Ecuación de Fokker-Planck

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Ecuación diferencial parcial

Una solución a la ecuación unidimensional Fokker-Planck, con la deriva y el término de difusión. En este caso la condición inicial es una función Dirac delta centrada lejos de la velocidad cero. Con el tiempo la distribución se ensancha debido a impulsos aleatorios.

En mecánica estadística, la ecuación de Fokker-Planck es una ecuación diferencial parcial que describe la evolución temporal de la función de densidad de probabilidad de la velocidad de una partícula bajo la influencia de fuerzas de arrastre y fuerzas aleatorias, como en el movimiento browniano. La ecuación también se puede generalizar a otros observables.

Lleva el nombre de Adriaan Fokker y Max Planck, quienes la describieron en 1914 y 1917. También se conoce como la ecuación directa de Kolmogorov, en honor a Andrey Kolmogorov, quien la descubrió de forma independiente en 1931. Cuando aplicada a las distribuciones de posición de partículas, es mejor conocida como la ecuación de Smoluchowski (en honor a Marian Smoluchowski), y en este contexto es equivalente a la ecuación de convección-difusión. El caso con difusión cero es la ecuación de continuidad. La ecuación de Fokker-Planck se obtiene a partir de la ecuación maestra mediante la expansión de Kramers-Moyal.

La primera derivación microscópica coherente de la ecuación de Fokker-Planck en el esquema único de la mecánica cuántica y clásica fue realizada por Nikolay Bogoliubov y Nikolay Krylov.

Una dimensión

En una dimensión espacial x, para un proceso Itô impulsado por el proceso estándar Wiener $W_{t}$ y descrito por la ecuación diferencial estocástica (SDE)

{displaystyle dX_{t}=mu (X_{t},t),dt+sigma (X_{t},t),dW_{t}}

con deriva ${displaystyle mu (X_{t},t)}$ y coeficiente de difusión ${displaystyle D(X_{t},t)=sigma ^{2}(X_{t},t)/2}$ , la ecuación Fokker-Planck para la densidad de probabilidad ${displaystyle p(x,t)}$ de la variable aleatoria $X_{t}$ es

${displaystyle {frac {partial }{partial t}}p(x,t)=-{frac {partial }{partial x}}left[mu (x,t)p(x,t)right]+{frac {partial ^{2}}{partial x^{2}}}left[D(x,t)p(x,t)right].}$

Enlace entre el Itô SDE y la ecuación Fokker-Planck

En el siguiente uso ${displaystyle sigma ={sqrt {2D}}}$ .

Define el generador infinitesimal ${mathcal {L}}$ (los siguientes se pueden encontrar en Ref.):

{displaystyle {mathcal {L}}p(X_{t})=lim _{Delta tto 0}{frac {1}{Delta t}}left(mathbb {E} {big [}p(X_{t+Delta t})mid X_{t}=x{big ]}-p(x)right).}

El probabilidad de transición ${displaystyle mathbb {P} _{t,t'}(xmid x')}$ , la probabilidad de salir de ${displaystyle (t',x')}$ a ${displaystyle (t,x)}$ , se presenta aquí; la expectativa se puede escribir como

{displaystyle mathbb {E} (p(X_{t+Delta t})mid X_{t}=x)=int p(y),mathbb {P} _{t+Delta t,t}(ymid x),dy.}

Ahora sustituimos en la definición de

{mathcal {L}}

, multiplicarse

{displaystyle mathbb {P} _{t,t'}(xmid x')}

e integrarse en

dx

. El límite se aplica

{displaystyle int p(y)int mathbb {P} _{t+Delta t,t}(ymid x),mathbb {P} _{t,t'}(xmid x'),dx,dy-int p(x),mathbb {P} _{t,t'}(xmid x'),dx.}

Note ahora que

{displaystyle int mathbb {P} _{t+Delta t,t}(ymid x),mathbb {P} _{t,t'}(xmid x'),dx=mathbb {P} _{t+Delta t,t'}(ymid x'),}

que es el teorema Chapman-Kolmogorov. Cambiar la variable del maniquí

y

x

, uno se pone

{displaystyle {begin{aligned}int p(x)lim _{Delta tto 0}{frac {1}{Delta t}}left(mathbb {P} _{t+Delta t,t'}(xmid x')-mathbb {P} _{t,t'}(xmid x')right),dx,end{aligned}}}

que es un derivado del tiempo. Finalmente llegamos a

{displaystyle int [{mathcal {L}}p(x)]mathbb {P} _{t,t'}(xmid x'),dx=int p(x),partial _{t}mathbb {P} _{t,t'}(xmid x'),dx.}

