Ecuación de Hamilton-Jacobi

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En física, la ecuación de Hamilton-Jacobi, llamada así por William Rowan Hamilton y Carl Gustav Jacob Jacobi, es una formulación alternativa de la mecánica clásica, equivalente a otras formulaciones como las leyes del movimiento de Newton, la mecánica lagrangiana y la mecánica hamiltoniana. La ecuación de Hamilton-Jacobi es particularmente útil para identificar cantidades conservadas para sistemas mecánicos, lo que puede ser posible incluso cuando el problema mecánico en sí no se puede resolver por completo.

La ecuación de Hamilton-Jacobi es también la única formulación de la mecánica en la que el movimiento de una partícula se puede representar como una onda. En este sentido, cumplió un objetivo de larga data de la física teórica (que data al menos de Johann Bernoulli en el siglo XVIII) de encontrar una analogía entre la propagación de la luz y el movimiento de una partícula. La ecuación de onda seguida por los sistemas mecánicos es similar, pero no idéntica, a la ecuación de Schrödinger, como se describe a continuación; por esta razón, la ecuación de Hamilton-Jacobi se considera el "enfoque más cercano" de la mecánica clásica a la mecánica cuántica.

En matemáticas, la ecuación de Hamilton-Jacobi es una condición necesaria que describe la geometría extrema en generalizaciones de problemas del cálculo de variaciones. Puede entenderse como un caso especial de la ecuación de Hamilton-Jacobi-Bellman de programación dinámica.

Notación

Variables en negrita como $mathbf {q}$ representan una lista de $norte$ coordenadas generalizadas, ${displaystyle mathbf {q} =(q_{1},q_{2},ldots,q_{N-1},q_{N})}$

Un punto sobre una variable o lista significa la derivada del tiempo (vea la notación de Newton). Por ejemplo, ${displaystyle {dot {mathbf {q} }}={frac {dmathbf {q} }{dt}}.}$

La notación de producto punto entre dos listas del mismo número de coordenadas es una forma abreviada de la suma de los productos de los componentes correspondientes, como ${displaystylemathbf{p}cdotmathbf{q}=sum_{k=1}^{N}p_{k}q_{k}.}$

La función principal de Hamilton

Definición

Sea la matriz hessiana ${textstyle H_{cal {L}}(mathbf {q},mathbf {dot {q}},t)=left{parcial ^{2}{cal {L}}/ parcial {dot {q}}^{i}parcial {dot {q}}^{j}right}_{ij}}$ invertible. La relación ${displaystyle {frac {d}{dt}}{frac {parcial {cal {L}}}{parcial {dot {q}}^{i}}}=sum _{j= 1}^{n}left({frac {parcial ^{2}{cal {L}}}{parcial {dot {q}}^{i}parcial {dot {q}} ^{j}}}{ddot {q}}^{j}+{frac {parcial ^{2}{cal {L}}}{parcial {dot {q}}^{i} parcial {q}^{j}}}{punto {q}}^{j}right)+{frac {parcial ^{2}{cal {L}}}{parcial {punto {q}}^{i}t parcial}},qquad i=1,ldots,n,}$

muestra que las ecuaciones de Euler-Lagrange forman un $nveces n$ sistema de ecuaciones diferenciales ordinarias de segundo orden. La inversión de la matriz ${displaystyle H_{cal{L}}}$ transforma este sistema en ${displaystyle {ddot {q}}^{i}=F_{i}(mathbf {q},mathbf {dot {q}},t), i=1,ldots,n.}$

Sea fijo un instante de tiempo $t_{0}$ y un punto ${ estilo de visualización mathbf {q} _ {0} en M}$ en el espacio de configuración. Los teoremas de existencia y unicidad garantizan que, para todo problema de ${ estilo de visualización mathbf {v} _ {0},}$ valor inicial con las condiciones ${displaystyle gamma |_{tau =t_{0}}=mathbf {q} _{0}}$ y ${displayStyle{dot{gamma}}|_{tau=t_{0}}=mathbf{v}_{0}}$ tiene una solución localmente única. any y any puede haber como máximo un extremo para el cual y Sustituyendo en el funcional de acción da como resultado la función principal de Hamilton (HPF) ${displaystylegamma =gamma(tau;t_{0},mathbf{q}_{0},mathbf{v}_{0}).}$ ${ estilo de visualización (t_{0},t_{1})}$ $mathbf {v} _{0}$ ${displaystyle Mveces (t_{0},t_{1}).}$ ${ estilo de visualización mathbf {q} en M}$ ${displaystyle tin (t_{0},t_{1}),}$ ${displaystylegamma =gamma(tau;t,t_{0},mathbf{q},mathbf{q}_{0})}$ ${displaystyle gamma |_{tau =t_{0}}=mathbf {q} _{0}}$ ${displaystyle gamma |_{tau =t}=mathbf {q}.}$ ${displaystylegamma =gamma(tau;t,t_{0},mathbf{q},mathbf{q}_{0})}$

{displayStyle S(mathbf{q},t;mathbf{q}_{0},t_{0}){stackrel{text{def}}{=}}int _{t_{0 }}^{t}{mathcal {L}}(gamma(tau;cdot),{dot {gamma}}(tau;cdot),tau),dtau,}

dónde

${displaystylegamma =gamma(tau;t,t_{0},mathbf{q},mathbf{q}_{0}),}$
${displaystyle gamma |_{tau =t_{0}}=mathbf {q} _{0},}$
${displaystyle gamma |_{tau =t}=mathbf {q}.}$

Fórmula para los momentos: p _i (q, t) = ∂S / ∂q

Los momentos se definen como las cantidades ${textstyle p_{i}(mathbf {q},mathbf {dot {q}},t)=parcial {cal {L}}/parcial {dot {q}}^{i}.}$ Esta sección muestra que la dependencia de $Pi}$ desaparece ${mathbf{{punto q}}}$ una vez que se conoce el HPF.

