Ecuación de cuarto grado

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Ecuación polinómica

En matemáticas, una ecuación cuártica es aquella que se puede expresar como una función cuártica igual a cero. La forma general de una ecuación de cuarto grado es

Gráfico de una función polinomio del grado 4, con sus 4 raíces y 3 puntos críticos.

ax^{4}+bx^{3}+cx^{2}+dx+e=0,

donde a ≠ 0.

La cuártica es la ecuación polinomial de mayor orden que puede resolverse mediante radicales en el caso general (es decir, uno en el que los coeficientes pueden tomar cualquier valor).

Historia

A Ludovico Ferrari se le atribuye el descubrimiento de la solución de la cuartica en 1540, pero como esta solución, como todas las soluciones algebraicas de la cuartica, requiere encontrar la solución de una cúbica, no se pudo publicar inmediatamente. La solución de la cuártica fue publicada junto con la de la cúbica por el mentor de Ferrari, Gerolamo Cardano, en el libro Ars Magna (1545).

La prueba de que este era el polinomio general de mayor orden para el cual se podían encontrar tales soluciones se dio por primera vez en el teorema de Abel-Ruffini en 1824, demostrando que todos los intentos de resolver los polinomios de mayor orden serían inútiles. Las notas dejadas por Évariste Galois antes de su muerte en un duelo en 1832 llevaron más tarde a una elegante teoría completa de las raíces de los polinomios, de la cual este teorema fue uno de los resultados.

Resolver una ecuación de cuarto grado, casos especiales

Considere una ecuación cuartica expresada en la forma ${displaystyle a_{0}x^{4}+a_{1}x^{3}+a_{2}x^{2}+a_{3}x+a_{4}=0}$ :

Existe una fórmula general para encontrar las raíces de las ecuaciones cuárticas, siempre que el coeficiente del término principal no sea cero. Sin embargo, dado que el método general es bastante complejo y susceptible a errores de ejecución, es mejor aplicar uno de los casos especiales que se enumeran a continuación, si es posible.

Caso degenerado

Si el término constante a₄ = 0, entonces una de las raíces es x = 0, y las otras raíces se pueden encontrar dividiendo por x y resolviendo la ecuación cúbica resultante,

{displaystyle a_{0}x^{3}+a_{1}x^{2}+a_{2}x+a_{3}=0.,}

Raíces evidentes: 1 y −1 y −k

Llame a nuestro polinomio cuartico $Q (x)$ . Como 1 elevado a cualquier potencia es 1,

{displaystyle Q(1)=a_{0}+a_{1}+a_{2}+a_{3}+a_{4}.}

Así si ${displaystyle a_{0}+a_{1}+a_{2}+a_{3}+a_{4}=0}$ $Q (1) = 0$ y así $x$ = 1 es una raíz de $Q () x)$ . Se puede mostrar igualmente que si ${displaystyle a_{0}+a_{2}+a_{4}=a_{1}+a_{3}}$ $x$ = 1 - es una raíz.

En cualquier caso, la cuarta parte completa se puede dividir por el factor $(x - 1)$ o $(x + 1)$ respectivamente produciendo un nuevo polinomio cúbico, que se puede resolver para encontrar las otras raíces de la cuarta.

Si ${displaystyle a_{1}=a_{0}k}$ ${displaystyle a_{2}=0 }$ y ${displaystyle a_{4}=a_{3}k}$ entonces ${displaystyle x=-k }$ es una raíz de la ecuación. El quartic completo puede ser factorizado de esta manera:

{displaystyle a_{0}x^{4}+a_{0}kx^{3}+a_{3}x+a_{3}k=a_{0}x^{3}(x+k)+a_{3}(x+k)=(a_{0}x^{3}+a_{3})(x+k).}

Alternativamente, si ${displaystyle a_{1}=a_{0}k}$ ${displaystyle a_{3}=a_{2}k}$ y ${displaystyle a_{4}=0}$ entonces $x = 0$ y $x = k$ se convierten en dos raíces conocidas. $Q () x)$ dividido por $x () x + k)$ es un polinomio cuadrático.

