anterior entre ${\displaystyle r}$ y ${\displaystyle \theta }$ describe una sección cónica. El valor de ${\displaystyle e}$ controla qué tipo de sección cónica es la órbita:

• cuando ${\displaystyle e won1}$, la órbita es elíptica (los círculos son elipses con ${\displaystyle e=0}$);
• cuando ${\displaystyle e=1}$, la órbita es parabólica;
• cuando ${\displaystyle e confía1}$La órbita es hiperbólica.

El valor mínimo ${\displaystyle r}$ en la ecuación es:

$${\displaystyle r={\ell ^{2} \over {m^{2}\mu }{1} \over {1+e}$$

${\displaystyle e won1}$

$${\displaystyle r={\ell ^{2} \over {m^{2}\mu }{1} \over {1-e}$$

Si el máximo es menor que el radio del cuerpo central, entonces la sección cónica es una elipse que está completamente dentro del cuerpo central y ninguna parte de ella es una trayectoria posible. Si el máximo es mayor, pero el mínimo es menor que el radio, parte de la trayectoria es posible:

• si la energía no es negativa ( orbita parabólica o hiperbólica): el movimiento está lejos del cuerpo central, o hacia él.
• si la energía es negativa: el movimiento puede estar primero lejos del cuerpo central, hasta
  $${\displaystyle r={\ell ^{2} \over {m^{2}\mu }{1} \over {1-e}$$

  
  después de lo cual el objeto cae.

Si ${\displaystyle r}$ se convierte en tal que el cuerpo orbitante entra en una atmósfera, entonces las suposiciones estándar ya no se aplican, como en la reentrada atmosférica.

Trayectorias de baja energía

Si el cuerpo central es la Tierra, y la energía es sólo ligeramente mayor que la energía potencial en la superficie de la Tierra, entonces la órbita es elíptica con una excentricidad cercana a 1 y un extremo de la elipse justo más allá del centro de la Tierra, y el otro extremo justo encima de la superficie. Sólo es aplicable una pequeña parte de la elipse.

Si la velocidad horizontal es ${\displaystyle v\,\!}$, entonces la distancia periapsis es ${\displaystyle {\frac {\f}{2g}} {\fnK}}} {\fnK}}} {\fn}}}} {\fn}}} {\fnK}}}}}}} {\fnK}}}}}} {\f}}} {\f}}}}}}$. La energía en la superficie de la Tierra corresponde a la de una órbita elíptica con ${\displaystyle a=R/2\,\!}$ (con ${\displaystyle R\,\!$ el radio de la Tierra), que en realidad no puede existir porque es una elipse totalmente por debajo de la superficie. El aumento de la energía con aumento ${\displaystyle a}$ está a un ritmo ${\displaystyle 2g\,\!}$. La altura máxima sobre la superficie de la órbita es la longitud de la elipse, menos ${\displaystyle R\,\!$, menos la parte "bajo" el centro de la Tierra, por lo tanto dos veces el aumento de ${\displaystyle a\,\!}$ menos la distancia periapsis. En la parte superior la energía potencial es ${\displaystyle g}$ veces esta altura, y la energía cinética es ${\displaystyle {\frac {\fnK}{2}}} {\fnK}} {\fnK}}} {\fn}}}}}}} {\fnK}}}}}}} {\fnK}}}}}} {\f}}}} {\f}}}}$. Esto suma al aumento de energía mencionado. El ancho de la elipse es de 19 minutos ${\displaystyle v\,\!}$.

La parte de la elipse sobre la superficie puede ser aproximada por una parte de una parabola, que se obtiene en un modelo donde se asume la gravedad constante. Esto debe distinguirse de la órbita parabólica en el sentido de la astrodinámica, donde la velocidad es la velocidad de escape.

Vea también la trayectoria.

Categorización de las órbitas

Considere las órbitas que se encuentran en un punto horizontal, cerca de la superficie de la Tierra. Para velocidades crecientes en este punto, las órbitas son posteriormente:

• parte de un elipse con eje principal vertical, con el centro de la Tierra como el foco lejano (que arroja una piedra, vuelo espacial suborbital, misiles balísticos)
• un círculo justo sobre la superficie de la Tierra ( órbita terrestre baja)
• un elipse con eje principal vertical, con el centro de la Tierra como el enfoque cercano
• a parabola
• a hyperbola

Note que en la secuencia anterior, ${\displaystyle h}$, ${\displaystyle \epsilon }$ y ${\displaystyle a}$ aumentar monotonicamente, pero ${\displaystyle e}$ primero disminuye de 1 a 0, luego aumenta de 0 a infinito. La inversión es cuando el centro de la Tierra cambia de ser el foco lejano a ser el foco cercano (el otro enfoque comienza cerca de la superficie y pasa por el centro de la Tierra). Tenemos

${\displaystyle e=\left detained{\frac {R}{a}-1\justo de la vida$

Extendiendo esto a órbitas horizontales a otra altura, y órbitas de las cuales la extrapolación es horizontal debajo de la superficie de la Tierra, obtenemos una categorización de todas las órbitas, excepto las trayectorias radiales, para las cuales, por cierto, la ecuación de la órbita no se puede utilizar. En esta categorización los elipses son considerados dos veces, por lo que para elipses con ambos lados por encima de la superficie uno puede restringirse a tomar el lado que es inferior como el lado de referencia, mientras que para elipses de que sólo un lado está por encima de la superficie, tomando ese lado.