Ecuación de onda

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Ecuación de onda diferencial importante en la física

Un pulso que viaja a través de una cadena con puntos finales fijos como modelado por la ecuación de onda.

Olas esféricas provenientes de una fuente de puntos.

Una solución a la ecuación de onda 2D

La ecuación de onda (bidireccional) es una ecuación diferencial parcial lineal de segundo orden para la descripción de ondas o campos de ondas estacionarias, tal como ocurren en la física clásica, como ondas mecánicas (p. ondas de agua, ondas sonoras y ondas sísmicas) u ondas electromagnéticas (incluidas las ondas luminosas). Surge en campos como la acústica, el electromagnetismo y la dinámica de fluidos. Las ondas mecánicas o electromagnéticas individuales que se propagan en una dirección predefinida también se pueden describir con la ecuación de onda unidireccional de primer orden, que es mucho más fácil de resolver y también es válida para medios no homogéneos.

Introducción

La ecuación de onda (dos vías) es una ecuación diferencial parcial de segundo orden que describe las ondas, incluyendo las ondas de viaje y de pie; este último puede considerarse como superposiciones lineales de ondas que viajan en direcciones opuestas. Este artículo se centra principalmente en la ecuación de onda escalar que describe las ondas en los escalares por las funciones de escalar $u = u () x 1, x 2,... x n; t)$ de una variable de tiempo $t$ (un tiempo de representación variable) y una o más variables espaciales $x 1, x 2,... x n$ (variables representando una posición en un espacio bajo discusión) mientras hay ecuaciones de ondas vectoriales que describen ondas en vectores como ondas para el campo eléctrico, campo magnético, y potencial vectorial magnético y ondas elásticas. En comparación con las ecuaciones de onda vectorial, la ecuación de onda escalar se puede ver como un caso especial de las ecuaciones de onda vectorial; en el sistema de coordenadas cartesiano, la ecuación de onda escalar es la ecuación que debe satisfacer cada componente (por cada eje de coordenadas, como el x-componente para el eje x) de una onda vectorial sin fuentes de ondas en el dominio considerado (es). Por ejemplo, en el sistema de coordenadas cartesianas, ${displaystyle (E_{x},E_{y},E_{z})}$ como la representación de un campo vectorial eléctrico ${vec {E}}$ en ausencia de fuentes de onda, cada componente de eje de coordenadas $E_{i}$ ()i = x, Sí., o z) debe satisfacer la ecuación de onda escalar. Otras soluciones de ecuación de onda escalar $u$ son para cantidades físicas en escalares tales como presión en un líquido o gas, o el desplazamiento, a lo largo de alguna dirección específica, de partículas de un sólido vibrador lejos de sus posiciones de reposo (equilibrio).

La ecuación de onda escalar es

{displaystyle {frac {partial ^{2}u}{partial t^{2}}};=;c^{2}left({frac {partial ^{2}u}{partial x_{1}^{2}}}+{frac {partial ^{2}u}{partial x_{2}^{2}}}+cdots +{frac {partial ^{2}u}{partial x_{n}^{2}}}right)}

c

En otras palabras:

$u$ es el factor que representa un desplazamiento de la situación de reposo - podría ser presión de gas por encima o por debajo de la normalidad, o la altura del agua en un estanque por encima o por debajo del descanso, o algo más.
$t$ representa tiempo.
${displaystyle {frac {partial ^{2}u}{partial t^{2}}}}$ es un término para cómo el desplazamiento se acelera, es decir, no la velocidad a la que el desplazamiento está cambiando, pero de hecho la tasa a la que se está cambiando la velocidad de ese desplazamiento - su aceleración.
$x$ representa espacio o posición.
${displaystyle {frac {partial ^{2}u}{partial x_{1}^{2}}}}$ es un término para cómo el desplazamiento varía en el punto $x$ en una de las dimensiones (como uno de los ejes en un gráfico). No es la tasa a la que el desplazamiento está cambiando a través del espacio, pero de hecho la tasa a la que el cambio en sí mismo está cambiando a través del espacio - su doble derivado. En otras palabras, este término muestra cómo los cambios del desplazamiento se aplastan en un pequeño área circundante.

La ecuación establece que en cualquier instancia, en cualquier punto, la forma en que se acelera el desplazamiento es proporcional a la forma en que los cambios del desplazamiento se comprimen en el área circundante.

O, en términos aún más simples, la forma en que se empujan los desplazamientos es proporcional a qué tan puntiagudo es el desplazamiento, y viceversa.

Usando las notaciones de la mecánica newtoniana y el cálculo vectorial, la ecuación de onda se puede escribir de manera más compacta como

${displaystyle {ddot {u}}=c^{2}nabla ^{2}u}$ .

donde el doble punto en ${displaystyle {ddot {u}}}$ denota doble tiempo derivado de $u$ , $Silencio$ es el operador de nabla, y $Silencio 2 - ¿Qué?$ es el (espacial) operador laplaciano (no vector Laplacian):

{displaystyle {ddot {u}}={frac {partial ^{2}u}{partial t^{2}}}qquad nabla =left({frac {partial }{partial x_{1}}},{frac {partial }{partial x_{2}}},ldots{frac {partial }{partial x_{n}}}right)qquad nabla ^{2}={frac {partial ^{2}}{partial x_{1}^{2}}}+{frac {partial ^{2}}{partial x_{2}^{2}}}+cdots +{frac {partial ^{2}}{partial x_{n}^{2}}}.}

Una notación aún más compacta que a veces se usa en física dice simplemente

{displaystyle Box u=0,}

{displaystyle Box ={frac {1}{c^{2}}}{frac {partial ^{2}}{partial t^{2}}}-nabla ^{2}.}

La solución de esta ecuación de onda (bidireccional) puede ser bastante complicada, pero se puede analizar como una combinación lineal de soluciones simples que son ondas planas sinusoidales con varias direcciones de propagación y longitudes de onda, pero todas con la misma velocidad de propagación. $c$ . Este análisis es posible porque la ecuación de onda es lineal y homogénea; de modo que cualquier múltiplo de una solución también es una solución, y la suma de dos soluciones es nuevamente una solución. Esta propiedad se llama principio de superposición en física.

La ecuación de onda por sí sola no especifica una solución física; por lo general, se obtiene una solución única planteando un problema con otras condiciones, como las condiciones iniciales, que prescriben la amplitud y la fase de la onda. Otra clase importante de problemas ocurre en espacios cerrados especificados por condiciones de contorno, para los cuales las soluciones representan ondas estacionarias, o armónicos, análogos a los armónicos de los instrumentos musicales.

