Ecuación de Langevin
En física, una ecuación langevin (llamada así por Paul Langevin) es una ecuación diferencial estocástica que describe cómo un sistema evoluciona cuando se somete a una combinación de determinista y fluctuante (" aleatorio ") fuerzas. Las variables dependientes en una ecuación de Langevin típicamente son variables colectivas (macroscópicas) que cambian lentamente en comparación con las otras variables (microscópicas) del sistema. Las variables rápidas (microscópicas) son responsables de la naturaleza estocástica de la ecuación de Langevin. Una aplicación es el movimiento browniano, que modela el movimiento fluctuante de una pequeña partícula en un fluido.
movimiento brownian como prototipo
La ecuación original de Langevin describe el movimiento browniano, el movimiento aparentemente aleatorio de una partícula en un fluido debido a colisiones con las moléculas del fluido,
Aquí, v{displaystyle mathbf {v} es la velocidad de la partícula, λ λ {displaystyle lambda } es su coeficiente de amortiguación, y m{displaystyle m} es su masa. La fuerza que actúa en la partícula está escrita como una suma de una fuerza viscosa proporcional a la velocidad de la partícula (Ley de los golpes), y un término de ruido .. ()t){displaystyle {boldsymbol {eta}left(tright)} representando el efecto de las colisiones con las moléculas del fluido. La fuerza .. ()t){displaystyle {boldsymbol {eta}left(tright)} tiene una distribución de probabilidad gaisiana con función de correlación
Otra característica común de la ecuación Langevin es la ocurrencia del coeficiente de amortiguación λ λ {displaystyle lambda } en la función de correlación de la fuerza al azar, que en un sistema de equilibrio es una expresión de la relación de Einstein.
aspectos matemáticos
A strictly δ δ {displaystyle delta }-fuerza fluctuante relacionada con la estructura .. ()t){displaystyle {boldsymbol {eta}left(tright)} no es una función en el sentido matemático habitual e incluso el derivado dv/dt{displaystyle dmathbf {} /dt} no se define en este límite. Este problema desaparece cuando la ecuación Langevin está escrita en forma integral mv=∫ ∫ t()− − λ λ v+.. ()t))dt.{textstyle mmathbf {v} =int ^{t}left(-lambda mathbf {v} +{boldsymbol {eta }left(tright)right)dt.} Por lo tanto, la forma diferencial es sólo una abreviatura para su tiempo integral. El término matemático general para ecuaciones de este tipo es "ecuación diferencial estocástica".
Otra ambigüedad matemática ocurre para las ecuaciones de Langevin con ruido multiplicativo, que se refiere a términos de ruido que se multiplican por una función no constante de las variables dependientes, por ejemplo, Silenciov()t)Silencio.. ()t){displaystyle left WordPress{boldsymbol {v}(t)right sometida{boldsymbol {eta }(t)}. Si un ruido multiplicativo es intrínseco para el sistema, su definición es ambiguo, ya que es igualmente válido interpretarlo de acuerdo con el esquema Stratonovich- o Ito- (ver cálculo Itō). Sin embargo, los observables físicos son independientes de la interpretación, siempre y cuando éste se aplique de forma sistemática al manipular la ecuación. Esto es necesario porque las reglas simbólicas del cálculo difieren dependiendo del esquema de interpretación. Si el ruido es externo al sistema, la interpretación adecuada es la Stratonovich.
Ecuación genérica de Langevin
Hay una derivación formal de una ecuación de Langevin genérica de la mecánica clásica. Esta ecuación genérica juega un papel central en la teoría de la dinámica crítica y otras áreas de la mecánica estadística de no equilibrio. La ecuación para el movimiento browniano anterior es un caso especial.
Un paso esencial en la derivación es la división de los grados de libertad en las categorías lento y rápido. Por ejemplo, el equilibrio termodinámico local en un líquido se alcanza en unos pocos tiempos de colisión, pero las densidades de cantidades conservadas, como la masa y la energía, tardan mucho más en relajarse hasta alcanzar el equilibrio. Por lo tanto, las densidades de cantidades conservadas, y en particular sus componentes de longitud de onda larga, son candidatos variables lentos. Esta división se puede expresar formalmente con el operador de proyección de Zwanzig. Sin embargo, la derivación no es completamente rigurosa desde la perspectiva de la física matemática porque se basa en suposiciones que carecen de pruebas rigurosas y, en cambio, se justifican solo como aproximaciones plausibles de sistemas físicos.
