Ecuación de Euler-Tricomi

En matemáticas, la ecuación de Euler-Tricomi es una ecuación diferencial parcial lineal útil en el estudio del flujo transónico. Lleva el nombre de los matemáticos Leonhard Euler y Francesco Giacomo Tricomi.

${displaystyle U_{xx}+xu_{yy}=0.$

Es elíptico en el semiplano x > 0, parabólico en x = 0 e hiperbólico en el semiplano x < 0. Sus características son

${fnMicrosoft Sans Serif}$

que tienen la integral

${displaystyle ypm {fnMicroc {2}}x^{3/2}=C,}$

donde C es una constante de integración. Las características comprenden así dos familias de parábolas semicúbicas, con cúspides en la recta x = 0 y las curvas situadas en el lado derecho del eje y.

Soluciones particulares

Una expresión general para soluciones particulares de las ecuaciones de Euler-Tricomi es:

${displaystyle U_{k,p,q}=sum ¿Por qué? {fnh}}fn}$

dónde

${displaystyle kin mathbb {N}$

${displaystyle p,qin {0,1}$

${displaystyle m_{i}=3i+p}$

${displaystyle n_{i}=2(k-i)+q}$

${displaystyle c_{i}=m_{i}!!!cdot (m_{i}-1)!!!cdot ¡No!$

Estos se pueden combinar linealmente para formar soluciones adicionales como:

para k = 0:

${displaystyle u=A+Bx+Cy+Dxy,}$

para k = 1:

${displaystyle u=A({tfrac {1}{2}y^{2}-{tfrac {1}{6}x^{3})+B({tfrac} {1}{2}xy^{2}-{tfrac {1}{4}x^{4})+C({tfrac {1}{6}y^{3}-{tfrac {1}{6}x^{3}y)+D({tfrac {1}{4}y),}$

etc.

La ecuación de Euler-Tricomi es una forma limitante de la ecuación de Chaplygin.