En efecto, sean fijos un instante de tiempo $t_{0}$ y un punto ${ estilo de visualización mathbf {q} _ {0}}$ en el espacio de configuración. Para cada instante de tiempo $t$ y un punto ${ estilo de visualización mathbf {q},}$ , sea ${displaystylegamma =gamma(tau;t,t_{0},mathbf{q},mathbf{q}_{0})}$ el (único) extremo de la definición de la función principal de Hamilton. $S.$ Llame ${displaystylemathbf{v},{stackrel{text{def}}{=}},{dot{gamma}}(tau;t,t_{0},mathbf{q},mathbf{q}_{0})|_{tau=t}}$ a la velocidad en ${ estilo de visualización tau = t}$ . Después

{displaystyle {frac {S parcial}{parcial q^{i}}}=left.{frac {parcial {cal {L}}}{parcial {dot {q}}^ {i}}}right|_{mathbf {dot {q}} =mathbf {v} }!!!!!!!,quad i=1,ldots, norte.}

Prueba

Si bien la prueba a continuación asume que el espacio de configuración es un subconjunto abierto de ${ estilo de visualización mathbb {R} ^ {n},}$ la técnica subyacente, se aplica igualmente a espacios arbitrarios. En el contexto de esta prueba, la letra caligráfica ${ estilo de visualización { cal {S}}}$ denota la acción funcional y la cursiva $S$ la función principal de Hamilton.

Paso 1. Sea ${ estilo de visualización xi = xi (t)}$ un camino en el espacio de configuración y ${ estilo de visualización delta xi = delta xi (t)}$ un campo vectorial a lo largo de $xi$ . (Para cada uno $yo,$ el vector ${ estilo de visualización delta xi (t)}$ se llama perturbación, variación infinitesimal o desplazamiento virtual del sistema mecánico en el punto $xi(t)$ ). Recuerde que la variación ${displaystyle delta {cal {S}}_{delta xi }[gamma,t_{1},t_{0}]}$ de la acción ${ estilo de visualización { cal {S}}}$ en el punto $xi$ de la dirección ${ estilo de visualización delta xi}$ está dada por la fórmula

{displaystyle delta {cal {S}}_{delta xi }[xi,t_{1},t_{0}]=int _{t_{0}}^{t_{1}} left({frac {parcial {cal {L}}}{parcial mathbf {q} }}-{frac {d}{dt}}{frac {parcial {cal {L} }}{parcial mathbf {dot {q}} }}right)delta xi ,dt+{frac {parcial {cal {L}}}{parcial mathbf {dot {q }} }},delta xi {Biggl |}_{t_{0}}^{t_{1}},}

donde se debe sustituir

${ estilo de visualización q^{i}=xi^{i}(t)}$ y

${displaystyle {punto {q}}^{i}={punto {xi}}^{i}(t)}$ luego de calcular las derivadas parciales del lado derecho. (Esta fórmula se deriva de la definición de derivado de Gateaux mediante integración por partes).

Supongamos que $xi$ es un extremal. Dado que $xi$ ahora satisface las ecuaciones de Euler-Lagrange, el término integral desaparece. Si se fija $xi$ el punto de partida ${ estilo de visualización mathbf {q} _ {0}}$ de, entonces, por la misma lógica que se usó para derivar las ecuaciones de Euler-Lagrange, por ${ estilo de visualización delta xi (t_ {0}) = 0.}$ lo tanto,

{displaystyle delta {cal {S}}_{delta xi }[xi,t;t_{0}]=left.{frac {partial {cal {L}}}{partial mathbf {dot {q}} }}right|_{mathbf {dot {q}} ={dot {xi }}(t)}^{mathbf {q} =xi (t)},delta xi (t).}

Paso 2. Sea ${displaystylegamma=gamma(tau;mathbf{q},mathbf{q}_{0},t,t_{0})}$ el extremo (único) de la definición de HPF, ${ estilo de visualización delta gamma = delta gamma ( tau)}$ un campo vectorial a lo largo $gama,$ y ${displaystyle gamma_{varepsilon}=gamma_{varepsilon}(tau;mathbf {q}_{varepsilon},mathbf {q}_{0},t,t_{0}) }$ una variación de $gama$ "compatible" con ${ estilo de visualización delta gamma.}$ En términos precisos, ${ estilo de visualización gamma _ { varepsilon} | _ { varepsilon = 0} = gamma,}$ ${displaystyle {dot {gamma }}_{varepsilon}|_{varepsilon =0}=delta gamma,}$ ${displaystyle gamma _{varepsilon}|_{tau =t_{0}}=gamma |_{tau =t_{0}}=mathbf {q}_{0}.}$

Por definición de HPF y derivado de Gateaux,

{displaystyle delta {cal {S}}_{delta gamma }[gamma,t]{overset {text{def}}{{}={}}}left.{frac { d{cal {S}}[gamma _{varepsilon },t]}{dvarepsilon }}right|_{varepsilon =0}=left.{frac {dS(gamma_{ varepsilon }(t),t)}{dvarepsilon }}right|_{varepsilon =0}={frac {S parcial}{mathbf {q parcial} }},delta gama (t).}

Aquí, tuvimos en cuenta eso ${displaystyle mathbf {q} =gamma (t;mathbf {q},mathbf {q} _{0},t,t_{0})}$ y descartamos $t_{0}$ la compacidad.