Vamos A={}Ai}{displaystyle A={A_{i} denota las variables lentas. La ecuación genérica de Langevin lee
La fuerza fluctuante .. i()t){displaystyle eta _{i}left(tright)} obedece una distribución de probabilidad gausiana con función de correlación
Esto implica la relación de reciprocidad de Onsager λ λ i,j=λ λ j,i{displaystyle lambda _{i,j}=lambda _{j,i} para los coeficientes de amortiguación λ λ {displaystyle lambda }. La dependencia dλ λ i,j/dAj{displaystyle dlambda _{i,j}/dA_{j} de λ λ {displaystyle lambda } on A{displaystyle A} es insignificante en la mayoría de los casos. El símbolo H=− − In ()p0){displaystyle {mathcal {H}=-lnleft(p_{0}right)} denota al Hamiltoniano del sistema, donde p0()A){displaystyle p_{0}left(Aright)} es la distribución de probabilidad de equilibrio de las variables A{displaystyle A}. Finalmente, [Ai,Aj]{displaystyle [A_{i},A_{j}} es la proyección del soporte Poisson de las variables lentas Ai{displaystyle A_{i} y Aj{displaystyle A_{j} sobre el espacio de variables lentas.
En el caso de movimiento Brownian uno habría H=p2/()2mkBT){displaystyle {mathcal {H}=mathbf {p}/left(2mk_{text{B}Tright)}, A={}p}{displaystyle A={mathbf {p} o A={}x,p}{displaystyle A={mathbf {x}mathbf {p} y [xi,pj]=δ δ i,j{displaystyle [x_{i},p_{j}=delta _{i,j}. La ecuación del movimiento dx/dt=p/m{displaystyle dmathbf {x} /dt=mathbf {p} /m} para x{displaystyle mathbf {x} es exacto: no hay fuerza fluctuante .. x{displaystyle eta _{x} y sin coeficiente de amortiguación λ λ x,p{displaystyle lambda _{x,p}.
Ejemplos
Ruido térmico en una resistencia eléctrica
Hay una analogía estrecha entre la partícula marroniana paradigmática discutida anteriormente y el ruido de Johnson, el voltaje eléctrico generado por las fluctuaciones térmicas en un resistor. El diagrama a la derecha muestra un circuito eléctrico que consiste en una resistencia R y una condensación C. La variable lenta es el voltaje U entre los extremos de la resistencia. El Hamiltonian lee H=E/kBT=CU2/()2kBT){displaystyle {mathcal {H}=E/k_{B}T=CU^{2}/(2k_{B}T)}, y la ecuación Langevin se convierte
Esta ecuación puede usarse para determinar la función de correlación
Dinámica crítica
La dinámica del parámetro de orden φ φ {displaystyle varphi } de una segunda fase de orden la transición se desacelera cerca del punto crítico y se puede describir con una ecuación Langevin. El caso más simple es la clase universal "model A" con un parámetro de orden escalar no conservado, realizado por ejemplo en ferromagnetes axiales,
Oscilador armónico en un fluido
Una partícula en un fluido es descrita por una ecuación Langevin con una función energética potencial, una fuerza de amortiguación y fluctuaciones térmicas dadas por la disipación de fluctuación teorema. Si el potencial es cuadrático, las curvas de energía constantes son elipses, como se muestra en la figura. Si hay disipación pero no hay ruido térmico, una partícula pierde continuamente energía al medio ambiente, y su retrato de fase dependiente del tiempo (velocidad vs posición) corresponde a una espiral interior hacia 0 velocidad. Por el contrario, las fluctuaciones térmicas agregan continuamente energía a la partícula y evitan que alcance exactamente 0 velocidad. Más bien, el conjunto inicial de osciladores estocásticos se acerca a un estado estable en el que la velocidad y la posición se distribuyen de acuerdo con la distribución Maxwell-Boltzmann. En el diagrama abajo (figura 2), la distribución de velocidad de largo tiempo (orange) y distribuciones de posición (azul) en un potencial armónico (U=12kx2{textstyle U={frac {2} kx^{2}) está trazado con las probabilidades Boltzmann de velocidad (rojo) y posición (verde). En particular, el comportamiento tardío representa el equilibrio térmico.
Trayectorias de partículas brownianas libres
Considere una partícula libre de masa m{displaystyle m} con ecuación de movimiento descrito por
La velocidad v()t){displaystyle mathbf {v} (t)} de la partícula marroniana se puede integrar para producir su trayectoria r()t){displaystyle mathbf {r} (t)}. Si se encuentra inicialmente en el origen con probabilidad 1, entonces el resultado es
Por consiguiente, el desplazamiento medio .. r()t).. =v()0)τ τ ()1− − e− − t/τ τ ){textstyle langle mathbf {r} (t)rangle =mathbf {v} (0)tau left(1-e^{-t/tau }right)} asintotos a v()0)τ τ {displaystyle mathbf {v} (0)tau } mientras el sistema se relaja. El desplazamiento cuadrado medio se puede determinar de forma similar:
Esta expresión implica que .. r2()t≪ ≪ τ τ ).. ≃ ≃ v2()0)t2{displaystyle langle r^{2}(tll tau)rangle simeq v^{2}(0)t^{2}}, indicando que el movimiento de partículas marrones en tiempos mucho más cortos que el tiempo de relajación τ τ {displaystyle tau } del sistema es (aproximadamente) invariante reversal temporal. Por otro lado, .. r2()t≫ ≫ τ τ ).. ≃ ≃ 6kBTτ τ t/m=6μ μ kBTt=6Dt{displaystyle langle r^{2}(tgg tau)rangle simeq 6k_{text{B}Ttau t/m=6mu ¿Qué?, lo que indica un proceso irreversible y disipante.
