Ecuación de Klein-Gordon

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Ecuación relativa de onda en mecánica cuántica

El Klein-Gordon ecuación ()Klein–Fock–Gordon ecuación o a veces Klein–Gordon–Ecuación alimentaria) es una ecuación de onda relativista, relacionada con la ecuación Schrödinger. Es segundo orden en el espacio y el tiempo y manifiestamente Lorentz-covariante. Es una versión cuantitativa de la relativista relación energía-momentum ${displaystyle E^{2}=(pc)^{2}+left(m_{0}c^{2}right)^{2},}$ . Sus soluciones incluyen un campo escalar cuántico o pseudoscalar, un campo cuyo quanta son partículas sin espina. Su relevancia teórica es similar a la de la ecuación Dirac. Las interacciones electromagnéticas pueden ser incorporadas, formando el tema de la electrodinámica escalar, pero debido a que las partículas comunes espinosas como las piones son inestables y también experimentan la interacción fuerte (con el término de interacción desconocido en el Hamiltonian) la utilidad práctica es limitada.

La ecuación se puede poner en forma de ecuación de Schrödinger. De esta forma se expresa como dos ecuaciones diferenciales acopladas, cada una de primer orden en el tiempo. Las soluciones tienen dos componentes, que reflejan el grado de libertad de la carga en relatividad. Admite una cantidad conservada, pero esta no es definida positiva. Por lo tanto, la función de onda no puede interpretarse como una amplitud de probabilidad. En cambio, la cantidad conservada se interpreta como carga eléctrica, y el cuadrado normal de la función de onda se interpreta como una densidad de carga. La ecuación describe todas las partículas sin espín con carga positiva, negativa y cero.

Cualquier solución de la ecuación libre de Dirac es, para cada uno de sus cuatro componentes, una solución de la ecuación libre de Klein-Gordon. La ecuación de Klein-Gordon no forma la base de una teoría relativista cuántica consistente de partícula única. No se conoce tal teoría para partículas de cualquier espín. Para la reconciliación completa de la mecánica cuántica con la relatividad especial, se necesita la teoría cuántica de campos, en la que la ecuación de Klein-Gordon vuelve a surgir como la ecuación obedecida por los componentes de todos los campos cuánticos libres. En la teoría cuántica de campos, las soluciones de las versiones libres (que no interactúan) de las ecuaciones originales siguen desempeñando un papel. Son necesarios para construir el espacio de Hilbert (espacio de Fock) y para expresar campos cuánticos mediante el uso de conjuntos completos (conjuntos de expansión del espacio de Hilbert) de funciones de onda.

Declaración

La ecuación Klein-Gordon se puede escribir de diferentes maneras. La ecuación en sí se refiere generalmente a la forma de espacio de posición, donde se puede escribir en términos de espacio separado y componentes de tiempo ${displaystyle (t,mathbf {x})}$ o al combinarlos en un 4-vector ${displaystyle x=(ct,mathbf {x})}$ . Mediante Fourier transformando el campo en espacio de impulso, la solución generalmente se escribe en términos de una superposición de ondas planas cuya energía e impulso obedecen a la relación de dispersión energética-momentum de la relatividad especial. Aquí se da la ecuación Klein-Gordon para ambas convenciones de firma métrica común ${displaystyle eta _{mu nu }={text{diag}}(pm 1,mp 1,mp 1,mp 1)}$ .

Klein-Gordon ecuación en unidades normales con firma métrica ${displaystyle eta _{mu nu }={text{diag}}(pm 1,mp 1,mp 1,mp 1)}$
	Posición de espacio ${displaystyle x=(ct,mathbf {x})}$	Transformación Fourier ${displaystyle omega =E/hbarquad mathbf {k} =mathbf {p} /hbar }$	Momentum space ${displaystyle p=(E/c,mathbf {p})}$
Separados tiempo y espacio	${displaystyle left({frac {1}{c^{2}}}{frac {partial ^{2}}{partial t^{2}}}-nabla ^{2}+{frac {m^{2}c^{2}}{hbar ^{2}}}right)psi (t,mathbf {x})=0}$	${displaystyle psi (t,mathbf {x})=int {frac {mathrm {d} omega }{2pi hbar }}int {frac {mathrm {d} ^{3}k}{(2pi hbar)^{3}}},e^{mp i(omega t-mathbf {k} cdot mathbf {x})}psi (omegamathbf {k})}$	${displaystyle E^{2}=mathbf {p} ^{2}c^{2}+m^{2}c^{4}}$
Forma de cuatro vehículos	${displaystyle (Box +mu ^{2})psi (x)=0,quad mu =mc/hbar }$	${displaystyle psi (x)=int {frac {mathrm {d} ^{4}p}{(2pi hbar)^{4}}}e^{-ipcdot x/hbar }psi (p)}$	${displaystyle p^{2}=pm m^{2}c^{2}}$

Aquí, ${displaystyle Box =pm eta ^{mu nu }partial _{mu }partial _{nu }}$ es el operador de onda y ${displaystyle nabla ^{2}}$ es el operador de Laplace. La velocidad de la luz $c$ y Planck constante $hbar$ son vistos a menudo para romper las ecuaciones, por lo que se expresan a menudo en unidades naturales donde ${displaystyle c=hbar =1}$ .