Ecuaciones bicuadráticas

Una ecuación cuártica donde a₃ y a₁ son iguales a 0 toma la forma

{displaystyle a_{0}x^{4}+a_{2}x^{2}+a_{4}=0,!}

y así es ecuación biquadratica, que es fácil de resolver: ${displaystyle z=x^{2}}$ , entonces nuestra ecuación se convierte en

{displaystyle a_{0}z^{2}+a_{2}z+a_{4}=0,!}

que es una ecuación cuadrática simple, cuyas soluciones se encuentran fácilmente usando la fórmula cuadrática:

{displaystyle z={frac {-a_{2}pm {sqrt {a_{2}^{2}-4a_{0}a_{4}}}}{2a_{0}}},!}

Cuando lo hayamos resuelto (es decir, encontramos estos dos valores z), podemos extraer x de ellos

{displaystyle x_{1}=+{sqrt {z_{+}}},!}

{displaystyle x_{2}=-{sqrt {z_{+}}},!}

{displaystyle x_{3}=+{sqrt {z_{-}}},!}

{displaystyle x_{4}=-{sqrt {z_{-}}},!}

Si cualquiera de las soluciones de z fueran números complejos o negativos, entonces algunas de las soluciones de x son números complejos.

Ecuaciones cuasi simétricas

{displaystyle a_{0}x^{4}+a_{1}x^{3}+a_{2}x^{2}+a_{1}mx+a_{0}m^{2}=0,}

Pasos:

Divide by x².
Uso del cambio variable z = x + m/x.
Entonces, z² = x² +m/x)² + 2m.

Esto conduce a:

{displaystyle a_{0}(x^{2}+m^{2}/x^{2})+a_{1}(x+m/x)+a_{2}=0}

{displaystyle a_{0}(z^{2}-2m)+a_{1}(z)+a_{2}=0}

{displaystyle z^{2}+(a_{1}/a_{0})z+(a_{2}/a_{0}-2m)=0}

(un quadratic in z = x + m/x)

Múltiples raíces

Si la cuártica tiene una raíz doble, se puede encontrar tomando el máximo común divisor del polinomio con su derivada. Luego se pueden dividir y resolver la ecuación cuadrática resultante.

En general, existen solo cuatro casos posibles de ecuaciones cuárticas con raíces múltiples, que se enumeran a continuación:

Multiplicidad-4 (M4): cuando la ecuación cuartica general se puede expresar como ${displaystyle a(x-l)^{4}=0}$ , para un número real $l$ . Este caso siempre se puede reducir a una ecuación biquadratica.
Multiplicidad-3 (M3): cuando la ecuación cuartica general se puede expresar como ${displaystyle a(x-l)^{3}(x-m)=0}$ , donde $l$ y $m$ son dos números reales diferentes. Este es el único caso que nunca se puede reducir a una ecuación biquadratica.
Doble Multiplicidad-2 (DM2): cuando la ecuación cuartic general se puede expresar como ${displaystyle a(x-l)^{2}(x-m)^{2}=0}$ , donde $l$ y $m$ son un par de dos números reales diferentes o un par de números conjugados complejos no reales. Este caso también se puede reducir siempre a una ecuación biquadratica.
Multiplicidad simple-2 (SM2): cuando la ecuación cuartic general se puede expresar como ${displaystyle a(x-l)^{2}(x-m)(x-n)=0}$ , donde $l$ , $m$ , y $n$ son tres números reales diferentes o $l$ es un número real y $m$ y $n$ son un par de números conjugados no reales complejos. Este caso se divide en dos subcases, aquellos que pueden ser reducidos a una ecuación biquadratica y aquellos en los que esto es imposible.

