Ecuación de Euler-Lagrange

En el cálculo de variaciones y mecánica clásica, las ecuaciones de Euler-Lagrange son un sistema de ecuaciones diferenciales ordinarias de segundo orden cuyas soluciones son puntos estacionarios del funcional de acción dado. Las ecuaciones fueron descubiertas en la década de 1750 por el matemático suizo Leonhard Euler y el matemático italiano Joseph-Louis Lagrange.

Debido a que un funcional derivable es estacionario en sus extremos locales, la ecuación de Euler-Lagrange es útil para resolver problemas de optimización en los que, dado algún funcional, se busca que la función lo minimice o maximice. Esto es análogo al teorema de Fermat en cálculo, que establece que en cualquier punto donde una función diferenciable alcanza un extremo local, su derivada es cero. En la mecánica lagrangiana, según el principio de acción estacionaria de Hamilton, la evolución de un sistema físico se describe mediante las soluciones a la ecuación de Euler para la acción del sistema. En este contexto, las ecuaciones de Euler suelen denominarse ecuaciones de Lagrange. En mecánica clásica, es equivalente a las leyes de movimiento de Newton; de hecho, las ecuaciones de Euler-Lagrange producirán las mismas ecuaciones que las leyes de Newton. Esto es particularmente útil cuando se analizan sistemas cuyos vectores de fuerza son particularmente complicados. Tiene la ventaja de que toma la misma forma en cualquier sistema de coordenadas generalizadas y se adapta mejor a las generalizaciones. En la teoría clásica de campos existe una ecuación análoga para calcular la dinámica de un campo.

Historia

La ecuación de Euler-Lagrange fue desarrollada en la década de 1750 por Euler y Lagrange en relación con sus estudios del problema de la tautocronía. Este es el problema de determinar una curva en la que una partícula ponderada caerá a un punto fijo en una cantidad de tiempo fija, independientemente del punto de partida.

Lagrange resolvió este problema en 1755 y envió la solución a Euler. Ambos desarrollaron aún más el método de Lagrange y lo aplicaron a la mecánica, lo que condujo a la formulación de la mecánica lagrangiana. Su correspondencia finalmente condujo al cálculo de variaciones, un término acuñado por el propio Euler en 1766.

Declaración

Vamos ()X,L){displaystyle (X,L)} ser un sistema mecánico n{displaystyle n} grados de libertad. Aquí. X{displaystyle X} es el espacio de configuración y L=L()t,q,v){displaystyle L=L(t,{boldsymbol {q},{boldsymbol {v}}} el Lagrangian, i.e. a smooth real-valued function such that q▪ ▪ X,{displaystyle {boldsymbol {q}in X,} y v{displaystyle {boldsymbol}} es un n{displaystyle n}-dimensional "vector de velocidad". (Para aquellos que conocen la geometría diferencial, X{displaystyle X} es un manifold suave, y L:Rt× × TX→ → R,{displaystyle L:{mathbb {R}_{t}times TXto {Mathbb {R}} Donde TX{displaystyle TX} es el paquete tangente X).{displaystyle X).}

Vamos P()a,b,xa,xb){displaystyle {cal {}(a,b,{boldsymbol {x}_{a},{boldsymbol {x}_{b}}} ser el conjunto de caminos suaves q:[a,b]→ → X{displaystyle {boldsymbol {q}:[a,b]to X} para la cual q()a)=xa{fnMicrosoft Sans Serif} {fnK} {fnMicrosoft}} {fnMicrosoft}} y q()b)=xb.{displaystyle {boldsymbol {q}(b)={boldsymbol {x}_{b}.} La acción funcional S:P()a,b,xa,xb)→ → R{displaystyle S:{cal {}(a,b,{boldsymbol {x}_{a},{boldsymbol {x}_{b})to mathbb {R} se define mediante

S[q]=∫ ∫ abL()t,q()t),qÍ Í ()t))dt.{displaystyle ¿Qué? No, eh...

Un camino q▪ ▪ P()a,b,xa,xb){displaystyle {boldsymbol {q}in {cal {}(a,b,{boldsymbol {x}}_{a},{boldsymbol {x}_{b}}}} {cH}} es un punto estacionario S{displaystyle S. si

Aquí, qÍ Í ()t){fnMicrosoft Sans Serif}(t)} es el derivado del tiempo q()t).{displaystyle {boldsymbol {}(t).} Cuando decimos punto estacionario, nos referimos a un punto estacionario S{displaystyle S. con respecto a cualquier pequeña perturbación en q{displaystyle {boldsymbol {q}}. Vea las pruebas a continuación para más detalles rigurosos.

Derivación de la ecuación única Euler-Lagrange

La derivación de la ecuación única Euler-Lagrange es una de las pruebas clásicas en matemáticas. Se basa en la lema fundamental del cálculo de las variaciones.