Desde aquí, la ecuación atrasada de Kolmogorov se puede deducir. Si usamos el operador adjunto de

{mathcal {L}}

{displaystyle {mathcal {L}}^{dagger }}

, definido tal

{displaystyle int [{mathcal {L}}p(x)]mathbb {P} _{t,t'}(xmid x'),dx=int p(x)[{mathcal {L}}^{dagger }mathbb {P} _{t,t'}(xmid x')],dx,}

entonces llegamos a la ecuación de Kolmogorov hacia adelante, o la ecuación Fokker-Planck, que, simplificando la notación

{displaystyle p(x,t)=mathbb {P} _{t,t'}(xmid x')}

, en su forma diferencial lee

{displaystyle {mathcal {L}}^{dagger }p(x,t)=partial _{t}p(x,t).}

Sigue siendo la cuestión de definir explícitamente ${mathcal {L}}$ . Esto se puede hacer tomando la expectativa de la forma integral de la lema del Itô:

{displaystyle mathbb {E} {big (}p(X_{t}){big)}=p(X_{0})+mathbb {E} left(int _{0}^{t}left(partial _{t}+mu partial _{x}+{frac {sigma ^{2}}{2}}partial _{x}^{2}right)p(X_{t'}),dt'right).}

La parte que depende de $dW_{t}$ desapareció por la propiedad de la martingale.

Entonces, para un sujeto de partículas a una ecuación Itô, utilizando

{displaystyle {mathcal {L}}=mu partial _{x}+{frac {sigma ^{2}}{2}}partial _{x}^{2},}

se puede calcular fácilmente, utilizando la integración por partes, que

{displaystyle {mathcal {L}}^{dagger }=-partial _{x}(mu cdot)+{frac {1}{2}}partial _{x}^{2}(sigma ^{2}cdot),}

que nos trae a la ecuación Fokker-Planck:

{displaystyle partial _{t}p(x,t)=-partial _{x}{big (}mu (x,t)cdot p(x,t){big)}+partial _{x}^{2}left({frac {sigma (x,t)^{2}}{2}},p(x,t)right).}

Mientras que la ecuación de Fokker-Planck se usa con problemas donde se conoce la distribución inicial, si el problema es conocer la distribución en momentos anteriores, se puede usar la fórmula de Feynman-Kac, que es una consecuencia de la ecuación inversa de Kolmogorov.

El proceso estocástico definido anteriormente en el sentido de Itô se puede reescribir dentro de la convención de Stratonovich como un SDE de Stratonovich:

{displaystyle dX_{t}=left[mu (X_{t},t)-{frac {1}{2}}{frac {partial }{partial X_{t}}}D(X_{t},t)right],dt+{sqrt {2D(X_{t},t)}}circ dW_{t}.}

La ecuación de deriva cero con difusión constante se puede considerar como un modelo del movimiento browniano clásico:

{displaystyle {frac {partial }{partial t}}p(x,t)=D_{0}{frac {partial ^{2}}{partial x^{2}}}left[p(x,t)right].}

Este modelo tiene un espectro discreto de soluciones si se añade la condición de límites fijos ${displaystyle {0leq xleq L}}$ :

{displaystyle p(0,t)=p(L,t)=0,}

{displaystyle p(x,0)=p_{0}(x).}

Se ha demostrado que en este caso un espectro analítico de soluciones permite derivar una relación de incertidumbre local para el volumen de fase coordenada-velocidad:

{displaystyle Delta x,Delta vgeq D_{0}.}

D_{0}

D_{j}

Delta x

Delta v

Dimensiones superiores

Más generalmente, si

{displaystyle dmathbf {X} _{t}={boldsymbol {mu }}(mathbf {X} _{t},t),dt+{boldsymbol {sigma }}(mathbf {X} _{t},t),dmathbf {W} _{t},}

