Ecuación de ondas electromagnéticas

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Ecuación diferencial parcial utilizada en la física

La ecuación de ondas electromagnéticas es una ecuación diferencial parcial de segundo orden que describe la propagación de ondas electromagnéticas a través de un medio o en el vacío. Es una forma tridimensional de la ecuación de onda. La forma homogénea de la ecuación, escrita en términos del campo eléctrico $E$ o del campo magnético $B$ , toma la forma:

{displaystyle {begin{aligned}left(v_{mathrm {ph} }^{2}nabla ^{2}-{frac {partial ^{2}}{partial t^{2}}}right)mathbf {E} &=mathbf {0} \left(v_{mathrm {ph} }^{2}nabla ^{2}-{frac {partial ^{2}}{partial t^{2}}}right)mathbf {B} &=mathbf {0} end{aligned}}}

donde

{displaystyle v_{mathrm {ph} }={frac {1}{sqrt {mu varepsilon }}}}

es la velocidad de la luz (es decir, velocidad de fase) en un medio con permeabilidad $μ$ y permitividad $ε$ , y $\nabla 2$ es el operador de Laplace. En el vacío, $v ph = c 0 = 299792458 m/s$ , una constante física fundamental. La ecuación de las ondas electromagnéticas se deriva de las ecuaciones de Maxwell. En la mayor parte de la literatura antigua, $B$ se llama densidad de flujo magnético o inducción magnética. Las siguientes ecuaciones

{displaystyle {begin{aligned}nabla cdot mathbf {E} &=0\nabla cdot mathbf {B} &=0end{aligned}}}

E

B

El origen de la ecuación de las ondas electromagnéticas

En su artículo de 1865 titulado Una teoría dinámica del campo electromagnético, James Clerk Maxwell utilizó la corrección a la ley de circuitos de Ampère que había hecho en la parte III de su artículo de 1861 Sobre líneas físicas de fuerza. En la Parte VI de su artículo de 1864 titulado Teoría electromagnética de la luz, Maxwell combinó la corriente de desplazamiento con algunas de las otras ecuaciones del electromagnetismo y obtuvo una ecuación de onda con una velocidad igual a la velocidad de la luz. Él comentó:

El acuerdo de los resultados parece mostrar que la luz y el magnetismo son afectos de la misma sustancia, y que la luz es una perturbación electromagnética propagada a través del campo según las leyes electromagnéticas.

La derivación de Maxwell de la ecuación de onda electromagnética ha sido reemplazada en la educación física moderna por un método mucho menos engorroso que combina la versión corregida de la ley de Ampère con la ley de inducción de Faraday.

Para obtener la ecuación de onda electromagnética en un vacío utilizando el método moderno, comenzamos con el moderno ' Heaviside ' forma de las ecuaciones de Maxwell y#39; En un espacio libre de vacío y de carga, estas ecuaciones son:

{displaystyle {begin{aligned}nabla cdot mathbf {E} &=0\nabla times mathbf {E} &=-{frac {partial mathbf {B} }{partial t}}\nabla cdot mathbf {B} &=0\nabla times mathbf {B} &=mu _{0}varepsilon _{0}{frac {partial mathbf {E} }{partial t}}\end{aligned}}}

Estas son las ecuaciones generales de Maxwell especializadas para el caso en el que la carga y la corriente se ponen a cero. Tomando la curvatura de las ecuaciones de curvatura se obtiene:

{displaystyle {begin{aligned}nabla times left(nabla times mathbf {E} right)&=nabla times left(-{frac {partial mathbf {B} }{partial t}}right)=-{frac {partial }{partial t}}left(nabla times mathbf {B} right)=-mu _{0}varepsilon _{0}{frac {partial ^{2}mathbf {E} }{partial t^{2}}}\nabla times left(nabla times mathbf {B} right)&=nabla times left(mu _{0}varepsilon _{0}{frac {partial mathbf {E} }{partial t}}right)=mu _{0}varepsilon _{0}{frac {partial }{partial t}}left(nabla times mathbf {E} right)=-mu _{0}varepsilon _{0}{frac {partial ^{2}mathbf {B} }{partial t^{2}}}end{aligned}}}

Podemos usar la identidad vectorial

{displaystyle nabla times left(nabla times mathbf {V} right)=nabla left(nabla cdot mathbf {V} right)-nabla ^{2}mathbf {V} }