Por lo tanto, si los tres coeficientes no-mónicos de la ecuación cuártica deprimida en términos de los cinco coeficientes de la ecuación cuártica general se dan como sigue: ${displaystyle p={frac {8ac-3b^{2}}{8a^{2}}}}$ , ${displaystyle q={frac {b^{3}-4abc+8a^{2}d}{8a^{3}}}}$ y ${displaystyle r={frac {16ab^{2}c-64a^{2}bd-3b^{4}+256a^{3}e}{256a^{4}}}}$ ; entonces, los criterios para identificar a priori cada caso de ecuaciones cuárticas con múltiples raíces y sus respectivas soluciones se exponen a continuación.

M4. La ecuación cuartica general corresponde a este caso cada vez que ${displaystyle p=q=r=0}$ , por lo que las cuatro raíces de esta ecuación se dan como sigue: ${displaystyle x_{1}=x_{2}=x_{3}=x_{4}=-{frac {b}{4a}}}$ .
M3. La ecuación cuartica general corresponde a este caso cada vez que $0}" xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">p2=− − 12r■0{displaystyle ¿Qué?0}" aria-hidden="true" class="mwe-math-fallback-image-inline" src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/459e2abc0f3577401ed15f8fe93d1d92e4249823" style="vertical-align: -0.671ex; margin-left: -0.089ex; width:14.854ex; height:3.009ex;"/>$ y $0}" xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">27q2=− − 8p3■0{displaystyle 27q^{2}=-8p^{3}]0}" aria-hidden="true" class="mwe-math-fallback-image-inline" src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/525f9261a43643ca66eddc26072bd4266f17d188" style="vertical-align: -0.671ex; width:17.012ex; height:3.009ex;"/>$ , por lo que las cuatro raíces de esta ecuación se dan como sigue: ${displaystyle x_{1}=x_{2}=x_{3}={sqrt {-{frac {p}{6}}}}-{frac {b}{4a}}}$ y ${displaystyle x_{4}=-{sqrt {-{frac {3p}{2}}}}-{frac {b}{4a}}}$ si $0}" xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">q■0{displaystyle q confía0}0}" aria-hidden="true" class="mwe-math-fallback-image-inline" src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/482e0a33d9e8fd6307b5f68a5182c2d0d14efc9c" style="vertical-align: -0.671ex; width:5.33ex; height:2.509ex;"/>$ ; de lo contrario, ${displaystyle x_{1}=x_{2}=x_{3}=-{sqrt {-{frac {p}{6}}}}-{frac {b}{4a}}}$ y ${displaystyle x_{4}={sqrt {-{frac {3p}{2}}}}-{frac {b}{4a}}}$ .
DM2. La ecuación cuartica general corresponde a este caso siempre que $0=q}" xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">p2=4r■0=q{displaystyle p^{2}=4r confianza0=q}0=q}" aria-hidden="true" class="mwe-math-fallback-image-inline" src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/86798f6cee5dd42eb797d6269d45bb7daf16a785" style="vertical-align: -0.671ex; margin-left: -0.089ex; width:16.052ex; height:3.009ex;"/>$ , por lo que las cuatro raíces de esta ecuación se dan como sigue: ${displaystyle x_{1}=x_{3}={sqrt {-{frac {p}{2}}}}-{frac {b}{4a}}}$ y ${displaystyle x_{2}=x_{4}=-{sqrt {-{frac {p}{2}}}}-{frac {b}{4a}}}$ .
SM2. La ecuación cuartica general corresponde a este subcase de las ecuaciones SM2 siempre que ${displaystyle pneq q=r=0}$ , por lo que las cuatro raíces de esta ecuación se dan como sigue: ${displaystyle x_{1}=x_{2}=-{frac {b}{4a}}}$ , ${displaystyle x_{3}={sqrt {-p}}-{frac {b}{4a}}}$ y ${displaystyle x_{4}=-{sqrt {-p}}-{frac {b}{4a}}}$ .
Non-Biquadratic SM2. La ecuación cuartica general corresponde a este subcase de las ecuaciones SM2 siempre que $0neq {q}}" xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">()p2+12r)3=[p()p2− − 36r)+272q2]2■0ل ل q{displaystyle (p^{2}+12r)}{3}=[p(p={2}-36r)+{frac {27}{2}}q^{2}}} {2}} {0neq {q}0neq {q}}" aria-hidden="true" class="mwe-math-fallback-image-inline" src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/49aa203796648c979e086b49eaaa19579859ca83" style="vertical-align: -1.838ex; width:44.728ex; height:5.176ex;"/>$ , por lo que las cuatro raíces de esta ecuación son dadas por la siguiente fórmula: ${displaystyle x={frac {1}{2}}left[xi {sqrt {s_{1}}}pm {sqrt {2{biggl (}s_{2}-{frac {xi q}{sqrt {s_{1}}}}{biggr)}}}right]-{frac {b}{4a}}}$ , donde $0}" xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">s1=9q2− − 32prp2+12r■0{displaystyle S_{1}={frac {9q^{2}-32pr}{2}+12r} {0}}0}" aria-hidden="true" class="mwe-math-fallback-image-inline" src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/53466832241b029c3fa3a1d0ae3da37915e4c8bd" style="vertical-align: -2.505ex; width:21.02ex; height:6.343ex;"/>$ , ${displaystyle s_{2}=-{frac {2p(p^{2}-4r)+9q^{2}}{2(p^{2}+12r)}}neq 0}$ y ${displaystyle xi =pm 1}$ .