Donde $mathbf {X} _{t}$ y ${boldsymbol {mu }}(mathbf {X} _{t},t)$ son $N$ - vectores aleatorios dimensionales, ${boldsymbol {sigma }}(mathbf {X} _{t},t)$ es un ${displaystyle Ntimes M}$ matriz $mathbf {W} _{t}$ es un M- estándar dimensional Proceso de Wiener, densidad de probabilidad $p(mathbf {x}t)$ para $mathbf {X} _{t}$ satisfice la ecuación Fokker-Planck

${displaystyle {frac {partial p(mathbf {x}t)}{partial t}}=-sum _{i=1}^{N}{frac {partial }{partial x_{i}}}left[mu _{i}(mathbf {x}t)p(mathbf {x}t)right]+sum _{i=1}^{N}sum _{j=1}^{N}{frac {partial ^{2}}{partial x_{i},partial x_{j}}}left[D_{ij}(mathbf {x}t)p(mathbf {x}t)right],}$

con vector de deriva ${boldsymbol {mu }}=(mu _{1},ldotsmu _{N})$ y tensor de difusión ${textstyle mathbf {D} ={frac {1}{2}}{boldsymbol {sigma sigma }}^{mathsf {T}}}$ , es decir.

{displaystyle D_{ij}(mathbf {x}t)={frac {1}{2}}sum _{k=1}^{M}sigma _{ik}(mathbf {x}t)sigma _{jk}(mathbf {x}t).}

Si en lugar de un SDE Itô, se considera un SDE Stratonovich,

{displaystyle dmathbf {X} _{t}={boldsymbol {mu }}(mathbf {X} _{t},t),dt+{boldsymbol {sigma }}(mathbf {X} _{t},t)circ dmathbf {W} _{t},}

la ecuación de Fokker-Planck dirá:

{displaystyle {frac {partial p(mathbf {x}t)}{partial t}}=-sum _{i=1}^{N}{frac {partial }{partial x_{i}}}left[mu _{i}(mathbf {x}t),p(mathbf {x}t)right]+{frac {1}{2}}sum _{k=1}^{M}sum _{i=1}^{N}{frac {partial }{partial x_{i}}}left{sigma _{ik}(mathbf {x}t)sum _{j=1}^{N}{frac {partial }{partial x_{j}}}left[sigma _{jk}(mathbf {x}t),p(mathbf {x}t)right]right}}

Ejemplos

Proceso de Viena

La ecuación diferencial estocástica genera un proceso escalar estándar de Wiener

{displaystyle dX_{t}=dW_{t}.}

Aquí el término de deriva es cero y el coeficiente de difusión es 1/2. Por lo tanto, la ecuación de Fokker-Planck correspondiente es

{displaystyle {frac {partial p(x,t)}{partial t}}={frac {1}{2}}{frac {partial ^{2}p(x,t)}{partial x^{2}}},}

que es la forma más simple de una ecuación de difusión. Si la condición inicial es $p(x,0)=delta (x)$ , la solución es

{displaystyle p(x,t)={frac {1}{sqrt {2pi t}}}e^{-{x^{2}}/({2t})}.}

Proceso Ornstein-Uhlenbeck

El proceso de Ornstein-Uhlenbeck es un proceso definido como

{displaystyle dX_{t}=-aX_{t}dt+sigma dW_{t}.}

con $0}" xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">a■0{displaystyle a confía0}0" aria-hidden="true" class="mwe-math-fallback-image-inline" src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1f34a80ea013edb56e340b19550430a8b6dfd7b9" style="vertical-align: -0.338ex; width:5.491ex; height:2.176ex;"/>$ . Físicamente, esta ecuación puede motivarse de la siguiente manera: una partícula de masa $m$ con velocidad ${displaystyle V_{t}}$ moverse en un medio, por ejemplo, un fluido, experimentará una fuerza de fricción que resiste el movimiento cuya magnitud puede ser aproximada como proporcional a la velocidad de la partícula ${displaystyle -aV_{t}}$ con ${displaystyle a=mathrm {constant} }$ . Otras partículas en el medio patearán aleatoriamente la partícula mientras chocan con ella y este efecto puede ser aproximado por un término de ruido blanco; ${displaystyle sigma (dW_{t}/dt)}$ . La segunda ley de Newton está escrita como

{displaystyle m{frac {dV_{t}}{dt}}=-aV_{t}+sigma {frac {dW_{t}}{dt}}.}

Tomando ${displaystyle m=1}$ para la simplicidad y cambiar la notación como ${displaystyle V_{t}rightarrow X_{t}}$ conduce a la forma familiar $dX_{t}=-aX_{t}dt+sigma dW_{t}$ .

