Ecuación de Lane-Emden

En astrofísica, la ecuación de Lane-Emden es una forma adimensional de la ecuación de Poisson para el potencial gravitatorio de un fluido politrópico newtoniano autogravitatorio, esféricamente simétrico. Lleva el nombre de los astrofísicos Jonathan Homer Lane y Robert Emden. La ecuación dice

Donde .. {displaystyle xi } es un radio sin dimensión y Silencio Silencio {displaystyle theta } está relacionado con la densidad, y por lo tanto la presión, *** *** =*** *** cSilencio Silencio n{displaystyle rho =rho _{c}theta ^{n} para densidad central *** *** c{displaystyle rho _{c}. El índice n{displaystyle n} es el índice politrópico que aparece en la ecuación politrópica del estado,

P=K*** *** 1+1n{displaystyle P=Krho ^{1+{frac {1} {}},}

Donde P{displaystyle P} y *** *** {displaystyle rho } son la presión y densidad, respectivamente, y K{displaystyle K} es una constante de proporcionalidad. Las condiciones de los límites estándar son Silencio Silencio ()0)=1{displaystyle theta (0)=1} y Silencio Silencio .()0)=0{displaystyle theta '(0)=0}. Las soluciones describen el funcionamiento de la presión y densidad con radio y se conocen como politropos índice n{displaystyle n}. Si un fluido isotérmico (índice polímico tiende a la infinidad) se utiliza en lugar de un líquido politrópico, se obtiene la ecuación Emden-Chandrasekhar.

Aplicaciones

Físicamente, el equilibrio hidrostático conecta el gradiente de potencial, la densidad y el gradiente de presión, mientras que la ecuación de Poisson conecta el potencial con la densidad. Por lo tanto, si tenemos otra ecuación que dicte cómo varían la presión y la densidad entre sí, podemos llegar a una solución. La elección particular de un gas politrópico como se indicó anteriormente hace que el enunciado matemático del problema sea particularmente sucinto y conduce a la ecuación de Lane-Emden. La ecuación es una aproximación útil para esferas de plasma autogravitatorias como las estrellas, pero por lo general es una suposición bastante limitante.

Derivación

Desde el equilibrio hidrostático

Considérese un fluido con simetría esférica y autogravitatorio en equilibrio hidrostático. La masa se conserva y, por lo tanto, se describe mediante la ecuación de continuidad.

dmdr=4π π r2*** *** {displaystyle {frac {dm}=4pi}.

Donde *** *** {displaystyle rho } es una función r{displaystyle r}. La ecuación del equilibrio hidrostático es

1*** *** dPdr=− − Gmr2{displaystyle {frac}{rho }{frac} {fnMicroc} {f}}} {f}} {fnK}}}}}} {fnK}}}}} {fnfnf}}} {dP} {dr}=-{frac} {Gm}{2}}}

Donde m{displaystyle m} es también una función r{displaystyle r}. Diferenciar de nuevo da

ddr()1*** *** dPdr)=2Gmr3− − Gr2dmdr=− − 2*** *** rdPdr− − 4π π G*** *** {displaystyle {begin{aligned}{frac {dr}left({frac} {1}{rho }{frac {fnK} {fnMicroc {2Gm}{3} {fnMicroc} {G}{2} {f} {f}}} {f}} {f}}}} {f}} {f}}} {f}}}} {f}}}} {f}} {f}} {f}}}}} {f}}} {f}}}} {f}}}}} {f}} {f} {f}}}}}}}}f}}}}}}}}}}}}}}} {f} {f} {f} {f} {f} {f} {f}}}f} {f}}}}}}}}}}}} {f} {f} {f} {f}}} {f}f} {f}f}f}f}}f}}}}}}}}}}}}f}}}}}f}f}}}}}}}}}}}}}} {dm} {dr}\\fnMicroc {2}{rho r}{frac} {f} {f} {f}} {f}} {f}} {f}}} {f} {f}} {f} {f}}} {f} {f}} {f}} {f}}} {f} {f}f}f}}f}}f}}f}}}}f}f}f}f} {f} {f}}f}f}f}f} {f} {f} {f}f}f}f}f}f}f}f}f}f}f}f}f}f}f}f} {f} {f}f}f} {f}f}}f}f}f}f}f}f}f}f}f}}}}fn {dP}{dr}-4pi} Grho end{aligned}}