El caso general

La fórmula cuántica.

Para comenzar, primero se debe convertir el cuártico en un cuartico deprimido.

Conversión a un cuártico deprimido

Dejar

{displaystyle Ax^{4}+Bx^{3}+Cx^{2}+Dx+E=0 }

()1 ')

sea la ecuación cuártica general que se desea resolver. Divide ambos lados por $A$ ,

{displaystyle x^{4}+{B over A}x^{3}+{C over A}x^{2}+{D over A}x+{E over A}=0.}

El primer paso, si $B$ aún no es cero, debería ser eliminar el $x$ ³ término. Para hacer esto, cambie las variables de $x$ a $u$ , tal que

{displaystyle x=u-{B over 4A}.}

Entonces

{displaystyle left(u-{B over 4A}right)^{4}+{B over A}left(u-{B over 4A}right)^{3}+{C over A}left(u-{B over 4A}right)^{2}+{D over A}left(u-{B over 4A}right)+{E over A}=0.}

Expandir las potencias de los binomios produce

{displaystyle left(u^{4}-{B over A}u^{3}+{6u^{2}B^{2} over 16A^{2}}-{4uB^{3} over 64A^{3}}+{B^{4} over 256A^{4}}right)+{B over A}left(u^{3}-{3u^{2}B over 4A}+{3uB^{2} over 16A^{2}}-{B^{3} over 64A^{3}}right)+{C over A}left(u^{2}-{uB over 2A}+{B^{2} over 16A^{2}}right)+{D over A}left(u-{B over 4A}right)+{E over A}=0.}

Recolectando las mismas potencias de u se obtiene

{displaystyle u^{4}+left({-3B^{2} over 8A^{2}}+{C over A}right)u^{2}+left({B^{3} over 8A^{3}}-{BC over 2A^{2}}+{D over A}right)u+left({-3B^{4} over 256A^{4}}+{CB^{2} over 16A^{3}}-{BD over 4A^{2}}+{E over A}right)=0.}

Ahora cambia el nombre de los coeficientes de $u$ . Dejar

{displaystyle {begin{aligned}a&={-3B^{2} over 8A^{2}}+{C over A}\b&={B^{3} over 8A^{3}}-{BC over 2A^{2}}+{D over A}\c&={-3B^{4} over 256A^{4}}+{CB^{2} over 16A^{3}}-{BD over 4A^{2}}+{E over A}.end{aligned}}}

La ecuación resultante es

{displaystyle u^{4}+au^{2}+bu+c=0 }

()1)

que es una ecuación cuartica deprimida.