La ecuación de onda bidireccional, que describe un campo de ondas estacionarias, es el ejemplo más simple de una ecuación diferencial hiperbólica de segundo orden. Este y sus modificaciones juegan un papel fundamental en la mecánica continua, la mecánica cuántica, la física del plasma, la relatividad general, la geofísica y muchas otras disciplinas científicas y técnicas. En el caso de que solo interese la propagación de una sola onda en una dirección predefinida, se puede considerar una ecuación diferencial parcial de primer orden (ecuación de onda unidireccional).

Ecuación de onda en una dimensión espacial

Científico francés Jean-Baptiste le Rond d'Alembert descubrió la ecuación de onda en una dimensión espacial.

La ecuación de onda en una dimensión del espacio se puede escribir de la siguiente manera:

{displaystyle {frac {partial ^{2}u}{partial t^{2}}}=c^{2}{frac {partial ^{2}u}{partial x^{2}}}.}

Esta ecuación normalmente se describe con una sola dimensión espacial $x$ , porque la única otra variable independiente es el tiempo t. Sin embargo, la variable dependiente $u$ puede representar una segunda dimensión del espacio si, por ejemplo, el desplazamiento $u$ tiene lugar en la dirección $y$ , como en la caso de una cadena que se encuentra en el $xy$ –plano.

Derivación de la ecuación de onda

La ecuación de onda en una dimensión espacial se puede derivar en una variedad de entornos físicos diferentes. Lo más famoso es que se puede derivar para el caso de una cuerda que vibra en un plano bidimensional, con cada uno de sus elementos siendo atraído en direcciones opuestas por la fuerza de tensión.

Otra configuración física para la derivación de la ecuación de onda en una dimensión espacial utiliza la Ley de Hooke. En la teoría de la elasticidad, la Ley de Hooke es una aproximación para ciertos materiales, que establece que la cantidad por la cual se deforma un cuerpo material (la deformación) está relacionada linealmente con la fuerza que causa la deformación (el estrés).

De la ley de Hooke

La ecuación de onda en el caso unidimensional se puede derivar de la Ley de Hooke de la siguiente manera: imagine una matriz de pequeños pesos de masa $m$ interconectados con resortes sin masa de longitud $h$ . Los resortes tienen una constante de resorte de $k$ :

Aquí la variable dependiente $u (x)$ mide la distancia desde el equilibrio de la masa situada en $x$ , de modo que $u (x)$ esencialmente mide la magnitud de una perturbación (es decir, tensión) que se desplaza en un material elástico. Las fuerzas ejercidas sobre la masa $m$ en la ubicación $x + h$ son:

{displaystyle {begin{aligned}F_{text{Newton}}&=m,a(t)=m,{frac {partial ^{2}}{partial t^{2}}}u(x+h,t)\F_{text{Hooke}}&=F_{x+2h}-F_{x}=kleft[{u(x+2h,t)-u(x+h,t)}right]-k[u(x+h,t)-u(x,t)]end{aligned}}}

La ecuación de movimiento del peso en la ubicación $x + h$ se obtiene igualando estas dos fuerzas:

{displaystyle {partial ^{2} over partial t^{2}}u(x+h,t)={k over m}[u(x+2h,t)-u(x+h,t)-u(x+h,t)+u(x,t)]}

N

L = Nh

M = Nm

K = k / N

{displaystyle {partial ^{2} over partial t^{2}}u(x+h,t)={KL^{2} over M}{u(x+2h,t)-2u(x+h,t)+u(x,t) over h^{2}}.}

Tomando el límite $N \to \infty, h \to 0$ y suponiendo suavidad se obtiene:

{displaystyle {frac {partial ^{2}u(x,t)}{partial t^{2}}}={frac {KL^{2}}{M}}{frac {partial ^{2}u(x,t)}{partial x^{2}}},}

KL 2 / M

1-d onda de pie como una superposición de dos olas que viajan en direcciones opuestas

Pulso de estrés en una barra

En el caso de un pulso de tensión que se propaga longitudinalmente a través de una barra, la barra actúa como un número infinito de resortes en serie y puede tomarse como una extensión de la ecuación derivada de la ley de Hooke. Una barra uniforme, es decir, de sección transversal constante, hecha de un material elástico lineal tiene una rigidez $K$ dada por

{displaystyle K={frac {EA}{L}},}

A

E

{displaystyle {frac {partial ^{2}u(x,t)}{partial t^{2}}}={frac {EAL}{M}}{frac {partial ^{2}u(x,t)}{partial x^{2}}}.}

$AL$ es igual al volumen de la barra y por lo tanto

{displaystyle {frac {AL}{M}}={frac {1}{rho }},}

***

{displaystyle {frac {partial ^{2}u(x,t)}{partial t^{2}}}={frac {E}{rho }}{frac {partial ^{2}u(x,t)}{partial x^{2}}}.}

La velocidad de una onda de estrés en una barra es, por lo tanto, $\sqrt E / ρ$ .

Solución general

Enfoque algebraico

La ecuación de onda unidimensional es inusual para una ecuación diferencial parcial en la que se puede encontrar una solución general relativamente simple. Definición de nuevas variables:

{displaystyle {begin{aligned}xi &=x-ct\eta &=x+ctend{aligned}}}

{displaystyle {frac {partial ^{2}u}{partial xi partial eta }}=0,}

{displaystyle u(xieta)=F(xi)+G(eta)}

{displaystyle u(x,t)=F(x-ct)+G(x+ct).}

En otras palabras, las soluciones de la ecuación de onda 1D son sumas de una función que viaja a la derecha $F$ y una función que viaja a la izquierda $G$ . "Viajar" significa que la forma de estas funciones arbitrarias individuales con respecto a $x$ permanece constante, sin embargo, las funciones se traducen a la izquierda y a la derecha con el tiempo en la velocidad $c$ . Esto fue derivado por Jean le Rond d'Alembert.

Otra forma de llegar a este resultado es factorizar la ecuación de onda en dos ecuaciones de onda unidireccionales:

{displaystyle left[{frac {partial }{partial t}}-c{frac {partial }{partial x}}right]left[{frac {partial }{partial t}}+c{frac {partial }{partial x}}right]u=0.}

{displaystyle {frac {partial u}{partial t}}-c{frac {partial u}{partial x}}=0;;;;;;;;;;;;;;;;;{frac {partial u}{partial t}}+c{frac {partial u}{partial x}}=0}

Como resultado, si definimos $v$ así,

{displaystyle {frac {partial u}{partial t}}+c{frac {partial u}{partial x}}=v,}

{displaystyle {frac {partial v}{partial t}}-c{frac {partial v}{partial x}}=0.}

De esto, $v$ debe tener la forma $G (x + ct)$ , y de ahí la forma correcta de la solución completa $u$ se puede deducir. La ecuación de onda habitual de segundo orden a veces se denomina "ecuación de onda bidireccional" (superposición de dos ondas) para distinguirla de la ecuación de onda unidireccional de primer orden que describe la propagación de onda de una sola onda en una dirección predefinida.