Klein-Gordon ecuación en unidades naturales con firma métrica ${displaystyle eta _{mu nu }={text{diag}}(pm 1,mp 1,mp 1,mp 1)}$
	Posición de espacio ${displaystyle x=(t,mathbf {x})}$	Transformación Fourier ${displaystyle omega =E,quad mathbf {k} =mathbf {p} }$	Momentum space ${displaystyle p=(E,mathbf {p})}$
Separados tiempo y espacio	${displaystyle left(partial _{t}^{2}-nabla ^{2}+m^{2}right)psi (t,mathbf {x})=0}$	${displaystyle psi (t,mathbf {x})=int {frac {mathrm {d} omega }{2pi }}int {frac {mathrm {d} ^{3}k}{(2pi)^{3}}}e^{mp i(omega t-mathbf {k} cdot mathbf {x})}psi (omegamathbf {k})}$	${displaystyle E^{2}=mathbf {p} ^{2}+m^{2}}$
Forma de cuatro vehículos	${displaystyle (Box +m^{2})psi (x)=0}$	${displaystyle psi (x)=int {frac {mathrm {d} ^{4}p}{(2pi)^{4}}}e^{-ipcdot x}psi (p)}$	${displaystyle p^{2}=pm m^{2}}$

A diferencia de la ecuación de Schrödinger, la ecuación de Klein-Gordon admite dos valores de $ω$ para cada $k$ : uno positivo y otro negativo. Solo separando las partes de frecuencia positiva y negativa se obtiene una ecuación que describe una función de onda relativista. Para el caso independiente del tiempo, la ecuación de Klein-Gordon se convierte en

{displaystyle left[nabla ^{2}-{frac {m^{2}c^{2}}{hbar ^{2}}}right]psi (mathbf {r})=0,}

que es formalmente lo mismo que la ecuación de Poisson filtrada homogénea.

Solución para partículas libres

Aquí, la ecuación Klein-Gordon en unidades naturales, ${displaystyle (Box +m^{2})psi (x)=0}$ , con la firma métrica ${displaystyle eta _{mu nu }={text{diag}}(+1,-1,-1,-1)}$ es resuelto por la transformación de Fourier. Inserción de la transformación Fourier

{displaystyle psi (x)=int {frac {mathrm {d} ^{4}p}{(2pi)^{4}}}e^{-ipcdot x}psi (p)}

{displaystyle p^{2}=(p^{0})^{2}-mathbf {p} ^{2}=m^{2}}

{displaystyle p^{0}=pm E(mathbf {p})quad {text{where}}quad E(mathbf {p})={sqrt {mathbf {p} ^{2}+m^{2}}}.}

C(p)

{displaystyle psi (x)=int {frac {mathrm {d} ^{4}p}{(2pi)^{4}}}e^{ipcdot x}C(p)delta ((p^{0})^{2}-E(mathbf {p})^{2}).}

p^0

{displaystyle {begin{aligned}psi (x)=&int {frac {mathrm {d} ^{4}p}{(2pi)^{4}}}delta ((p^{0})^{2}-E(mathbf {p})^{2})left(A(p)e^{-ip^{0}x^{0}+ip^{i}x^{i}}+B(p)e^{+ip^{0}x^{0}+ip^{i}x^{i}}right)theta (p^{0})\=&int {frac {mathrm {d} ^{4}p}{(2pi)^{4}}}delta ((p^{0})^{2}-E(mathbf {p})^{2})left(A(p)e^{-ip^{0}x^{0}+ip^{i}x^{i}}+B(-p)e^{+ip^{0}x^{0}-ip^{i}x^{i}}right)theta (p^{0})\rightarrow &int {frac {mathrm {d} ^{4}p}{(2pi)^{4}}}delta ((p^{0})^{2}-E(mathbf {p})^{2})left(A(p)e^{-ipcdot x}+B(p)e^{+ipcdot x}right)theta (p^{0})\end{aligned}}}

