Ecuación de Hagen-Poiseuille

En dinámica de fluidos, la ecuación de Hagen-Poiseuille, también conocida como ley de Hagen-Poiseuille, ley de Poiseuille o ecuación de Poiseuille, es una ley física que determina la caída de presión en un fluido incompresible y newtoniano en flujo laminar que fluye a través de un tubo cilíndrico largo de sección transversal constante. Se puede aplicar con éxito al flujo de aire en los alvéolos pulmonares, o al flujo a través de una pajita o una aguja hipodérmica. Fue derivada experimentalmente de forma independiente por Jean Léonard Marie Poiseuille en 1838 y Gotthilf Heinrich Ludwig Hagen, y publicada por Hagen en 1839 y posteriormente por Poiseuille en 1840-1841 y 1846. La justificación teórica de la ley de Poiseuille fue presentada por George Stokes en 1845.

Los supuestos de la ecuación son que el fluido es incompresible y newtoniano; el flujo es laminar a través de una tubería de sección transversal circular constante, considerablemente más larga que su diámetro; y no hay aceleración del fluido en la tubería. Para velocidades y diámetros de tubería superiores a un umbral, el flujo real del fluido no es laminar, sino turbulento, lo que produce caídas de presión mayores que las calculadas mediante la ecuación de Hagen-Poiseuille.La ecuación de Poiseuille describe la caída de presión debida a la viscosidad del fluido; otros tipos de caídas de presión pueden ocurrir en un fluido (véase una demostración aquí). Por ejemplo, la presión necesaria para impulsar un fluido viscoso contra la gravedad contendría tanto la requerida por la ley de Poiseuille como la requerida por la ecuación de Bernoulli, de modo que cualquier punto del flujo tendría una presión mayor que cero (de lo contrario, no habría flujo).Otro ejemplo es cuando la sangre fluye hacia una constricción más estrecha; su velocidad será mayor que en un diámetro mayor (debido a la continuidad del caudal volumétrico) y su presión será menor que en un diámetro mayor (debido a la ecuación de Bernoulli). Sin embargo, la viscosidad de la sangre provocará una caída de presión adicional a lo largo de la dirección del flujo, proporcional a la distancia recorrida (según la ley de Poiseuille). Ambos efectos contribuyen a la caída de presión real.En la notación estándar de cinética de fluidos:

${\displaystyle \Delta p={\frac {8\mu LQ}{\pi - Sí. {8\pi \mu LQ} {2}}}$

dónde

Δp es la diferencia de presión entre los dos extremos,

L es la longitud de la tubería,

μ es la viscosidad dinámica,

Q es el caudal volumétrico,

R es el radio de la tubería,

A es el área transversal de la tubería.

La ecuación no se cumple cerca de la entrada de la tubería.La ecuación falla en el límite de baja viscosidad, tubería ancha y/o corta. Una tubería ancha o de baja viscosidad puede resultar en un flujo turbulento, lo que hace necesario el uso de modelos más complejos, como la ecuación de Darcy-Weisbach. La relación entre la longitud y el radio de una tubería debe ser mayor que 1/48 del número de Reynolds para que la ley de Hagen-Poiseuille sea válida. Si la tubería es demasiado corta, la ecuación de Hagen-Poiseuille puede resultar en caudales anormalmente altos; el flujo está limitado por el principio de Bernoulli, en condiciones menos restrictivas, por...

${\displaystyle {\begin{aligned}\ Delta p={\frac {1}{2}}\rho {\overline {v}_{\text{max}} {2} {={\frac} {1}{2}\rho \left({\frac {Q_{\text{max}{\pi}} {\pi} ¿Qué? Rightarrow \quad Q_{\max {\fnMicroc} {\fnMicroc} {2\Delta p} {\f}}}\end{aligned}} {\f}} {\fnK}}$

porque es imposible tener presión negativa (absoluta) (no confundir con presión manométrica) en un flujo incompresible.

