Ecuación de Duffing

La ecuación de Duffing (o oscilador de Duffing), llamada así en honor a Georg Duffing (1861-1944), es una ecuación diferencial no lineal de segundo orden que se utiliza para modelar ciertos osciladores amortiguados y accionados. La ecuación está dada por

$${\displaystyle {\ddot {x}+\delta {\dot}+\alpha x+\beta x^{3}=\gamma \cos(\omega t),}$$

${\displaystyle x=x(t)}$

${\displaystyle {\dot {x}}$

${\displaystyle x}$

${\displaystyle {\ddot {x}}$

${\displaystyle x,}$

${\displaystyle \delta}$

${\displaystyle \alpha}$

${\displaystyle \beta}$

${\displaystyle \gamma }$

${\displaystyle \omega }$

La ecuación describe el movimiento de un oscilador húmedo con un potencial más complejo que en simple movimiento armónico (que corresponde al caso ${\displaystyle \beta =\delta =0}$); en términos físicos, modela, por ejemplo, un péndulo elástico cuya rigidez de primavera no obedece exactamente la ley de Hooke.

La ecuación de Duffing es un ejemplo de un sistema dinámico que exhibe un comportamiento caótico. Además, el sistema Duffing presenta en la respuesta de frecuencia el fenómeno de resonancia de salto que es una especie de comportamiento de histéresis de frecuencia.

Parámetros

Los parámetros en la ecuación anterior son:

• ${\displaystyle \delta }$ controla la cantidad de humedad,
• ${\displaystyle \alpha }$ controla la rigidez lineal,
• ${\displaystyle \beta }$ controla la cantidad de no linealidad en la fuerza restauradora; si ${\displaystyle \beta =0,}$ la ecuación Duffing describe un oscilador armónico simple amortiguado y conducido,
• ${\displaystyle \gamma }$ es la amplitud de la fuerza impulsora periódica; si ${\displaystyle \gamma =0}$ el sistema está sin una fuerza motriz, y
• ${\displaystyle \omega }$ es la frecuencia angular de la fuerza de conducción periódica.

La ecuación Duffing se puede ver como describir las oscilaciones de una masa adjunta a una primavera no lineal y un amortiguador lineal. La fuerza de restauración proporcionada por la primavera no lineal es entonces ${\displaystyle \alpha x+\beta x^{3}$

Cuando ${\displaystyle \alpha œ0}$ y ${\displaystyle \beta >0}$ la primavera se llama muelle de endurecimiento. Por el contrario, ${\displaystyle \beta #$ Es una ablandamiento de primavera (todavía con ${\displaystyle \alpha œ0}$). En consecuencia, los adjetivos endurecimiento y suavidad se utilizan con respecto a la ecuación Duffing en general, dependiendo de los valores de ${\displaystyle \beta }$ (y) ${\displaystyle \alpha }$).

El número de parámetros en la ecuación Duffing se puede reducir mediante dos escalas (de acuerdo con el teorema Buckingham π), por ejemplo la excursión ${\displaystyle x}$ y tiempo ${\displaystyle t}$ se puede escalar como: ${\displaystyle \tau =t{\sqrt {\fnMicrosoft} }$ y ${\displaystyle y=x\alpha /\gamma}$ suposición ${\displaystyle \alpha }$ es positivo (otros escalajes son posibles para diferentes rangos de los parámetros, o para diferente énfasis en el problema estudiado). Entonces:

$${\displaystyle {\ddot {y}+2\eta \,{\dot {y}+y+\varepsilon \,y^{3}=\cos(\sigma \tau),}$$

• ${\displaystyle \eta ={\frac {\delta ##{2{\sqrt {\alpha }}}$
• ${\displaystyle \varepsilon ={\beta \gamma ^{2}{\alpha ^{3}}}}}}$ y
• ${\displaystyle \sigma ={\omega }{\sqrt {\alpha }}}$

Los puntos denotan diferenciación de ${\displaystyle y(\tau)}$ con respecto a ${\displaystyle \tau.}$ Esto muestra que las soluciones a la ecuación de amortiguación forzada y amortiguada se pueden describir en términos de los tres parámetros (${\displaystyle \varepsilon }$, ${\displaystyle \eta }$, y ${\displaystyle \sigma }$) y dos condiciones iniciales (es decir, para ${\displaystyle y(t_{0}}$ y ${\displaystyle {\dot {} {\fnMicrosoft Sans Serif}$).