Paso 3. Ahora sustituimos ${ estilo de visualización xi = gamma}$ y ${ estilo de visualización delta xi = delta gamma}$ en la expresión ${displaystyle delta {cal {S}}_{delta xi }[xi,t;t_{0}]}$ del Paso 1 y comparamos el resultado con la fórmula derivada en el Paso 2. El hecho de que ${displaystyle t>t_{0},}$ el campo vectorial ${ estilo de visualización delta gamma}$ se haya elegido arbitrariamente completa la prueba.

Formulación matemática

Dado el hamiltoniano ${displaystyle H(mathbf {q},mathbf {p},t)}$ de un sistema mecánico, la ecuación de Hamilton-Jacobi es una ecuación diferencial parcial no lineal de primer orden para la función principal de Hamilton $S$ ,

{displaystyle -{frac {S parcial}{t parcial}}=Hleft(mathbf {q},{frac {S parcial}{\mathbf parcial {q} }},t Correcto).}

Derivación

Para un extremo ${ estilo de visualización xi = xi (t; t_{0}, mathbf {q} _ {0}, mathbf {v} _ {0}),}$ donde ${displaystyle mathbf {v} _{0}={dot {xi }}|_{t=t_{0}}}$ es la velocidad inicial (ver discusión anterior a la definición de HPF),

{displaystyle {cal {L}}(xi (t),{dot {xi }}(t),t)={frac {dS(xi (t),t)}{dt} }=left[{frac {S parcial}{\mathbf parcial {q} }}mathbf {dot {q}} +{frac {S parcial}{t parcial}}right] _{mathbf {dot {q}} ={dot {xi }}(t)}^{mathbf {q} =xi (t)}.}

A partir de la fórmula ${displaystyle p_{i}=p_{i}(mathbf {q},t)}$ y la definición basada en coordenadas del hamiltoniano

{displaystyle H(mathbf {q},mathbf {p},t)=mathbf {p} mathbf {dot {q}} -{cal {L}}(mathbf {q}, matemáticasbf { punto {q}}, t),}

con

${displaystyle mathbf {dot {q}} (mathbf {p},mathbf {q},t)}$ la satisfacción de la (únicamente solucionable para la

${displaystyle mathbf {dot {q}})}$ ecuación

${textstyle mathbf {p} ={frac {parcial {cal {L}}(mathbf {q},mathbf {dot {q}},t)}{parcial mathbf {dot {q}} }},}$ obtener

{displaystyle {frac {S parcial}{t parcial}}={cal {L}}(mathbf {q},mathbf {dot {q}},t)-{frac { parcial S}{mathbf {parcial q} }}mathbf {dot {q}} =-Hleft(mathbf {q},{frac {parcial S}{parcial mathbf {q} }},tderecha),}

donde

${ estilo de visualización mathbf {q} = xi (t)}$ y

${displaystyle mathbf {dot {q}} ={dot {xi }}(t).}$

Alternativamente, como se describe a continuación, la ecuación de Hamilton-Jacobi se puede derivar de la mecánica hamiltoniana al tratarla $S$ como la función generadora para una transformación canónica del hamiltoniano clásico ${displaystyle H=H(q_{1},q_{2},ldots,q_{N};p_{1},p_{2},ldots,p_{N};t).}$

Los momentos conjugados corresponden a las primeras derivadas de $S$ con respecto a las coordenadas generalizadas $p_k = frac{S parcial}{q_k parcial}.$

Como solución a la ecuación de Hamilton-Jacobi, la función principal contiene $N+1$ constantes indeterminadas, la primera $norte$ de ellas denotada como ${ estilo de visualización alfa _ {1}, , alfa _ {2}, puntos, alfa _ {N}}$ , y la última proveniente de la integración de ${displaystyle {frac {S parcial}{t parcial}}}$ .

La relación entre $matemáticas {p}$ y $mathbf {q}$ luego describe la órbita en el espacio de fase en términos de estas constantes de movimiento. Además, las cantidades ${displaystyle beta _{k}={frac {parcial S}{parcial alpha _{k}}},quad k=1,2,ldots,N}$

también son constantes de movimiento, y estas ecuaciones se pueden invertir para encontrar $mathbf {q}$ en función de todas las constantes y y el tiempo $alfa$ . $beta$

Comparación con otras formulaciones de la mecánica

La ecuación de Hamilton-Jacobi es una única ecuación diferencial parcial de primer orden para la función de las $norte$ coordenadas generalizadas ${displaystyle q_{1},,q_{2},puntos,q_{N}}$ y el tiempo $t$ . Los momentos generalizados no aparecen, excepto como derivados de $S$ . Sorprendentemente, la función $S$ es igual a la acción clásica.

A modo de comparación, en las ecuaciones de movimiento de Euler-Lagrange equivalentes de la mecánica lagrangiana, los momentos conjugados tampoco aparecen; sin embargo, esas ecuaciones son un sistema de ecuaciones $norte$ generalmente de segundo orden para la evolución temporal de las coordenadas generalizadas. De manera similar, las ecuaciones de movimiento de Hamilton son otro sistema de 2 N ecuaciones de primer orden para la evolución temporal de las coordenadas generalizadas y sus momentos conjugados ${displaystyle p_{1},,p_{2},puntos,p_{N}}$ .

Dado que el HJE es una expresión equivalente de un problema de minimización integral como el principio de Hamilton, el HJE puede ser útil en otros problemas de cálculo de variaciones y, más en general, en otras ramas de las matemáticas y la física, como sistemas dinámicos, geometría simpléctica y el caos cuántico. Por ejemplo, las ecuaciones de Hamilton-Jacobi se pueden usar para determinar las geodésicas en una variedad de Riemann, un problema variacional importante en la geometría de Riemann.