Normalmente, el flujo de Hagen-Poiseuille implica no solo la relación para la caída de presión, mencionada anteriormente, sino también la solución completa para el perfil de flujo laminar, que es parabólico. Sin embargo, el resultado para la caída de presión puede extenderse al flujo turbulento al inferir una viscosidad turbulenta efectiva en este último caso, aunque el perfil de flujo en este último no sea estrictamente parabólico. En ambos casos, laminar o turbulento, la caída de presión está relacionada con la tensión en la pared, que determina el denominado factor de fricción. La tensión en la pared puede determinarse fenomenológicamente mediante la ecuación de Darcy-Weisbach en el campo de la hidráulica, dada una relación para el factor de fricción en términos del número de Reynolds. En el caso del flujo laminar, para una sección transversal circular:

${\displaystyle \Lambda ={64}{\mathrm {Re}}\quad \mathrm {Re} ={\frac {\rho vd}{\mu }} {\fn}} {\fn}} {\fn}} {\fn}}} {\fn}}}} {\fn}}}}} {\fn}}} {\f}} {\f}}}}}} {\f}}}}}}}}}}}}}} {\f}}}}$

donde Re es el número de Reynolds, ρ es la densidad del fluido y v es la velocidad media del flujo, que es la mitad de la velocidad máxima del flujo en el caso del flujo laminar. Resulta más útil definir el número de Reynolds en términos de la velocidad media del flujo, ya que esta cantidad permanece bien definida incluso en el caso del flujo turbulento, mientras que la velocidad máxima del flujo puede no estarlo, o en cualquier caso, puede ser difícil de inferir. En esta forma, la ley se aproxima al factor de fricción de Darcy, al factor de pérdida de energía (carga), al factor de pérdida por fricción o al factor de fricción de Darcy Λ en el flujo laminar a velocidades muy bajas en un tubo cilíndrico. La derivación teórica de una forma ligeramente diferente de la ley fue realizada independientemente por Wiedman en 1856 y Neumann y E. Hagenbach en 1858 (1859, 1860). Hagenbach fue el primero en llamar a esta ley ley de Poiseuille.La ley también es muy importante en la hemorreología y la hemodinámica, ambas áreas de la fisiología.La ley de Poiseuille fue posteriormente extendida, en 1891, al flujo turbulento por L. R. Wilberforce, basándose en el trabajo de Hagenbach.

La ecuación de Hagen-Poiseuille se puede derivar de las ecuaciones de Navier-Stokes. El flujo laminar a través de una tubería de sección transversal uniforme (circular) se conoce como flujo de Hagen-Poiseuille. Las ecuaciones que rigen el flujo de Hagen-Poiseuille se pueden derivar directamente de las ecuaciones de momento de Navier-Stokes en coordenadas cilíndricas 3D (r,θ,x), haciendo las siguientes suposiciones:

1. El flujo es estable (⁠∂/∂t⁠ = 0).
2. Los componentes radiales y azimutales de la velocidad del fluido son cero (u_r = u_Silencio = 0).
3. El flujo es axisimétrico (⁠∂/∂Silencio⁠ = 0).
4. El flujo está completamente desarrollado (⁠∂u_x/∂x⁠ = 0). Sin embargo, esto puede probarse mediante la conservación de masas, y las suposiciones anteriores.

Entonces la ecuación angular en las ecuaciones de impulso y la ecuación de continuidad están idénticamente satisfechas. La ecuación de impulso radial se reduce a ⁠∂p/∂r⁠ = 0Es decir, la presión p es una función de la coordinación axial x sólo. Para brevedad, uso u en lugar de ${\displaystyle u_{x}$. La ecuación del impulso axial se reduce a

${\displaystyle {\frac {}{\frac {\partial }{\partial r}\left(r{\frac {\partial u}{\partial r}\right)={\frac {}{\m}{\m}{\m}{\m}{\m} {\c} {\c}}}} {\c}}}}} {\f}}}}}}}} {\f}}}}}}}}}} {\f}}}} {\f}}}}\f} {\f} {\f}\f} {\f}\f}\f}\f}\f}\f}\f}\f}\f}\f} {\f}\f}\f} {\f}\f}\f}\f}\f}\f}\f}\f}\f}\f}\f}\f}\fnh}\f}\f}\f}\f}\f}\f}\f}\fn }{\frac {\mathrm {} {\m} {\m}}} {\fn}} {\fn}} {\fn}}} {\fn}} {\fn}}}}} {\fn} {\fn}}}}} {\fn}} {\f}}}}} {\fn}}}}}}}}} {\f}}}}}}} {\f}}}}} {\m}\m}}}}}}} {\m}} {\m}}}}} {\m}}}}} {\m}}}}}}}}}}}}}} {\m}}}}}}}}}} {\m} {\m}} {\m}}} {\m}}}}} {\m}}}}}}}}} {\m}}}}}}}}} {\m}}} {\m}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}$

donde μ es la viscosidad dinámica del fluido. En la ecuación anterior, el lado izquierdo es solo una función de r y el lado derecho es solo una función de x, lo que implica que ambos términos deben ser la misma constante. Evaluar esta constante es sencillo. Si tomamos la longitud de la tubería como L y denotamos la diferencia de presión entre los dos extremos de la tubería como Δp (alta presión menos baja presión), entonces la constante es simplemente