Métodos de solución

En general, la ecuación de Duffing no admite una solución simbólica exacta. Sin embargo, muchos métodos aproximados funcionan bien:

• La expansión en una serie Fourier puede proporcionar una ecuación de movimiento a la precisión arbitraria.
• El ${\displaystyle x^{3}$ término, también llamado Duffing term, puede ser aproximado como pequeño y el sistema tratado como un oscilador armónico simple perturbado.
• El método Frobenius produce una solución compleja pero viable.
• Cualquiera de los diversos métodos numéricos como el método de Euler y los métodos Runge-Kutta se pueden utilizar.
• El método de análisis de homotopy (HAM) también se ha reportado para obtener soluciones aproximadas de la ecuación de Duffing, también para una fuerte no linearidad.

En el caso especial de los no empañados (${\displaystyle \delta =0}$) y sin gotear (${\displaystyle \gamma =0}$) Ecuación de amortiguación, una solución exacta se puede obtener utilizando las funciones elípticas de Jacobi.

Acotación de la solución para el oscilador no forzado

Oscilador no amortiguado

Multiplicación de la ecuación de amortiguación sin forzar, ${\displaystyle \gamma =\delta =0,}$ con ${\displaystyle {\dot {x}}$ da:

$${\displaystyle {\begin{aligned} {\dot {x}\ddot {x}}+\alpha x+\beta x^{3}\right)=0\[1ex]\Longrightarrow {}{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} {\fnMicrosoft} {\fnMicrosoft} {\fnMicrosoft} {\fnMicrosoft} {\fnMicrosoft}} {\fnMicrosoft}}} {\fnMicrosoft}} {\fnMicrosoft} {\c} {\c}} {\c} {\c} {\c}\c} {\c}}\c}}}\c}\c}}\c}\c}\c}\c\c}\c}\c}\c}\c}\c}\c}\c}\c\c\c}\c}\c}\c\c\c\c}\c}\c}\c}\c}\c}\c}\c}\c}\c\c}\c}\c\c\c\c\c\c}\c}\c}\c}\c}\c}\c}\c}\c}\c}\c}\c}\c}\c}\c}\c}$$

${\displaystyle x(0)}$

${\displaystyle {\dot {x}(0)}$

La sustitución ${\displaystyle y={\dot {x}}$ dentro H muestra que el sistema es Hamiltonian:

$${\displaystyle {\begin{aligned} {x}=+{\frac {\partial H}{\partial - ¿Qué? Longrightarrow {\fnMicroc} {1}{2}y^{2}+{2}}\alpha x^{2}+{\tfrac {1}{4}}\beta x^{4}}\end{aligned}}}}}$$

Cuando ambos ${\displaystyle \alpha }$ y ${\displaystyle \beta }$ son positivos, la solución está ligada:

$${\fnMicrosoft Sans Serif}\qquad {\fnh}\fnh}\qquad {\fnh}\qquad priv\dot {x}\leq {\sqrt {\sqh}}}}}$$

Oscilador amortiguado

De manera similar, el oscilador amortiguado converge globalmente, según el método de la función de Lyapunov.

$${\fnMicrosoft Sans Serif} {\fnK}\fnK}\beta {\fnh\fnh}+\beta {\c}+\beta x+\beta x^{3}\derecha)=0\[1ex]\Longrightarrow {} {} {\fnMicroc {\m} {\d}}}\f}\f}\f}\f}\fnMicrom}}}}}}}}}}}}\f}}\f}\f}\f}\f}\f}\f}\f}\fnh}\f}\fnh}\f}\fnh}\f}\f}\fnh}\fnh}\fnh}\fnh}\fnh}\fnh}\f}\fnh}\fnh}\fnh}\fnh}\fnh}\fnh}\f}\fnh}\f}\fnh }{\mathrm {d} {\fnMicrosoft Sans Serif} {\fnMicrosoft Sans Serif}} {\fnMicroc {2}} {2}}\fnunci}\nuncio x}+{\frac {1} {4}\beta x^{4} {4}\derecha}\derecha {\derech}}\cH0}\i}\c}\i}\c}\i}\cH00}\c}\cH00}\c}\c}\c}\cH00}\c}\cH00}\cH00}\c}\c}\c}\c}\cH00}\c}\c}\c}\c}\c}\c}\cH00}\cH00}\c}\cH00}\cH00}\c}\c}\c}\cH00}\c}\c}\cH00}\c}\c}\c}\c}\c}\c}\c}\c {\fnMicroc {\fnMicrosoft} {\fnMicrosoft}} ¿Qué?$$