Para un problema de valor inicial, las funciones arbitrarias $F$ y $G$ se puede determinar para satisfacer las condiciones iniciales:

{displaystyle u(x,0)=f(x)}

{displaystyle u_{t}(x,0)=g(x).}

El resultado es la fórmula de d'Lambert:

{displaystyle u(x,t)={frac {f(x-ct)+f(x+ct)}{2}}+{frac {1}{2c}}int _{x-ct}^{x+ct}g(s),ds}

En el sentido clásico si $f (x) \in C k$ y $g (x) \in C k -1$ luego $u (t, x) \in C k$ . Sin embargo, las formas de onda $F$ y $G$ también pueden ser funciones generalizadas, como la función delta. En ese caso, la solución puede interpretarse como un impulso que viaja hacia la derecha o hacia la izquierda.

La ecuación de onda básica es una ecuación diferencial lineal, por lo que se adherirá al principio de superposición. Esto significa que el desplazamiento neto causado por dos o más olas es la suma de los desplazamientos que habría causado cada ola individualmente. Además, el comportamiento de una onda se puede analizar dividiendo la onda en componentes, p. la transformada de Fourier rompe una onda en componentes sinusoidales.

Modos propios de ondas planas

Otra forma de resolver la ecuación de onda unidimensional es analizar primero sus modos propios de frecuencia. El llamado modo propio es una solución que oscila en el tiempo con una frecuencia angular constante bien definida $ω$ , de modo que la parte temporal de la función de onda toma la forma $e - iωt = cos(ωt) - i sin(ωt)$ , y la amplitud es una función $f (x)$ de la variable espacial $x$ , dando un separación de variables para la función de onda:

{displaystyle u_{omega }(x,t)=e^{-iomega t}f(x).}

Esto produce una ecuación diferencial ordinaria para la parte espacial $f (x)$ :

{displaystyle {frac {partial ^{2}u_{omega }}{partial t^{2}}}={frac {partial ^{2}}{partial t^{2}}}left(e^{-iomega t}f(x)right)=-omega ^{2}e^{-iomega t}f(x)=c^{2}{frac {partial ^{2}}{partial x^{2}}}left(e^{-iomega t}f(x)right),}

Por lo tanto:

{displaystyle {frac {d^{2}}{dx^{2}}}f(x)=-left({frac {omega }{c}}right)^{2}f(x),}

f () x)

{displaystyle f(x)=Ae^{pm ikx},}

k = \cdot / c

La función de onda total para este modo propio es entonces la combinación lineal

{displaystyle u_{omega }(x,t)=e^{-iomega t}left(Ae^{-ikx}+Be^{ikx}right)=Ae^{-i(kx+omega t)}+Be^{i(kx-omega t)},}

A

B

Los Eigenmodes son útiles para construir una solución completa a la ecuación de ondas, porque cada uno de ellos evoluciona en el tiempo trivialmente con el factor de fase $e^{-iomega t}$ . para que una solución completa pueda ser descompuesta en una expansión del eigenmodo

{displaystyle u(x,t)=int _{-infty }^{infty }s(omega)u_{omega }(x,t),domega }

{displaystyle {begin{aligned}u(x,t)&=int _{-infty }^{infty }s_{+}(omega)e^{-i(kx+omega t)},domega +int _{-infty }^{infty }s_{-}(omega)e^{i(kx-omega t)},domega \&=int _{-infty }^{infty }s_{+}(omega)e^{-ik(x+ct)},domega +int _{-infty }^{infty }s_{-}(omega)e^{ik(x-ct)},domega \&=F(x-ct)+G(x+ct)end{aligned}}}

s \pm () \cdot)

u () x, t)

\cdot

Ecuación de onda vectorial en tres dimensiones espaciales

La ecuación de onda vectorial (de la cual la ecuación de onda escalar puede derivarse directamente) puede obtenerse aplicando un equilibrio de fuerza a un elemento de volumen infinitesimal. En un continuum homogéneo (coordina cartesiana) ${boldsymbol {x}}$ ) con un módulo constante de elasticidad $E$ [Pa] una deflexión vectorial y elástica ${displaystyle {boldsymbol {u}}({boldsymbol {x}},t)}$ [m] causa el tensor de estrés ${displaystyle {boldsymbol {T}}=Enabla {boldsymbol {u}}}$ [Pa]. El equilibrio local de a) la fuerza de tensión ${displaystyle div{boldsymbol {T}}=nabla cdot (Enabla {boldsymbol {u}})=EDelta {boldsymbol {u}}}$ [N/m $^{3}$ ] debido a la deflexión $boldsymbol{u}$ [m] y b) la fuerza inercial $rho$ ${displaystyle partial ^{2}{boldsymbol {u}}/partial t^{2}}$ [N/m $^{3}$ ] causada por la aceleración local ${displaystyle partial ^{2}{boldsymbol {u}}/partial t^{2}}$ [m/s $^{2}$ Puede ser escrito como

{displaystyle rho {frac {partial ^{2}{boldsymbol {u}}}{partial t^{2}}}-EDelta {boldsymbol {u}}={boldsymbol {0}}}

rho

E

{displaystyle c={sqrt {E/rho }}}

{displaystyle {frac {partial ^{2}{boldsymbol {u}}}{partial t^{2}}}-c^{2}Delta {boldsymbol {u}}={boldsymbol {0}}}

[Nota: En lugar de vectorial

{displaystyle {boldsymbol {u}}({boldsymbol {x}},t)}

scalar

u(x,t)

se puede utilizar, es decir, las ondas viajan sólo a lo largo del eje x, y la ecuación de onda escalar sigue como

{displaystyle {frac {partial ^{2}{u}}{partial t^{2}}}-c^{2}{frac {partial ^{2}{u}}{partial x^{2}}}={0}}