{displaystyle B(p)rightarrow B(-p)}

p^0

{displaystyle {begin{aligned}psi (x)&=int {frac {mathrm {d} ^{4}p}{(2pi)^{4}}}{frac {delta (p^{0}-E(mathbf {p}))}{2E(mathbf {p})}}left(A(p)e^{-ipcdot x}+B(p)e^{+ipcdot x}right)theta (p^{0})\&=int left.{frac {mathrm {d} ^{3}p}{(2pi)^{3}}}{frac {1}{2E(mathbf {p})}}left(A(mathbf {p})e^{-ipcdot x}+B(mathbf {p})e^{+ipcdot x}right)right|_{p^{0}=+E(mathbf {p})}.end{aligned}}}

Esto se toma comúnmente como una solución general a la ecuación Klein-Gordon. Note que porque la transformación inicial de Fourier contenía cantidades invariantes de Lorentz como ${displaystyle pcdot x=p_{mu }x^{mu }}$ Sólo, la última expresión es también una solución invariante de Lorentz a la ecuación Klein-Gordon. Si uno no requiere la invariancia de Lorentz, uno puede absorber el ${displaystyle 1/2E(mathbf {p})}$ -factor en los coeficientes $A(p)$ y $B(p)$ .

Historia

La ecuación lleva el nombre de los físicos Oskar Klein y Walter Gordon, quienes en 1926 propusieron que describiera electrones relativistas. Vladimir Fock también descubrió la ecuación de forma independiente en 1926, un poco después del trabajo de Klein, ya que el artículo de Klein se recibió el 28 de abril de 1926, el artículo de Fock se recibió el 30 de julio de 1926 y el artículo de Gordon's se recibió el 28 de abril de 1926. s artículo del 29 de septiembre de 1926. Otros autores que hacen afirmaciones similares en ese mismo año Johann Kudar, Théophile de Donder y Frans-H. van den Dungen y Louis de Broglie. Aunque resultó que modelar el espín del electrón requería la ecuación de Dirac, la ecuación de Klein-Gordon describe correctamente las partículas compuestas relativistas sin espín, como el pión. El 4 de julio de 2012, la Organización Europea para la Investigación Nuclear CERN anunció el descubrimiento del bosón de Higgs. Dado que el bosón de Higgs es una partícula de espín cero, es la primera partícula aparentemente elemental observada que se describe mediante la ecuación de Klein-Gordon. Se requiere más experimentación y análisis para discernir si el bosón de Higgs observado es el del modelo estándar o una forma más exótica, posiblemente compuesta.

La ecuación de Klein-Gordon fue considerada por primera vez como una ecuación de onda cuántica por Schrödinger en su búsqueda de una ecuación que describiera las ondas de De Broglie. La ecuación se encuentra en sus cuadernos de notas de finales de 1925, y parece haber preparado un manuscrito aplicándola al átomo de hidrógeno. Sin embargo, debido a que no tiene en cuenta el espín del electrón, la ecuación predice incorrectamente la estructura fina del átomo de hidrógeno, incluida la sobreestimación de la magnitud general del patrón de división por un factor de $4 n / 2 n - 1$ para el $n$ -ésimo nivel de energía. Sin embargo, el espectro relativista de la ecuación de Dirac se recupera fácilmente si el número cuántico de momento orbital $l$ se reemplaza por el cuanto de momento angular total número $j$ . En enero de 1926, Schrödinger presentó para su publicación su ecuación, una aproximación no relativista que predice los niveles de energía de Bohr del hidrógeno sin estructura fina.

En 1926, poco después de que se introdujera la ecuación de Schrödinger, Vladimir Fock escribió un artículo sobre su generalización para el caso de los campos magnéticos, donde las fuerzas dependían de la velocidad, y derivó esta ecuación de forma independiente. Tanto Klein como Fock utilizaron el método de Kaluza y Klein. Fock también determinó la teoría de calibre para la ecuación de onda. La ecuación de Klein-Gordon para una partícula libre tiene una solución de onda plana simple.

Derivación

La ecuación no relativista para la energía de una partícula libre es

{frac {mathbf {p} ^{2}}{2m}}=E.

Al cuantificar esto, obtenemos la ecuación de Schrödinger no relativista para una partícula libre:

{displaystyle {frac {mathbf {hat {p}} ^{2}}{2m}}psi ={hat {E}}psi}

dónde

{displaystyle mathbf {hat {p}} =-ihbar mathbf {nabla } }

es el operador de impulso (siendo $\nabla$ el operador del), y

{displaystyle {hat {E}}=ihbar {frac {partial }{partial t}}}

es el operador de energía.