Deseamos encontrar una función f{displaystyle f} que satisface las condiciones del límite f()a)=A{displaystyle f(a)=A}, f()b)=B{displaystyle f(b)=B}, y que extremiza el funcional

J[f]=∫ ∫ abL()x,f()x),f.()x))dx.{displaystyle J[f]=int _{a}^{b}L(x,f(x),f'(x),mathrm {d} x.}

Asumimos que L{displaystyle L. es dos veces continuamente diferenciable. Una suposición más débil se puede utilizar, pero la prueba se vuelve más difícil.

Si f{displaystyle f} extremiza el sujeto funcional a las condiciones del límite, luego cualquier leve perturbación f{displaystyle f} que preserva los valores de límites debe aumentar J{displaystyle J} (si f{displaystyle f} es un minimizador) o disminución J{displaystyle J} (si f{displaystyle f} es un maximizador).

Vamos f+ε ε .. {displaystyle f+varepsilon eta } ser el resultado de tal perturbación ε ε .. {displaystyle varepsilon eta } de f{displaystyle f}, donde ε ε {displaystyle varepsilon } es pequeño y .. {displaystyle eta } es una función diferenciable que satisface .. ()a)=.. ()b)=0{displaystyle eta (a)=eta (b)=0}. Entonces defina

CCPR CCPR ()ε ε )=J[f+ε ε .. ]=∫ ∫ abL()x,f()x)+ε ε .. ()x),f.()x)+ε ε .. .()x))dx.{displaystyle Phi (varepsilon)=J[f+varepsilon eta ]=int _{a}^{b}L(x,f(x)+varepsilon eta (x),f'(x)+varepsilon eta '(x),mathrm {d} x}

Ahora queremos calcular el derivado total de CCPR CCPR {displaystyle Phi } con respecto a ε.

dCCPR CCPR dε ε =ddε ε ∫ ∫ abL()x,f()x)+ε ε .. ()x),f.()x)+ε ε .. .()x))dx=∫ ∫ abddε ε L()x,f()x)+ε ε .. ()x),f.()x)+ε ε .. .()x))dx=∫ ∫ ab[.. ()x)∂ ∂ L∂ ∂ f()x,f()x)+ε ε .. ()x),f.()x)+ε ε .. .()x))+.. .()x)∂ ∂ L∂ ∂ f.()x,f()x)+ε ε .. ()x),f.()x)+ε ε .. .()x))]dx.{displaystyle {begin{aligned}{frac {mathrm} {fnMicrosoft Sans Serif}

La tercera línea se debe al hecho de que x{displaystyle x} no depende de ε ε {displaystyle varepsilon }, es decir. dxdε ε =0{displaystyle {frac {mathrm}{mathrm {d}varepsilon}}=0}.

Cuando ε ε =0{displaystyle varepsilon =0}, CCPR CCPR {displaystyle Phi } tiene un valor extremum, así que

dCCPR CCPR dε ε Silencioε ε =0=∫ ∫ ab[.. ()x)∂ ∂ L∂ ∂ f()x,f()x),f.()x))+.. .()x)∂ ∂ L∂ ∂ f.()x,f()x),f.()x))]dx=0.{displaystyle left.{frac {mathrm {d} Phi }{mathrm {d} varepsilon {fnMicrosoft Sans Serif} {fnMicrosoft Sans Serif} {fnMicrosoft Sans Serif}}(x, f(x))eta '(x){frac {partial L}{partial f'}(x,f(x)} {m} {m]

El siguiente paso es utilizar la integración por partes en el segundo mandato del integrado, dando lugar

∫ ∫ ab[∂ ∂ L∂ ∂ f()x,f()x),f.()x))− − ddx∂ ∂ L∂ ∂ f.()x,f()x),f.()x))].. ()x)dx+[.. ()x)∂ ∂ L∂ ∂ f.()x,f()x),f.()x))]ab=0.{fnMicrosoft Sans Serif}

Utilizando las condiciones de los límites .. ()a)=.. ()b)=0{displaystyle eta (a)=eta (b)=0},

∫ ∫ ab[∂ ∂ L∂ ∂ f()x,f()x),f.()x))− − ddx∂ ∂ L∂ ∂ f.()x,f()x),f.()x))].. ()x)dx=0.{fnMicrosoft Sans Serif} {fnMicrosoft Sans Serif} {fnMicrosoft Sans Serif} {m} {m}} {m} {m}m} {m} {m}m}m} {m}} {m}m} {fnMicrosoft}} {cH0}}} {m}}f}m}m}mmm}m}mmm} {m}m}m} {mmcH0}m}}}}m}cH0} {m}}}}}}}}m} {f} {f}}m} {m}m}mmmcH00m}cH00}cH0}cH00cH0}cH0}}cH0}cH0}cH00}}}}cH

Aplicar el lema fundamental del cálculo de variaciones ahora produce la ecuación Euler-Lagrange