La ecuación diferencial parcial vectorial anterior del segundo orden ofrece dos soluciones mutuamente independientes. Del término de velocidad cuadrática ${displaystyle c^{2}=(+c)^{2}=(-c)^{2}}$ se puede ver que hay dos olas que viajan en direcciones opuestas ${displaystyle +c}$ y $-c$ son posibles, por lo tanto resulta la designación “Ecuación de onda de dos vías”. Se puede mostrar para la propagación de onda longitudinal plano que la síntesis de dos ecuaciones de onda de un solo sentido conduce a una ecuación general de onda de dos vías. Para ${displaystyle nabla {boldsymbol {c}}={boldsymbol {0}}}$ ecuación especial de dos ondas con los resultados del operador d'Alembert:

{displaystyle ({frac {partial }{partial t}}-{boldsymbol {c}}cdot nabla)({frac {partial }{partial t}}+{boldsymbol {c}}cdot nabla)~{boldsymbol {u}}=({frac {partial ^{2}}{partial t^{2}}}+({boldsymbol {c}}cdot nabla){boldsymbol {c}}cdot nabla)~{boldsymbol {u}}=({frac {partial ^{2}}{partial t^{2}}}+({boldsymbol {c}}cdot nabla)^{2})~{boldsymbol {u}}={boldsymbol {0}}}

~~({frac {partial ^{2}}{partial t^{2}}}+c^{2}Delta){boldsymbol {u}}={boldsymbol {0}}}" display="block" xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">forSilencio Silencio c=0:=()∂ ∂ 2∂ ∂ t2+c2Δ Δ )u=0{displaystyle for~~nabla {boldsymbol {c}={boldsymbol {0}:~== {frac {partial ^{2}{2}}+c^{2}Delta){boldsymbol {u}={2}=boldsymbol {0}}~~({frac {partial ^{2}}{partial t^{2}}}+c^{2}Delta){boldsymbol {u}}={boldsymbol {0}}}" aria-hidden="true" class="mwe-math-fallback-image-display" src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3bc8c3d23038ca1b5e1ab44ec99d5a9ef198a19f" style="vertical-align: -2.171ex; width:40.059ex; height:6.009ex;"/>

{displaystyle {boldsymbol {c}}}

{displaystyle {frac {partial {boldsymbol {u}}}{partial t}}-{boldsymbol {c}}cdot nabla {boldsymbol {u}}={boldsymbol {0}}}

Ecuación de onda escalar en tres dimensiones espaciales

El matemático suizo y físico Leonhard Euler (b. 1707) descubrió la ecuación de onda en tres dimensiones espaciales.

Se puede obtener una solución del problema de valor inicial para la ecuación de onda en tres dimensiones espaciales a partir de la solución correspondiente para una onda esférica. El resultado también se puede utilizar para obtener la misma solución en dos dimensiones espaciales.

Ondas esféricas

La ecuación de onda se puede resolver mediante la técnica de separación de variables. Para obtener una solución con frecuencias constantes, primero transformemos la ecuación de onda de Fourier en el tiempo como

{displaystyle Psi (mathbf {r}t)=int _{-infty }^{infty }Psi (mathbf {r}omega)e^{-iomega t},domega.}

Entonces obtenemos,

{displaystyle left(nabla ^{2}+{frac {omega ^{2}}{c^{2}}}right)Psi (mathbf {r}omega)=0.}

Esta es la ecuación de Helmholtz y se puede resolver mediante la separación de variables. Si se usan coordenadas esféricas para describir un problema, entonces la solución a la parte angular de la ecuación de Helmholtz viene dada por armónicos esféricos y la ecuación radial ahora se convierte en

{displaystyle left[{frac {d^{2}}{dr^{2}}}+{frac {2}{r}}{frac {d}{dr}}+k^{2}-{frac {l(l+1)}{r^{2}}}right]f_{l}(r)=0}

Aquí $k \equiv ω / c$ y la solución completa ahora está dada por

{displaystyle Psi (mathbf {r}omega)=sum _{lm}left[A_{lm}^{(1)}h_{l}^{(1)}(kr)+A_{lm}^{(2)}h_{l}^{(2)}(kr)right]Y_{lm}(thetaphi),}

h 1) l () kr)

h 2) l () kr)

Ejemplo

Para obtener una mejor comprensión de la naturaleza de estas ondas esféricas, volvamos atrás y veamos el caso cuando $l = 0$ . En este caso, no hay dependencia angular y la amplitud depende solo de la distancia radial, es decir, $Ψ(r, t) \to u (r, t)$ . En este caso, la ecuación de onda se reduce a

{displaystyle {begin{aligned}&{}left(nabla ^{2}-{frac {1}{c^{2}}}{frac {partial ^{2}}{partial t^{2}}}right)Psi (mathbf {r}t)=0\rightarrow &{}left({frac {partial ^{2}}{partial r^{2}}}+{frac {2}{r}}{frac {partial }{partial r}}-{frac {1}{c^{2}}}{frac {partial ^{2}}{partial t^{2}}}right)u(r,t)=0end{aligned}}}

Esta ecuación se puede reescribir como

{displaystyle {frac {partial ^{2}(ru)}{partial t^{2}}}-c^{2}{frac {partial ^{2}(ru)}{partial r^{2}}}=0;}

rupias

{displaystyle u(r,t)={frac {1}{r}}F(r-ct)+{frac {1}{r}}G(r+ct),}

F

G

r

Para ver ejemplos físicos de soluciones de ondas no esféricas a la ecuación de ondas 3D que sí poseen dependencia angular, consulte radiación dipolar.

Onda esférica monocromática

Corte de ondas esféricas, con una longitud de onda de 10 unidades, propagando desde una fuente de punto.

Aunque la palabra "monocromática" no es exactamente exacto ya que se refiere a la luz oa la radiación electromagnética con una frecuencia bien definida, el objetivo es descubrir el modo propio de la ecuación de onda en tres dimensiones. Siguiendo la derivación en la sección anterior sobre modos propios de ondas planas, si de nuevo restringimos nuestras soluciones a ondas esféricas que oscilan en el tiempo con una frecuencia angular bien definida constante $ω$ , luego la función transformada $ru (r, t)$ tiene simplemente soluciones de onda plana,

{displaystyle ru(r,t)=Ae^{i(omega tpm kr)},}

{displaystyle u(r,t)={frac {A}{r}}e^{ileft(omega tpm krright)}.}

De esto podemos observar que la intensidad máxima de la oscilación de onda esférica, caracterizada como la amplitud de onda cuadrada

{displaystyle I=|u(r,t)|^{2}={frac {|A|^{2}}{r^{2}}}.}

1/ r 2

Resolución de un problema general de valor inicial

La ecuación de onda es lineal en $u$ y no se altera por las traducciones en el espacio y el tiempo. Por lo tanto, podemos generar una gran variedad de soluciones traduciendo y sumando ondas esféricas. Sea $φ (ξ, η, ζ)$ una función arbitraria de tres variables independientes, y que la forma de onda esférica $F$ sea una función delta: es decir, que $F$ sea un límite débil de funciones continuas cuya integral es la unidad, pero cuyo soporte (la región donde la función es distinta de cero) se reduce a la origen. Sea una familia de ondas esféricas con centro en $(ξ, η, ζ)$ , y sea $r$ la distancia radial desde ese punto. Por lo tanto