La ecuación de Fokker-Planck correspondiente es

{displaystyle {frac {partial p(x,t)}{partial t}}=a{frac {partial }{partial x}}left(x,p(x,t)right)+{frac {sigma ^{2}}{2}}{frac {partial ^{2}p(x,t)}{partial x^{2}}},}

La solución estacionaria ( $partial _{t}p=0$ ) es

{displaystyle p_{ss}(x)={sqrt {frac {a}{pi sigma ^{2}}}}e^{-{frac {ax^{2}}{sigma ^{2}}}}.}

Física del plasma

En la física plasmática, la función de distribución para una especie de partículas $s$ , ${displaystyle p_{s}(mathbf {x}mathbf {v}t)}$ , ocupa el lugar de la función de densidad de probabilidad. La ecuación correspondiente de Boltzmann es dada por

{displaystyle {frac {partial p_{s}}{partial t}}+mathbf {v} cdot {boldsymbol {nabla }}p_{s}+{frac {Z_{s}e}{m_{s}}}left(mathbf {E} +mathbf {v} times mathbf {B} right)cdot {boldsymbol {nabla }}_{v}p_{s}=-{frac {partial }{partial v_{i}}}left(p_{s}langle Delta v_{i}rangle right)+{frac {1}{2}}{frac {partial ^{2}}{partial v_{i},partial v_{j}}}left(p_{s}langle Delta v_{i},Delta v_{j}rangle right),}

donde el tercer término incluye la aceleración de partículas debido a la fuerza Lorentz y el término Fokker-Planck en el lado derecho representa los efectos de las colisiones de partículas. Las cantidades ${displaystyle langle Delta v_{i}rangle }$ y ${displaystyle langle Delta v_{i},Delta v_{j}rangle }$ son el cambio promedio de velocidad una partícula de tipo $s$ experiencias debido a colisiones con todas las demás especies de partículas en tiempo unitario. Las expresiones para estas cantidades se dan en otro lugar. Si se ignoran las colisiones, la ecuación Boltzmann reduce a la ecuación Vlasov.

ecuación de difusión de Smoluchowski

La ecuación de la Difusión Smoluchowski es la ecuación Fokker-Planck restringida a partículas marrones afectadas por una fuerza externa $F(r)$ .

{displaystyle partial _{t}P(r,t|r_{0},t_{0})=nabla cdot [D(nabla -beta F(r))P(r,t|r_{0},t_{0})]}

Donde $D$ es la constante de difusión y ${displaystyle beta ={frac {1}{k_{text{B}}T}}}$ . La importancia de esta ecuación es que permite tanto la inclusión del efecto de la temperatura en el sistema de partículas como una constante de difusión espacialmente dependiente.

Derivación de la Ecuación de Smoluchowski de la Ecuación Fokker-Planck

Comenzando con la Ecuación de Langevin de una partícula Browniana en el campo externo $F(r)$ , donde $gamma$ es el término de fricción, $xi$ es una fuerza fluctuante en la partícula, y $sigma$ es la amplitud de la fluctuación.

{displaystyle m{ddot {r}}=-gamma {dot {r}}+F(r)+sigma xi (t)}

En equilibrio la fuerza friccional es mucho mayor que la fuerza inercial, ${displaystyle leftvert gamma {dot {r}}rightvert gg leftvert m{ddot {r}}rightvert }$ . Por lo tanto, la ecuación Langevin se convierte,

{displaystyle gamma {dot {r}}=F(r)+sigma xi (t)}

Que genera la siguiente ecuación Fokker-Planck,

{displaystyle partial _{t}P(r,t|r_{0},t_{0})=left(nabla ^{2}{frac {sigma ^{2}}{2gamma ^{2}}}-nabla cdot {frac {F(r)}{gamma }}right)P(r,t|r_{0},t_{0})}

Reorganización de la ecuación Fokker-Planck,

{displaystyle partial _{t}P(r,t|r_{0},t_{0})=nabla cdot left(nabla D-{frac {F(r)}{gamma }}right)P(r,t|r_{0},t_{0})}

Donde ${displaystyle D={frac {sigma ^{2}}{2gamma ^{2}}}}$ . Nota, el coeficiente de difusión puede no necesariamente ser espacialmente independiente si $sigma$ o $gamma$ dependen espacialmente.