Donde $V$ es cualquier función vectorial del espacio. Y

{displaystyle nabla ^{2}mathbf {V} =nabla cdot left(nabla mathbf {V} right)}

donde $\nabla V$ es una diádica que cuando es operada por el operador de divergencia $\nabla \cdot$ produce un vector. Desde

{displaystyle {begin{aligned}nabla cdot mathbf {E} &=0\nabla cdot mathbf {B} &=0end{aligned}}}

entonces el primer término de la derecha en la identidad desaparece y obtenemos las ecuaciones de onda:

{displaystyle {begin{aligned}{frac {1}{c_{0}^{2}}}{frac {partial ^{2}mathbf {E} }{partial t^{2}}}-nabla ^{2}mathbf {E} &=mathbf {0} \{frac {1}{c_{0}^{2}}}{frac {partial ^{2}mathbf {B} }{partial t^{2}}}-nabla ^{2}mathbf {B} &=mathbf {0} end{aligned}}}

dónde

{displaystyle c_{0}={frac {1}{sqrt {mu _{0}varepsilon _{0}}}}=2.99792458times 10^{8};{textrm {m/s}}}

es la velocidad de la luz en el espacio libre.

Forma covariante de la ecuación de onda homogénea

Dilatación del tiempo en movimiento transversal. El requisito de que la velocidad de la luz es constante en cada marco de referencia inercial conduce a la teoría de la Relatividad Especial.

Estas ecuaciones relativistas se pueden escribir en forma contravariante como

{displaystyle Box A^{mu }=0}

donde está el cuatro potencial electromagnético

{displaystyle A^{mu }=left({frac {phi }{c}},mathbf {A} right)}

con la condición del indicador de Lorenz:

{displaystyle partial _{mu }A^{mu }=0,}

y donde

{displaystyle Box =nabla ^{2}-{frac {1}{c^{2}}}{frac {partial ^{2}}{partial t^{2}}}}

es el operador d'Alembert.

Ecuación de onda homogénea en el espacio-tiempo curvo

La ecuación de ondas electromagnéticas se modifica de dos maneras, se sustituye la derivada por la derivada covariante y aparece un nuevo término que depende de la curvatura.

{displaystyle -{A^{alpha;beta }}_{;beta }+{R^{alpha }}_{beta }A^{beta }=0}

Donde ${displaystyle {R^{alpha }}_{beta }}$ es el tensor de curvatura Ricci y el semilón indica diferenciación covariante.

Se supone la generalización de la condición de calibre de Lorenz en el espacio-tiempo curvo:

{displaystyle {A^{mu }}_{;mu }=0.}

Ecuación de ondas electromagnéticas no homogéneas

Las densidades de corriente y carga localizadas que varían en el tiempo pueden actuar como fuentes de ondas electromagnéticas en el vacío. Las ecuaciones de Maxwell se pueden escribir en forma de ecuación de onda con fuentes. La adición de fuentes a las ecuaciones de onda hace que las ecuaciones diferenciales parciales no sean homogéneas.

Soluciones a la ecuación de ondas electromagnéticas homogéneas

La solución general a la ecuación de ondas electromagnéticas es una superposición lineal de ondas de la forma

{displaystyle {begin{aligned}mathbf {E} (mathbf {r}t)&=g(phi (mathbf {r}t))=g(omega t-mathbf {k} cdot mathbf {r})\mathbf {B} (mathbf {r}t)&=g(phi (mathbf {r}t))=g(omega t-mathbf {k} cdot mathbf {r})end{aligned}}}

para prácticamente cualquier función de buen comportamiento $g$ de argumento adimensional $φ$ , donde $ω$ es la frecuencia angular (en radianes por segundo), y $k = (k x, k y, k z)$ es el vector de onda (en radianes por metro).

Aunque la función $g$ puede ser, y a menudo es, una onda sinusoidal monocromática, no tiene por qué ser sinusoidal, ni siquiera periódico. En la práctica, $g$ no puede tener una periodicidad infinita porque cualquier onda electromagnética real siempre debe tener una extensión finita en el tiempo y el espacio. En consecuencia, y basándose en la teoría de la descomposición de Fourier, una onda real debe consistir en la superposición de un conjunto infinito de frecuencias sinusoidales.

Además, para una solución válida, el vector de onda y la frecuencia angular no son independientes; deben respetar la relación de dispersión:

{displaystyle k=|mathbf {k} |={omega over c}={2pi over lambda }}

donde $k$ es el número de onda y $λ$ es la longitud de onda. La variable $c$ solo se puede utilizar en esta ecuación cuando la onda electromagnética está en el vacío.