{displaystyle r^{2}=(x-xi)^{2}+(y-eta)^{2}+(z-zeta)^{2}.}

Si $u$ es una superposición de tales ondas con función de ponderación $φ$ , luego

{displaystyle u(t,x,y,z)={frac {1}{4pi c}}iiint varphi (xietazeta){frac {delta (r-ct)}{r}},dxi ,deta ,dzeta;}

4 πc

De la definición de la función delta, $u$ también se puede escribir como

{displaystyle u(t,x,y,z)={frac {t}{4pi }}iint _{S}varphi (x+ctalphay+ctbetaz+ctgamma),domega}

α

β

γ

S

\cdot

S

u () t, x)

t

φ

ct

x

{displaystyle u(t,x,y,z)=tM_{ct}[phi ].}

Se sigue que

{displaystyle u(0,x,y,z)=0,quad u_{t}(0,x,y,z)=phi (x,y,z).}

El valor medio es una función par de $t$ , y por lo tanto si

{displaystyle v(t,x,y,z)={frac {partial }{partial t}}left(tM_{ct}[psi ]right),}

entonces

{displaystyle v(0,x,y,z)=psi (x,y,z),quad v_{t}(0,x,y,z)=0.}

Estas fórmulas brindan la solución para el problema del valor inicial de la ecuación de onda. Muestran que la solución en un punto dado $P$ , dado $(t, x, y, z)$ depende solo de los datos de la esfera de radio $ct$ que se cruza con el cono de luz dibujado hacia atrás desde $P$ . No depende de los datos del interior de esta esfera. Así, el interior de la esfera es una laguna para la solución. Este fenómeno se llama Huygens' principio. Es cierto para números impares de dimensión espacial, donde para una dimensión la integración se realiza sobre el límite de un intervalo con respecto a la medida de Dirac. No se satisface en dimensiones espaciales uniformes. El fenómeno de las lagunas ha sido ampliamente investigado en Atiyah, Bott y Gårding (1970, 1973).

Ecuación de onda escalar en dos dimensiones espaciales

En dos dimensiones espaciales, la ecuación de onda es

{displaystyle u_{tt}=c^{2}left(u_{xx}+u_{yy}right).}

Podemos usar la teoría tridimensional para resolver este problema si consideramos $u$ como una función en tres dimensiones que es independiente de la tercera dimensión. Si

{displaystyle u(0,x,y)=0,quad u_{t}(0,x,y)=phi (x,y),}

entonces la fórmula de la solución tridimensional se convierte en

{displaystyle u(t,x,y)=tM_{ct}[phi ]={frac {t}{4pi }}iint _{S}phi (x+ctalpha,y+ctbeta),domega}

donde $α$ y $β$ son las dos primeras coordenadas de la esfera unitaria, y $d ω$ es el elemento de área de la esfera. Esta integral se puede reescribir como una integral doble sobre el disco $D$ con centro $(x, y)$ y radio $ct :$

{displaystyle u(t,x,y)={frac {1}{2pi ct}}iint _{D}{frac {phi (x+xiy+eta)}{sqrt {(ct)^{2}-xi ^{2}-eta ^{2}}}}dxi ,deta.}

Es evidente que la solución en $(t, x, y)$ depende no solo de los datos en el cono de luz donde

{displaystyle (x-xi)^{2}+(y-eta)^{2}=c^{2}t^{2},}

Ecuación de onda escalar en dimensión general y fórmula de Kirchhoff

Queremos encontrar soluciones para $u tt - Δ u = 0$ para $u : R n \times (0, \infty) \to R$ con $u (x, 0) = g (x)$ y $u t (x, 0) = h (x)$ . Ver Evans para más detalles.

Dimensiones impares

Suponga que $n \geq 3$ es un número entero impar y $g \in C m +1 (R n)$ , $h \in C m (R n)$ para $m = (n + 1)/2$ . Sea $γ n = 1 \times 3 \times 5 \times \dots \times (n - 2)$ y deja

{displaystyle u(x,t)={frac {1}{gamma _{n}}}left[partial _{t}left({frac {1}{t}}partial _{t}right)^{frac {n-3}{2}}left(t^{n-2}{frac {1}{|partial B_{t}(x)|}}int _{partial B_{t}(x)}g,dSright)+left({frac {1}{t}}partial _{t}right)^{frac {n-3}{2}}left(t^{n-2}{frac {1}{|partial B_{t}(x)|}}int _{partial B_{t}(x)}h,dSright)right]}

entonces

$u ▪ C 2 () R n \times [0, \infty)$
$u t - Δ u = 0$ dentro $R n \times (0, \infty)$
${displaystyle lim _{(x,t)to (x^{0},0)}u(x,t)=g(x^{0})}$
${displaystyle lim _{(x,t)to (x^{0},0)}u_{t}(x,t)=h(x^{0})}$

Dimensiones pares

Suponga que $n \geq 2$ es un número entero par y $g \in C m +1 (R n)$ , $h \in C m (R n)$ , para $m = (n + 2)/2. Sea γ n = 2 \times 4 \times \dots \times n y sea$

{displaystyle u(x,t)={frac {1}{gamma _{n}}}left[partial _{t}left({frac {1}{t}}partial _{t}right)^{frac {n-2}{2}}left(t^{n}{frac {1}{|B_{t}(x)|}}int _{B_{t}(x)}{frac {g}{(t^{2}-|y-x|^{2})^{frac {1}{2}}}}dyright)+left({frac {1}{t}}partial _{t}right)^{frac {n-2}{2}}left(t^{n}{frac {1}{|B_{t}(x)|}}int _{B_{t}(x)}{frac {h}{(t^{2}-|y-x|^{2})^{frac {1}{2}}}}dyright)right]}

entonces

$u ▪ C 2 () R n \times [0, \infty)$
$u t - Δ u = 0$ dentro $R n \times (0, \infty)$
${displaystyle lim _{(x,t)to (x^{0},0)}u(x,t)=g(x^{0})}$
${displaystyle lim _{(x,t)to (x^{0},0)}u_{t}(x,t)=h(x^{0})}$

Problemas con los límites

Una dimensión del espacio

Reflexión y Transmisión en el límite de dos medios

Para una onda incidente que viaja desde un medio (donde la velocidad de la onda es $c 1$ ) a otro medio (donde la velocidad de la onda es $c 2$ ), una parte de la onda se transmitirá al segundo medio, mientras que otra parte se refleja en la otra dirección y permanece en el primer medio. La amplitud de la onda transmitida y la onda reflejada se puede calcular utilizando la condición de continuidad en el límite.