Derivación usando una transformación canónica

Cualquier transformación canónica que involucre una función generadora de tipo 2 ${displaystyle G_{2}(mathbf {q},mathbf {P},t)}$ conduce a las relaciones ${displaystyle mathbf {p} ={parcial G_{2} over parcial mathbf {q} },quad mathbf {Q} ={parcial G_{2} over parcial mathbf {P } },quad K(mathbf {Q},mathbf {P},t)=H(mathbf {q},mathbf {p},t)+{partial G_{2} over partial t}}$

y las ecuaciones de Hamilton en términos de las nuevas variables ${displaystyle mathbf {P},,mathbf {Q} }$ y el nuevo hamiltoniano $k$ tienen la misma forma: ${displaystyle {dot {mathbf {P} }}=-{parcial K over parcial mathbf {Q} },quad {dot {mathbf {Q} }}=+{parcial K sobre parcial mathbf {P} }.}$

Para derivar el HJE, ${displaystyle G_{2}(mathbf {q},mathbf {P},t)}$ se elige una función generadora de tal manera que haga el nuevo hamiltoniano $K=0$ . Por lo tanto, todas sus derivadas también son cero y las ecuaciones de Hamilton transformadas se vuelven triviales. $dot{mathbf{P}} = dot{mathbf{Q}} =$

por lo que las nuevas coordenadas y momentos generalizados son constantes de movimiento. Como son constantes, en este contexto los nuevos momentos generalizados $mathbf {P}$ se suelen denotar ${ estilo de visualización alfa _ {1}, , alfa _ {2}, puntos, alfa _ {N}}$ , es decir, ${displaystyle P_{m}=alpha _{m}}$ y las nuevas coordenadas generalizadas $mathbf {Q}$ normalmente se denotan como ${ estilo de visualización beta _ {1}, , beta _ {2}, puntos, beta _ {N}}$ , entonces ${displaystyle Q_{m}=beta _{m}}$ .

Estableciendo la función generadora igual a la función principal de Hamilton, más una constante arbitraria $A$ : ${displaystyle G_{2}(mathbf {q},{boldsymbol {alpha }},t)=S(mathbf {q},t)+A,}$

el HJE surge automáticamente ${displaystyle mathbf {p} ={frac {parcial G_{2}}{parcial mathbf {q} }}={frac {parcial S}{parcial mathbf {q} }},rightarrow ,H(mathbf {q},mathbf {p},t)+{partial G_{2} over parcial t}=0,rightarrow ,Hleft(mathbf { q},{frac {S parcial}{\mathbf parcial {q} }},tright)+{S parcial over t parcial}=0.}$

Cuando se resuelven para ${displaystyle S(mathbf {q},{boldsymbol {alpha }},t)}$ , estos también nos dan las ecuaciones útiles ${displaystyle mathbf {Q} ={boldsymbol {beta }}={parcial S over parcial {boldsymbol {alpha }}},}$

o escrito en componentes para mayor claridad ${displaystyle Q_{m}=beta _{m}={frac {parcial S(mathbf {q},{boldsymbol {alpha }},t)}{parcial alpha _{m} }}.}$

Idealmente, estas N ecuaciones se pueden invertir para encontrar las coordenadas generalizadas originales $mathbf {q}$ en función de las constantes ${displaystyle {boldsymbol {alpha }},,{boldsymbol {beta }},}$ y $t$ , resolviendo así el problema original.

Acción y funciones de Hamilton

La función principal S de Hamilton y la función clásica H están estrechamente relacionadas con la acción. El diferencial total de $S$ es: ${displaystyle dS=sum_{i}{frac {parcial S}{parcial q_{i}}}dq_{i}+{frac {parcial S}{parcial t}}dt}$

entonces la derivada temporal de S es ${displaystyle {frac {dS}{dt}}=sum _{i}{frac {parcial S}{parcial q_{i}}}{dot {q}}_{i}+{ frac {S parcial}{t parcial}}=sum _{i}p_{i}{dot {q}}_{i}-H=L.}$

Por lo tanto, ${ estilo de visualización S = int L , dt,}$

entonces S es en realidad la acción clásica más una constante indeterminada.

Cuando H no depende explícitamente del tiempo, ${displaystyle W=S+Et=S+Ht=int (L+H),dt=int mathbf {p} cdot dmathbf {q},}$

en este caso W es lo mismo que acción abreviada.

Separación de variables

El HJE es más útil cuando se puede resolver mediante la separación aditiva de variables, que identifica directamente las constantes de movimiento. Por ejemplo, el tiempo t se puede separar si el hamiltoniano no depende explícitamente del tiempo. En ese caso, la derivada del tiempo ${displaystyle {frac {S parcial}{t parcial}}}$ en el HJE debe ser una constante, generalmente denotada ( ${ estilo de visualización -E}$ ), dando la solución separada ${displaystyle S=W(q_{1},q_{2},ldots,q_{N})-Et}$

donde la función independiente del tiempo a ${ estilo de visualización W ( mathbf {q})}$ veces se denomina función característica de Hamilton. La ecuación reducida de Hamilton-Jacobi se puede escribir entonces ${displaystyle Hleft(mathbf {q},{frac {parcial S}{parcial mathbf {q} }}right)=E.}$