${\displaystyle \delta \geq 0}$

${\displaystyle \alpha x+\beta x^{3}=0.}$

${\displaystyle \alpha œ0}$

${\displaystyle x=0.}$

${\displaystyle \alpha #$

${\displaystyle \beta >0}$

${\textstyle x=+{\sqrt {-\alpha /\beta }$

${\textstyle x=-{\sqrt {-\alpha /\beta }}$

Respuesta de frecuencia

El oscilador de Duffing forzado con no linealidad cúbica se describe mediante la siguiente ecuación diferencial ordinaria:

$${\displaystyle {\ddot {x}+\delta {\dot}+\alpha x+\beta x^{3}=\gamma \cos(\omega t).}$$

La respuesta de frecuencia de este oscilador describe la amplitud ${\displaystyle z}$ de la respuesta constante del estado de la ecuación (es decir, ${\displaystyle x(t)}$) a una frecuencia dada de excitación ${\displaystyle \omega.}$ Para un oscilador lineal con ${\displaystyle \beta =0,}$ la respuesta de frecuencia también es lineal. Sin embargo, para un coeficiente cúbico no cero ${\displaystyle \beta }$, la respuesta de frecuencia se vuelve no lineal. Dependiendo del tipo de no linearidad, el oscilador Duffing puede mostrar endurecimiento, ablandamiento o respuesta de frecuencia mezclada de endurecimiento. De todos modos, utilizando el método de análisis de homotopy o balance armónico, se puede derivar una ecuación de respuesta de frecuencia en la siguiente forma:

$${\displaystyle \left[\left(\omega) ^{2}-\alpha -{\tfrac {3}{4}\beta z^{2}\right)^{2}+\left(\delta \omega \right)^{2}\right]\,z^{2}=\gamma ^{2}}$$

Para los parámetros de la ecuación Duffing, la ecuación algebraica anterior da la amplitud de oscilación del estado constante ${\displaystyle z}$ a una frecuencia de excitación dada.

Derivación de la respuesta de frecuencia

Utilizando el método de equilibrio armónico, se busca una solución aproximada a la ecuación de Duffing de la forma:

$${\displaystyle x=a\,\cos(\omega t)+b\,\sin(\omega t)=z\,\cos(\omega t-\phi),}$$

con ${\displaystyle z^{2}=a^{2}+b^{2}$ y ${\displaystyle \tan \phi ={\frac {b}}}$

La aplicación en la ecuación Duffing conduce a:

$${\fnMicrosoft Sans Serif}$$

Neglecting the superharmonics at ${\displaystyle 3\omega}$ los dos términos anteriores ${\displaystyle \cos(\omega t)}$ y ${\displaystyle \sin(\omega t)}$ tiene que ser cero. Como resultado,

$${\fnMicrosoft Sans Serif}$$

Equilibrar ambas ecuaciones y agregar conduce a la respuesta de frecuencia de amplitud:

$${\displaystyle \left[\left(\omega) ^{2}-\alpha -{4}\beta z^{2}\right)^{2}+\left(\delta \omega \right)^{2}\right]\,z^{2}=\gamma ^{2}}}$$

como se indicó anteriormente.

• 
  Respuesta a la frecuencia ${\displaystyle z/\gamma}$ como función de ${\displaystyle \omega /{\sqrt {\alpha }$ para la ecuación Duffing, con ${\displaystyle \alpha =\gamma =1}$ y amortiguación ${\displaystyle \delta =0.1}$. Las partes desgarradas de la respuesta de frecuencia son inestables.
• 
  La misma trama que un diagrama 3D. Varying ${\displaystyle \beta }$ se muestra a lo largo de un eje separado.

Resolver gráficamente la respuesta de frecuencia

Podemos resolver gráficamente para ${\displaystyle z^{2}$ como la intersección de dos curvas en ${\displaystyle (z^{2},y)}$ avión:

$${\displaystyle {\begin{cases}y=\left(\omega) ^{2}-\alpha -{4}\beta z^{2}\right)^{2}+\left(\delta \omega \right)^{2}\[1ex]y={\dfrac {\gamma ^{2}{2}}\end{cases}} {\fnMicrosoft Sans Serif}}$$

${\displaystyle \alpha\delta\gamma }$

${\beta }(z^{2})}$

${\fnMixstyle ({\tfrac {4}{3\beta }(\omega ^{2}-\alpha),\delta ^{2}\omega ^{2}}}$

${\displaystyle \beta }$

${\displaystyle \omega }$

${\textstyle y={\tfrac {3}{4}\beta \delta ^{2}(z^{2})+\delta ^{2}\alpha }$

Gráficamente, entonces, vemos que si ${\displaystyle \beta }$ es un gran número positivo, entonces como ${\displaystyle \omega }$ varía, el parabola interseca la hiperbola en un punto, luego tres puntos, luego un punto de nuevo. Del mismo modo podemos analizar el caso cuando ${\displaystyle \beta }$ es un gran número negativo.