Si ${displaystyle b=0 }$ entonces tenemos el caso especial de una ecuación biquadratica, que se resuelve fácilmente, como se explicó anteriormente. Tenga en cuenta que la solución general, dada a continuación, no trabajo para el caso especial ${displaystyle b=0.}$ La ecuación debe resolverse como un biquadratic.

En cualquier caso, una vez que se resuelve el cuartico deprimido para $u$ , sustituyendo esos valores en

{displaystyle x=u-{B over 4A} }

produce los valores para $x$ que resuelven la cuártica original.

Resolviendo una cuártica deprimida cuando b ≠ 0

Después de convertir a una ecuación cuártica deprimida

{displaystyle u^{4}+au^{2}+bu+c=0}

y excluyendo el caso especial $b$ = 0, que se resuelve como bicuadrático, asumimos de aquí en adelante que $b$ ≠ 0.

Separaremos los términos izquierda y derecha como

{displaystyle u^{4}=-au^{2}-bu-c}

y suma términos a ambos lados que los conviertan en cuadrados perfectos.

Sea $y$ cualquier solución de esta ecuación cúbica:

{displaystyle 2y^{3}-ay^{2}-2cy+(ac-{tfrac {1}{4}}b^{2})=(2y-a)(y^{2}-c)-{tfrac {1}{4}}b^{2}=0.}

Entonces (ya que $b$ ≠ 0)

{displaystyle 2y-aneq 0}

para que podamos dividir por él, dando

{displaystyle y^{2}-c={frac {b^{2}}{4(2y-a)}}.}

Entonces

{displaystyle (u^{2}+y)^{2}=u^{4}+2yu^{2}+y^{2}=(2y-a)u^{2}-bu+(y^{2}-c)=(2y-a)u^{2}-bu+{frac {b^{2}}{ 4(2y-a) }}=left({sqrt {2y-a }},u-{frac {b}{2{sqrt {2y-a }}}}right)^{2}.}

Al restar, obtenemos la diferencia de dos cuadrados que es el producto de la suma y la diferencia de sus raíces

{displaystyle (u^{2}+y)^{2}-left({sqrt {2y-a }},u-{frac {b}{2{sqrt {2y-a }}}}right)^{2}=left(u^{2}+y+{sqrt {2y-a }},u-{frac {b}{2{sqrt {2y-a }}}}right)left(u^{2}+y-{sqrt {2y-a }},u+{frac {b}{2{sqrt {2y-a }}}}right)=0}

que se puede resolver aplicando la fórmula cuadrática a cada uno de los dos factores. Entonces, los posibles valores de $u$ son:

{displaystyle u={tfrac {1}{2}}left(-{sqrt {2y-a }}+{sqrt {-2y-a+{frac {2b}{sqrt {2y-a }}} }}right)}

{displaystyle u={tfrac {1}{2}}left(-{sqrt {2y-a }}-{sqrt {-2y-a+{frac {2b}{sqrt {2y-a }}} }}right)}

{displaystyle u={tfrac {1}{2}}left({sqrt {2y-a }}+{sqrt {-2y-a-{frac {2b}{sqrt {2y-a }}} }}right)}

{displaystyle u={tfrac {1}{2}}left({sqrt {2y-a }}-{sqrt {-2y-a-{frac {2b}{sqrt {2y-a }}} }}right).}

Usar otra $y$ de entre las tres raíces de la cúbica simplemente causa estos mismos cuatro valores de $u$ para que aparezca en un orden diferente. Las soluciones de la cúbica son:

{displaystyle y={frac {a}{6}}+w-{frac {p}{3w}} }

{displaystyle w={sqrt[{3}]{-{frac {q}{2}}+{sqrt {{frac {q^{2}}{4}}+{frac {p^{3}}{27}} }} }}}

usando cualquiera de las tres raíces cúbicas posibles. Una buena estrategia es elegir el signo de la raíz cuadrada que hace que el valor absoluto de $w$ sea lo más grande posible.

