Ecuación de Laplace

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Segunda orden ecuación diferencial parcial

En matemáticas y física, la ecuación de Laplace es una ecuación diferencial parcial de segundo orden que lleva el nombre de Pierre-Simon Laplace, quien fue el primero en estudiar sus propiedades. Esto a menudo se escribe como

{displaystyle nabla ^{2}!f=0}

{displaystyle Delta f=0,}

{displaystyle Delta =nabla cdot nabla =nabla ^{2}}

nabla cdot

nabla

{displaystyle f(x,y,z)}

Si el lado derecho se especifica como una función determinada, ${displaystyle h(x,y,z)}$ , tenemos

{displaystyle Delta f=h.}

Esto se llama ecuación de Poisson, una generalización de la ecuación de Laplace. La ecuación de Laplace y la ecuación de Poisson son los ejemplos más simples de ecuaciones diferenciales parciales elípticas. La ecuación de Laplace es también un caso especial de la ecuación de Helmholtz.

La teoría general de las soluciones a la ecuación de Laplace se conoce como teoría del potencial. Las soluciones dos veces continuamente diferenciables de la ecuación de Laplace son las funciones armónicas, que son importantes en múltiples ramas de la física, en particular la electrostática, la gravitación y la dinámica de fluidos. En el estudio de la conducción del calor, la ecuación de Laplace es la ecuación del calor en estado estacionario. En general, la ecuación de Laplace describe situaciones de equilibrio, o aquellas que no dependen explícitamente del tiempo.

Formas en diferentes sistemas de coordenadas

En coordenadas rectangulares,

{displaystyle nabla ^{2}f={frac {partial ^{2}f}{partial x^{2}}}+{frac {partial ^{2}f}{partial y^{2}}}+{frac {partial ^{2}f}{partial z^{2}}}=0.}

En coordenadas cilíndricas,

{displaystyle nabla ^{2}f={frac {1}{r}}{frac {partial }{partial r}}left(r{frac {partial f}{partial r}}right)+{frac {1}{r^{2}}}{frac {partial ^{2}f}{partial phi ^{2}}}+{frac {partial ^{2}f}{partial z^{2}}}=0.}

In coordenadas esféricas, usando el ${displaystyle (r,thetavarphi)}$ Convención,

{displaystyle nabla ^{2}f={frac {1}{r^{2}}}{frac {partial }{partial r}}left(r^{2}{frac {partial f}{partial r}}right)+{frac {1}{r^{2}sin theta }}{frac {partial }{partial theta }}left(sin theta {frac {partial f}{partial theta }}right)+{frac {1}{r^{2}sin ^{2}theta }}{frac {partial ^{2}f}{partial varphi ^{2}}}=0.}

Más generalmente, en coordenadas curvilíneas $(ξ i)$ arbitrarias,

{displaystyle nabla ^{2}f={frac {partial }{partial xi ^{j}}}left({frac {partial f}{partial xi ^{k}}}g^{kj}right)+{frac {partial f}{partial xi ^{j}}}g^{jm}Gamma _{mn}^{n}=0,}

{displaystyle nabla ^{2}f={frac {1}{sqrt {|g|}}}{frac {partial }{partial xi ^{i}}}!left({sqrt {|g|}}g^{ij}{frac {partial f}{partial xi ^{j}}}right)=0,qquad (g=det{g_{ij}})}

g ij

.

Condiciones de contorno

La ecuación de Laplace en un annulus (radio interior

r = 2

y radio exterior

R = 4

) con las condiciones de límites Dirichlet

u () r = 2) = 0

u () R = 4 pecado(5) Silencio)

El problema de Dirichlet para la ecuación de Laplace consiste en encontrar una solución $φ$ en algún dominio $D$ tal que $φ$ en el límite del estilo $D$ es igual a alguna función dada. Dado que el operador de Laplace aparece en la ecuación del calor, una interpretación física de este problema es la siguiente: fije la temperatura en el límite del dominio de acuerdo con la especificación dada de la condición límite. Permita que el calor fluya hasta que se alcance un estado estacionario en el que la temperatura en cada punto del dominio ya no cambie. La distribución de temperatura en el interior vendrá dada entonces por la solución del problema de Dirichlet correspondiente.

Las condiciones de frontera de Neumann para la ecuación de Laplace no especifican la función $φ$ en sí misma en la frontera de $D$ pero su derivado normal. Físicamente, esto corresponde a la construcción de un potencial para un campo vectorial cuyo efecto se conoce en el límite de $D$ solo. Para el ejemplo de la ecuación del calor, equivale a prescribir el flujo de calor a través del límite. En particular, en un límite adiabático, la derivada normal de $φ$ es cero.