∂ ∂ L∂ ∂ f()x,f()x),f.()x))− − ddx∂ ∂ L∂ ∂ f.()x,f()x),f.()x))=0.{displaystyle {frac {partial L}{partial f}(x,f(x),f'(x))-{frac {mathrm {d} {mathrm {d} x}{frac {partial L}{partial f'}} {x,f(x),f'(x))}=0}}

Derivación alternativa de la ecuación única Euler-Lagrange

Dado un funcional

J=∫ ∫ abL()t,Sí.()t),Sí..()t))dt{displaystyle J=int _{a}{b}L(t,y(t),y'(t)),mathrm {d} t}

on C1()[a,b]){displaystyle C^{1}([a,b]} con las condiciones límite Sí.()a)=A{displaystyle y(a)=A} y Sí.()b)=B{displaystyle y(b)=B}, procedemos aproximando la curva extremal por una línea poligonal con n{displaystyle n} segmentos y pasando al límite a medida que el número de segmentos crece arbitrariamente.

Divide el intervalo [a,b]{displaystyle [a,b]} en n{displaystyle n} segmentos iguales con puntos finales t0=a,t1,t2,...... ,tn=b{displaystyle ¿Qué? y dejar Δ Δ t=tk− − tk− − 1{displaystyle Delta t=t_{k}-t_{k-1}. Más que una función suave Sí.()t){displaystyle y(t)} consideramos la línea poligonal con vértices ()t0,Sí.0),...... ,()tn,Sí.n){displaystyle (t_{0},ldots(t_{n},y_{n}}, donde Sí.0=A{displaystyle Y... y Sí.n=B{displaystyle Y.... En consecuencia, nuestra funcionalidad se convierte en una función real n− − 1{displaystyle n-1} variables dadas por

J()Sí.1,...... ,Sí.n− − 1).. .. k=0n− − 1L()tk,Sí.k,Sí.k+1− − Sí.kΔ Δ t)Δ Δ t.{displaystyle J(y_{1},ldotsy_{n-1})approx sum _{k=0}^{n-1}Lleft(t_{k},y_{k},{frac} {y_{k+1}-y_{k} {cH00} {cH00} {cH00} {cH00}} {cH00}}} {cH00}}} {cH00}}}} {cH}} {cH00}}}}}} {cH}}} {cH}}}}}}}}}}}}}}} {\\\\\\\cH}}}}}}}}}}}}}}\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\cH}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}} Delta t}right) Delta t.}

Extremales de este nuevo funcional definido en los puntos discretos t0,...... ,tn{displaystyle t_{0},ldotst_{n} corresponder a puntos donde

∂ ∂ J()Sí.1,...... ,Sí.n)∂ ∂ Sí.m=0.{fnMicrosoft {fnMicrosoft {fnMicrosoft {fnMicrosoft {fnMicrosoft {\fnMicrosoft} J(y_{1},ldotsy_{n}}{partial Sí.

Note que el cambio de Sí.m{displaystyle Y... afecta L no sólo a m sino también a m-1 para el derivado del tercer argumento.

L()Tercer argumento)()Sí.m+1− − ()Sí.m+Δ Δ Sí.m)Δ Δ t)=L()Sí.m+1− − Sí.mΔ Δ t)− − ∂ ∂ L∂ ∂ Sí..Δ Δ Sí.mΔ Δ t,L()()Sí.m+Δ Δ Sí.m)− − Sí.m− − 1Δ Δ t)=L()Sí.m− − Sí.m− − 1Δ Δ t)+∂ ∂ L∂ ∂ Sí..Δ Δ Sí.mΔ Δ t{displaystyle L({text{3rd argument}})left({frac {y_{m+1}-(y_{m}+ Delta y... {y_{m+1}-y_{m} {cH00} {cH00} Delta t}derecha)-{partial L}{partial y'}{frac {fnMicrosoft Sans Serif} {fnMicrosoft Sans Serif} {fnMicrosoft Sans Serif} {cH}}}} {fn}}} {fnMicrosoft Sans Serif}} {fn}} {\fnMicrosoft}}}} {\fnMicrosoft}}}}}}}}}} {\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\fnK\\\\\\\\\\\\\\\\\DelK\\\fnMicrob}\\\fnMicrom}\fnMicrob}}}}}\\\\fnMicrob}\\fnMicrob}}}}}}}}}} Delta t},Lleft({frac {(y_{m}+Delta Y... Delta t}right)=Lleft({frac {y_{m}-y_{m-1}{ Delta t}right)+{partial L}{partial y'}{frac {fnMicrosoft Sans Serif} {fnMicrosoft Sans Serif} {fnMicrosoft Sans Serif} {cH}}}} {fn}}} {fnMicrosoft Sans Serif}} {fn}} {\fnMicrosoft}}}} {\fnMicrosoft}}}}}}}}}} {\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\fnK\\\\\\\\\\\\\\\\\DelK\\\fnMicrob}\\\fnMicrom}\fnMicrob}}}}}\\\\fnMicrob}\\fnMicrob}}}}}}}}}} Delta.