donde se ha utilizado la ecuación de continuidad para reemplazar el gradiente de masa. Multiplicar ambos lados por r2{displaystyle r^{2} y coleccionar los derivados de P{displaystyle P} a la izquierda, uno puede escribir

r2ddr()1*** *** dPdr)+2r*** *** dPdr=ddr()r2*** *** dPdr)=− − 4π π Gr2*** *** {displaystyle r^{2}{frac {dr}left({frac} {fnK}} {fnK}} {fnK}}f}fnK} {fnK} {fnK}} {f} {fnK}}f}}fnKf} {f}f}}}}}}f}}}}}}f}f}f}f}f}f}f}f}f}f}f}f}f}f}fnKf}f}f}f}f}f}f}f}f}f}f}fnKf}f}f}fnKf}f}f}f}f}fnKfnKf}f}fnKf}f}f}f}fnK {1} {fn} {fnK}}}derecha)+{frac {2r}{rho }}{frac}}{frac}} {fnMic} {fnK}} {fnK}}} {fnMic} {f}} {fnKf} {f}f}}}}}}}f}}}} {f} {f} {f} {f}} {f}f}f}f}f}f}f}f}f}}}f}f}f}f}f}f}f}f} {fnKf}f}f}}f}f}f}f}f}f}f}f}fnKfnKfnKf}}fnKf}f}f}}}}}fn {dP} {dr}={frac} {d} {dr}left({frac} {fnK} {fnMicroc}} {fnMicroc}}} {fnMicroc}}} {f}}}} {fn}}} {fnMicroc} {dP} {dr}right)=-4pi} Gr^{2}rho }

Dividir ambos lados por r2{displaystyle r^{2} produce, en algún sentido, una forma dimensional de la ecuación deseada. Si, además, sustituimos la ecuación politrópica del estado con P=K*** *** c1+1nSilencio Silencio n+1{displaystyle P=Krho ¿Qué? {1}}theta ^{n+1} y *** *** =*** *** cSilencio Silencio n{displaystyle rho =rho _{c}theta ^{n}, tenemos

1r2ddr()r2K*** *** c1n()n+1)dSilencio Silencio dr)=− − 4π π G*** *** cSilencio Silencio n{displaystyle {frac {1}{2}}{frac {dr}left(r^{2}Krho ¿Qué? {1}{n} {n+1){frac {dtheta}{dr}right)=-4pi) Grho _{c}theta ^ {n}

Reunir las constantes y sustituir r=α α .. {displaystyle r=alpha xi}, donde

α α 2=()n+1)K*** *** c1n− − 1/4π π G,{displaystyle alpha ^{2}=(n+1)Krho _{c}^{frac} {1}{n}-1}/4pi} G,}

tenemos la ecuación de Lane-Emden,

1.. 2dd.. ().. 2dSilencio Silencio d.. )+Silencio Silencio n=0{displaystyle {frac {1}{2}}{frac {dxi }left({xi ^{2}{frac {dtheta }{dxi }}right)+theta ^{n}=0} {}}} {f}}} {fn}}}f}}}f}f}f}}f}f}}f}f}}}}f}f}}f}}f}}f}}f}}sigu]

From Poisson 's equation

Equivalently, one can start with Poisson 's equation,

Silencio Silencio 2CCPR CCPR =1r2ddr()r2dCCPR CCPR dr)=4π π G*** *** {displaystyle nabla ^{2}Phi ={frac {1}{2}{frac {d} {dr}}left(r^{2}{2}{frac} {frac} {f} {f} {f}}} {f}}}}f} {f} {f}f}f} {f} {f}}}}f}f}}}f}f}f}f} {f} {f}f} {f}f}f}f}f}f}f}f}f}f}f}}f}f}f}f}f}f}f}f}f}f}f}f}f} {f}f}f}f}f}f}f}f}f}f}f}f}f} {dPhi }{dr}right)=4pi Grho

Uno puede reemplazar el gradiente del potencial usando el equilibrio hidrostático, vía

dCCPR CCPR dr=− − 1*** *** dPdr{displaystyle {frac {fnMicroc} Phi } {dr}=-{frac {1}{rho }{frac {dP} {dr}}

lo que nuevamente produce la forma dimensional de la ecuación de Lane-Emden.