Las soluciones de la ecuación de Laplace se denominan funciones armónicas; todos son analíticos dentro del dominio donde se satisface la ecuación. Si dos funciones cualesquiera son soluciones de la ecuación de Laplace (o cualquier ecuación diferencial homogénea lineal), su suma (o cualquier combinación lineal) también es una solución. Esta propiedad, llamada principio de superposición, es muy útil. Por ejemplo, las soluciones a problemas complejos se pueden construir sumando soluciones simples.

En dos dimensiones

La ecuación de Laplace en dos variables independientes en coordenadas rectangulares tiene la forma

{displaystyle {frac {partial ^{2}psi }{partial x^{2}}}+{frac {partial ^{2}psi }{partial y^{2}}}equiv psi _{xx}+psi _{yy}=0.}

Funciones analíticas

Las partes real e imaginaria de una función analítica compleja satisfacen la ecuación de Laplace. Es decir, si $z = x + iy$ , y si

{displaystyle f(z)=u(x,y)+iv(x,y),}

f () z)

u

v

{displaystyle u_{x}=v_{y},quad v_{x}=-u_{y}.}

u x

u

x

{displaystyle u_{yy}=(-v_{x})_{y}=-(v_{y})_{x}=-(u_{x})_{x}.}

u

v

f () z)

{displaystyle f(z)=varphi (x,y)+ipsi (x,y),}

{displaystyle psi _{x}=-varphi _{y},quad psi _{y}=varphi _{x}.}

↑

{displaystyle dpsi =-varphi _{y},dx+varphi _{x},dy.}

φ

↑

{displaystyle psi _{xy}=psi _{yx},}

↑

conjugar funciones armónicas

r

Silencio

{displaystyle varphi =log r,}

{displaystyle f(z)=log z=log r+itheta.}

Sin embargo, el ángulo $θ$ tiene un solo valor solo en una región que no encierra el origen.

La estrecha conexión entre la ecuación de Laplace y las funciones analíticas implica que cualquier solución de la ecuación de Laplace tiene derivadas de todos los órdenes y puede expandirse en una serie de potencias, al menos dentro de un círculo que no encierra una singularidad. Esto contrasta marcadamente con las soluciones de la ecuación de onda, que generalmente tienen menos regularidad.

Existe una conexión íntima entre la serie de potencias y la serie de Fourier. Si expandimos una función $f$ en una serie de potencias dentro de un círculo de radio $R$ , esto significa que

{displaystyle f(z)=sum _{n=0}^{infty }c_{n}z^{n},}

{displaystyle c_{n}=a_{n}+ib_{n}.}

{displaystyle f(z)=sum _{n=0}^{infty }left[a_{n}r^{n}cos ntheta -b_{n}r^{n}sin ntheta right]+isum _{n=1}^{infty }left[a_{n}r^{n}sin ntheta +b_{n}r^{n}cos ntheta right],}

f

Caudal de fluido

Sean las cantidades $u$ y $v$ la horizontal y componentes verticales del campo de velocidad de un flujo constante, incompresible e irrotacional en dos dimensiones. La condición de continuidad para un flujo incompresible es que

{displaystyle u_{x}+v_{y}=0,}

{displaystyle nabla times mathbf {V} =v_{x}-u_{y}=0.}

↑

{displaystyle dpsi =v,dx-u,dy,}

↑

{displaystyle psi _{x}=v,quad psi _{y}=-u,}

↑

φ

↑

{displaystyle varphi _{x}=-u,quad varphi _{y}=-v.}

Electrostática

Según las ecuaciones de Maxwell, un campo eléctrico $(u, v)$ en dos dimensiones espaciales que es independiente del tiempo satisface

{displaystyle nabla times (u,v,0)=(v_{x}-u_{y}){hat {mathbf {k} }}=mathbf {0}}

{displaystyle nabla cdot (u,v)=rho}

***

{displaystyle dvarphi =-u,dx-v,dy,}

φ

{displaystyle varphi _{x}=-u,quad varphi _{y}=-v.}

{displaystyle varphi _{xx}+varphi _{yy}=-rho}

En tres dimensiones

Solución básica

Una solución fundamental de la ecuación de Laplace satisface

{displaystyle Delta u=u_{xx}+u_{yy}+u_{zz}=-delta (x-x',y-y',z-z'),}

δ

() x', Sí.', z')

u

{displaystyle iiint _{V}nabla cdot nabla u,dV=-1.}

La ecuación de Laplace no cambia bajo una rotación de coordenadas y, por lo tanto, podemos esperar que se pueda obtener una solución fundamental entre las soluciones que solo dependen de la distancia $r$ desde el punto de origen. Si elegimos que el volumen sea una bola de radio $a$ alrededor del punto de origen, entonces Gauss' el teorema de la divergencia implica que