${\displaystyle -{\frac {\mathrm} p}{\mathrm {d} #={\frac {\Delta {}=G}$

definido de tal manera que G es positivo. La solución es

${\displaystyle u=-{\frac}{4\mu} }+c_{1}\ln r+c_{2}$

Dado que u debe ser finito en r = 0, c₁ = 0. La condición de contorno sin deslizamiento en la pared de la tubería requiere que u = 0 en r = R (radio de la tubería), lo que resulta en c₂ = ⁠GR²/4μ⁠. Por lo tanto, finalmente obtenemos el siguiente perfil de velocidad parabólica:

${\displaystyle u={\frac {4\mu}\left(R^{2}-r^{2}\right). }$

La velocidad máxima se produce en la línea central de la tubería (r = 0), u_máx = ⁠GR²/4μ⁠. La velocidad media se puede obtener integrando sobre la sección transversal de la tubería.

${\fnMicroc {\fnK} {\fnMicroc}{\f} {\fnK} {\f} {\f}} {\fnK}} {\f}}} {\fnK}}}} {\fn}}}}}} {\fn\f}\f}}}\fn\fn\f}}}}}} {\f}}\f}}}}}}}}}}} {\f}\f}}}}\f}}}}\f}}}}}}}}}}}}}}\\\\f}}} {\f} {\f} {\f}}\f}}}}}}}\f} {\f}\f}\f}}}}}}}\f}}}}}\f}}}\f}\f}}}}}}}}}\fn\fn\fn\f}}}\fn\f}}\f}}}}}}}}}\ ¿Qué? {1}{u}{u} {\m} {\m} {\fn} {\fn}} {\fn} {\f}} {\f}}}} {\f}}} {\f}} {\fn}}} {\f}}} {\f}} {\f} {\f}}}}} {\f}}}}}}}} {\f}} {\f}}}}}}}}}} {\f}}}} {\f}}}} {\f}}} {\f}}}} {\f}}}} {\f}}}}}} {\f}}}}}}}} {\f}}}}} {\f} {\f}}}} {\f}}}} {\f}}}} {\f} {\f} {\f} {\f} {\f} {\f}} {\f}} {\f}}}}} {\f}}} {\f}}}}}}} {max}.}$

La cantidad fácilmente medible en experimentos es el caudal volumétrico Q = πR² u_avg. Reordenando esto se obtiene la ecuación de Hagen-Poiseuille.

${\displaystyle \Delta p={\frac {8\mu QL}{\pi R^{4}}}$

Cuando a constante gradiente de presión g =- ⁠ d p / class = "den"> d x ⁠ se aplica entre dos extremos de una tubería larga, el flujo no obtendrá inmediatamente el perfil Poiseuille, sino que se desarrolla a través del tiempo y alcanza el perfil Poiseuille en estado estable. Las ecuaciones de Navier -Stokes se reducen a

${\displaystyle {\frac {\partial u}{\partial {\fnMicroc {\f} {\fnMicroc {\partial }u}{\partial r^{2}}}}}+{\frac {1}{} {\f} {\frac {\partial u}{\partial r}}}}}}}}}} {\f}}} {\f}}} {\f}}} {\f}} {\f}}}}}}}}}}}} {\f}\f} {\f}}}}}}}}}}}}}} {\f} {\f} {\f} {\f} {\f}\f} {\f}\f}\f}\f}\f}\f}\f}\f}\f}\f}}}\f}\f}}\f}\f}\f}\f}\f}\f}\f}\f}\f}\f}\f}}\f}\f}\f}\f}\f}}\fn$

con condiciones iniciales y de contorno,

${\displaystyle u(r,0)=0,\quad u(R,t)=0.}$

La distribución de la velocidad está dada por

${\fn} {\fn} {\fn}\fn}\fn}\fn} {\fn} {\fn} {\fn} {\fn} {\fn} {\fn} {\fn} {\fn} {\fn} {\fn} {\fn} {\fn} {\fn} {\fn}\fn}\fn}\fn}}\fn}\fn}\fn}\fn}\fn}\fn}\fn}\fn}\fn}\fn}\fn}\fn}\fn}\fn}\fn}\fn}\fn}\fn}\fn}\fn}\fn}\fn}\fn}\fn}\fn}\fn}\fn}\fn}\fn}\fn}\fn}\fn}\fn}\fn}\fn}}\fn}\ ¿Qué? J_{0}\left(\lambda)=0}$