Para ilustrar la separabilidad de otras variables, se supone que una cierta coordenada generalizada ${ estilo de visualización q_ {k}}$ y su derivada ${displaystyle {frac {S parcial}{q_{k}}}} parcial$ aparecen juntas como una sola función. $psi left(q_k, frac{parcial S}{parcial q_k} right)$

en el hamiltoniano ${displaystyle H=H(q_{1},q_{2},ldots,q_{k-1},q_{k+1},ldots,q_{N};p_{1},p_{2 },ldots,p_{k-1},p_{k+1},ldots,p_{N};psi;t).}$

En ese caso, la función S se puede dividir en dos funciones, una que depende solo de q _k y otra que depende solo de las coordenadas generalizadas restantes ${displaystyle S=S_{k}(q_{k})+S_{text{rem}}(q_{1},ldots,q_{k-1},q_{k+1},ldots, q_{N},t).}$

La sustitución de estas fórmulas en la ecuación de Hamilton-Jacobi muestra que la función ψ debe ser una constante (denotada aquí como $Gamma_k$ ), produciendo una ecuación diferencial ordinaria de primer orden para ${displaystyle S_{k}(q_{k}),}$ ${displaystyle psi left(q_{k},{frac {dS_{k}}{dq_{k}}}right)=Gamma _{k}.}$

En casos afortunados, la función $S$ se puede separar completamente en $norte$ funciones ${displaystyle S_{m}(q_{m}),}$ $S=S_1(q_1)+S_2(q_2)+cdots+S_N(q_N)-Et.$

En tal caso, el problema se reduce a $norte$ ecuaciones diferenciales ordinarias.

La separabilidad de S depende tanto del hamiltoniano como de la elección de las coordenadas generalizadas. Para coordenadas ortogonales y hamiltonianos que no tienen dependencia del tiempo y son cuadráticos en los momentos generalizados, $S$ serán completamente separables si la energía potencial es aditivamente separable en cada coordenada, donde el término de energía potencial para cada coordenada se multiplica por el factor dependiente de coordenadas en el término de impulso correspondiente del hamiltoniano (las condiciones de Staeckel). A modo de ilustración, en las siguientes secciones se trabajan varios ejemplos en coordenadas ortogonales.

Ejemplos en varios sistemas de coordenadas

Coordenadas esféricas

En coordenadas esféricas se puede escribir el hamiltoniano de una partícula libre que se mueve en un potencial conservativo U $H = frac{1}{2m} left[ p_{r}^{2} + frac{p_{theta}^{2}}{r^{2}} + frac{p_{phi }^{2}}{r^{2} sin^{2} theta} right] + U(r, theta, phi).$

La ecuación de Hamilton-Jacobi es completamente separable en estas coordenadas siempre que existan funciones: ${displaystyle U_{r}(r),U_{theta }(theta),U_{phi }(phi)}$ tales que $tu$ se pueden escribir en la forma análoga $U(r, theta, phi) = U_{r}(r) + frac{U_{theta}(theta)}{r^{2}} + frac{U_{phi}( phi)}{r^{2}sin^{2}theta}.$

Sustitución de la solución completamente separada. $S = S_{r}(r) + S_{theta}(theta) + S_{phi}(phi) - Et$

en los rendimientos de HJE ${displaystyle {frac {1}{2m}}left({frac {dS_{r}}{dr}}right)^{2}+U_{r}(r)+{frac {1 }{2mr^{2}}}left[left({frac {dS_{theta }}{dtheta }}right)^{2}+2mU_{theta }(theta)right ]+{frac {1}{2mr^{2}sin ^{2}theta }}left[left({frac {dS_{phi }}{dphi }}right)^ {2}+2mU_{phi }(phi)right]=E.}$

Esta ecuación puede resolverse mediante integraciones sucesivas de ecuaciones diferenciales ordinarias, comenzando con la ecuación para $fi$ ${displaystyle left({frac {dS_{phi }}{dphi }}right)^{2}+2mU_{phi }(phi)=Gamma _{phi }}$

donde $gamma _{fi}$ es una constante del movimiento que elimina la $fi$ dependencia de la ecuación de Hamilton-Jacobi ${displaystyle {frac {1}{2m}}left({frac {dS_{r}}{dr}}right)^{2}+U_{r}(r)+{frac {1 }{2mr^{2}}}left[left({frac {dS_{theta }}{dtheta }}right)^{2}+2mU_{theta }(theta)+{ frac {Gamma _{phi }}{sin ^{2}theta }}right]=E.}$

La siguiente ecuación diferencial ordinaria implica la $theta$ coordenada generalizada ${displaystyle left({frac {dS_{theta }}{dtheta }}right)^{2}+2mU_{theta }(theta)+{frac {Gamma _{phi }}{sen ^{2}theta }}=Gamma _{theta }}$

donde ${ estilo de visualización gamma _ { theta}}$ es nuevamente una constante del movimiento que elimina la $theta$ dependencia y reduce la HJE a la ecuación diferencial ordinaria final ${displaystyle {frac {1}{2m}}left({frac {dS_{r}}{dr}}right)^{2}+U_{r}(r)+{frac { Gamma _{theta}}{2mr^{2}}}=E}$

cuya integración completa la solución para $S$ .