{displaystyle -1=iiint _{V}nabla cdot nabla u,dV=iint _{S}{frac {du}{dr}},dS=left.4pi a^{2}{frac {du}{dr}}right|_{r=a}.}

Se sigue que

{displaystyle {frac {du}{dr}}=-{frac {1}{4pi r^{2}}},}

r

{displaystyle u={frac {1}{4pi r}}.}

Tenga en cuenta que, con la convención de signos opuestos (usada en física), este es el potencial generado por una partícula puntual, para una fuerza de ley del inverso del cuadrado, que surge en la solución de la ecuación de Poisson. Un argumento similar muestra que en dos dimensiones

{displaystyle u=-{frac {log(r)}{2pi }}.}

log(r)

Función de Green

La función de Green es una solución fundamental que también satisface una condición adecuada en el límite $S$ de un volumen $V$ . Por ejemplo,

{displaystyle G(x,y,z;x',y',z')}

{displaystyle nabla cdot nabla G=-delta (x-x',y-y',z-z')qquad {text{in }}V,}

{displaystyle G=0quad {text{if}}quad (x,y,z)qquad {text{on }}S.}

Ahora, si $u$ es cualquier solución de la ecuación de Poisson en $V$ :

{displaystyle nabla cdot nabla u=-f,}

y $u$ asume los valores límite $g$ en $S$ , entonces podemos aplicar la identidad de Green (una consecuencia del teorema de la divergencia) que establece que

{displaystyle iiint _{V}left[G,nabla cdot nabla u-u,nabla cdot nabla Gright],dV=iiint _{V}nabla cdot left[Gnabla u-unabla Gright],dV=iint _{S}left[Gu_{n}-uG_{n}right],dS.,}

Las notaciones u_n y G_n denotan derivadas normales en $S$ . En vista de las condiciones satisfechas por $u$ y $G$ , este el resultado se simplifica a

{displaystyle u(x',y',z')=iiint _{V}Gf,dV+iint _{S}G_{n}g,dS.,}

Así, la función de Green describe la influencia en $(x', y', z')$ de los datos $f$ y $g . Para el caso del interior de una esfera de radio a, la función de Green se puede obtener mediante una reflexión (Sommerfeld 1949): el punto de origen P a una distancia ρ del centro de la esfera se refleja a lo largo de su línea radial hasta un punto P' que está a una distancia$

{displaystyle rho '={frac {a^{2}}{rho }}.,}

Tenga en cuenta que si $P$ está dentro de la esfera, entonces P′ estará fuera de la esfera. Entonces la función de Green viene dada por

{displaystyle {frac {1}{4pi R}}-{frac {a}{4pi rho R'}},,}

R

P

R .

PFórmula integral de Poisson

***

Silencio

φ

P

Silencio

g

harv error: no target: CITEREFZachmanoglou1986 (help)

{displaystyle u(P)={frac {1}{4pi }}a^{3}left(1-{frac {rho ^{2}}{a^{2}}}right)int _{0}^{2pi }int _{0}^{pi }{frac {g(theta ',varphi ')sin theta '}{(a^{2}+rho ^{2}-2arho cos Theta)^{frac {3}{2}}}}dtheta ',dvarphi '}

{displaystyle cos Theta =cos theta cos theta '+sin theta sin theta 'cos(varphi -varphi ')}

() Silencio, φ)

() Silencio', φ')

u

u

Armónicos esféricos de Laplace

Real (Laplace) armónicos esféricos

Y l m

para

l = 0,... 4

(de arriba a abajo) y

m = 0,... l

(izquierda a derecha). Los armónicos Zonal, Sectoriales y Tesseral se representan a lo largo de la columna izquierda-más izquierda, la diagonal principal, y en otros lugares, respectivamente. (El orden negativo armónicos

Y_{ell }^{-m}

se mostraría rota sobre el

z

axis by

90^{circ }/m

con respecto a los del orden positivo.)