Evaluar el derivado parcial da

∂ ∂ J∂ ∂ Sí.m=LSí.()tm,Sí.m,Sí.m+1− − Sí.mΔ Δ t)Δ Δ t+LSí..()tm− − 1,Sí.m− − 1,Sí.m− − Sí.m− − 1Δ Δ t)− − LSí..()tm,Sí.m,Sí.m+1− − Sí.mΔ Δ t).{fnMicrosoft {fnMicrosoft {fnMicrosoft {fnMicrosoft {fnMicrosoft {\fnMicrosoft} J. Y... {y_{m+1}-y_{m} {cH00} {cH00} Delta t}right) Delta t+L_{y'}left (t_{m-1},y_{m-1},{frac {y_{m}-y_{m-1}{ Delta. (t_{m},y_{m},{frac {y_{m+1}-y_{m} {cH00} {cH00} Delta. }

Dividir la ecuación anterior por Δ Δ t{displaystyle Delta t} da

∂ ∂ J∂ ∂ Sí.mΔ Δ t=LSí.()tm,Sí.m,Sí.m+1− − Sí.mΔ Δ t)− − 1Δ Δ t[LSí..()tm,Sí.m,Sí.m+1− − Sí.mΔ Δ t)− − LSí..()tm− − 1,Sí.m− − 1,Sí.m− − Sí.m− − 1Δ Δ t)],{fnMicrosoft {fnMicrosoft {fnMicrosoft {fnMicrosoft {fnMicrosoft {\fnMicrosoft} J. Y... ¿Qué? {y_{m+1}-y_{m} {cH00} {cH00} Delta t}right)-{frac {1}{Delta t}left[L_{y'}left (t_{m},y_{m},{frac {y_{m+1}-y_{m} {cH00} {cH00} Delta. (t_{m-1},y_{m-1},{frac {y_{m}-y_{m-1}{ ¡Delta!

y tomar el límite como Δ Δ t→ → 0{displaystyle Delta tto 0} del lado derecho de esta expresión produce

LSí.− − ddtLSí..=0.{displaystyle L_{y}-{frac {mathrm {d} }{mathrm {d} No.

El lado izquierdo de la ecuación anterior es el derivado funcional δ δ J/δ δ Sí.{displaystyle delta J/delta Sí. del funcionamiento J{displaystyle J}. Una condición necesaria para que un funcional diferente tenga un extremum en alguna función es que su derivado funcional en esa función desaparece, que se concede por la última ecuación.

Ejemplo

Un ejemplo estándar es encontrar la función de valor real y(x) en el intervalo [a, b], tal que y(a) = c y y(b) = d, para lo cual la longitud del camino a lo largo de la curva trazada por y es lo más corta posible.

s=∫ ∫ abdx2+dSí.2=∫ ∫ ab1+Sí..2dx,{displaystyle {text{s}=int _{a}{b}{sqrt {fnMicrom {fnh}=nh}=nh} {fnh} {fnh} {fn} {fnh}fn}fnK} {fnK}fnK}f} {f}fnK} {\fnK}}fnK}f}}f}}}\\f}}}\\\\m}m} {\m}m}}m}m}m} {m}m}m}m}m}m}m}m}m} {m}}m}m} {m}}m}m}m}m}m}m}m}m}m}m}m}}\\m}m}m}m}m}m}m}m}m}m}m} {1+y'^{2},mathrm {d} x,}

la función integradora L()x,Sí.,Sí..)=1+Sí..2{textstyle L(x,y,y')={sqrt {1+y'^{2}}}.

Las derivadas parciales de L son:

∂ ∂ L()x,Sí.,Sí..)∂ ∂ Sí..=Sí..1+Sí..2y∂ ∂ L()x,Sí.,Sí..)∂ ∂ Sí.=0.{displaystyle {frac {partial L(x,y')}{partial y'}={frac {y'}{sqrt {1+y'}}}quad {text{y}quad {frac {partial L(x,y,y')} {partial y}}=0}=0} {f}f}f}f}f}f}fn0.

Sustituyendo estos en la ecuación de Euler-Lagrange, obtenemos

ddxSí..()x)1+()Sí..()x))2=0Sí..()x)1+()Sí..()x))2=C=constante⇒ ⇒ Sí..()x)=C1− − C2=A⇒ ⇒ Sí.()x)=Ax+B{fnK} {fnMicroc {fnMicrosoft} {fnMicrosoft {fnMicrosoft} {fn} {fnMicroc}{sqrt {1+(y'(x)}}}}} {m} {fnMicroc {c} {cH00} {cH00} {cH00} {cH00}} {cH00}}}} {cH00}}}}}}}}} {cH00} {cH00} {ccH00} {cH00} {cH00}}}}}}}}ccccccccH00} {cH00}} {cH00}ccH00}ccH00}}}}ccH00}ccH00}cccH00}ccH00}}ccc Rightarrow y'(x) {C}{sqrt {1-C^{2}}=:A\\\\\\\\fnMicrosoft Sans Serif}}}

es decir, la función debe tener una primera derivada constante y, por lo tanto, su gráfica es una línea recta.