Coordenadas cilíndricas elípticas

El hamiltoniano en coordenadas cilíndricas elípticas se puede escribir $H = frac{p_{mu}^{2} + p_{nu}^{2}}{2ma^{2} left(sinh^{2} mu + sin^{2} nuright)} + frac{p_{z}^{2}}{2m} + U(mu, nu, z)$

donde los focos de las elipses se encuentran en $pm un$ el $X$ eje -. La ecuación de Hamilton-Jacobi es completamente separable en estas coordenadas siempre que $tu$ tenga una forma análoga $U(mu, nu, z) = frac{U_{mu}(mu) + U_{nu}(nu)}{birth^{2} mu + sin^{2} nu} + U_{z}(z)$

donde: ${displaystyle U_{mu }(mu)}$ , ${ estilo de visualización U_ { nu} ( nu)}$ y ${ estilo de visualización U_ {z} (z)}$ son funciones arbitrarias. Sustitución de la solución completamente separada. $S = S_{mu}(mu) + S_{nu}(nu) + S_{z}(z) - Et$ en los rendimientos de HJE ${displaystyle {frac {1}{2m}}left({frac {dS_{z}}{dz}}right)^{2}+U_{z}(z)+{frac {1 }{2ma^{2}left(sinh ^{2}mu +sin ^{2}nu right)}}left[left({frac {dS_{mu }}{d mu }}right)^{2}+left({frac {dS_{nu }}{dnu }}right)^{2}+2ma^{2}U_{mu }(mu)+2ma^{2}U_{nu }(nu)right]=E.}$

Separando la primera ecuación diferencial ordinaria ${displaystyle {frac {1}{2m}}left({frac {dS_{z}}{dz}}right)^{2}+U_{z}(z)=Gamma _{z }}$

produce la ecuación de Hamilton-Jacobi reducida (después de reorganizar y multiplicar ambos lados por el denominador) ${displaystyle left({frac {dS_{mu }}{dmu }}right)^{2}+left({frac {dS_{nu }}{dnu }} derecha)^{2}+2ma^{2}U_{mu }(mu)+2ma^{2}U_{nu }(nu)=2ma^{2}left(sinh ^{2 }mu +sin ^{2}nu right)left(E-Gamma _{z}right)}$

que a su vez se puede separar en dos ecuaciones diferenciales ordinarias independientes ${displaystyle left({frac {dS_{mu }}{dmu }}right)^{2}+2ma^{2}U_{mu }(mu)+2ma^{2} left(Gamma _{z}-Eright)sinh ^{2}mu =Gamma _{mu}}$ ${displaystyle left({frac {dS_{nu }}{dnu }}right)^{2}+2ma^{2}U_{nu }(nu)+2ma^{2} left(Gamma _{z}-Eright)sin ^{2}nu =Gamma _{nu }}$

que, cuando se resuelven, proporcionan una solución completa para $S$ .

Coordenadas cilíndricas parabólicas

El hamiltoniano en coordenadas cilíndricas parabólicas se puede escribir $H = frac{p_{sigma}^{2} + p_{tau}^{2}}{2m left(sigma^{2} + tau^{2}right)} + frac {p_{z}^{2}}{2m} + U(sigma, tau, z).$

La ecuación de Hamilton-Jacobi es completamente separable en estas coordenadas siempre que $tu$ tenga una forma análoga $U(sigma, tau, z) = frac{U_{sigma}(sigma) + U_{tau}(tau)}{sigma^{2} + tau^{2}} + U_{z}(z)$

donde ${ Displaystyle U_ { sigma} ( sigma)}$ , ${ Displaystyle U_ { tau} ( tau)}$ y ${ estilo de visualización U_ {z} (z)}$ son funciones arbitrarias. Sustitución de la solución completamente separada. ${displaystyle S=S_{sigma }(sigma)+S_{tau }(tau)+S_{z}(z)-Et+{text{constante}}}$

en los rendimientos de HJE ${displaystyle {frac {1}{2m}}left({frac {dS_{z}}{dz}}right)^{2}+U_{z}(z)+{frac {1 }{2mleft(sigma ^{2}+tau ^{2}right)}}left[left({frac {dS_{sigma }}{dsigma }}right)^ {2}+left({frac {dS_{tau}}{dtau}}right)^{2}+2mU_{sigma}(sigma)+2mU_{tau}(tau) right]=E.}$

Separando la primera ecuación diferencial ordinaria ${displaystyle {frac {1}{2m}}left({frac {dS_{z}}{dz}}right)^{2}+U_{z}(z)=Gamma _{z }}$

produce la ecuación de Hamilton-Jacobi reducida (después de reorganizar y multiplicar ambos lados por el denominador) ${displaystyle left({frac {dS_{sigma}}{dsigma}}right)^{2}+left({frac {dS_{tau}}{dtau}} derecha)^{2}+2mU_{sigma}(sigma)+2mU_{tau}(tau)=2mleft(sigma ^{2}+tau ^{2}right)left(E-Gamma _{z}right)}$

que a su vez se puede separar en dos ecuaciones diferenciales ordinarias independientes ${displaystyle left({frac {dS_{sigma}}{dsigma}}right)^{2}+2mU_{sigma}(sigma)+2msigma ^{2}left(Gamma _{z}-Eright)=Gamma _{sigma}}$ ${displaystyle left({frac {dS_{tau}}{dtau}}right)^{2}+2mU_{tau}(tau)+2mtau^{2}left(Gamma _{z}-Eright)=Gamma _{tau}}$

que, cuando se resuelven, proporcionan una solución completa para $S$ .

Ondas y partículas

Frentes y trayectorias de ondas ópticas

El HJE establece una dualidad entre trayectorias y frentes de onda. Por ejemplo, en óptica geométrica, la luz puede considerarse como "rayos" u ondas. El frente de onda se puede definir como la superficie ${ estilo de texto { cal {C}}_{t}}$ que la luz emitida en un momento ${ estilo de texto t = 0}$ ha alcanzado en un momento ${ estilo de texto t}$ . Los rayos de luz y los frentes de onda son duales: si se conoce uno, se puede deducir el otro.