A continuación, el número total de partículas en cualquier volumen particular es dado por,

{displaystyle N_{V}(t|r_{0},t_{0})=int _{V}drP(r,t|r_{0},t_{0})}

Por lo tanto, el flujo de partículas se puede determinar tomando el tiempo derivado del número de partículas en un volumen dado, enchufando en la ecuación Fokker-Planck y luego aplicando el Teorema de Gauss.

{displaystyle partial _{t}N_{V}(t|r_{0},t_{0})=int _{V}dVnabla cdot left(nabla D-{frac {F(r)}{gamma }}right)P(r,t|r_{0},t_{0})=int _{partial V}dmathbf {a} cdot j(r,t|r_{0},t_{0})}

{displaystyle j(r,t|r_{0},t_{0})=left(nabla D-{frac {F(r)}{gamma }}right)P(r,t|r_{0},t_{0})}

En equilibrio, se supone que el flujo va a cero. Por lo tanto, las estadísticas de Boltzmann se pueden aplicar para la probabilidad de una ubicación de partículas en equilibrio, donde ${displaystyle F(r)=-nabla U(r)}$ es una fuerza conservadora y la probabilidad de que una partícula esté en un estado $r$ se da como ${displaystyle P(r,t|r_{0},t_{0})={frac {e^{-beta U(r)}}{Z}}}$ .

{displaystyle j(r,t|r_{0},t_{0})=left(nabla D-{frac {F(r)}{gamma }}right){frac {e^{-beta U(r)}}{Z}}=0}

{displaystyle Rightarrow nabla D=F(r)left({frac {1}{gamma }}-Dbeta right)}

Esta relación es una realización de la fluctuación – teorema de disipación. Ahora aplicar ${displaystyle nabla cdot nabla }$ a ${displaystyle DP(r,t|r_{0},t_{0})}$ y usando el teorema de disipación de Fluctuación,

{displaystyle {begin{aligned}nabla cdot nabla DP(r,t|r_{0},t_{0})&=nabla cdot Dnabla P(r,t|r_{0},t_{0})+nabla cdot P(r,t|r_{0},t_{0})nabla D\&=nabla cdot Dnabla P(r,t|r_{0},t_{0})+nabla cdot P(r,t|r_{0},t_{0}){frac {F(r)}{gamma }}-nabla cdot P(r,t|r_{0},t_{0})Dbeta F(r)end{aligned}}}

Reordenando,

{displaystyle Rightarrow nabla cdot left(nabla D-{frac {F(r)}{gamma }}right)P(r,t|r_{0},t_{0})=nabla cdot D(nabla -beta F(r))P(r,t|r_{0},t_{0})}

Por lo tanto, la ecuación Fokker-Planck se convierte en la ecuación de Smoluchowski,

{displaystyle partial _{t}P(r,t|r_{0},t_{0})=nabla cdot D(nabla -beta F(r))P(r,t|r_{0},t_{0})}

para una fuerza arbitraria

F(r)

Consideraciones computacionales

El movimiento marroniano sigue la ecuación de Langevin, que se puede resolver para muchos forzamientos estocásticos diferentes con resultados siendo promedio (ensemble canónico en dinámica molecular). Sin embargo, en lugar de este enfoque computacionalmente intensivo, se puede utilizar la ecuación Fokker-Planck y considerar la probabilidad ${displaystyle p(mathbf {v}t),dmathbf {v} }$ de la partícula que tiene una velocidad en el intervalo $(mathbf {v}mathbf {v} +dmathbf {v})$ cuando comienza su movimiento con $mathbf {v} _{0}$ a la hora 0.

Simulación Brownian Dynamics para partículas en potencial lineal 1-D en comparación con la solución de la ecuación Fokker-Planck.