Generalizaciones

Función única de variable única con derivadas superiores

Los valores estacionarios del funcional

I[f]=∫ ∫ x0x1L()x,f,f.,f.,...... ,f()k))dx;f.:=dfdx,f.:=d2fdx2,f()k):=dkfdxk{displaystyle I[f]=int ¿Qué? x~;~f':={cfrac {fnK} F}{mathrm {d} ♪♪ {mathrm {d} {m} {m} {m}}}},~f^{(k)}:={rrac {fnK} {f} {f}}} {f}}}}} {f}}}}}} {f}}}}}}}}} {m}}}}}}} {m}}}}}}}} {m}

se puede obtener de la ecuación de Euler-Lagrange

∂ ∂ L∂ ∂ f− − ddx()∂ ∂ L∂ ∂ f.)+d2dx2()∂ ∂ L∂ ∂ f.)− − ⋯ ⋯ +()− − 1)kdkdxk()∂ ∂ L∂ ∂ f()k))=0{displaystyle {cfrac {partial} {fnh} {fnh} {fnh} {fnh} {fnhm {}}m}m} {cH}cH}c}cH} {cH0} {fnh} {cH}}}cH00}}cH00}cH00} {cH00} {cH00}}}}}}} {cH}}}} {cH00}}}}}}}}}}}} {m}}}}} {m} {cH} {cH}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}} {cH} {cH}}} {cH}} {c}}}}} {cH}}}}}}}} {cH}}}}}}}}} {cH}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}} {L}}{partial f'}right)-dots +(-1)}{k}{cfrac {fnK} {fnK} {fnK} {fnK}}}left({cfrac)} {fn} {fnK}}} {fnK}} {fnK}} {fnK}} {fnK}} {f}} {fnKfnK}}}}} {f}}}}}}}}}}}}f}}}}}}}}}}}}}m} {m} {m}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}m} {m} {m} {m} {m} {m} {m} {m} {m} {m} {f}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}} {m} {m}} {fnMitcal} {L}}{partial f^{(k)}}right)=0}

bajo condiciones de límites fijos para la función misma, así como para la primera k− − 1{displaystyle k-1} derivados (es decir, para todos) f()i),i▪ ▪ {}0,...,k− − 1}{displaystyle f^{(i)},iin {0,...,k-1}). Los valores de punta del derivado más alto f()k){displaystyle f^{(k)} Sigue siendo flexible.

Varias funciones de variable única con derivada única

Si el problema implica encontrar varias funciones (f1,f2,...... ,fm{displaystyle F_{1},f_{2},dotsf_{m}) de una sola variable independiente (x{displaystyle x}) que define un extremum del funcional

I[f1,f2,...... ,fm]=∫ ∫ x0x1L()x,f1,f2,...... ,fm,f1.,f2.,...... ,fm.)dx;fi.:=dfidx{displaystyle I[f_{1},f_{2},dotsf_{m}=int ¿Por qué? #={cfrac {fnK} ¿Qué?

entonces las ecuaciones de Euler-Lagrange correspondientes son

∂ ∂ L∂ ∂ fi− − ddx()∂ ∂ L∂ ∂ fi.)=0;i=1,2,...,m{displaystyle {begin{aligned}{frac {partial {Mathcal {L}}{partial} {fnMicrosoft}}} {fnMicrosoft}}} {f}}} {f}}}} {fn}}}} {fnMicrosoft}}}}}}}} {f}}}}}}}} { {fnK}}-{m} {m} {m} {fn}m}m}m}m}m} {fnMicroc {m} {m} {fnfnfnfn}}m}}m} {m}m}m}m}m}m}m}mm}m}m}m}mm}m}mm}m}m}m}m}m}mmmmmmmmm}m}m}m}mm}m}mmmmmmmmm}mmmmmmmmmm}mm}mmm}mmmmmm}mmm}m}m} # Mathcal {L}} {partial f_{i}}}right)=0;quad i=1,2,...,mend{aligned}}

Función única de varias variables con derivada única

Una generalización multidimensional viene de considerar una función en variables n. Si Ω Ω {displaystyle Omega } es una superficie, entonces