Más precisamente, la óptica geométrica es un problema variacional donde la "acción" es el tiempo de viaje ${ estilo de texto T}$ a lo largo de un camino,

{displaystyle T={frac {1}{c}}int _{A}^{B}n,ds}

donde ${ estilo de texto n}$ es el índice de refracción del medio y ${ estilo de texto ds}$ es una longitud de arco infinitesimal. A partir de la formulación anterior, se pueden calcular las trayectorias de los rayos utilizando la fórmula de Euler-Lagrange; alternativamente, se pueden calcular los frentes de onda resolviendo la ecuación de Hamilton-Jacobi. Conocer uno lleva a conocer el otro.

La dualidad anterior es muy general y se aplica a todos los sistemas que se derivan de un principio variacional: calcule las trayectorias usando las ecuaciones de Euler-Lagrange o los frentes de onda usando la ecuación de Hamilton-Jacobi.

El frente de onda en el tiempo ${ estilo de texto t}$ , para un sistema inicialmente en ${ estilo de texto mathbf {q} _ {0}}$ el tiempo ${ estilo de texto t_{0}}$ , se define como el conjunto de puntos ${ estilo de texto mathbf {q} }$ tales que ${textstyle S(mathbf {q},t)={text{const}}}$ . Si ${ estilo de texto S ( mathbf {q}, t)}$ se conoce, el impulso se deduce inmediatamente.

{displaystyle mathbf {p} ={frac {parcial S}{parcial mathbf {q} }}.}

Una vez ${ estilo de texto mathbf {p} }$ que se conoce, las tangentes a las trayectorias ${textstyle{dot{mathbf{q}}}}$ se calculan resolviendo la ecuación

{displaystyle {frac {parcial {cal {L}}}{parcial {dot {mathbf {q} }}}}={boldsymbol {p}}}

para ${textstyle{dot{mathbf{q}}}}$ , donde ${ estilo de texto { cal {L}}}$ es el lagrangiano. Luego se recuperan las trayectorias a partir del conocimiento de ${textstyle{dot{mathbf{q}}}}$ .

Relación con la ecuación de Schrödinger

Las isosuperficies de la función ${ estilo de visualización S ( mathbf {q}, t)}$ se pueden determinar en cualquier momento t. El movimiento de una $S$ isosuperficie en función del tiempo está definido por los movimientos de las partículas que comienzan en los puntos $mathbf {q}$ de la isosuperficie. El movimiento de tal isosuperficie se puede considerar como una onda que se mueve a través $mathbf {q}$ del espacio, aunque no obedece exactamente a la ecuación de onda. Para mostrar esto, sea S la fase de una onda $psi = psi_{0} e^{iS/hbar}$

donde $hbar$ se introduce una constante (la constante de Planck) para hacer adimensional el argumento exponencial; los cambios en la amplitud de la onda se pueden representar teniendo $S$ un número complejo. Luego, la ecuación de Hamilton-Jacobi se reescribe como ${displaystyle {frac {hbar ^{2}}{2m}}nabla ^{2}psi -Upsi ={frac {hbar }{i}}{frac {parcial psi { t parcial}}}$

que es la ecuación de Schrödinger.

Por el contrario, a partir de la ecuación de Schrödinger y nuestra ansatz para $psi$ , se puede deducir que $frac{1}{2m} left(nabla S right)^{2} + U + frac{parcial S}{parcial t} = frac{ihbar}{2m} nabla^ {2} s.$

El límite clásico ( $hbar rightarrow 0$ ) de la ecuación de Schrödinger anterior se vuelve idéntico a la siguiente variante de la ecuación de Hamilton-Jacobi, $frac{1}{2m} left(nabla S right)^{2} + U + frac{parcial S}{parcial t} = 0.$

Aplicaciones

HJE en un campo gravitacional

Usando la relación energía-cantidad en la forma ${displaystyle g^{alpha beta }P_{alpha }P_{beta }-(mc)^{2}=0}$

para una partícula de masa en reposo que $metro$ viaja en un espacio curvo, donde $g^{alfa beta}$ son las coordenadas contravariantes del tensor métrico (es decir, la métrica inversa) resueltas a partir de las ecuaciones de campo de Einstein, y $C$ es la velocidad de la luz. Estableciendo el cuatro-momentum $P_alfa$ igual al cuatro-gradiente de la acción $S$ , ${displaystyle P_{alpha }=-{frac {parcial S}{parcial x^{alpha }}}}$

da la ecuación de Hamilton-Jacobi en la geometría determinada por la métrica $gramo$ : ${displaystyle g^{alpha beta }{frac {parcial S}{parcial x^{alpha }}}{frac {parcial S}{parcial x^{beta }}}- (mc)^{2}=0,}$

en otras palabras, en un campo gravitacional.

HJE en campos electromagnéticos

Para una partícula de masa en reposo $metro$ y carga eléctrica $mi$ que se mueve en un campo electromagnético con cuatro potenciales $A_i = (fi,Alfa)$ en el vacío, la ecuación de Hamilton-Jacobi en geometría determinada por el tensor métrico $g^{i} = g_{i}$ tiene la forma $g^{ik}left (frac{parcial S}{parcial x^i} + frac {e}{c}A_i right) left (frac{parcial S}{parcial x^ k} + frac {e}{c}A_k right) = m^2 c^2$