Ejemplo de potencial lineal 1-D

Teoría

Empezando con un potencial lineal de la forma ${displaystyle U(x)=cx}$ la ecuación correspondiente Smoluchowski se convierte,

{displaystyle partial _{t}P(x,t|x_{0},t_{0})=partial _{x}D(partial _{x}+beta c)P(x,t|x_{0},t_{0})}

Donde la constante de difusión, $D$ , es constante sobre el espacio y el tiempo. Las condiciones de los límites son tales que la probabilidad desaparece ${displaystyle xrightarrow pm infty }$ con una condición inicial del conjunto de partículas que comienzan en el mismo lugar, ${displaystyle P(x,t|x_{0},t_{0})=delta (x-x_{0})}$ .

Definición ${displaystyle tau =Dt}$ y ${displaystyle b=beta c}$ y la aplicación de la transformación de coordenadas,

{displaystyle y=x+tau b, y_{0}=x_{0}+tau _{0}b}

Con ${displaystyle P(x,t,|x_{0},t_{0})=q(y,tau |y_{0},tau _{0})}$ la ecuación Smoluchowki se convierte,

{displaystyle partial _{tau }q(y,tau |y_{0},tau _{0})=partial _{y}^{2}q(y,tau |y_{0},tau _{0})}

¿Cuál es la ecuación de difusión libre con solución,

{displaystyle q(y,tau |y_{0},tau _{0})={frac {1}{sqrt {4pi (tau -tau _{0})}}}e^{-{frac {(y-y_{0})^{2}}{4(tau -tau _{0})}}}}

Y después de transformarse de nuevo a las coordenadas originales,

{displaystyle P(x,t|x_{0},t_{0})={frac {1}{sqrt {4pi D(t-t_{0})}}}exp {left[{-{frac {(x-x_{0}+Dbeta c(t-t_{0}))^{2}}{4D(t-t_{0})}}}right]}}

Simulación

La simulación de la derecha se completó utilizando una simulación de dinámica browniana. Comenzando con una ecuación de Langevin para el sistema,

{displaystyle m{ddot {x}}=-gamma {dot {x}}-c+sigma xi (t)}

gamma

xi

sigma

{displaystyle left|gamma {dot {x}}right|gg left|m{ddot {x}}right|}

{displaystyle gamma {dot {x}}=-c+sigma xi (t)}

Para la simulación dinámica Browniana la fuerza de fluctuación $xi (t)$ se supone que sea Gaussian con la amplitud siendo dependiente de la temperatura del sistema ${textstyle sigma ={sqrt {2gamma k_{text{B}}T}}}$ . Reescribir la ecuación Langevin,

{displaystyle {frac {dx}{dt}}=-Dbeta c+{sqrt {2D}}xi (t)}

{textstyle D={frac {k_{text{B}}T}{gamma }}}

Solución

Siendo una ecuación diferencial parcial, la ecuación Fokker-Planck se puede resolver analíticamente sólo en casos especiales. Una analogía formal de la ecuación Fokker-Planck con la ecuación Schrödinger permite el uso de técnicas avanzadas de operador conocidas de mecánica cuántica para su solución en varios casos. Además, en el caso de dinámicas sobredimensionadas cuando la ecuación Fokker-Planck contiene segundos derivados parciales con respecto a todas las variables espaciales, la ecuación se puede escribir en forma de una ecuación maestra que se puede resolver numéricamente. En muchas aplicaciones, uno solo está interesado en la distribución de probabilidad de estado fijo ${displaystyle p_{0}(x)}$ , que se puede encontrar de ${textstyle {frac {partial p(x,t)}{partial t}}=0}$ . La computación de los primeros tiempos de paso y las probabilidades de división se pueden reducir a la solución de una ecuación diferencial ordinaria que está íntimamente relacionada con la ecuación Fokker-Planck.

Casos particulares con solución conocida e inversión

En las finanzas matemáticas para el modelado de la sonrisa de volatilidad de opciones a través de la volatilidad local, uno tiene el problema de conducir un coeficiente de difusión ${sigma }(mathbf {X} _{t},t)$ consistente con una densidad de probabilidad obtenida de cotizaciones de opciones de mercado. El problema es por lo tanto una inversión de la ecuación Fokker-Planck: Dada la densidad f(x,t) de la opción subyacente X deducido del mercado de opciones, se busca encontrar la volatilidad local ${sigma }(mathbf {X} _{t},t)$ consistente con f. Este es un problema inverso que ha sido resuelto en general por Dupire (1994, 1997) con una solución no paramétrica. Brigo y Mercurio (2002, 2003) proponen una solución en forma paramétrica a través de una determinada volatilidad local ${sigma }(mathbf {X} _{t},t)$ consistente con una solución de la ecuación Fokker-Planck dada por un modelo de mezcla. También se dispone de más información en Fengler (2008), Gatheral (2008) y Musiela y Rutkowski (2008).