Soluciones exactas

Para un valor dado del índice politrópico n{displaystyle n}, denota la solución a la ecuación Lane-Emden como Silencio Silencio n().. ){displaystyle theta _{n}(xi)}. En general, la ecuación Lane-Emden debe resolverse numéricamente para encontrar Silencio Silencio n{displaystyle theta _{n}. Hay soluciones exactas, analíticas para ciertos valores de n{displaystyle n}, en particular: n=0,1,5{displaystyle n=0,1,5}. Para n{displaystyle n} entre 0 y 5, las soluciones son continuas y finitas en extensión, con el radio de la estrella dada por R=α α .. 1{displaystyle R=alpha xi _{1}, donde Silencio Silencio n().. 1)=0{displaystyle theta _{n}(xi _{1})=0}.

Para una solución dada Silencio Silencio n{displaystyle theta _{n}, el perfil de densidad es dado por

*** *** =*** *** cSilencio Silencio nn{displaystyle rho =rho _{c}theta _{n} {n} {n}}.

La masa total M{displaystyle M} de la estrella modelo se puede encontrar mediante la integración de la densidad sobre el radio, de 0 a .. 1{displaystyle xi _{1}}.

La presión se puede encontrar utilizando la ecuación politrópica del estado, P=K*** *** 1+1n{displaystyle P=Krho ^{1+{frac {1} {}}}}, es decir.

P=K*** *** c1+1nSilencio Silencio nn+1{displaystyle P=Krho ¿Qué? {1} {n}}theta _{n} {n+1}

Finalmente, si el gas es ideal, la ecuación del estado es P=kB*** *** T/μ μ {displaystyle P=k_{B}rho T/mu }, donde kB{displaystyle K_{B} es la constante de Boltzmann y μ μ {displaystyle mu } el peso molecular medio. El perfil de temperatura se da por

T=Kμ μ kB*** *** c1/nSilencio Silencio n{displaystyle T={frac {Kmu } {k_{B}rho ¿Qué? ¿Qué?

En casos esféricamente simétricos, la ecuación Lane-Emden es integradora sólo para tres valores del índice politrópico n{displaystyle n}.

Para n = 0

Si n=0{displaystyle n=0}, la ecuación se convierte

1.. 2dd.. ().. 2dSilencio Silencio d.. )+1=0{displaystyle {frac {1}{2}{frac {d}xi }left(xi ^{2}{frac {dtheta }{dxi }right)+1=0}

Reorganizar e integrar una vez da

.. 2dSilencio Silencio d.. =C1− − 13.. 3{displaystyle xi ^{2}{frac {dtheta. - Sí.

Dividir ambos lados por .. 2{displaystyle xi ^{2} e integración de nuevo da

Silencio Silencio ().. )=C0− − C1.. − − 16.. 2{displaystyle theta (xi)=C_{0}-{frac {C_{1}} {f} {f}}}xi ^{2}}} {f}} {f} {f}} {f}}} {f}}} {f}}} {f}}}}}}}}} {f}} {f}}}} {f} {f}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}} {m}}}}}}}}}}}} {m}}}}}}} {f}}} {f}}}}}}}}}}}}}}}} {f}}}}} {f}}} {f}}}} {f}}}} {f}}}} {f}}}} {f}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}} {

Las condiciones de los límites Silencio Silencio ()0)=1{displaystyle theta (0)=1} y Silencio Silencio .()0)=0{displaystyle theta '(0)=0} implica que las constantes de la integración son C0=1{displaystyle C_{0}=1} y C1=0{displaystyle C_{1}=0}. Por lo tanto,

Silencio Silencio ().. )=1− − 16.. 2{displaystyle theta (xi)=1-{frac {1}xi ^{2}}

Para n = 1

Cuando n=1{displaystyle n=1}, la ecuación se puede ampliar en la forma

d2Silencio Silencio d.. 2+2.. dSilencio Silencio d.. +Silencio Silencio =0{displaystyle {frac {fnK}theta {fnK} {f}} {fnK}} {f}} {fnfnMic {dtheta. ♪ ♪♪ =0}