La ecuación de Schrödinger adolece de no ser relativistamente invariante, lo que significa que es inconsistente con la relatividad especial.

Es natural tratar de usar la identidad de la relatividad especial que describe la energía:

{displaystyle {sqrt {mathbf {p} ^{2}c^{2}+m^{2}c^{4}}}=E.}

Entonces, simplemente insertando los operadores de la mecánica cuántica para el momento y la energía se obtiene la ecuación

{displaystyle {sqrt {(-ihbar mathbf {nabla })^{2}c^{2}+m^{2}c^{4}}},psi =ihbar {frac {partial }{partial t}}psi.}

La raíz cuadrada de un operador diferencial se puede definir con la ayuda de las transformaciones de Fourier, pero debido a la asimetría de las derivadas del espacio y el tiempo, a Dirac le resultó imposible incluir campos electromagnéticos externos de forma relativista invariante. Así que buscó otra ecuación que pudiera modificarse para describir la acción de las fuerzas electromagnéticas. Además, esta ecuación, tal como está, no es local (ver también Introducción a las ecuaciones no locales).

Klein y Gordon, en cambio, comenzaron con el cuadrado de la identidad anterior, es decir,

{displaystyle mathbf {p} ^{2}c^{2}+m^{2}c^{4}=E^{2},}

que, cuando se cuantifica, da

{displaystyle left((-ihbar mathbf {nabla })^{2}c^{2}+m^{2}c^{4}right)psi =left(ihbar {frac {partial }{partial t}}right)^{2}psi}

que se simplifica a

{displaystyle -hbar ^{2}c^{2}mathbf {nabla } ^{2}psi +m^{2}c^{4}psi =-hbar ^{2}{frac {partial ^{2}}{partial t^{2}}}psi.}

Reorganizar términos produce

{displaystyle {frac {1}{c^{2}}}{frac {partial ^{2}}{partial t^{2}}}psi -mathbf {nabla } ^{2}psi +{frac {m^{2}c^{2}}{hbar ^{2}}}psi =0.}

Dado que se eliminó toda referencia a números imaginarios de esta ecuación, se puede aplicar a campos que tienen valores reales, así como también a aquellos que tienen valores complejos.

Reescribiendo los primeros dos términos usando el inverso de la métrica de Minkowski $diag(- c 2, 1, 1, 1)$ , y escribiendo la convención de suma de Einstein explícitamente obtenemos

{displaystyle -eta ^{mu nu }partial _{mu },partial _{nu }psi equiv sum _{mu =0}^{3}sum _{nu =0}^{3}-eta ^{mu nu }partial _{mu },partial _{nu }psi ={frac {1}{c^{2}}}partial _{0}^{2}psi -sum _{nu =1}^{3}partial _{nu },partial _{nu }psi ={frac {1}{c^{2}}}{frac {partial ^{2}}{partial t^{2}}}psi -mathbf {nabla } ^{2}psi.}

Por lo tanto, la ecuación de Klein-Gordon se puede escribir en una notación covariante. Esto a menudo significa una abreviatura en forma de

(Box +mu ^{2})psi =0,

dónde

{displaystyle mu ={frac {mc}{hbar }},}

{displaystyle Box ={frac {1}{c^{2}}}{frac {partial ^{2}}{partial t^{2}}}-nabla ^{2}.}

Este operador se llama operador de onda.

Hoy en día, esta forma se interpreta como la ecuación de campo relativista para partículas de espín-0. Además, cualquier componente de cualquier solución de la ecuación libre de Dirac (para una partícula de espín 1/2) es automáticamente una solución de la ecuación libre de Klein-Gordon. Esto se generaliza a partículas de cualquier espín debido a las ecuaciones de Bargmann-Wigner. Además, en la teoría cuántica de campos, cada componente de cada campo cuántico debe satisfacer la ecuación libre de Klein-Gordon, lo que hace que la ecuación sea una expresión genérica de los campos cuánticos.

Ecuación de Klein-Gordon en un potencial

La ecuación Klein-Gordon se puede generalizar para describir un campo en algún potencial ${displaystyle V(psi)}$ como

{displaystyle Box psi +{frac {partial V}{partial psi }}=0.}

Entonces la ecuación Klein-Gordon es el caso ${displaystyle V(psi)=M^{2}{bar {psi }}psi }$ .