I[f]=∫ ∫ Ω Ω L()x1,...... ,xn,f,f1,...... ,fn)dx;fj:=∂ ∂ f∂ ∂ xj{displaystyle I[f]=int ################################################################################################################################################################################################################################################################ ################################################################################################################################################################################################################################################################ {partial f}{partial #

se extremiza solo si f satisface la ecuación diferencial parcial

∂ ∂ L∂ ∂ f− − .. j=1n∂ ∂ ∂ ∂ xj()∂ ∂ L∂ ∂ fj)=0.{fnMicrosoft {fnMicrosoft {fnMicrosoft {fnMicrosoft {fnMicrosoft {\fnMicrosoft} # Mathcal {}}{partial f}-sum _{j=1}{n}{frac {partial }{partial x_{j}}left({frac {partial {Mathcal {L}}{partial f_{j}}right)=0.}

Cuando n = 2 y funcional I{displaystyle {fnMithcal}} es la energía funcional, esto conduce al problema de superficie mínima de llenado de jabón.

Varias funciones de varias variables con derivada única

Si hay varias funciones desconocidas por determinar y varias variables tales que

I[f1,f2,...... ,fm]=∫ ∫ Ω Ω L()x1,...... ,xn,f1,...... ,fm,f1,1,...... ,f1,n,...... ,fm,1,...... ,fm,n)dx;fi,j:=∂ ∂ fi∂ ∂ xj{displaystyle I[f_{1},f_{2},dotsf_{m}=int ################################################################################################################################################################################################################################################################ {fnMicrosoft Sans Serif} {fnMicrosoft Sans Serif} {fnMicrosoft Sans Serif} {fnMicrosoft}} {cH}} {fnMicrosoft}}} {fnMicrosoft Sans Serif}} {fnMicrosoft}}} {f}}} {fnMicrosoft}}}} {fnMicrosoft}}}}}} {f}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}} {b}}}}}}} {b}}}} {b}}}}}}}}}}}}}} {b}}}}}}}}}}} {b}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}} { #

el sistema de ecuaciones de Euler-Lagrange es

∂ ∂ L∂ ∂ f1− − .. j=1n∂ ∂ ∂ ∂ xj()∂ ∂ L∂ ∂ f1,j)=01∂ ∂ L∂ ∂ f2− − .. j=1n∂ ∂ ∂ ∂ xj()∂ ∂ L∂ ∂ f2,j)=02⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ∂ ∂ L∂ ∂ fm− − .. j=1n∂ ∂ ∂ ∂ xj()∂ ∂ L∂ ∂ fm,j)=0m.{displaystyle {begin{aligned}{frac {partial {Mathcal {L}}{partial} {f}} {fnMicrosoft}}} {f}}} {fnMicrosoft}}}} {fn}}}}}} {fn}}}}}} {f}}}}} {f}}}}} {f}}}}}}}}} { ¿Por qué? {fnMicroc {fnMicroc {fnMithcal} {fnMithcal {L}}{partial} {f}} {fnMicrosoft}}} {f}}} {fnMicrosoft}}}} {fn}}}}}} {fn}}}}}} {f}}}}} {f}}}}} {f}}}}}}}}} { ¿Qué? {fnMitcal} {L}}{partial} {f}} {fnMicrosoft}}} {f}}} {fnMicrosoft}}}} {fn}}}}}} {fn}}}}}} {f}}}}} {f}}}}} {f}}}}}}}}} { ¿Por qué? {fnMicroc {fnMicroc {fnMithcal} {fnMithcal {L}}{partial} {f}} {fnMicrosoft}}} {f}}} {fnMicrosoft}}}} {fn}}}}}} {fn}}}}}} {f}}}}} {f}}}}} {f}}}}}}}}} { f_{2,j}}}right) Due=0_{2}\\vdots qquad vdots qquad &quad vdots {frac {partial {mathcal {L}}{partial ¿Qué? {fnMicroc {fnMicroc {fnMithcal} {fnMithcal {L}}{partial} {f}} {fnMicrosoft}}} {f}}} {fnMicrosoft}}}} {fn}}}}}} {fn}}}}}} {f}}}}} {f}}}}} {f}}}}}}}}} { {fnMicrosoft Sans Serif}}

Función única de dos variables con derivadas mayores

Si hay una única función desconocida f a determinar que depende de dos variables x₁ y x₂ y si el funcional depende de derivadas superiores de f hasta n-ésimo orden tal que

I[f]=∫ ∫ Ω Ω L()x1,x2,f,f1,f2,f11,f12,f22,...... ,f22...... 2)dxfi:=∂ ∂ f∂ ∂ xi,fij:=∂ ∂ 2f∂ ∂ xi∂ ∂ xj,...... {displaystyle {begin{aligned}I[f] ################################################################################################################################################################################################################################################################ f_{i}:={cfrac {partial f}{partial ################################################################################################################################################################################################################################################################ f_{ij}:={cfrac {partial ^{2}f}{partial x_{i}partial ¿Qué?