Recuperación de las estadísticas de Boltzmann
Si el potencial externo es conservador y el término de ruido deriva de un embalse en equilibrio térmico, entonces la solución a largo plazo a la ecuación Langevin debe reducir a la distribución Boltzmann, que es la función de distribución de probabilidad para partículas en equilibrio térmico. En el caso especial de dinámicas sobredimensionadas, la inercia de la partícula es insignificante en comparación con la fuerza de amortiguación, y la trayectoria x()t){displaystyle x(t)} es descrito por la ecuación de Langevin overdamped
Donde λ λ {displaystyle lambda } es la constante de amortiguación. El término .. ()t){displaystyle eta (t)} es el ruido blanco, caracterizado por ... ()t).. ()t.).=2kBTλ λ δ δ ()t− − t.){displaystyle leftlangle eta (t)eta (t')rightrangle =2k_{text{B}Tlambda delta (t-t')} (anteriormente, el proceso de Wiener). Una manera de resolver esta ecuación es introducir una función de prueba f{displaystyle f} y calcula su promedio. El promedio de f()x()t)){displaystyle f(x(t)} debe ser tiempo-independiente para finito x()t){displaystyle x(t)}, conduce a
Es lema para el proceso de diffusión de deriva Itô dXt=μ μ tdt+σ σ tdBt{displaystyle dX_{t}=mu ¿Qué? ¿Qué? dice que el diferencial de una función dos veces diferente f()t, x) es dado por
Aplicar esto al cálculo de .. f()x()t)).. {displaystyle langle f(x(t))rangle } da
Este promedio se puede escribir usando la función de densidad de probabilidad p()x){displaystyle p(x)};
Técnicas equivalentes
En algunas situaciones, uno está principalmente interesado en el comportamiento promediado del ruido de la ecuación de Langevin, a diferencia de la solución para realizaciones particulares del ruido. Esta sección describe técnicas para obtener este comportamiento promediado que son distintas, pero también equivalentes, al cálculo estocástico inherente a la ecuación de Langevin.
Ecuación de Fokker-Planck
Una ecuación Fokker-Planck es una ecuación determinista para la densidad de probabilidad dependiente del tiempo P()A,t){displaystyle Pleft(A,tright)} de variables estocásticas A{displaystyle A}. La ecuación Fokker-Planck correspondiente a la ecuación genérica Langevin descrita en este artículo es la siguiente:
Ecuación de Klein-Kramers
La ecuación de Fokker-Planck para una partícula browniana subamortiguada se denomina ecuación de Klein-Kramers. Si las ecuaciones de Langevin se escriben como
In d{displaystyle d}-espacio libre dimensional, correspondiente a V()r)=constante{displaystyle V(mathbf {r}={text{constant}} on Rd{displaystyle mathbb {R}, esta ecuación se puede resolver utilizando Fourier transforma. Si la partícula es inicializada t=0{displaystyle t=0} con posición r.{displaystyle mathbf {r} e impulso p.{displaystyle mathbf {p}, correspondiente a la condición inicial f()r,p,0)=δ δ ()r− − r.)δ δ ()p− − p.){displaystyle f(mathbf {r}mathbf {p}0)=delta (mathbf {r} -mathbf {r} ')delta (mathbf {p} -mathbf {p} ')}}}}, entonces la solución es
Integral de trayectoria
Un camino integral equivalente a una ecuación Langevin se puede obtener de la ecuación correspondiente Fokker-Planck o mediante la transformación de la distribución de probabilidad gausiana P().. )().. )d.. {displaystyle P^{(eta)}(eta)deta } de la fuerza fluctuante .. {displaystyle eta } a una distribución de probabilidad de las variables lentas, esquemáticamente P()A)dA=P().. )().. ()A))Det()d.. /dA)dA{displaystyle P(A)dA=P^{(eta)}(eta (A))det(deta /dA)dA}. Los determinantes funcionales y las sutilezas matemáticas asociadas abandonan si la ecuación Langevin se discretiza de la manera natural (causal), donde A()t+Δ Δ t)− − A()t){displaystyle A(t+Delta t)-A(t)} depende de A()t){displaystyle A(t)} pero no A()t+Δ Δ t){displaystyle A(t+Delta t)}. Resulta conveniente introducir auxiliar variables de respuesta A~ ~ {displaystyle {tilde {}}}. El camino integral equivalente a la ecuación genérica de Langevin luego lee
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