Ecuación de difusión
La ecuación de difusión es una ecuación diferencial parcial parabólica. En física, describe el comportamiento macroscópico de muchas micropartículas en movimiento browniano, resultante de los movimientos aleatorios y las colisiones de las partículas (ver las leyes de difusión de Fick). En matemáticas, está relacionado con los procesos de Markov, como los paseos aleatorios, y se aplica en muchos otros campos, como la ciencia de materiales, la teoría de la información y la biofísica. La ecuación de difusión es un caso especial de la ecuación de convección-difusión cuando la velocidad global es cero. Es equivalente a la ecuación del calor en algunas circunstancias.
Declaración
La ecuación generalmente se escribe como:
![{\displaystyle {\frac {\partial \phi (\mathbf {r}t)}{\partial t}}=\nabla \cdot {\big [}D(\phi\mathbf {r})\ \nabla \phi (\mathbf {r}t){\big ]},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/948a15942a9ac71f7c08edb85cb28c88d3d3cfdf)
donde ϕ(r, t) es la densidad del material que se difunde en la ubicación r y hora t y < span class="texhtml">D(ϕ, r) es el coeficiente de difusión colectiva para la densidad ϕ en la ubicación r; y ∇ representa el operador diferencial vectorial del. Si el coeficiente de difusión depende de la densidad, entonces la ecuación no es lineal; en caso contrario, es lineal.
La ecuación anterior se aplica cuando el coeficiente de difusión es isotrópico; en el caso de difusión anisotrópica, D es una matriz definida positiva simétrica y la ecuación se escribe (para difusión tridimensional) como :
![{\displaystyle {\frac {\partial \phi (\mathbf {r}t)}{\partial t}}=\sum _{i=1}^{3}\sum _{j=1}^{3}{\frac {\partial }{\partial x_{i}}}\left[D_{ij}(\phi\mathbf {r}){\frac {\partial \phi (\mathbf {r}t)}{\partial x_{j}}}\right]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4a834bc395bf7a4cbc476fc91c39c7b89c49092f)
Si D es constante, entonces la ecuación se reduce a la siguiente ecuación diferencial lineal:
que es idéntica a la ecuación del calor. La ecuación de difusión tiene numerosas soluciones analíticas.
Origen histórico
La ecuación de difusión de partículas fue derivada originalmente por Adolf Fick en 1855.
Derivación
La ecuación de difusión se puede derivar trivialmente de la ecuación de continuidad, que establece que un cambio en la densidad en cualquier parte del sistema se debe a la entrada y salida de material dentro y fuera de esa parte del sistema. Efectivamente, no se crea ni se destruye ningún material:
Si se debe tener en cuenta la deriva, la ecuación de Fokker-Planck proporciona una generalización adecuada.
Discretización
La ecuación de difusión es continua tanto en el espacio como en el tiempo. Se puede discretizar el espacio, el tiempo o tanto el espacio como el tiempo, que surgen en la aplicación. Discretizar el tiempo por sí solo corresponde a tomar porciones de tiempo del sistema continuo, y no surgen nuevos fenómenos. Al discretizar el espacio únicamente, la función de Green se convierte en el núcleo gaussiano discreto, en lugar del núcleo gaussiano continuo. Al discretizar tanto el tiempo como el espacio, se obtiene el paseo aleatorio.
Discretización (imagen)
La regla del producto se utiliza para reescribir la ecuación de difusión del tensor anisotrópico, en esquemas de discretización estándar, porque la discretización directa de la ecuación de difusión con solo diferencias centrales espaciales de primer orden conduce a artefactos de tablero de ajedrez. La ecuación de difusión reescrita utilizada en el filtrado de imágenes:
![{\displaystyle {\frac {\partial \phi (\mathbf {r}t)}{\partial t}}=\nabla \cdot \left[D(\phi\mathbf {r})\right]\nabla \phi (\mathbf {r}t)+{\rm {tr}}{\Big [}D(\phi\mathbf {r}){\big (}\nabla \nabla ^{\text{T}}\phi (\mathbf {r}t){\big)}{\Big ]}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/57d7a01952a98ef98842a774946434e851c2b176)