Considere la componente de la onda incidente con una frecuencia angular de $ω$ , que tiene la forma de onda

{displaystyle u^{inc}(x,t)=Ae^{i(k_{1}x-omega t)}; Ain mathbb {C} }

{displaystyle u^{ref}(x,t)=Be^{i(-k_{1}x-omega t)}; u^{trans}(x,t)=Ce^{i(k_{2}x-omega t)}; B,Cin mathbb {C} }

{displaystyle u^{inc}(0,t)+u^{ref}(0,t)=u^{trans}(0,t); u_{x}^{inc}(0,t)+u_{x}^{ref}(0,t)=u_{x}^{trans}(0,t)}

{displaystyle A+B=C; A-B={frac {k_{2}}{k_{1}}}C={frac {c_{1}}{c_{2}}}C}

{displaystyle {frac {B}{A}}={frac {c_{2}-c_{1}}{c_{2}+c_{1}}}; {frac {C}{A}}={frac {2c_{2}}{c_{2}+c_{1}}}}

c 2 . c 1

B/A

{displaystyle {frac {B^{2}}{c_{1}}}+{frac {C^{2}}{c_{2}}}={frac {A^{2}}{c_{1}}}}

\cdot

El caso límite de $c 2 = 0$ corresponde a un "extremo fijo" que no se mueve, mientras que el caso límite de $c 2 \to \infty$ corresponde a un " extremo libre".

La fórmula de Sturm-Liouville

Una cadena flexible que se estira entre dos puntos $x = 0$ y $x = L$ satisface la ecuación de onda para $t > 0$ y $0 < x < L$ . En los puntos límite, $u$ puede satisfacer una variedad de condiciones límite. Una forma general que es apropiada para las aplicaciones es

{displaystyle -u_{x}(t,0)+au(t,0)=0,}

{displaystyle u_{x}(t,L)+bu(t,L)=0,}

donde $a$ y $b$ no son negativos. El caso en el que se requiere que u desaparezca en un punto final (es decir, "extremo fijo") es el límite de esta condición cuando el respectivo $a$ o $b$ tiende a infinito. El método de separación de variables consiste en buscar soluciones a este problema en la forma especial

{displaystyle u(t,x)=T(t)v(x).}

Una consecuencia es que

{displaystyle {frac {T''}{c^{2}T}}={frac {v''}{v}}=-lambda.}

El valor propio $λ$ debe determinarse para que haya una solución no trivial del problema de valores límite

{displaystyle v''+lambda v=0,}

{displaystyle -v'(0)+av(0)=0,quad v'(L)+bv(L)=0.}

Este es un caso especial del problema general de la teoría de Sturm-Liouville. Si $a$ y $b$ son positivos, los valores propios son todos positivos y las soluciones son funciones trigonométricas. Una solución que satisface las condiciones iniciales de integración cuadrada para $u$ y $u t$ se puede obtener a partir de la expansión de estas funciones en la serie trigonométrica apropiada.

Investigación por métodos numéricos

Aproximando la cuerda continua con un número finito de puntos de masa equidistantes, se obtiene el siguiente modelo físico:

Figura 1: Tres puntos de masa consecutivos del modelo discreto para una cuerda

Si cada punto de masa tiene la masa $m$ , la tensión de la cuerda es $f$ , la separación entre los puntos de masa es $Δ x$ y $u i, i = 1,..., n$ son el desplazamiento de estos $n$ puntos desde sus puntos de equilibrio (es decir, su posición en una línea recta entre los dos puntos de unión de la cuerda) la vertical componente de la fuerza hacia el punto $i + 1$ es

{displaystyle {frac {u_{i+1}-u_{i}}{Delta x}}f}

()1)

y la componente vertical de la fuerza hacia el punto $i - 1$ es

{displaystyle {frac {u_{i-1}-u_{i}}{Delta x}}f}

()2)

Tomando la suma de estas dos fuerzas y dividiendo por la masa $m$ se obtiene el movimiento vertical:

{displaystyle {ddot {u}}_{i}=left({frac {f}{mDelta x}}right)left(u_{i+1}+u_{i-1}-2u_{i}right)}

()3)

Como la densidad de masa es

{displaystyle rho ={frac {m}{Delta x}}}

esto se puede escribir

{displaystyle {ddot {u}}_{i}=left({frac {f}{rho {Delta x}^{2}}}right)left(u_{i+1}+u_{i-1}-2u_{i}right)}

()4)

La ecuación de onda se obtiene haciendo $Δ x \to 0$ en cuyo caso $u i (t)$ toma la forma $u (x, t)$ donde $u (x, t)$ es una función continua de dos variables, $\cdot\cdot u i$ toma la forma ∂²u/∂t² y

{displaystyle {frac {u_{i+1}+u_{i-1}-2u_{i}}{{Delta x}^{2}}}to {frac {partial ^{2}u}{partial x^{2}}}}

Pero la formulación discreta (3) de la ecuación de estado con un número finito de puntos de masa es justo la adecuada para una propagación numérica del movimiento de la cuerda. La condición de contorno

{displaystyle u(0,t)=u(L,t)=0}

L

u 1

u n

{displaystyle {ddot {u}}_{1}={left({frac {c}{Delta x}}right)}^{2}left(u_{2}-2u_{1}right)}

()5)

{displaystyle {ddot {u}}_{n}={left({frac {c}{Delta x}}right)}^{2}left(u_{n-1}-2u_{n}right)}

()6)

mientras que para $1 < yo < n$

{displaystyle {ddot {u}}_{i}={left({frac {c}{Delta x}}right)}^{2}left(u_{i+1}+u_{i-1}-2u_{i}right)}

()7)

donde $c = \sqrt f / ρ$ .

Si la cuerda se aproxima con 100 puntos de masa discretos, se obtienen las 100 ecuaciones diferenciales acopladas de segundo orden (5), (6) y (7) o equivalente a 200 ecuaciones diferenciales acopladas de primer orden.