{displaystyle p=-{frac {a^{2}}{12}}-c}

{displaystyle q=-{frac {a^{3}}{108}}+{frac {ac}{3}}-{frac {b^{2}}{8}}.}

La solución de Ferrari

De lo contrario, la cuártica deprimida puede resolverse mediante un método descubierto por Lodovico Ferrari. Una vez obtenida la cuártica deprimida, el siguiente paso es agregar la identidad válida

{displaystyle left(u^{2}+alpha right)^{2}-u^{4}-2alpha u^{2}=alpha ^{2}}

a la ecuación (1), dando

{displaystyle left(u^{2}+alpha right)^{2}+beta u+gamma =alpha u^{2}+alpha ^{2}.}

()2)

El efecto ha sido plegar el término u⁴ en un cuadrado perfecto: (u² + α)². El segundo término, αu² no ha desaparecido, pero ha cambiado de signo y se ha movido al lado derecho.

El siguiente paso es insertar una variable y en el cuadrado perfecto en el lado izquierdo de la ecuación (2), y un correspondiente 2y en el coeficiente de u² en el lado derecho. Para lograr estas inserciones, se agregarán las siguientes fórmulas válidas a la ecuación (2),

{displaystyle {begin{aligned}(u^{2}+alpha +y)^{2}-(u^{2}+alpha)^{2}&=2y(u^{2}+alpha)+y^{2} \&=2yu^{2}+2yalpha +y^{2},end{aligned}}}

{displaystyle 0=(alpha +2y)u^{2}-2yu^{2}-alpha u^{2},}

Estas dos fórmulas, sumadas, producen

{displaystyle left(u^{2}+alpha +yright)^{2}-left(u^{2}+alpha right)^{2}=left(alpha +2yright)u^{2}-alpha u^{2}+2yalpha +y^{2}qquad qquad (y{hbox{-insertion}}),}

que sumado a la ecuación (2) produce

{displaystyle left(u^{2}+alpha +yright)^{2}+beta u+gamma =left(alpha +2yright)u^{2}+left(2yalpha +y^{2}+alpha ^{2}right).,}

Esto es equivalente a

{displaystyle (u^{2}+alpha +y)^{2}=(alpha +2y)u^{2}-beta u+(y^{2}+2yalpha +alpha ^{2}-gamma).}

()3)

El objetivo ahora es elegir un valor para y tal que el lado derecho de la ecuación (3) se convierta en un cuadrado perfecto. Esto se puede hacer dejando que el discriminante de la función cuadrática se vuelva cero. Para explicar esto, primero expande un cuadrado perfecto para que sea igual a una función cuadrática:

{displaystyle left(su+tright)^{2}=left(s^{2}right)u^{2}+left(2stright)u+left(t^{2}right).,}

La función cuadrática del lado derecho tiene tres coeficientes. Se puede verificar que elevando al cuadrado el segundo coeficiente y luego restando cuatro veces el producto del primer y tercer coeficiente se obtiene cero:

{displaystyle left(2stright)^{2}-4left(s^{2}right)left(t^{2}right)=0.,}

Por lo tanto, para convertir el lado derecho de la ecuación (3) en un cuadrado perfecto, se debe resolver la siguiente ecuación:

{displaystyle (-beta)^{2}-4left(2y+alpha right)left(y^{2}+2yalpha +alpha ^{2}-gamma right)=0.,}

Multiplica el binomio por el polinomio,

{displaystyle beta ^{2}-4left(2y^{3}+5alpha y^{2}+left(4alpha ^{2}-2gamma right)y+left(alpha ^{3}-alpha gamma right)right)=0,}

Divida ambos lados por −4 y mueva −β²/4 a la derecha,

{displaystyle 2y^{3}+5alpha y^{2}+left(4alpha ^{2}-2gamma right)y+left(alpha ^{3}-alpha gamma -{frac {beta ^{2}}{4}}right)=0}

Dividir ambos lados por 2,

{displaystyle y^{3}+{frac {5}{2}}alpha y^{2}+left(2alpha ^{2}-gamma right)y+left({alpha ^{3} over 2}-{alpha gamma over 2}-{beta ^{2} over 8}right)=0.}

()4)

Esta es una ecuación cúbica en y. Resuelva para y usando cualquier método para resolver tales ecuaciones (por ejemplo, conversión a un cúbico reducido y aplicación de la fórmula de Cardano). Cualquiera de las tres posibles raíces servirá.