Otra opción común de potencial que surge en teorías de interacción es la $phi ^{4}$ potencial para un campo de escalar real $phi,$

{displaystyle V(phi)={frac {1}{2}}m^{2}phi ^{2}+lambda phi ^{4}.}

Sector de Higgs

El sector puro de Higgs boson del modelo Standard es modelado por un campo Klein-Gordon con un potencial, denotado $H$ para esta sección. El modelo estándar es una teoría de calibre y así mientras el campo se transforma trivialmente bajo el grupo Lorentz, se transforma como un $mathbb{C}^2$ - vector valorado bajo la acción del ${displaystyle {text{SU}}(2)}$ parte del grupo de calibre. Por lo tanto, mientras que es un campo vectorial ${displaystyle H:mathbb {R} ^{1,3}rightarrow mathbb {C} ^{2}}$ , todavía se conoce como un campo de escalar, como scalar describe su transformación (formalmente, representación) bajo el grupo Lorentz. Esto también se discute a continuación en la sección cromodinámica scalar.

El campo de Higgs está modelado por un potencial

{displaystyle V(H)=-m^{2}H^{dagger }H+lambda (H^{dagger }H)^{2}}

que se puede considerar como una generalización de la $phi ^{4}$ potencial, pero tiene una diferencia importante: tiene un círculo de minima. Esta observación es importante en la teoría de la ruptura espontánea de la simetría en el modelo estándar.

Corriente U(1) conservada

La ecuación Klein-Gordon (y acción) para un campo complejo $psi$ admite un ${displaystyle {text{U}}(1)}$ simetría. Es decir, bajo las transformaciones

{displaystyle psi (x)mapsto e^{itheta }psi (x),}

{displaystyle {bar {psi }}(x)mapsto e^{-itheta }{bar {psi }}(x),}

la ecuación Klein-Gordon es invariable, al igual que la acción (ver abajo). Por el teorema de Noether para campos, correspondiente a esta simetría hay una corriente $J^{mu }$ definidas

{displaystyle J^{mu }(x)={frac {e}{2m}}left(,{bar {psi }}(x)partial ^{mu }psi (x)-psi (x)partial ^{mu }{bar {psi }}(x),right).}

que satisface la ecuación de conservación ${displaystyle partial _{mu }J^{mu }(x)=0.}$ La forma de la corriente conservada puede derivarse sistemáticamente aplicando el teorema de Noether al ${displaystyle {text{U}}(1)}$ simetría. No lo haremos aquí, sino simplemente verificar que esta corriente se conserva.

De la ecuación Klein-Gordon para un campo complejo $psi (x)$ de masa $M$ , escrito en notación covariante y principalmente más firma,

{displaystyle (square +m^{2})psi (x)=0}

y su complejo conjugado

{displaystyle (square +m^{2}){bar {psi }}(x)=0.}

Multiplying by the left respectively by ${displaystyle {bar {psi }}(x)}$ y $psi (x)$ (y omitiendo por brevedad la explícita $x$ dependencia)

{displaystyle {bar {psi }}(square +m^{2})psi =0,}

{displaystyle psi (square +m^{2}){bar {psi }}=0.}

Restando la primera de la segunda, obtenemos

{displaystyle {bar {psi }}square psi -psi square {bar {psi }}=0,}

o en notación de índice,

{displaystyle {bar {psi }}partial _{mu }partial ^{mu }psi -psi partial _{mu }partial ^{mu }{bar {psi }}=0.}

Aplicar esto al derivado de la corriente ${displaystyle J^{mu }(x)equiv psi ^{*}(x)partial ^{mu }psi (x)-psi (x)partial ^{mu }psi ^{*}(x),}$ uno encuentra

{displaystyle partial _{mu }J^{mu }(x)=0.}

Esto ${displaystyle {text{U}}(1)}$ la simetría es una simetría global, pero también se puede medir para crear una simetría local o de calibre: ver abajo escalar QED. El nombre de la simetría de calibre es algo engañoso: es realmente una redundancia, mientras que la simetría global es una simetría genuina.

Formulación lagrangiana

La ecuación de Klein-Gordon también se puede derivar mediante un método variacional, que surge como la ecuación de Euler-Lagrange de la acción

{displaystyle {mathcal {S}}=int left(-hbar ^{2}eta ^{mu nu }partial _{mu }{bar {psi }},partial _{nu }psi -M^{2}c^{2}{bar {psi }}psi right)mathrm {d} ^{4}x,}

En unidades naturales, con firma mayormente menos, las acciones toman la forma simple

Klein-Gordon acción para un campo de escalar real

${displaystyle S=int d^{4}xleft({frac {1}{2}}partial ^{mu }phi partial _{mu }phi -{frac {1}{2}}m^{2}phi ^{2}right)}$

para un verdadero campo de escalar de masa $m$ , y

Klein-Gordon acción para un campo de escalar complejo

${displaystyle S=int d^{4}xleft(partial ^{mu }psi partial _{mu }{bar {psi }}-M^{2}psi {bar {psi }}right)}$

para un campo de escalar complejo de masa $M$ .