Propagar estos hasta los tiempos

{displaystyle {frac {L}{c}}k(0.05),,k=0,dots5}

utilizando un método de varios pasos de octavo orden, se encuentran los 6 estados que se muestran en la figura 2:

Gráfico 2: La cuerda a 6 épocas consecutivas, la primera (red) correspondiente a la primera vez con la cadena de descanso

Figura 3: La cuerda a 6 épocas consecutivas

Figura 4: La cuerda a 6 épocas consecutivas

Figura 5: La cuerda a 6 épocas consecutivas

Figura 6: La cuerda a 6 épocas consecutivas

Figura 7: La cuerda a 6 épocas consecutivas

La curva roja es el estado inicial en el momento cero en el que la cuerda es "dejar libre" en una forma predefinida con todo ${displaystyle {dot {u}}_{i}=0}$ . La curva azul es el estado a la vez ${displaystyle {tfrac {L}{c}}(0.25),}$ es decir, después de un tiempo que corresponde al tiempo una ola que se mueve con la velocidad nominal de onda $c = \sqrt f / ***$ necesitaría una cuarta parte de la longitud de la cuerda.

Figura 3 muestra la forma de la cadena en los momentos ${displaystyle {tfrac {L}{c}}k(0.05),,k=6,dots11}$ . La onda viaja en dirección derecha con la velocidad $c = \sqrt f / ***$ sin ser activamente limitado por las condiciones de límite en los dos extremos de la cadena. La forma de la onda es constante, es decir, la curva es de hecho de la forma $f () x - ct)$ .

Figura 4 muestra la forma de la cadena en los momentos ${displaystyle {tfrac {L}{c}}k(0.05),,k=12,dots17}$ . La limitación en el extremo derecho comienza a interferir con el movimiento evitando que la ola levante el final de la cuerda.

La figura 5 muestra la forma de la cadena en los momentos ${displaystyle {tfrac {L}{c}}k(0.05),,k=18,dots23}$ cuando se revierte la dirección del movimiento. Las curvas rojas, verdes y azules son los estados en los momentos ${displaystyle {tfrac {L}{c}}k(0.05),,k=18,dots20}$ mientras que las 3 curvas negras corresponden a los estados a veces ${displaystyle {tfrac {L}{c}}k(0.05),,k=21,dots23}$ con la ola empezando a moverse hacia la izquierda.

Figura 6 y figura 7 finalmente muestran la forma de la cadena en los tiempos ${displaystyle {tfrac {L}{c}}k(0.05),,k=24,dots29}$ y ${displaystyle {tfrac {L}{c}}k(0.05),,k=30,dots35}$ . La ola ahora viaja hacia la izquierda y las limitaciones en los puntos finales ya no están activas. Cuando finalmente el otro extremo de la cadena la dirección se revierte de nuevo de una manera similar a lo que se muestra en la figura 6.

Varias dimensiones del espacio

Una solución de la ecuación de onda en dos dimensiones con una condición de límite de desplazamiento cero a lo largo de todo el borde exterior.

La teoría del valor límite inicial unidimensional puede extenderse a un número arbitrario de dimensiones espaciales. Considere un dominio $D$ en $m</ espacio -dimensional x con límite B . Entonces, la ecuación de onda debe cumplirse si x está en D y t > 0 . En el límite de D, la solución tu deberás satisfacer$

{displaystyle {frac {partial u}{partial n}}+au=0,}

donde $n$ es la unidad exterior normal a $B$ , y $a$ es una función no negativa definida en $B$ . El caso donde $u$ desaparece en $B$ es un caso límite para $a$ que se acerca al infinito. Las condiciones iniciales son

{displaystyle u(0,x)=f(x),quad u_{t}(0,x)=g(x),}

donde $f$ y $g$ se definen en $D$ . Este problema puede resolverse expandiendo $f$ y $g$ en las funciones propias del laplaciano en $D$ , que satisfacen las condiciones de contorno. Por lo tanto, la función propia $v$ satisface

{displaystyle nabla cdot nabla v+lambda v=0,}

en $D$ , y

{displaystyle {frac {partial v}{partial n}}+av=0,}

en $B$ .

En el caso de dos dimensiones espaciales, las funciones propias pueden interpretarse como los modos de vibración de un parche extendido sobre el límite $B. Si B es un círculo, entonces estas funciones propias tienen un componente angular que es una función trigonométrica del ángulo polar θ, multiplicado por una función de Bessel (de orden entero) de la componente radial. Más detalles están en la ecuación de Helmholtz.$

Si el límite es una esfera en tres dimensiones espaciales, los componentes angulares de las funciones propias son armónicos esféricos y los componentes radiales son funciones de Bessel de orden medio entero.

Ecuación de onda no homogénea en una dimensión

La ecuación de onda no homogénea en una dimensión es la siguiente:

{displaystyle u_{tt}(x,t)-c^{2}u_{xx}(x,t)=s(x,t)}

{displaystyle u(x,0)=f(x)}

{displaystyle u_{t}(x,0)=g(x)}

La función $s (x, t)$ a menudo se denomina función fuente porque en la práctica describe los efectos de las fuentes de ondas sobre el medio que las transporta. Los ejemplos físicos de funciones de fuente incluyen la fuerza que impulsa una onda en una cuerda, o la densidad de carga o corriente en el indicador de electromagnetismo de Lorenz.

Un método para resolver el problema del valor inicial (con los valores iniciales planteados anteriormente) es aprovechar una propiedad especial de la ecuación de onda en un número impar de dimensiones espaciales, a saber, que sus soluciones respetan la causalidad. Es decir, para cualquier punto $(x i, t i)$ , el valor de $u (x i, t i)$ depende solo de los valores de $f (x i + ct i)$ y $f (x i - ct i)$ y los valores de la función $g (x)$ entre $(x i - ct i)$ y $(x i + ct i)$ . Esto se puede ver en la fórmula de d'Alembert, mencionada anteriormente, donde estas cantidades son las únicas que aparecen en ella. Físicamente, si la velocidad máxima de propagación es $c$ , entonces ninguna parte de la onda que no pueda propagarse a un punto determinado por un tiempo dado puede afectar la amplitud en el mismo punto y tiempo.

En términos de encontrar una solución, esta propiedad de causalidad significa que para cualquier punto dado en la línea que se está considerando, la única área que se debe considerar es el área que abarca todos los puntos que podrían afectar causalmente al punto que se está considerando. Denote el área que afecta causalmente al punto $(x i, t i)$ como $R C$ . Supongamos que integramos la ecuación de onda no homogénea sobre esta región.