Se supone una solución en serie de potencias:

Silencio Silencio ().. )=.. n=0JUEGO JUEGO an.. n{displaystyle theta (xi)=sum _{n=0}{infty }a_{n}xi ^{n}

Esto conduce a una relación recursiva para los coeficientes de expansión:

an+2=− − an()n+3)()n+2){displaystyle a_{n+2}=-{frac {a_{n}{(n+3)(n+2)}} {fn} {fn} {fn} {fn}} {fn}}}} {c}}}} {cH}}}}}}} {cH}}}} {cH}}} {ccH}}}}}}}}}}}}}} {c}}}}}}}}}}}}}}}}}}} {c}}}}}}}} {c}}}}}}} {c}}}}}} {c}}}}}}}}}}}}}} {c}}} {c}}}}} {c}}}}}}}}}}}}}}}}}} {c}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}} {

Esta relación se puede resolver llevando a la solución general:

Silencio Silencio ().. )=a0pecado⁡ ⁡ .. .. +a1#⁡ ⁡ .. .. {displaystyle theta (xi)=a_{0}{frac {sin xi }{xi ¿Qué? }

La condición límite para un politropo físico exige que Silencio Silencio ().. )→ → 1{displaystyle theta (xi)rightarrow 1} como .. → → 0{displaystyle xi rightarrow 0}. Esto requiere que a0=1,a1=0{displaystyle A_{0}=1,a_{1}=0}, lo que conduce a la solución:

Silencio Silencio ().. )=pecado⁡ ⁡ .. .. {displaystyle theta (xi)={frac {sin xi }{xi }

Para n = 5

Empezamos con la ecuación de Lane-Emden:

1.. 2dd.. ().. 2dSilencio Silencio d.. )+Silencio Silencio 5=0{displaystyle {frac {1}{2}{2}{frac {dxi }left(xi ^{2}{frac {dtheta }{dxi }right)+theta ^{5}=0}} {f}} {f}}}}f}f}f}f}f}f}f}f}f}f}f}f}f}f}f}f}f}f}f}}}f}f}f}f}}}f}f}f}f}f}f}f}f}f}f}f}}}}}}}f}f}f}f}}f}f}}f}fn}}fn}\fnh}}\\\\\\s00}}}}}

Reescritura para dSilencio Silencio d.. {displaystyle {frac {dtheta. } produce:

dSilencio Silencio d.. =12()1+.. 23)3/22.. 3=.. 33[1+.. 23]3/2{displaystyle {frac {dtheta. {fnK} {fnMicroc} {fnMicroc {xi ^{2}{3}}right)}{3/2}{frac {2xi {3}={3}{3}{3left[1+{frac {xi ^{2}}{3}}}right ♪♪

La diferenciación con respecto a ξ conduce a:

Silencio Silencio 5=.. 2[1+.. 23]3/2+3.. 29[1+.. 23]5/2=99[1+.. 23]5/2{displaystyle theta ^{5}={frac {xi ^{2}{left[1+{frac {xi ^{2}}}{3}}}}}}+{frac {3xi }{2}}{9}}{9}{2}}}{2}}}}}}}} {xi Bien. ♪♪ {5/2}={frac {9}{2}{3}}derecho ♪♪

Rebajadas, venimos por:

Silencio Silencio 5=1[1+.. 23]5/2{displaystyle theta ^{5}={frac {1}{left[1+{frac {xi ^{2}}{3}}}right ♪♪

Por lo tanto, la ecuación de Lane-Emden tiene la solución

Silencio Silencio ().. )=11+.. 2/3{displaystyle theta (xi)={frac {1}{2}}}

cuando n=5{displaystyle n=5}. Esta solución es finita en masa pero infinita en extensión radial, y por lo tanto el politropo completo no representa una solución física. Chandrasekhar creía durante mucho tiempo que encontrar otra solución para n=5{displaystyle n=5} "es complicado e implica integrales elípticos".