La ecuación de Laplace en coordenadas esféricas es:

{displaystyle nabla ^{2}f={frac {1}{r^{2}}}{frac {partial }{partial r}}left(r^{2}{frac {partial f}{partial r}}right)+{frac {1}{r^{2}sin theta }}{frac {partial }{partial theta }}left(sin theta {frac {partial f}{partial theta }}right)+{frac {1}{r^{2}sin ^{2}theta }}{frac {partial ^{2}f}{partial varphi ^{2}}}=0.}

Considere el problema de encontrar soluciones de la forma $f (r, θ, φ) = R (r) Y (θ, φ)$ . Por separación de variables resultan dos ecuaciones diferenciales imponiendo la ecuación de Laplace:

{displaystyle {frac {1}{R}}{frac {d}{dr}}left(r^{2}{frac {dR}{dr}}right)=lambdaqquad {frac {1}{Y}}{frac {1}{sin theta }}{frac {partial }{partial theta }}left(sin theta {frac {partial Y}{partial theta }}right)+{frac {1}{Y}}{frac {1}{sin ^{2}theta }}{frac {partial ^{2}Y}{partial varphi ^{2}}}=-lambda.}

La segunda ecuación se puede simplificar asumiendo que $Y$ tiene la forma $Y (θ, φ) = Θ(θ) Φ(φ)$ . La aplicación de la separación de variables nuevamente a la segunda ecuación da paso al par de ecuaciones diferenciales

{displaystyle {frac {1}{Phi }}{frac {d^{2}Phi }{dvarphi ^{2}}}=-m^{2}}

{displaystyle lambda sin ^{2}theta +{frac {sin theta }{Theta }}{frac {d}{dtheta }}left(sin theta {frac {dTheta }{dtheta }}right)=m^{2}}

para algún número $m$ . A priori, $m$ es una constante compleja, pero debido a que $Φ$ debe ser una función periódica cuyo periodo divide uniformemente $2 π$ , $m$ es necesariamente un número entero y $Φ$ es una combinación lineal de los exponenciales complejos $e \pm imφ$ . La función solución $Y (θ, φ)$ es regular en los polos de la esfera, donde $θ = 0, π$ . Imponer esta regularidad en la solución $Θ$ de la segunda ecuación en los puntos límite del dominio es un problema de Sturm-Liouville que obliga al parámetro $λ$ para tener la forma $λ = ℓ (ℓ + 1)$ para algún número entero no negativo con $ℓ \geq | m |$ ; esto también se explica a continuación en términos del momento angular orbital. Además, un cambio de variables $t = cos θ$ transforma esta ecuación en la ecuación de Legendre, cuya solución es un múltiplo de el polinomio de Legendre asociado $P ℓ m (cos θ)$ . Finalmente, la ecuación para $R$ tiene soluciones de la forma $R (r) = A r ℓ + B r - ℓ - 1$ ; requerir que la solución sea regular a lo largo de $R 3$ obliga a $B = 0$ .

Aquí se supuso que la solución tenía la forma especial $Y (θ, φ) = Θ (θ) Φ(φ)$ . Para un valor dado de $ℓ$ , hay $2 ℓ + 1$ soluciones independientes de esta forma, una para cada entero $m$ con $- ℓ \leq m \leq ℓ$ . Estas soluciones angulares son un producto de funciones trigonométricas, aquí representadas como un exponencial complejo y polinomios de Legendre asociados:

{displaystyle Y_{ell }^{m}(thetavarphi)=Ne^{imvarphi }P_{ell }^{m}(cos {theta })}

{displaystyle r^{2}nabla ^{2}Y_{ell }^{m}(thetavarphi)=-ell (ell +1)Y_{ell }^{m}(thetavarphi).}

Aquí $Y ℓ m$ se denomina función armónica esférica de grado $ℓ$ y ordenar $m$ , $P ℓ m$ es un polinomio asociado de Legendre, $N$ es una constante de normalización, y $θ$ y $φ$ representan colatitud y longitud, respectivamente. En particular, la colatitud $θ$ , o ángulo polar, oscila entre $0$ en el Polo Norte, a $π /2$ en el Ecuador, a $π$ en el Polo Sur, y la longitud $φ$ , o azimut, puede asumir todos los valores con $0 \leq φ < 2 π$ . Para un entero fijo $ℓ$ , cada solución $Y (θ, φ)$ del problema de valores propios

{displaystyle r^{2}nabla ^{2}Y=-ell (ell +1)Y}

Y l m

r l Y () Silencio, φ)

2 l + 1

La solución general a la ecuación de Laplace en una bola centrada en el origen es una combinación lineal de las funciones armónicas esféricas multiplicadas por el factor de escala apropiado $r ℓ$ ,