entonces la ecuación de Euler-Lagrange es

∂ ∂ L∂ ∂ f− − ∂ ∂ ∂ ∂ x1()∂ ∂ L∂ ∂ f1)− − ∂ ∂ ∂ ∂ x2()∂ ∂ L∂ ∂ f2)+∂ ∂ 2∂ ∂ x12()∂ ∂ L∂ ∂ f11)+∂ ∂ 2∂ ∂ x1∂ ∂ x2()∂ ∂ L∂ ∂ f12)+∂ ∂ 2∂ ∂ x22()∂ ∂ L∂ ∂ f22)− − ⋯ ⋯ +()− − 1)n∂ ∂ n∂ ∂ x2n()∂ ∂ L∂ ∂ f22...... 2)=0{displaystyle {begin{aligned}{frac {partial {Mathcal {L}}{partial f} {frac} {partial }{partial ¿Por qué? # Mathcal {fnK} {fnMicrosoft Sans Serif} {fnMicrosoft Sans Serif} {fnMicrosoft Sans Serif} {fnMicrosoft Sans Serif} {fnMicrosoft Sans Serif} {f}} {fnMicros}}}}} {fnK}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}} {dere}}}} {dere}}}}}}}}}}}}}}}} {dere} {dere} {dere}}} {dere} {dere} {dere} {dere} {dere} {dere} {dere} {dere} {dere} {dere}}}}}}}} {dere} {dere}}}}} {dere}} {dere}}}}} ¿Por qué? # Mathcal {fnK} {fnK}}}derecho)+{frac {partial ^{2}{partial}}{partial}}}}}}} {derecho}}} {fn}} {f}}}} {f}}}} {f}}}}}}}}derecho}}}}}}}}}}}}}}}}}}dere}dere}dere} {dere} {dere}}dere}dere} {dere} {dere} {dere} {dere}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}dere}dere}dere} {dere} {dere} {dere}derechodere} {dere} {derechodere}dere}}}}}}}}}}}}} - ¿Por qué? # Mathcal {fnK} {fnK}}derecha)+{frac {partial ^{2}{partial x_{1}partial ¿Por qué? # Mathcal {fnK} {fnK}}}derecha)+{frac {partial ^{2}{partial}}{partial - ¿Por qué? # Mathcal {L}}}{partial f_{22}}}right)\bun}bun}{n}{frac {partial ^{n}}{partial - ¿Por qué? {L}}{partial f_{22dots 2}}right)=0end{aligned}}

que se puede representar brevemente como:

∂ ∂ L∂ ∂ f+.. j=1n.. μ μ 1≤ ≤ ...... ≤ ≤ μ μ j()− − 1)j∂ ∂ j∂ ∂ xμ μ 1...... ∂ ∂ xμ μ j()∂ ∂ L∂ ∂ fμ μ 1...... μ μ j)=0{fnMicrosoft {fnMicrosoft {fnMicrosoft {fnMicrosoft {fnMicrosoft {\fnMicrosoft} # Mathcal {L}}{partial f}+sum _{j=1}{n}sum _{mu _{1}leq ldots leq mu _{j} {j}{j}{j}frac {partial ^{j}{c}{c} {c} {c} {c} {c} {c} {c}}c}c}c}c}c}cccccc}c}c}c}ccccc}ccc}ccccc}c}c}cccc}cccccccccccccccc}ccccc}ccccccc}ccc}ccc {L}}{partial} {f}} {fnMicrosoft}}} {f}}} {fnMicrosoft}}}} {fn}}}}}} {fn}}}}}} {f}}}}} {f}}}}} {f}}}}}}}}} { ¿Qué?

donde μ μ 1...... μ μ j{displaystyle mu _{1}dots mu _{j}} son índices que abarcan el número de variables, es decir, aquí van de 1 a 2. Aquí la suma sobre el μ μ 1...... μ μ j{displaystyle mu _{1}dots mu _{j}} los índices se acaban μ μ 1≤ ≤ μ μ 2≤ ≤ ...... ≤ ≤ μ μ j{displaystyle mu _{1}leq mu _{2}leq ldots leq mu _{j}} para evitar contar el mismo derivado parcial varias veces, por ejemplo f12=f21{displaystyle F_{12}=f_{21} aparece sólo una vez en la ecuación anterior.

Varias funciones de varias variables con derivadas mayores

Si hay p funciones desconocidas f_i a determinar que dependen de m variables x₁... x_m y si el funcional depende de derivadas superiores de la f_i hasta n-ésimo orden tal que

I[f1,...... ,fp]=∫ ∫ Ω Ω L()x1,...... ,xm;f1,...... ,fp;f1,1,...... ,fp,m;f1,11,...... ,fp,mm;...... ;fp,1...... 1,...... ,fp,m...... m)dxfi,μ μ :=∂ ∂ fi∂ ∂ xμ μ ,fi,μ μ 1μ μ 2:=∂ ∂ 2fi∂ ∂ xμ μ 1∂ ∂ xμ μ 2,...... {displaystyle {begin{aligned}I[f_{1},ldotsf_{p} {fnMicrosoft Sans Serif} ¿Por qué? };,quad f_{i,mu ¿Qué? {fnMicrosoft Sans Serif} ^{2}f_{i}{partial x_{mu _{1}partial x_{mu ¿Por qué?