Srivastava 's solution

En 1962, Sambhunath Srivastava encontró una solución explícita cuando n=5{displaystyle n=5}. Su solución es dada por

Silencio Silencio =pecado⁡ ⁡ ()In⁡ ⁡ .. ).. [3− − 2pecado2⁡ ⁡ ()In⁡ ⁡ .. )],{fnnn {sqrt {xi }}{sqrt {sqrt {xi }}} {sqrt {xi }}} {c2sqrt {sqrt {xi }}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}

y de esta solución, una familia de soluciones Silencio Silencio ().. )→ → ASilencio Silencio ()A.. ){displaystyle theta (xi)rightarrow {sqrt {A}theta (Axi)} se puede obtener mediante la transformación de la homología. Puesto que esta solución no satisface las condiciones del origen (de hecho, es oscilante con amplitudes que crecen indefinidamente a medida que se acerca el origen), esta solución se puede utilizar en modelos estelares compuestos.

Soluciones analíticas

En aplicaciones, el papel principal juega soluciones analíticas que son expresibles por la serie de potencia convergente ampliada alrededor de algún punto inicial. Típicamente el punto de expansión es .. =0{displaystyle xi =0}, que es también un punto singular (singularidad fija) de la ecuación, y se proporcionan algunos datos iniciales Silencio Silencio ()0){displaystyle theta (0)} en el centro de la estrella. Uno puede probar que la ecuación tiene la serie de potencia convergente / solución analítica alrededor del origen de la forma

Silencio Silencio ().. )=Silencio Silencio ()0)− − Silencio Silencio ()0)n6.. 2+O().. 3),.. .. 0{displaystyle theta (xi)=theta (0)-{theta (0)^{n}{6}xi ^{2}+O(xi ^{3}),quad xi approx 0}

El radio de convergencia de esta serie se limita debido a la existencia de dos singularidades en el eje imaginario en el plano complejo. Estas singularidades se encuentran simétricamente con respecto al origen. Su posición cambia cuando cambiamos los parámetros de ecuación y la condición inicial Silencio Silencio ()0){displaystyle theta (0)}, y por lo tanto, se llaman singularidades móviles debido a la clasificación de las singularidades de las ecuaciones diferenciales ordinarias no lineales en el plano complejo por Paul Painlevé. Una estructura similar de singularidades aparece en otras ecuaciones no lineales que resultan de la reducción del operador Laplace en la simetría esférica, por ejemplo, la ecuación de la Esfera Isotérmica.

Las soluciones analíticas se pueden extender a lo largo de la línea real mediante un procedimiento de continuación analítico que da como resultado el perfil completo de los núcleos de estrellas o nubes moleculares. Dos soluciones analíticas con los círculos de convergencia superpuestos también se pueden combinar en la superposición con la solución de dominio más grande, que es un método comúnmente utilizado para la construcción de perfiles de propiedades requeridas.

La solución en serie también se usa en la integración numérica de la ecuación. Se utiliza para desplazar los datos iniciales para la solución analítica ligeramente lejos del origen, ya que en el origen fallan los métodos numéricos debido a la singularidad de la ecuación.

Soluciones numéricas

En general, las soluciones se encuentran por integración numérica. Muchos métodos estándar requieren que el problema se formule como un sistema de ecuaciones diferenciales ordinarias de primer orden. Por ejemplo,

dSilencio Silencio d.. =− − φ φ .. 2dφ φ d.. =Silencio Silencio n.. 2{displaystyle {begin{aligned} {dtheta}{dxi }=-{frac {varphi } {xi ^{2}}[6pt] distante {frac {dvarphi }{dxi }}=theta ^{n}xi ^{2}end{aligned}}}}}}}} {}}}} {}}}}} {Theta }}}}}}}} {Theta }}}}}}}}}}}}}}}}}}}Theta }}}}}

Aquí, φ φ ().. ){displaystyle varphi (xi)} se interpreta como la masa sin dimensiones, definida por m()r)=4π π α α 3*** *** cφ φ ().. ){displaystyle m(r)=4pialpha ^{3}rho _{c}varphi (xi)}. Las condiciones iniciales pertinentes son φ φ ()0)=0{displaystyle varphi (0)=0} y Silencio Silencio ()0)=1{displaystyle theta (0)=1}. La primera ecuación representa el equilibrio hidrostático y la segunda representa la conservación de masas.