Plegado del segundo cuadrado perfecto

Con el valor de y así seleccionado, ahora se sabe que el lado derecho de la ecuación (3) es un cuadrado perfecto de la forma

{displaystyle left(s^{2}right)u^{2}+(2st)u+left(t^{2}right)=left(left({sqrt {s^{2}}}right)u+{(2st) over 2{sqrt {s^{2}}}}right)^{2}}

(Esto es correcto para ambos signos de raíz cuadrada, siempre y cuando se tome el mismo signo para ambas raíces cuadradas. Un ± es redundante, ya que sería absorbido por otro ± algunas ecuaciones más abajo en esta página.)

para que se pueda plegar:

{displaystyle (alpha +2y)u^{2}+(-beta)u+left(y^{2}+2yalpha +alpha ^{2}-gamma right)=left(left({sqrt {alpha +2y}}right)u+{(-beta) over 2{sqrt {alpha +2y}}}right)^{2}.}

Nota: Si β ل 0 then α + 2Sí. ل 0. Si β = 0 entonces esto sería una ecuación biquadratica, que resolvimos antes.

Por lo tanto, la ecuación (3) se convierte en

{displaystyle left(u^{2}+alpha +yright)^{2}=left(left({sqrt {alpha +2y}}right)u-{beta over 2{sqrt {alpha +2y}}}right)^{2}.}

()5)

La ecuación (5) tiene un par de cuadrados perfectos plegados, uno a cada lado de la ecuación. Los dos cuadrados perfectos se equilibran entre sí.

Si dos cuadrados son iguales, entonces los lados de los dos cuadrados también son iguales, como se muestra en:

{displaystyle left(u^{2}+alpha +yright)=pm left(left({sqrt {alpha +2y}}right)u-{beta over 2{sqrt {alpha +2y}}}right).}

()5 ')

Recolectar potencias similares de u produce

{displaystyle u^{2}+left(mp _{s}{sqrt {alpha +2y}}right)u+left(alpha +ypm _{s}{beta over 2{sqrt {alpha +2y}}}right)=0.}

()6)

Nota: El subscript s de

{displaystyle pm _{s}}

{displaystyle mp _{s}}

es notar que son dependientes.

La ecuación (6) es una ecuación cuadrática para u. su solución es

{displaystyle u={frac {pm _{s}{sqrt {alpha +2y}}pm _{t}{sqrt {(alpha +2y)-4left(alpha +ypm _{s}{beta over 2{sqrt {alpha +2y}}}right)}}}{2}}.}

Simplificando, se obtiene

{displaystyle u={pm _{s}{sqrt {alpha +2y}}pm _{t}{sqrt {-left(3alpha +2ypm _{s}{2beta over {sqrt {alpha +2y}}}right)}} over 2}.}

Esta es la solución de la cuártica deprimida, por lo tanto, las soluciones de la ecuación cuártica original son

{displaystyle x=-{B over 4A}+{pm _{s}{sqrt {alpha +2y}}pm _{t}{sqrt {-left(3alpha +2ypm _{s}{2beta over {sqrt {alpha +2y}}}right)}} over 2}.}

()6 ')

Recuerda: Los dos

{displaystyle pm _{s}}

viene del mismo lugar en la ecuación (5 '), y ambos deben tener el mismo signo, mientras el signo de

{displaystyle pm _{t}}

es independiente.