{displaystyle iint _{R_{C}}left(c^{2}u_{xx}(x,t)-u_{tt}(x,t)right)dx,dt=iint _{R_{C}}s(x,t),dx,dt.}

Para simplificar esto en gran medida, podemos usar el teorema de Green para simplificar el lado izquierdo y obtener lo siguiente:

{displaystyle int _{L_{0}+L_{1}+L_{2}}left(-c^{2}u_{x}(x,t),dt-u_{t}(x,t),dxright)=iint _{R_{C}}s(x,t),dx,dt.}

El lado izquierdo ahora es la suma de tres integrales de línea a lo largo de los límites de la región de causalidad. Estos resultan ser bastante fáciles de calcular.

{displaystyle int _{x_{i}-ct_{i}}^{x_{i}+ct_{i}}-u_{t}(x,0),dx=-int _{x_{i}-ct_{i}}^{x_{i}+ct_{i}}g(x),dx.}

En lo anterior desaparece el término a integrar con respecto al tiempo porque el intervalo de tiempo involucrado es cero, por lo tanto $d t = 0$ .

Para los otros dos lados de la región, vale la pena señalar que $x \pm ct$ es una constante, a saber, $x i \pm ct i$ , donde el signo se elige adecuadamente. Usando esto, podemos obtener la relación $d x \pm c d t = 0$ , de nuevo eligiendo el signo correcto:

{displaystyle {begin{aligned}int _{L_{1}}left(-c^{2}u_{x}(x,t),dt-u_{t}(x,t),dxright)&=int _{L_{1}}left(cu_{x}(x,t),dx+cu_{t}(x,t),dtright)\&=cint _{L_{1}},du(x,t)\&=cu(x_{i},t_{i})-cf(x_{i}+ct_{i}).end{aligned}}}

Y de manera similar para el segmento límite final:

{displaystyle {begin{aligned}int _{L_{2}}left(-c^{2}u_{x}(x,t),dt-u_{t}(x,t),dxright)&=-int _{L_{2}}left(cu_{x}(x,t),dx+cu_{t}(x,t),dtright)\&=-cint _{L_{2}},du(x,t)\&=cu(x_{i},t_{i})-cf(x_{i}-ct_{i}).end{aligned}}}

Sumar los tres resultados y devolverlos a la integral original:

{displaystyle {begin{aligned}iint _{R_{C}}s(x,t),dx,dt&=-int _{x_{i}-ct_{i}}^{x_{i}+ct_{i}}g(x),dx+cu(x_{i},t_{i})-cf(x_{i}+ct_{i})+cu(x_{i},t_{i})-cf(x_{i}-ct_{i})\&=2cu(x_{i},t_{i})-cf(x_{i}+ct_{i})-cf(x_{i}-ct_{i})-int _{x_{i}-ct_{i}}^{x_{i}+ct_{i}}g(x),dxend{aligned}}}

Resolviendo para $u (x i, t i)$ llegamos a

{displaystyle u(x_{i},t_{i})={frac {f(x_{i}+ct_{i})+f(x_{i}-ct_{i})}{2}}+{frac {1}{2c}}int _{x_{i}-ct_{i}}^{x_{i}+ct_{i}}g(x),dx+{frac {1}{2c}}int _{0}^{t_{i}}int _{x_{i}-cleft(t_{i}-tright)}^{x_{i}+cleft(t_{i}-tright)}s(x,t),dx,dt.}

En la última ecuación de la secuencia, los límites de la integral sobre la función fuente se han hecho explícitos. Mirando esta solución, que es válida para todas las opciones $(x i, t i)$ compatible con la ecuación de onda, está claro que los primeros dos términos son simplemente la fórmula de d'Alembert', como se indicó anteriormente como la solución de la ecuación de onda homogénea en una dimensión. La diferencia está en el tercer término, la integral sobre la fuente.

Ecuación de onda para medios no homogéneos, caso tridimensional

Para la propagación de ondas de un solo sentido, es decir, la onda está viajando en una dirección de onda predefinida ( ${displaystyle +c}$ o $-c$ ) en medios inhomogéneos, la propagación de ondas también se puede calcular con una ecuación de onda de una sola vía tensorial (resultar de la factorización de la ecuación de onda vectorial de dos formas) y una solución analítica puede ser derivada.

Otros sistemas de coordenadas

En tres dimensiones, la ecuación de onda, cuando se escribe en coordenadas cilíndricas elípticas, se puede resolver mediante la separación de variables, lo que lleva a la ecuación diferencial de Mathieu.

Otras generalizaciones

Ondas elásticas

La ecuación de onda elástica (también conocida como ecuación de Navier-Cauchy) en tres dimensiones describe la propagación de ondas en un medio elástico homogéneo isotrópico. La mayoría de los materiales sólidos son elásticos, por lo que esta ecuación describe fenómenos como las ondas sísmicas en la Tierra y las ondas ultrasónicas utilizadas para detectar fallas en los materiales. Si bien es lineal, esta ecuación tiene una forma más compleja que las ecuaciones anteriores, ya que debe tener en cuenta tanto el movimiento longitudinal como el transversal:

{displaystyle rho {ddot {mathbf {u} }}=mathbf {f} +(lambda +2mu)nabla (nabla cdot mathbf {u})-mu nabla times (nabla times mathbf {u})}

donde:

$λ$ y $μ$ son los denominados parámetros de Lamé que describen las propiedades elásticas del medio,
$***$ es la densidad,
$f$ es la función fuente (fuerza de conducción),
y $u$ es el vector de desplazamiento.

Usando $\nabla \times (\nabla \times u) = \nabla(\nabla \cdot u) - \nabla \cdot \nabla u = \nabla(\nabla \cdot u) - ∆ u$ la ecuación de onda elástica se puede reescribir en la forma más común de la ecuación de Navier-Cauchy.

Tenga en cuenta que en la ecuación de la onda elástica, tanto la fuerza como el desplazamiento son cantidades vectoriales. Por lo tanto, esta ecuación a veces se conoce como la ecuación de onda vectorial. Como ayuda para la comprensión, el lector observará que si $f$ y $\nabla \cdot u$ se establecen en cero, esto se convierte (efectivamente) en la ecuación de Maxwell para la propagación del campo eléctrico $E$ , que solo tiene ondas transversales.

Relación de dispersión

En los fenómenos de onda dispersiva, la velocidad de propagación de la onda varía con la longitud de onda de la onda, que se refleja mediante una relación de dispersión

{displaystyle omega =omega (mathbf {k}),}

donde $ω$ es la frecuencia angular y $k$ es el vector de onda que describe las soluciones de onda plana. Para las ondas de luz, la relación de dispersión es $ω = \pm c | k |$ , pero en general, la velocidad constante $c$ se reemplaza por una velocidad de fase variable:

{displaystyle v_{mathrm {p} }={frac {omega (k)}{k}}.}

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