Aplicando la fórmula del tensor de tensión-energía a la densidad lagrangiana (la cantidad dentro de la integral), podemos derivar el tensor de tensión-energía del campo escalar. Es

{displaystyle T^{mu nu }=hbar ^{2}left(eta ^{mu alpha }eta ^{nu beta }+eta ^{mu beta }eta ^{nu alpha }-eta ^{mu nu }eta ^{alpha beta }right)partial _{alpha }{bar {psi }},partial _{beta }psi -eta ^{mu nu }M^{2}c^{2}{bar {psi }}psi.}

y en unidades naturales,

{displaystyle T^{mu nu }=2partial ^{mu }{bar {psi }}partial ^{nu }psi -eta ^{mu nu }(partial ^{rho }{bar {psi }}partial _{rho }psi -M^{2}{bar {psi }}psi)}

Mediante la integración del componente tiempo-tiempo $T 00$ en todo el espacio, se puede demostrar que tanto el componente positivo - y las soluciones de ondas planas de frecuencia negativa se pueden asociar físicamente con partículas con energía positiva. Este no es el caso de la ecuación de Dirac y su tensor de energía-momento.

El tensor de energía de estrés es el conjunto de corrientes conservadas correspondientes a la invariancia de la ecuación Klein-Gordon bajo traducciones espacio-tiempo ${displaystyle x^{mu }mapsto x^{mu }+c^{mu }}$ . Por lo tanto, cada componente se conserva, es decir, ${displaystyle partial _{mu }T^{mu nu }=0}$ (Esto sólo tiene on-shell, es decir, cuando las ecuaciones Klein-Gordon están satisfechas). De ahí que la parte integral de ${displaystyle T^{0nu }}$ sobre el espacio es una cantidad conservada para cada $nu$ . Estos tienen la interpretación física de la energía total para $nu =0$ y el impulso total ${displaystyle nu =i}$ con ${displaystyle iin {1,2,3}}$ .

Límite no relativista

Campo clásico

Tomando el límite no relativista ( $v ≪ c$ ) de un campo clásico de Klein-Gordon $ψ (x, t)$ comienza con el ansatz que factoriza el término de energía de la masa oscilatoria en reposo,

{displaystyle psi (mathbb {x}t)=phi (mathbb {x}t),e^{-{frac {i}{hbar }}mc^{2}t}quad {textrm {where}}quad phi (mathbb {x}t)=u_{E}(x)e^{-{frac {i}{hbar }}E't}.}

Definir la energía cinética ${displaystyle E'=E-mc^{2}={sqrt {m^{2}c^{4}+c^{2}p^{2}}}-mc^{2}approx {frac {p^{2}}{2m}}}$ , ${displaystyle E'll mc^{2}}$ en el límite no relativista ${displaystyle v=p/mll c}$ , y por lo tanto

{displaystyle ihbar {frac {partial phi }{partial t}}=E'phi ll mc^{2}phi quad {textrm {and}}quad (ihbar)^{2}{frac {partial ^{2}phi }{partial t^{2}}}=(E')^{2}phi ll (mc^{2})^{2}phi.}

Aplicar esto produce el límite no relativista de la segunda vez derivada de $psi$ ,

{displaystyle {frac {partial psi }{partial t}}=left(-i{frac {mc^{2}}{hbar }}phi +{frac {partial phi }{partial t}}right),e^{-{frac {i}{hbar }}mc^{2}t}approx -i{frac {mc^{2}}{hbar }}phi ,e^{-{frac {i}{hbar }}mc^{2}t}}

{displaystyle {frac {partial ^{2}psi }{partial t^{2}}}=-left(i{frac {2mc^{2}}{hbar }}{frac {partial phi }{partial t}}+left({frac {mc^{2}}{hbar }}right)^{2}phi -{frac {partial ^{2}phi }{partial t^{2}}}right)e^{-{frac {i}{hbar }}mc^{2}t}approx -left(i{frac {2mc^{2}}{hbar }}{frac {partial phi }{partial t}}+left({frac {mc^{2}}{hbar }}right)^{2}phi right)e^{-{frac {i}{hbar }}mc^{2}t}}

Sustituir en la ecuación libre Klein-Gordon, ${displaystyle c^{-2}partial _{t}^{2}psi =nabla ^{2}psi -m^{2}psi }$ , rendimientos

{displaystyle -{frac {1}{c^{2}}}left(i{frac {2mc^{2}}{hbar }}{frac {partial phi }{partial t}}+left({frac {mc^{2}}{hbar }}right)^{2}phi right)e^{-{frac {i}{hbar }}mc^{2}t}approx left(nabla ^{2}-left({frac {mc}{hbar }}right)^{2}right)phi ,e^{-{frac {i}{hbar }}mc^{2}t}}

que (al dividir el exponencial y restar el término de masa) se simplifica a

{displaystyle ihbar {frac {partial phi }{partial t}}=-{frac {hbar ^{2}}{2m}}nabla ^{2}phi.}

Este es un campo de Schrödinger clásico.