Estado estacionario monocromático, sinusoidal

El conjunto más simple de soluciones a la ecuación de onda resulta de asumir formas de onda sinusoidales de una sola frecuencia en forma separable:

{displaystyle mathbf {E} (mathbf {r}t)=Re left{mathbf {E} (mathbf {r})e^{iomega t}right}}

dónde

$i$ es la unidad imaginaria,
$\cdot = 2 π f$ es la frecuencia angular en radians por segundo,
$f$ es frecuencia en hertz, y
${displaystyle e^{iomega t}=cos(omega t)+isin(omega t)}$ Es la fórmula de Euler.

Soluciones de ondas planas

Considere un plano definido por un vector unitario normal

{displaystyle mathbf {n} ={mathbf {k} over k}.}

Entonces las soluciones de ondas viajeras planas de las ecuaciones de ondas son

{displaystyle {begin{aligned}mathbf {E} (mathbf {r})&=mathbf {E} _{0}e^{-imathbf {k} cdot mathbf {r} }\mathbf {B} (mathbf {r})&=mathbf {B} _{0}e^{-imathbf {k} cdot mathbf {r} }end{aligned}}}

donde $r = (x, y, z)$ es el vector de posición (en metros).

Estas soluciones representan ondas planarias que viajan en la dirección del vector normal $n$ . Si definimos el $z$ dirección como la dirección $n$ , y $x$ dirección como la dirección $E$ , entonces por la Ley de Faraday el campo magnético se encuentra en $Sí.$ dirección y está relacionado con el campo eléctrico por la relación

{displaystyle c^{2}{partial B over partial z}={partial E over partial t}.}

Debido a que la divergencia de los campos eléctrico y magnético es cero, no hay campos en la dirección de propagación.

Esta solución es la solución linealmente polarizada de las ecuaciones de onda. También existen soluciones polarizadas circularmente en las que los campos giran alrededor del vector normal.

Descomposición espectral

Debido a la linealidad de las ecuaciones de Maxwell en un vacío, las soluciones pueden ser descompuestas en una superposición de sinusoides. Esta es la base para el método de transformación Fourier para la solución de ecuaciones diferenciales. La solución sinusoidal de la ecuación de onda electromagnética toma la forma

{displaystyle {begin{aligned}mathbf {E} (mathbf {r}t)&=mathbf {E} _{0}cos(omega t-mathbf {k} cdot mathbf {r} +phi _{0})\mathbf {B} (mathbf {r}t)&=mathbf {B} _{0}cos(omega t-mathbf {k} cdot mathbf {r} +phi _{0})end{aligned}}}

dónde

$t$ es tiempo (en segundos),
$\cdot$ es la frecuencia angular (en radians por segundo),
$k = k x, k Sí., k z)$ es el vector de onda (en radios por metro), y
${displaystyle phi _{0}}$ es el ángulo de fase (en radians).

El vector de onda está relacionado con la frecuencia angular por

{displaystyle k=|mathbf {k} |={omega over c}={2pi over lambda }}

donde $k$ es el número de onda y $λ$ es la longitud de onda.

El espectro electromagnético es una gráfica de las magnitudes (o energías) del campo en función de la longitud de onda.

Expansión multipolar

Suponiendo campos monocromáticos que varían en el tiempo ${displaystyle e^{-iomega t}}$ , si se utiliza Maxwell Equations para eliminar $B$ , la ecuación de onda electromagnética reduce a la ecuación de Helmholtz para $E$ :

{displaystyle (nabla ^{2}+k^{2})mathbf {E} =0,,mathbf {B} =-{frac {i}{k}}nabla times mathbf {E}}

con $k = ω / c$ como se indicó anteriormente. Alternativamente, se puede eliminar $E$ en favor de $B$ para obtener :

{displaystyle (nabla ^{2}+k^{2})mathbf {B} =0,,mathbf {E} =-{frac {i}{k}}nabla times mathbf {B}.}

Un campo electromagnético genérico con frecuencia $\cdot$ se puede escribir como una suma de soluciones a estas dos ecuaciones. Las soluciones tridimensionales de la Ecuación de Helmholtz se pueden expresar como expansiones en armónicas esféricas con coeficientes proporcionales a las funciones esféricas de Bessel. Sin embargo, aplicar esta expansión a cada componente vectorial de $E$ o $B$ dará soluciones que no son genéricamente libres de divergencia ( $\cdot \cdot E = restablecimiento \cdot B = 0$ ), y por lo tanto requieren restricciones adicionales sobre los coeficientes.