{displaystyle f(r,thetavarphi)=sum _{ell =0}^{infty }sum _{m=-ell }^{ell }f_{ell }^{m}r^{ell }Y_{ell }^{m}(thetavarphi),}

f l m

r l Y l m

<math alttext="{displaystyle rr.R=1lim supl l → → JUEGO JUEGO Silenciofl l mSilencio1/l l .{displaystyle R=frac {1}{limsup _{ell to infty. - ¿Qué? - Sí.<img alt="{displaystyle r

Para $R}" xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">r■R{displaystyle r]R}" aria-hidden="true" class="mwe-math-fallback-image-inline" src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8971c9610113faec012a76ec2d47fa6235e16d2f" style="vertical-align: -0.338ex; width:5.911ex; height:2.176ex;"/>$ , la armónica sólida con poderes negativos $r$ son elegidos en su lugar. En ese caso, es necesario ampliar la solución de las regiones conocidas de la serie Laurent (sobre $r=infty$ ), en lugar de la serie Taylor (sobre $r=0$ ), para coincidir con los términos y encontrar ${displaystyle f_{ell }^{m}}$ .

Electrostática

Vamos $mathbf {E}$ ser el campo eléctrico, $rho$ ser la densidad de carga eléctrica, y $varepsilon _{0}$ ser la autorización del espacio libre. Luego la ley de Gauss para la electricidad (la primera ecuación de Maxwell) en estados de forma diferencial

{displaystyle nabla cdot mathbf {E} ={frac {rho }{varepsilon _{0}}}.}

Ahora, el campo eléctrico se puede expresar como el gradiente negativo del potencial eléctrico $V$ ,

{displaystyle mathbf {E} =-nabla V,}

{displaystyle nabla times mathbf {E} =mathbf {0} }

mathbf {E}

{displaystyle nabla cdot mathbf {E} =nabla cdot (-nabla V)=-nabla ^{2}V}

{displaystyle nabla ^{2}V=-nabla cdot mathbf {E} }

Reemplazando esta relación en la ley de Gauss, obtenemos la ecuación de Poisson para la electricidad,

{displaystyle nabla ^{2}V=-{frac {rho }{varepsilon _{0}}}.}

En el caso particular de una región libre de fuentes, $rho =0$ y la ecuación de Poisson reduce a la ecuación de Laplace para el potencial eléctrico.

Si el potencial electrostático $V$ se especifica en el límite de una región ${mathcal {R}}$ , entonces es únicamente determinado. Si ${mathcal {R}}$ está rodeado por un material conductor con una densidad de carga especificada $rho$ , y si el cargo total $Q$ es conocido, entonces $V$ es también único.

Un potencial que no satisface la ecuación de Laplace junto con la condición de contorno es un potencial electrostático no válido.

Gravitación

Vamos $mathbf {g}$ ser el campo gravitacional, $rho$ la densidad de masa, y $G$ la constante gravitacional. Entonces la ley de Gauss para la gravedad en forma diferencial es

{displaystyle nabla cdot mathbf {g} =-4pi Grho.}

El campo gravitatorio es conservativo y, por lo tanto, puede expresarse como el gradiente negativo del potencial gravitatorio:

{displaystyle {begin{aligned}mathbf {g} &=-nabla V,\nabla cdot mathbf {g} &=nabla cdot (-nabla V)=-nabla ^{2}V,\implies nabla ^{2}V&=-nabla cdot mathbf {g}.end{aligned}}}

Usando la forma diferencial de la ley de gravitación de Gauss, tenemos

{displaystyle nabla ^{2}V=4pi Grho}

En espacio vacío, $rho =0$ y tenemos

{displaystyle nabla ^{2}V=0,}

En la métrica de Schwarzschild

S. Persides resolvió la ecuación de Laplace en el espacio-tiempo de Schwarzschild en hipersuperficies de $t$ constantes. Usando las variables canónicas $r$ , $θ$ , $φ$ la solución es

{displaystyle Psi (r,thetavarphi)=R(r)Y_{l}(thetavarphi),}

Y l () Silencio, φ)

{displaystyle R(r)=(-1)^{l}{frac {(l!)^{2}r_{s}^{l}}{(2l)!}}P_{l}left(1-{frac {2r}{r_{s}}}right)+(-1)^{l+1}{frac {2(2l+1)!}{(l)!^{2}r_{s}^{l+1}}}Q_{l}left(1-{frac {2r}{r_{s}}}right).}

Aquí $P l$ y $Q l$ son funciones de Legendre de primer y segundo tipo, respectivamente, mientras que $r s$ es el radio de Schwarzschild. El parámetro $l$ es un número entero no negativo arbitrario.

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