Campo cuántico

El límite análogo de un campo cuántico de Klein-Gordon se complica por la no conmutatividad del operador de campo. En el límite $v ≪ c$ , los operadores de creación y aniquilación se desacoplan y se comportan como campos cuánticos de Schrödinger independientes.

Electrodinámica escalar

Hay una manera de hacer el complejo campo Klein-Gordon $psi$ interactuar con el electromagnetismo de una manera invariante. Podemos sustituir el derivado (partial) por el derivado del medidor-covariante. Bajo un local ${displaystyle {text{U}}(1)}$ transformación de calibre, los campos se transforman como

{displaystyle psi mapsto psi '=e^{itheta (x)}psi}

{displaystyle {bar {psi }}mapsto {bar {psi }}'=e^{-itheta (x)}{bar {psi }},}

Donde ${displaystyle theta (x)=theta (t,{textbf {x}})}$ es una función de tiempo espacial, lo que lo convierte en una transformación local, en lugar de una constante durante todo el espacio, que sería un mundo ${displaystyle {text{U}}(1)}$ transformación. Un punto sutil es que las transformaciones globales pueden surgir como locales, cuando la función $theta (x)$ se toma para ser una función constante.

Una teoría bien formada debe ser invariante bajo tales transformaciones. Precisamente, esto significa que las ecuaciones de movimiento y acción (ver abajo) son invariantes. Para lograr esto, derivados corrientes $partial _{mu }$ debe ser reemplazado por derivados de calibre-covariantes $D_{mu }$ , definido como

{displaystyle D_{mu }psi =(partial _{mu }-ieA_{mu })psi }

{displaystyle D_{mu }{bar {psi }}=(partial _{mu }+ieA_{mu }){bar {psi }}}

donde el campo de 4 Potenciales o medidores $A_{mu }$ transforma bajo una transformación de calibre $theta$ como

{displaystyle A_{mu }mapsto A'_{mu }=A_{mu }+{frac {1}{e}}partial _{mu }theta }

Con estas definiciones, la derivada covariante se transforma como

{displaystyle D_{mu }psi mapsto e^{itheta }D_{mu }psi }

En unidades naturales, la ecuación de Klein-Gordon, por lo tanto, se convierte en

{displaystyle D_{mu }D^{mu }psi -M^{2}psi =0.}

Desde sin aumentar ${displaystyle {text{U}}(1)}$ la simetría sólo está presente en la compleja teoría Klein-Gordon, este acoplamiento y promoción a una gauged ${displaystyle {text{U}}(1)}$ la simetría es compatible sólo con la teoría compleja Klein-Gordon y no la teoría real Klein-Gordon.

En unidades naturales y en su mayoría firma menos, tenemos

Scalar QED action

${displaystyle S=int d^{4}x,-{frac {1}{4}}F^{mu nu }F_{mu nu }+D^{mu }psi D_{mu }{bar {psi }}-M^{2}psi {bar {psi }}}$

Donde ${displaystyle F_{mu nu }=partial _{mu }A_{nu }-partial _{nu }A_{mu }}$ se conoce como el tensor Maxwell, fuerza de campo o curvatura dependiendo del punto de vista.

Esta teoría a menudo se conoce como electrodinámica cuántica escalar o QED escalar, aunque todos los aspectos que hemos discutido aquí son clásicos.

Cromodinámica escalar

Es posible extender esto a una teoría de calibre no abeliana con un grupo de calibre $G$ , donde acoplamos la acción de Klein-Gordon a un Yang-Mills Lagrangian. Aquí, el campo es en realidad valorado por vectores, pero todavía se describe como un campo escalar: el escalar describe su transformación bajo transformaciones espacio-tiempo, pero no su transformación bajo la acción del grupo medidor.