y se puede resolver para la función de acción principal de Hamilton $S$ para obtener una solución adicional para la trayectoria y el momento de la partícula: ${displaystyle x=-{frac {e}{cgamma }}int A_{z},dxi,}$ ${displaystyle y=-{frac {e}{cgamma }}int A_{y},dxi,}$ ${displaystyle z=-{frac {e^{2}}{2c^{2}gamma ^{2}}}int (mathrm {A} ^{2}-{overline {mathrm { A} ^{2}}}),dxi,}$ ${displaystyle xi =ct-{frac {e^{2}}{2gamma ^{2}c^{2}}}int (mathrm {A} ^{2}-{overline { mathrm {A} ^{2}}}),dxi,}$ $p_x = - frac{e}{c}A_x$ , ${displaystyle p_{y}=-{frac {e}{c}}A_{y},}$ ${displaystyle p_{z}={frac {e^{2}}{2gamma c}}(mathrm {A} ^{2}-{overline {mathrm {A} ^{2}} }),}$ ${displaystyle {mathcal {E}}=cgamma +{frac {e^{2}}{2gamma c}}(mathrm {A} ^{2}}{overline {mathrm { A}^{2}}}),}$

donde $xi = ct - z$ y ${displaystyle gamma ^{2}=m^{2}c^{2}+{frac {e^{2}}{c^{2}}}{overline {A}}^{2} }$ con ${overline {mathbf {A} }}$ el ciclo promedio del vector potencial.

Una onda circularmente polarizada

En el caso de polarización circular, $E_x = E_0sinomegaxi_1$ , ${ estilo de visualización E_ {y} = E_ {0} cos omega xi _ {1},}$ $A_x = frac{cE_0}{omega}cosomegaxi_1$ , ${displaystyle A_{y}=-{frac {cE_{0}}{omega }}sin omega xi _{1}.}$

Por eso ${displaystyle x=-{frac {ecE_{0}}{omega }}sin omega xi _{1},}$ ${displaystyle y=-{frac {ecE_{0}}{omega }}cos omega xi _{1},}$ ${ estilo de visualización p_ {x} = - { frac {eE_ {0}} { omega}} cos omega xi _ {1},}$ ${displaystyle p_{y}={frac {eE_{0}}{omega }}sin omega xi _{1},}$

donde $xi_1 = xi /c$ , lo que implica que la partícula se mueve a lo largo de una trayectoria circular con un radio permanente ${ estilo de visualización ecE_ {0} / gamma omega ^ {2}}$ y un valor invariable de momento ${displaystyle eE_{0}/omega^{2}}$ dirigido a lo largo de un vector de campo magnético.

Una onda plana monocromática polarizada linealmente

Para la onda plana, monocromática, polarizada linealmente con un campo $mi$ dirigido a lo largo del eje $y$ ${ estilo de visualización E_ {y} = E_ {0} cos omega xi _ {1},}$ ${displaystyle A_{y}=-{frac {cE_{0}}{omega }}sin omega xi _{1},}$

por eso ${displaystyle x={text{const}},}$ ${displaystyle y_{0}=-{frac {ecE_{0}}{gamma omega ^{2}}},}$ $y = y_0 cos omega xi_1$ , ${ estilo de visualización z = C_ {z} y_ {0} sin 2 omega xi _ {1},}$ ${displaystyle C_{z}={frac {eE_{0}}{8gamma omega }}}$ , ${ estilo de visualización gamma ^ {2} = m ^ {2} c ^ {2} + { frac {e ^ {2} E_ {0} ^ {2}} {2 omega ^ {2}}}, }$ ${ estilo de visualización p_ {x} = 0,}$ ${displaystyle p_{y,0}={frac {eE_{0}}{omega }},}$ ${displaystyle p_{y}=p_{y,0}sin omega xi _{1},}$ $p_z = - 2C_z p_{y,0} cos 2omega xi_1$

lo que implica la trayectoria de la partícula en forma de 8 con un eje largo orientado a lo largo del $mi$ vector del campo eléctrico.

Una onda electromagnética con un campo magnético solenoidal.

Para la onda electromagnética con campo magnético axial (solenoidal): ${ estilo de visualización E = E _ { phi} = { frac { omega rho _ {0}} {c}} B_ {0} cos omega xi _ {1},}$ ${ estilo de visualización A _ { phi} = - rho _ {0} B_ {0} sin omega xi _ {1} = - { frac {L_ {s}} { pi rho _ {0 } N_ {s}}} I_ {0}sinomegaxi_{1},}$

por eso ${displaystyle x={text{constante}},}$ ${ estilo de visualización y_ {0} = - { frac {e rho _ {0} B_ {0}} { gamma omega}},}$ ${displaystyle y=y_{0}cos omega xi _{1},}$ ${ estilo de visualización z = C_ {z} y_ {0} sin 2 omega xi _ {1},}$ ${displaystyle C_{z}={frac {erho_{0}B_{0}}{8cgamma }},}$ ${displaystyle gamma ^{2}=m^{2}c^{2}+{frac {e^{2}rho_{0}^{2}B_{0}^{2}}{ 2c^{2}}},}$ ${ estilo de visualización p_ {x} = 0,}$ ${displaystyle p_{y,0}={frac {erho_{0}B_{0}}{c}},}$ ${displaystyle p_{y}=p_{y,0}sin omega xi _{1},}$ ${ estilo de visualización p_ {z} = - 2C_ {z} p_ {y, 0} cos 2 omega xi _ {1},}$

donde $B_{0}$ es la magnitud del campo magnético en un solenoide con el radio efectivo $rho _{0}$ , la inductividad $L_s$ , el número de devanados $N_s$ y la magnitud de la corriente eléctrica $yo_{0}$ a través de los devanados del solenoide. El movimiento de la partícula se produce a lo largo de la trayectoria de la figura 8 en $yz$ un plano fijado perpendicularmente al eje del solenoide con un ángulo de acimut arbitrario $varphi$ debido a la simetría axial del campo magnético del solenoide.