Variables homólogas

Ecuación invariante de homología

Se sabe que si Silencio Silencio ().. ){displaystyle theta (xi)} es una solución de la ecuación Lane-Emden, entonces lo es C2/n+1Silencio Silencio ()C.. ){displaystyle C^{2/n+1}theta (Cxi)}. Soluciones relacionadas de esta manera se llaman homologous; el proceso que los transforma es homología. Si uno elige variables que son invariantes a la homología, entonces podemos reducir el orden de la ecuación Lane-Emden por una.

Existe una variedad de tales variables. Una elección adecuada es

U=dlog⁡ ⁡ mdlog⁡ ⁡ r=.. 3Silencio Silencio nφ φ {displaystyle U={frac {dlog m}{dlog [R]={frac {xi ^{3}theta }{n}{varphi }

y

V=dlog⁡ ⁡ Pdlog⁡ ⁡ r=()n+1)φ φ .. Silencio Silencio {displaystyle V={frac {dlog P}{dlog r}=(n+1){frac {varphi }{xi theta }

Podemos diferenciar los logaritmos de estas variables con respecto a .. {displaystyle xi }, que da

1UdUd.. =1.. ()3− − n()n+1)− − 1V− − U){displaystyle {frac}{frac} {f} {fnMicroc}} {f}} {f}}}} {fnK}}}} {fnK}} {fnK}}} {fnK}}}} {fnK}}}}}fnKf}}f}}}f}f}f}}f}}f}fnfnfnKfnfnKfnKfnKfnKfnKfnKfnKfnKfnKf}}}}}}}}}}}}}fnKfnKfnKfnKfnKfnKf}fnKfnKf}}}}fnKfnKfnKfnKfnKfnKf}}}}}}}}}}}} {dU}{dxi {fnMicroc {1} {3-n(n+1)}V-U)}

y

1VdVd.. =1.. ()− − 1− − U− − ()n+1)− − 1V){displaystyle {frac}{}{frac} {fnMicroc}} {fnMicroc} {fn}}} {fn}} {fnK}}}}} {fnMicroc} {fn}}}}}} {f}}}}}fnMicroc} {fnK} {fnMicroc} {xi }(-1-U-(n+1)^{-1}V)}.

Finalmente, podemos dividir estas dos ecuaciones para eliminar la dependencia de .. {displaystyle xi }, que sale

dVdU=− − VU()U+()n+1)− − 1V− − 1U+n()n+1)− − 1V− − 3){displaystyle {frac {f} {fnMicroc}= {fnfn} {fnfn1} {fnfn1} {fnfn}}}derecho)}

Esta es ahora una única ecuación de primer orden.

Topología de la ecuación invariante de homología

La ecuación invariante de homología se puede considerar como el par autónomo de ecuaciones

dUdlog⁡ ⁡ .. =− − U()U+n()n+1)− − 1V− − 3){displaystyle {frac {dU}{dlogxi }=-U(U+n(n+1)^{-1}V-3)}

y

dVdlog⁡ ⁡ .. =V()U+()n+1)− − 1V− − 1).{displaystyle {frac {dV}{dlogxi }=V(U+(n+1)^{-1}V-1). }

El comportamiento de las soluciones a estas ecuaciones puede determinarse mediante un análisis de estabilidad lineal. Los puntos críticos de la ecuación (donde dV/dlog⁡ ⁡ .. =dU/dlog⁡ ⁡ .. =0{displaystyle dV/dlog xi =dU/dlog xi =0}) y los eigenvalues y eigenvectores de la matriz Jacobian se tabulan abajo.

Punto críticoEigenvaluesEigenvectors()0,0)3,− − 1()1,0),()0,1)()3,0)− − 3,2()1,0),()− − 3n,5+5n)()0,n+1)1,3− − n()0,1),()2− − n,1+n)()n− − 3n− − 1,2n+1n− − 1)n− − 5± ± Δ Δ n2− − 2n()1− − n∓ ∓ Δ Δ n,4+4n){fnMicrosoft Sans Serif} {fnMicrosoft Sans Serif}}}} {fnMicrosoft Sans}}}} {fnMicrosoft Sans}}\nMicrosoft Sans Serif}nMicrosoft(0,5)}n0] {n-3}{n-1},2{dfrac {n+1}{n-1}right) {n-5pm Delta _{n}{2-2n} {1-nmp Delta _{n},4+4n)\\hline end{array}}}