Para el hormigón arreglamos $G$ para ser ${displaystyle {text{SU}}(N)}$ , el grupo unitario especial para algunos $N geq 2$ . Bajo una transformación de calibre $U(x)$ , que se puede describir como una función ${displaystyle U:mathbb {R} ^{1,3}rightarrow {text{SU}}(N),}$ el campo de escalar $psi$ transforma como un ${mathbb {C}}^{N}$ vector

{displaystyle psi (x)mapsto U(x)psi (x)}

{displaystyle psi ^{dagger }(x)mapsto psi ^{dagger }(x)U^{dagger }(x)}

La derivada covariante es

{displaystyle D_{mu }psi =partial _{mu }psi -igA_{mu }psi }

{displaystyle D_{mu }psi ^{dagger }=partial _{mu }psi ^{dagger }+igpsi ^{dagger }A_{mu }^{dagger }}

donde el campo de calibre o la conexión se transforma como

{displaystyle A_{mu }mapsto UA_{mu }U^{-1}-{frac {i}{g}}partial _{mu }UU^{-1}.}

Este campo se puede ver como un campo valorado de matriz que actúa en el espacio vectorial ${mathbb {C}}^{N}$ .

Finalmente definiendo la fuerza o curvatura del campo cromomagnético,

{displaystyle F_{mu nu }=partial _{mu }A_{nu }-partial _{nu }A_{mu }+g(A_{mu }A_{nu }-A_{nu }A_{mu }),}

podemos definir la acción.

Scalar QCD action

${displaystyle S=int d^{4}x,-{frac {1}{4}}{text{Tr}}(F^{mu nu }F_{mu nu })+D^{mu }psi ^{dagger }D_{mu }psi -M^{2}psi ^{dagger }psi }$

Klein-Gordon sobre el espacio-tiempo curvo

En la relatividad general, incluimos el efecto de la gravedad al reemplazar las derivadas parciales con derivadas covariantes, y la ecuación de Klein-Gordon se convierte (en la firma mayoritariamente positiva)

{displaystyle {begin{aligned}0&=-g^{mu nu }nabla _{mu }nabla _{nu }psi +{dfrac {m^{2}c^{2}}{hbar ^{2}}}psi =-g^{mu nu }nabla _{mu }(partial _{nu }psi)+{dfrac {m^{2}c^{2}}{hbar ^{2}}}psi \&=-g^{mu nu }partial _{mu }partial _{nu }psi +g^{mu nu }Gamma ^{sigma }{}_{mu nu }partial _{sigma }psi +{dfrac {m^{2}c^{2}}{hbar ^{2}}}psiend{aligned}}}

o equivalentemente,

{displaystyle {frac {-1}{sqrt {-g}}}partial _{mu }left(g^{mu nu }{sqrt {-g}}partial _{nu }psi right)+{frac {m^{2}c^{2}}{hbar ^{2}}}psi =0,}

donde $g αβ$ es el inverso del tensor métrico que es el campo potencial gravitacional, g es el determinante del tensor métrico, $\nabla μ$ es la derivada covariante y $Γ σ μν$ es el símbolo de Christoffel que es el campo de fuerza gravitacional.

Con unidades naturales esto se convierte en

Klein–Gordon ecuación en el espacio curvado para un campo de escalar real

${displaystyle nabla ^{a}nabla _{a}Phi -m^{2}Phi =0}$

Esto también admite una formulación de acción en un múltiple espacio (Lorentzian) $M$ . Usando notación de índice abstracto y en principalmente más firma

Klein-Gordon acción en tiempo de espacio curvado para un campo de escalar real

${displaystyle S=int _{M}d^{4}x,{sqrt {-g}}left(-{frac {1}{2}}g^{ab}nabla _{a}Phi nabla _{b}Phi -{frac {1}{2}}m^{2}Phi ^{2}right)}$

Klein-Gordon acción en tiempo de espacio curvado para un campo de escalar complejo

${displaystyle S=int _{M}d^{4}x,{sqrt {-g}}left(-g^{ab}nabla _{a}Psi nabla _{b}{bar {Psi }}-M^{2}Psi {bar {Psi }}right)}$

Observaciones

^ Steven Weinberg hace un punto sobre esto. Deja fuera el tratamiento de los mecánicos de ondas relativistas en su introducción de otra manera completa a las aplicaciones modernas de la mecánica cuántica, explicando: "Me parece que la forma en que esto se presenta generalmente en libros sobre mecánica cuántica es profundamente engañosa." (Desde el prefacio en Conferencias sobre Mecánica Cuántica, refiriéndose a tratamientos de la ecuación Dirac en su sabor original.)
Otros, como lo hace Walter Greiner en su serie sobre física teórica, dan cuenta completa del desarrollo histórico y la visión de la mecánica cuántica relativista antes de llegar a la interpretación moderna, con la racionalidad de que es altamente deseable o incluso necesario desde un punto de vista pedagógico para tomar la larga ruta.

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