Where j ₀ ( ⁠ λ _n r / class = "den"> r ⁠ ) es la función bessel del primer tipo de orden cero y λ _n son las roots positivas de esta función y j ₁ ( λ _n ) es la función bessel del primer tipo de orden. Como t → ∞ , se recupera la solución de poiseuille.

if r ₁ es el radio de cilindro interno y r ₂ es la radiorige de cilindros externo, con constante gradiente de presión . class = "texhtml"> g = =- ⁠ d p / d x La distribución de la velocidad y el flujo de volumen a través de la tubería anular son

${\displaystyle {\begin{aligned}u {\frac {}{4\mu}\left(R_{1} {2}-r^{2}\right)+{\frac {G}{4\mu}\left}\left}\left (R_{2} {2}-R_{1}{2}\right){\frac {\ln} r/R_{1}{\ln ¿Qué? {G\pi}{8\mu}}\left [R_{2} {4}-R_{1}}{4}-{\frac {\left(R_{2} {2}-R_{1}{2}\right)}{2}}{2}}{\ln}}{\ln}}}{\ln}} {\n}}}}}}}}}{\n}}}}}}}}}}}}{\n}}}}}}}}}}}}}}}{\n}}}}}}}}}}{\n}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}{\n}}{\n}}}}}}}}}}}}}{\n}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}{\n}}}}}}}}}}}}}}}}}}}{\ Bien.$

Cuando R₂ = R, R₁ = 0, se recupera el problema original.

El flujo a través de tuberías con un gradiente de presión oscilante se aplica al flujo sanguíneo en las arterias principales. El gradiente de presión impuesto viene dado por

${\fnMicrosoft {\fnMicrosoft {\fnMicrosoft {\fnMicrosoft {\fnMicrosoft {\\fnMicrosoft} p}{\partial x}=-G-\alpha \cos \omega t-\beta \sin \omega t}$

donde G, α y β son constantes y ω es la frecuencia. El campo de velocidad viene dado por

${\fnMicrosoft Sans Serif} {\fnMicrosoft Sans Serif} {\fnMicrosoft Sans Serif}} {\f}\fnunci}}\fnuncié] {\fn1}\beta {\fn1}\m] {\fnuncio\fn2}\fnMinuncio\c\cH0} }$

dónde

${\fnMicrosoft Sans Serif}$

where ber y bei son las funciones Kelvin y k 2 = ⁠ >>>>>>>>>>>>>> >> class = "num"> ρω / μ ⁠ .

El flujo plano de poiseuille es el flujo creado entre dos placas paralelas infinitamente largas, separadas por una distancia h con un gradiente de presión constante g = ⁠ <⁠ <⁠ d p / d x ⁠ se aplica en la dirección del flujo. El flujo es esencialmente unidireccional debido a la longitud infinita. Las ecuaciones de Navier -Stokes se reducen a

${\displaystyle {\frac {\mathrm} {\fn} {\fnMicrosoft} {\fn}} {\fn}}} {\fn}}} {\fn}}} {\fnK}}}} {\fnK}}}} {\fnK}}}}}}}} Y... {G}{\mu}}$

con condición sin deslizamiento en ambas paredes

${\displaystyle u(0)=0,\quad u(h)=0}$

Por lo tanto, la distribución de velocidad y el caudal volumétrico por unidad de longitud son

${\displaystyle u(y)={\frac {G}{2\mu}y(h-y),\quad Q={\frac {Gh^{3}{12\mu} }}$

Joseph Boussinesq derivó el perfil de velocidad y el caudal volumétrico en 1868 para canales y tubos rectangulares de sección transversal triangular equilátera y para sección transversal elíptica. Joseph Proudman derivó lo mismo para triángulos isósceles en 1914. Sea G = −⁠dp/dx⁠ el gradiente de presión constante que actúa en dirección paralela al movimiento.