La expansión multipolar evita esta dificultad expandiendo no $E$ o $B$ , pero $r \cdot E$ o $r \cdot B$ en armónicos esféricos. Estas expansiones aún resuelven las ecuaciones de Helmholtz originales para $E$ y $B$ porque para un campo libre de divergencia $F$ , $\nabla 2 (r \cdot F) = r \cdot (\nabla 2 F)$ . Las expresiones resultantes para un campo electromagnético genérico son:

{displaystyle {begin{aligned}mathbf {E} &=e^{-iomega t}sum _{l,m}{sqrt {l(l+1)}}left[a_{E}(l,m)mathbf {E} _{l,m}^{(E)}+a_{M}(l,m)mathbf {E} _{l,m}^{(M)}right]\mathbf {B} &=e^{-iomega t}sum _{l,m}{sqrt {l(l+1)}}left[a_{E}(l,m)mathbf {B} _{l,m}^{(E)}+a_{M}(l,m)mathbf {B} _{l,m}^{(M)}right],,end{aligned}}}

Donde ${displaystyle mathbf {E} _{l,m}^{(E)}}$ y ${displaystyle mathbf {B} _{l,m}^{(E)}}$ son campos eléctricos multipolo de orden (l, m), y ${displaystyle mathbf {E} _{l,m}^{(M)}}$ y ${displaystyle mathbf {B} _{l,m}^{(M)}}$ son los correspondientes campos magnéticos multipole, y $a E () l, m)$ y $a M () l, m)$ son los coeficientes de la expansión. Los campos multipolo son dados por

{displaystyle {begin{aligned}mathbf {B} _{l,m}^{(E)}&={sqrt {l(l+1)}}left[B_{l}^{(1)}h_{l}^{(1)}(kr)+B_{l}^{(2)}h_{l}^{(2)}(kr)right]mathbf {Phi } _{l,m}\mathbf {E} _{l,m}^{(E)}&={frac {i}{k}}nabla times mathbf {B} _{l,m}^{(E)}\mathbf {E} _{l,m}^{(M)}&={sqrt {l(l+1)}}left[E_{l}^{(1)}h_{l}^{(1)}(kr)+E_{l}^{(2)}h_{l}^{(2)}(kr)right]mathbf {Phi } _{l,m}\mathbf {B} _{l,m}^{(M)}&=-{frac {i}{k}}nabla times mathbf {E} _{l,m}^{(M)},,end{aligned}}}

donde $h l (1,2) (x)$ son las funciones esféricas de Hankel, $E l (1,2)$ y $B l (1,2)$ están determinados por condiciones de contorno, y

{displaystyle mathbf {Phi } _{l,m}={frac {1}{sqrt {l(l+1)}}}(mathbf {r} times nabla)Y_{l,m}}

son armónicos esféricos vectoriales normalizados de modo que

{displaystyle int mathbf {Phi } _{l,m}^{*}cdot mathbf {Phi } _{l',m'}dOmega =delta _{l,l'}delta _{m,m'}.}

La expansión multipolar del campo electromagnético encuentra aplicación en una serie de problemas que involucran simetría esférica, por ejemplo, patrones de radiación de antenas o desintegración gamma nuclear. En estas aplicaciones, a menudo nos interesa la potencia radiada en el campo lejano. En estas regiones, los campos $E$ y $B$ se aproximan asintóticamente

{displaystyle {begin{aligned}mathbf {B} &approx {frac {e^{i(kr-omega t)}}{kr}}sum _{l,m}(-i)^{l+1}left[a_{E}(l,m)mathbf {Phi } _{l,m}+a_{M}(l,m)mathbf {hat {r}} times mathbf {Phi } _{l,m}right]\mathbf {E} &approx mathbf {B} times mathbf {hat {r}}.end{aligned}}}

La distribución angular de la potencia radiada promediada en el tiempo viene dada por

{displaystyle {frac {dP}{dOmega }}approx {frac {1}{2k^{2}}}left|sum _{l,m}(-i)^{l+1}left[a_{E}(l,m)mathbf {Phi } _{l,m}times mathbf {hat {r}} +a_{M}(l,m)mathbf {Phi } _{l,m}right]right|^{2}.}

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