Ecuación de Fokker-Planck e integral de trayectoria

Toda ecuación de Fokker-Planck es equivalente a una integral de trayectoria. La formulación de la integral de trayectoria es un excelente punto de partida para la aplicación de los métodos de la teoría de campos. Esto se usa, por ejemplo, en dinámica crítica.

Una derivación del camino integral es posible de una manera similar como en la mecánica cuántica. La derivación para una ecuación Fokker-Planck con una variable $x$ es como sigue. Comience por insertar una función delta y luego integrar por partes:

{displaystyle {begin{aligned}{frac {partial }{partial t}}p{left(x',tright)}&=-{frac {partial }{partial x'}}left[D_{1}(x',t)p(x',t)right]+{frac {partial ^{2}}{partial {x'}^{2}}}left[D_{2}(x',t)p(x',t)right]\[5pt]&=int _{-infty }^{infty }mathrm {d} xleft(left[D_{1}left(x,tright){frac {partial }{partial x}}+D_{2}left(x,tright){frac {partial ^{2}}{partial x^{2}}}right]delta left(x'-xright)right)p!left(x,tright).end{aligned}}}

El $x$ -...destructivos aquí sólo actúan en el $delta$ - Función, no en $p(x,t)$ . Integrar a lo largo de un intervalo de tiempo $varepsilon$ ,

{displaystyle p(x',t+varepsilon)=int _{-infty }^{infty },mathrm {d} xleft(left(1+varepsilon left[D_{1}(x,t){frac {partial }{partial x}}+D_{2}(x,t){frac {partial ^{2}}{partial x^{2}}}right]right)delta (x'-x)right)p(x,t)+O(varepsilon ^{2}).}

inserte la integral de Fourier

{displaystyle delta {left(x'-xright)}=int _{-iinfty }^{iinfty }{frac {mathrm {d} {tilde {x}}}{2pi i}}e^{{tilde {x}}{left(x-x'right)}}}

para el $delta$ - Función,

{displaystyle {begin{aligned}p(x',t+varepsilon)&=int _{-infty }^{infty }mathrm {d} xint _{-iinfty }^{iinfty }{frac {mathrm {d} {tilde {x}}}{2pi i}}left(1+varepsilon left[{tilde {x}}D_{1}(x,t)+{tilde {x}}^{2}D_{2}(x,t)right]right)e^{{tilde {x}}(x-x')}p(x,t)+O(varepsilon ^{2})\[5pt]&=int _{-infty }^{infty }mathrm {d} xint _{-iinfty }^{iinfty }{frac {mathrm {d} {tilde {x}}}{2pi i}}exp left(varepsilon left[-{tilde {x}}{frac {(x'-x)}{varepsilon }}+{tilde {x}}D_{1}(x,t)+{tilde {x}}^{2}D_{2}(x,t)right]right)p(x,t)+O(varepsilon ^{2}).end{aligned}}}

Esta ecuación expresa ${displaystyle p(x',t+varepsilon)}$ como funcional de $p(x,t)$ . Iterating ${displaystyle (t'-t)/varepsilon }$ tiempos y realizar el límite $varepsilon rightarrow 0$ da un camino integral con la acción

{displaystyle S=int mathrm {d} tleft[{tilde {x}}D_{1}(x,t)+{tilde {x}}^{2}D_{2}(x,t)-{tilde {x}}{frac {partial x}{partial t}}right].}

Las variables ${tilde {x}}$ conyugal $x$ se llaman " variables de respuesta".

Aunque formalmente equivalente, diferentes problemas pueden resolverse más fácilmente en la ecuación de Fokker -Planck o la formulación integral de la ruta. La distribución de equilibrio, por ejemplo, se puede obtener más directamente de la ecuación Fokker -Planck.

notas y referencias

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