Donde μ μ 1...... μ μ j{displaystyle mu _{1}dots mu _{j}} son índices que abarcan el número de variables, es decir, van de 1 a m. Entonces la ecuación Euler-Lagrange es

∂ ∂ L∂ ∂ fi+.. j=1n.. μ μ 1≤ ≤ ...... ≤ ≤ μ μ j()− − 1)j∂ ∂ j∂ ∂ xμ μ 1...... ∂ ∂ xμ μ j()∂ ∂ L∂ ∂ fi,μ μ 1...... μ μ j)=0{fnMicrosoft {fnMicrosoft {fnMicrosoft {fnMicrosoft {fnMicrosoft {\fnMicrosoft} {fnMitcal {} {fnMitcal}} {fnMitcal} {fnh} {fnh}} {fnMitcal}}} {fnMitcal}}}} {fnMitcal {f}}}} {f}}}}} {b}}}}} {b}}}}}}}}}}}}}}} { f_{i}}+sum _{j=1}{n}sum _{mu _{1}leq ldots leq mu _{j} {}{j}{j}{j}{frac {partial ^{j}{partial x_{1}}}}}dotspartial x_{j}{m} {m} {m} {} {c} {c}{}{}}}}{}}}}{}} {c}}}}}}{}}}}c} {c}c}c}c}}}c}}}}c}c}}ccc}c}c}c}c}c}cc}cccc}c}c}c}c}c}c}c}c}cc}c}cc}c}c} {L}}{partial f_{i,mu _{1}dots mu _{j}}right)=0}

donde la suma sobre μ μ 1...... μ μ j{displaystyle mu _{1}dots mu _{j}} está evitando contar el mismo derivado fi,μ μ 1μ μ 2=fi,μ μ 2μ μ 1{displaystyle f_{i,mu ¿Qué? # {2}=f_{i,mu ¿Qué? ¿Qué? varias veces, como en la subsección anterior. Esto se puede expresar más compactamente

.. j=0n.. μ μ 1≤ ≤ ...... ≤ ≤ μ μ j()− − 1)j∂ ∂ μ μ 1...... μ μ jj()∂ ∂ L∂ ∂ fi,μ μ 1...... μ μ j)=0{displaystyle sum _{j=0}sum _{mu _{1}leq ldots leq mu _{j}}(-1)^{j}partial _{mu _{1}ldots mu _{j}}}left({frac {partial {mathcal {L}}{partial f_{i,mu _{1}dots mu _{j}}right)=0}

Generalización a variedades

Vamos M{displaystyle M} ser un manifold suave, y dejar CJUEGO JUEGO ()[a,b]){displaystyle C^{infty}([a,b]} denotar el espacio de funciones suaves f:: [a,b]→ → M{displaystyle fcolon [a,b]to M}. Entonces, para funcionalidades S:: CJUEGO JUEGO ()[a,b])→ → R{displaystyle Scolon C^{infty}([a,b])to mathbb {R} de la forma

S[f]=∫ ∫ ab()L∘ ∘ fÍ Í )()t)dt{displaystyle S[f]=int _{a} {b}(Lcirc {dot {f})(t),mathrm {d} t}

Donde L:: TM→ → R{displaystyle Lcolon TMto mathbb {R} es el Lagrangian, la declaración dSf=0{displaystyle mathrm {d} S_{f}=0} equivale a la afirmación de que, para todos t▪ ▪ [a,b]{displaystyle tin [a,b], cada trivialización del marco de coordinación ()xi,Xi){displaystyle (x^{i},X^{i})} de un barrio fÍ Í ()t){displaystyle {dot {}(t)} cede los siguientes rendimientos dim⁡ ⁡ M{displaystyle dim M} ecuaciones:

О О i:ddt∂ ∂ L∂ ∂ XiSilenciofÍ Í ()t)=∂ ∂ L∂ ∂ xiSilenciofÍ Í ()t).{displaystyle forall i:{frac {mhm} }{mathrm {d} {fnMicroc {fnMicrosoft} {fnMicrosoft}} {fnMicroc {fnMicrosoft}} {fnMicrosoft}}}} {fnMicroc {fnMicrosoft}}}} {f}}} {f}}}} {fnMicroc {f}f}f}}}}f}f}f}f}f}f}f}f}f}f}f}f}f}f}f}f}f}f}f}f}f}f}f}f}f}f}fnMicrocf}f}f}f}f}f}f}f}f}f}f}f}fn}fn}f}f}f}f}f}f}f}f}f ¿Por qué? ¿Qué?