La velocidad y el caudal volumétrico en un canal rectangular de altura 0 ≤ y ≤ h y ancho 0 ≤ z ≤ l son

${\displaystyle {\begin{aligned}u(y,z) {G}{2\mu}y(h-y)-{\frac {4Gh^{2}{\mu] {\fn} {\fn} {\fn} {\fn}\fnn}} {\fnn} {\fn}} {\fn}\nnn}\nnn}\nnnn}\nhn}\nhn}\nn}\nnnn}\n}\nhnhn} {\fn}\n}\nhn}\nhn}\nnhnhnhn}\nhnhnhn}\n}\nh}\nhnh}\nhnhnhnhnhnhnhnhn}\nhnhn}\nhnhn}\nhnhnhn}\nhnhnh}\n}\n}\n}\n}\n}\nhn}\nhnhnhnhnhn}\nnhn}\nhnhn}\nhnhnhn}\nhn}\n}\nhn ¿Qué? - ¿Qué? {\fn} {\fn} {\fnK}} {\fn} {\fn} {\fn}}}}\sum _{n=1}{\infty}{\fn}{\fn} {\fn} {\fn} {\fn}} {\fn}}}} {\fn}} {\fn}}}}}} {\f}}}}}} {\f}}}}}}}} {\f}}}}} {\f}}}} {\f}}}}} {\f}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}} {\f}}}}}}} {\f} {\f}}} {\f}}}} {\f}}}}} {\f}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}$

La velocidad y la velocidad de flujo de volumen del tubo con la sección transversal triangular equilibrada de la longitud lateral ⁠ 2 h / √ 3 ⁠ are

${\displaystyle {\begin{aligned}u(y,z) caer=-{\frac {G}{4\mu h}(y-h)\left(y^{2}-3z^{2}\right),\[6pt]Q simultáneamente={\frac] {Gh^{4}} {60{\sqrt {3}\mu}}\end{aligned}}}}}$

La velocidad y el caudal volumétrico en el triángulo rectángulo isósceles y = π, y ± z = 0 son

${\displaystyle {\begin{aligned}u(y,z) limit={\frac {G}{2\mu }(y+z)(\pi -y)-{\frac {\fn} {\fn} {\fn} {\fn} {\fn} {\fn} {\fn} {\fn}\n}\nn}\nnn}\fnnnn}}\nnnnnnn}\nnnnnnnnnn}\nnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnn}\]\nnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnn ¿Qué? {1}{2},\[6pt]Q {G\pi ^{4}{12\mu}}-{\frac {G}{2\pi\mu }\sum _{n=1}{\infty }{\frac {1}{\beta _{n}}}}\left[\coth(2\pi\beta _{n})+\cscsc(2\pi \beta _{n})\right].$

La distribución de velocidades para tubos de sección transversal elíptica con semiejes a y b es

${\displaystyle {\begin{aligned}u(y,z) {G}{2\mu\left({\frac} {1}{2}}} {\frac {1}}}\derecho)}\left(1-{\frac {\frac}}}}}\derecho)} {y} {\fn} {\fnMicroc}} {\fnMicroc}}} {\fnMicroc}} {\f}} {\fn}}} {\fn}}} {\fn}} {\fnK}} {\f}}} {\fn\f}}} {\fnK\f}}}}}} {\f} {\f}\f}}}}}\f}\f}}\f}\f}\f}\f}\f}\f}\f}\f}\f}\f}\f}\f}\fn\f}\f}\f}\f}\f}\f}\f}\f}\f}\fn\f}\fn\f}\f}\f}}\fn\fn\fn\f}\f}\fn\fn\fn\fn\fn\f}\fn\f}\f}\fn\f}}\fn\ {\fnMicrosoft Sans Serif} {\fnMicrosoft Sans Serif} Ga^{3}b^{3}{4\mu\left(a^{2}+b^{2}\right)}}\end{aligned}}$

Aquí, cuando a = b, se recupera el flujo de Poiseuille para tubería circular, y cuando a → ∞, se recupera el flujo de Poiseuille plano. También existen soluciones más explícitas con secciones transversales como secciones en forma de caracol, secciones con forma de círculo entallado que sigue a un semicírculo, secciones anulares entre elipses homofocales y secciones anulares entre círculos no concéntricos, según la revisión de Ratip Berker [tr; de].