Saltos

Para ciertos rangos de los parámetros en la ecuación Duffing, la respuesta de frecuencia puede ya no ser una función de valor único de forzar frecuencia ${\displaystyle \omega.}$ Para un oscilador de muelles endurecido (${\displaystyle \alpha œ0}$ y lo suficientemente positivo ${\displaystyle \beta ¿Por qué?$) la respuesta de frecuencia supera al lado de alta frecuencia, y al lado de baja frecuencia para el oscilador de primavera (${\displaystyle \alpha œ0}$ y ${\displaystyle \beta âTMa âTMa âTMa âTMa âTMa âTMa âTMa âTMa âTMa âTMa âTMa âTMa âTMa âTMa âTMa âTMa âTMa âTMa âTMa âTMa âTMa âTMa âTMa âTMa\beta âTMa âTMa âTMa âTMa âTMa âTMa âTMa âTMa âTMa âTMa âTMa âTMa âTMa âTMa âTMa âTMa âTMa âTMa âTMa âTMa âTMa âTMa âTMa âTMa âTMa\displaystyle \beta âTMa âTMa âTMa âTMa âTMa âTMa âTMa âTMa âTMa âTMa âTMa âTMa âTMa âTMa âTMa âTMa âTMa âTMa âTMa âTMa âTMa âTMa âTMa âTMa âTMa âTMa âTMa âTMa âTMa âTMa â$). El lado superior inferior es inestable – es decir, las partes de línea desgarrada en las cifras de la respuesta de frecuencia – y no se puede realizar durante un tiempo sostenido. En consecuencia, el fenómeno del salto aparece:

• cuando la frecuencia angular ${\displaystyle \omega }$ se aumenta lentamente (con otros parámetros fijos), la amplitud de respuesta ${\displaystyle z}$ gotas en A repentinamente a B,
• si la frecuencia ${\displaystyle \omega }$ se disminuye lentamente, luego en C la amplitud salta hasta D, después de la rama superior de la respuesta de frecuencia.

Los saltos A–B y C–D no coinciden, por lo que el sistema muestra histeresis dependiendo de la dirección de barrido de frecuencia.

Transición al caos

El análisis anterior asumió que domina la respuesta de frecuencia base (necesaria para realizar el equilibrio armónico) y que las respuestas de frecuencia más altas son insignificantes. Esta suposición no se cumple cuando el forzamiento es suficientemente fuerte. No se pueden descuidar los armónicos de orden superior y la dinámica se vuelve caótica. Hay diferentes transiciones posibles al caos, más comúnmente mediante la duplicación sucesiva de períodos.

Ejemplos

Trazas de tiempo y retratos de fase

oscilación del período-1 ${\displaystyle \gamma =0.20}$

oscilación entre períodos y 2 ${\displaystyle \gamma =0.28}$

oscilación entre el período y el 4 ${\displaystyle \gamma =0.29}$

oscilación entre el período y el 5 ${\displaystyle \gamma =0.37}$

el caos ${\displaystyle \gamma =0.50}$

oscilación entre períodos y 2 ${\displaystyle \gamma =0.65}$

Algunos ejemplos típicos de la serie de tiempo y los retratos de fase de la ecuación Duffing, mostrando la apariencia de la subharmonía a través de la bifurcación de doble período – así como el comportamiento caótico – se muestran en las figuras siguientes. La amplitud forzando aumenta a partir de ${\displaystyle \gamma =0.20}$ a ${\displaystyle \gamma =0.65}$. Los otros parámetros tienen los valores: ${\displaystyle \alpha =-1}$, ${\displaystyle \beta =+1}$, ${\displaystyle \delta =0.3}$ y ${\displaystyle \omega =1.2}$. Las condiciones iniciales son ${\displaystyle x(0)=1}$ y ${\displaystyle {\dot {x}(0)=0.}$ Los puntos rojos en los retratos de fase son a veces ${\displaystyle t}$ que son un número entero de la época ${\displaystyle T=2\pi /\omega }$.