El flujo a través de una sección transversal arbitraria u(y,z) satisface la condición de que u = 0 en las paredes. La ecuación que rige el flujo se reduce a:

${\displaystyle {\frac {\partial }u}{2}u}{\partial ¿Qué? {G}{\mu}}}$

Si introducimos una nueva variable dependiente como

${\displaystyle U=u+{\frac {G}{4\mu}\left(y^{2}+z^{2}\right),}$

Entonces es fácil ver que el problema se reduce a que la integración de una ecuación de Laplace

${\displaystyle {\frac {\partial }U}{2}U}{\partial ¿Qué?$

Satisfacer la condición

${\displaystyle U={\frac {4\mu}\left(y^{2}+z^{2}\right)}$

en la pared.

Para un fluido compresible en un tubo el caudal volumétrico Q()x) y la velocidad axial no son constantes a lo largo del tubo; pero el caudal de masa es constante a lo largo del tubo. La velocidad de flujo volumétrico se expresa generalmente a la presión de salida. Como el líquido se comprime o se expande, se realiza el trabajo y el líquido se calienta o se enfría. Esto significa que la velocidad de flujo depende de la transferencia de calor hacia y desde el líquido. Para un gas ideal en el caso isotérmico, donde se permite equilibrar la temperatura del fluido con su entorno, puede derivarse una relación aproximada para la caída de presión. Usando la ecuación de gas ideal para el proceso de temperatura constante (es decir, ${\displaystyle p/\rho}$ es constante) y la conservación del caudal de masas (es decir, ${\displaystyle {\ dot}=\rho Q}$ es constante), la relación Qp = Q₁p₁ = Q₂p₂ se puede obtener. En una sección corta de la tubería, se puede suponer que el gas que fluye a través de la tubería es incompresible para que la ley Poiseuille pueda utilizarse localmente,

${\displaystyle -{\frac {\mathrm} p}{\mathrm {d} #={\frac {8\mu Q}{\pi} R^{4}={\frac {8\mu ¿Qué? {4}}\quad \Rightarrow \quad -p{\frac {\mathrm {d} p}{\mathrm {d} #={\frac {8\mu ¿Qué? R^{4}}}$

Aquí supusimos que el gradiente de presión local no es demasiado grande para tener ningún efecto de compresibilidad. Aunque localmente ignoramos los efectos de la variación de la presión debido a la variación de densidad, en largas distancias se tienen en cuenta estos efectos. Dado que μ es independiente de la presión, la ecuación anterior se puede integrar a lo largo de la longitud l para dar

${\displaystyle ¿Por qué? {16\fnMicrosoft Sans LQ_{2}p_{2}{\pi R^{4}}}$

Por lo tanto, la tasa de flujo volumétrico en la salida de la tubería está dada por

${\displaystyle Q_{2}={\frac {\pi} ¿Qué? {p_{1}{2}-p_{2}{2}{2}}\right)={\frac {\pi} ¿Qué?$

Esta ecuación puede interpretarse como la ley de Poiseuille con un factor de corrección adicional ⁠p₁ + p₂/2p₂⁠, que expresa la presión promedio relativa a la presión de salida.

Originalmente, la electricidad se entendía como un tipo de fluido. Esta analogía hidráulica sigue siendo conceptualmente útil para comprender circuitos. También se utiliza para estudiar la respuesta en frecuencia de redes fluido-mecánicas mediante herramientas de circuitos, en cuyo caso la red de fluidos se denomina circuito hidráulico. La ley de Poiseuille corresponde a la ley de Ohm para circuitos eléctricos: V = IR. Dado que la fuerza neta que actúa sobre el fluido es igual a ΔF = SΔp, donde S = πr², es decir, ΔF = πr² ΔP, entonces, de la ley de Poiseuille, se deduce que

${\displaystyle Delta F={\frac {8\mu LQ}{r^{2}}}$.

Para circuitos eléctricos, sea n la concentración de partículas cargadas libres (en m⁻³) y sea q* la carga de cada partícula (en culombios). (Para los electrones, q* = e = 1,6×10⁻¹⁹ C.) Entonces, nQ es el número de partículas en el volumen Q, y nQq* es su carga total. Esta es la carga que fluye a través de la sección transversal por unidad de tiempo, es decir, la corriente I. Por lo tanto, I = nQq*. En consecuencia, Q = ⁠I/nq*⁠, y

${\displaystyle Delta F={\frac {8\mu LI}{nr^{2}}}}$

pero Δ f = eq , donde q es la carga total en el volumen del tubo. The volume of the tube is equal to πr²L, so the number of charged particles in this volume is equal to nπr²L, y su carga total es q = n π r 2 lq *. Dado que el voltaje v = el , se deduce entonces

${\displaystyle V={\frac {8\mu LI}{n^{2}\pi} .$

Esta es exactamente la ley de Ohm, donde la resistencia R = ⁠V/I⁠ se describe mediante la fórmula

${\displaystyle R={\frac {8\mu L}{n^{2}\pi r^{4}\left(q^{*}\right)}}}}}$.

De ello se deduce que la resistencia R es proporcional a la longitud L del resistor, lo cual es cierto. Sin embargo, también se deduce que la resistencia R es inversamente proporcional a la cuarta potencia del radio r, es decir, la resistencia R es inversamente proporcional a la segunda potencia del área de la sección transversal S = πr² del resistor, lo cual difiere de la fórmula eléctrica. La relación eléctrica para la resistencia es

${\displaystyle R={\frac {\rho L}{S}}$

donde ρ es la resistividad; es decir, la resistencia R es inversamente proporcional al área de la sección transversal S del resistor. La razón por la que la ley de Poiseuille da lugar a una fórmula diferente para la resistencia R es la diferencia entre el flujo del fluido y la corriente eléctrica. El gas de electrones no es viscoso, por lo que su velocidad no depende de la distancia a las paredes del conductor. La resistencia se debe a la interacción entre los electrones que fluyen y los átomos del conductor. Por lo tanto, la ley de Poiseuille y la analogía hidráulica solo son útiles dentro de ciertos límites cuando se aplican a la electricidad. Tanto la ley de Ohm como la ley de Poiseuille ilustran los fenómenos de transporte.

La ecuación de Hagen-Poiseuille es útil para determinar la resistencia vascular y, por consiguiente, el caudal de fluidos intravenosos (IV), que puede lograrse utilizando cánulas periféricas y centrales de diferentes tamaños. La ecuación establece que el caudal es proporcional al radio elevado a la cuarta potencia, lo que significa que un pequeño aumento del diámetro interno de la cánula produce un aumento significativo del caudal de fluidos IV. El radio de las cánulas IV se mide típicamente en "calibre", que es inversamente proporcional al radio. Las cánulas IV periféricas suelen estar disponibles (de mayor a menor) en calibres 14G, 16G, 18G, 20G, 22G y 26G. Por ejemplo, suponiendo que las longitudes de las cánulas sean iguales, el caudal de una cánula 14G es 1,73 veces mayor que el de una cánula 16G y 4,16 veces mayor que el de una cánula 20G. También se indica que el flujo es inversamente proporcional a la longitud, lo que significa que las vías más largas tienen tasas de flujo más bajas. Es importante recordar esto, ya que, en una emergencia, muchos médicos prefieren catéteres más cortos y grandes en comparación con los más largos y estrechos. Aunque tiene menor importancia clínica, un mayor cambio en la presión (∆p), como al presurizar la bolsa de líquido, apretarla o colocarla a una altura mayor (en relación con el nivel de la cánula), puede utilizarse para acelerar el flujo. También es útil comprender que los líquidos viscosos fluirán más lentamente (por ejemplo, en transfusiones de sangre).

• Flujo de Couette
• Ley de Darcy
• Flujo de tuberías
• Pulso
• Wave
• Circuito hidráulico
• Flujo Ostroumov

• Sutera, S. P.; Skalak, R. (1993). "La historia de la ley de Poiseuille". Annual Review of Fluid Mechanics. 25: 1 –19. Bibcode:1993AnRFM.25....1S. doi:10.1146/annurev.fl.25.010193.000245..
• Pfitzner, J (1976). "Poiseuille y su ley". AnaestesiaVol. 31, no. 2 (publicado en marzo de 1976). pp. 273 –5. doi:10.1111/j.1365-2044.1976.tb11804.x. PMID 779509..
• Bennett, C. O.; Myers, J. E. (1962). Transferencia de Momentum, Calor y Masa. McGraw-Hill..

• Ley de Poiseuille para el fluido no newtoniano de la ley de poder
• Ley de Poiseuille en un tubo ligeramente cónico
• Calculadora de ecuación de Hagen-Poiseuille