Resumen del método de Ferrari

Dada la ecuación de cuarto grado

{displaystyle Ax^{4}+Bx^{3}+Cx^{2}+Dx+E=0,,}

su solución se puede encontrar mediante los siguientes cálculos:

{displaystyle alpha =-{3B^{2} over 8A^{2}}+{C over A},}

{displaystyle beta ={B^{3} over 8A^{3}}-{BC over 2A^{2}}+{D over A},}

{displaystyle gamma =-{3B^{4} over 256A^{4}}+{CB^{2} over 16A^{3}}-{BD over 4A^{2}}+{E over A}.}

Si ${displaystyle ,beta =0,}$ entonces

{displaystyle x=-{B over 4A}pm _{s}{sqrt {-alpha pm _{t}{sqrt {alpha ^{2}-4gamma }} over 2}}qquad {mbox{(for }}beta =0{mbox{ only)}}.}

De lo contrario, continúe con

{displaystyle P=-{alpha ^{2} over 12}-gamma}

{displaystyle Q=-{alpha ^{3} over 108}+{alpha gamma over 3}-{beta ^{2} over 8},}

{displaystyle R=-{Q over 2}pm {sqrt {{Q^{2} over 4}+{P^{3} over 27}}},}

(cualquier signo de la raíz cuadrada servirá)

{displaystyle U={sqrt[{3}]{R}},}

(hay 3 raíces complejas, cualquiera de ellas sirve)

{displaystyle y=-{5 over 6}alpha +{begin{cases}U=0&to -{sqrt[{3}]{Q}}\Uneq 0,&to U-{P over 3U},end{cases}}quad quad quad }

{displaystyle W={sqrt {alpha +2y}}}

{displaystyle x=-{B over 4A}+{pm _{s}Wpm _{t}{sqrt {-left(3alpha +2ypm _{s}{2beta over W}right)}} over 2}.}

Los dos ±_s debe tener el mismo signo, el ±_t es independiente. Para obtener todas las raíces, computar x para ±_s±_t = +,+ y para +, -; y para −,+ y para −, -. Esta fórmula maneja raíces repetidas sin problemas.

Ferrari fue el primero en descubrir una de estas soluciones laberínticas. La ecuación que resolvió fue

{displaystyle x^{4}+6x^{2}-60x+36=0}

que ya estaba en forma deprimida. Tiene un par de soluciones que se pueden encontrar con el conjunto de fórmulas que se muestra arriba.

La solución de Ferrari en el caso especial de los coeficientes reales

Si los coeficientes de la ecuación de cuarto grado son reales, entonces la ecuación cúbica deprimida anidada (5) también tiene coeficientes reales, por lo que tiene al menos una raíz real.

Además, la función cúbica

{displaystyle C(v)=v^{3}+Pv+Q,}

donde P y Q están dadas por (5) tiene las propiedades que

<math alttext="{displaystyle Cleft({alpha over 3}right)={-beta ^{2} over 8}C()α α 3)=− − β β 28.0{displaystyle Cleft({alpha over 3}right)={-beta ^{2} over 8}se hizo0}<img alt="{displaystyle Cleft({alpha over 3}right)={-beta ^{2} over 8}

${displaystyle lim _{vto infty }C(v)=infty}$ Donde α y β son dados por (1).

Esto significa que...5) tiene una raíz real más grande que ${displaystyle alpha over 3}$ , y, por consiguiente,4) tiene una raíz real más grande que ${displaystyle -alpha over 2}$ .

Usando esta raíz el término ${displaystyle {sqrt {alpha +2y}}}$ en8) siempre es real, que asegura que las dos ecuaciones cuadráticas (8) tienen coeficientes reales.

Obtención de soluciones alternativas por las malas

Puede suceder que solo se obtenga una solución a través de las fórmulas anteriores, porque no se prueban los cuatro patrones de signos para cuatro soluciones, y la solución obtenida es compleja. También puede darse el caso de que solo se esté buscando una solución real. Sea x₁ la solución compleja. Si todos los coeficientes originales A, B, C, D y E son real, que debería ser el caso cuando uno desea solo soluciones reales, entonces hay otra solución compleja x₂ que es el complejo conjugado de x ₁. Si las otras dos raíces se denotan como x₃ y x₄ entonces la ecuación cuártica se puede expresar como

{displaystyle (x-x_{1})(x-x_{2})(x-x_{3})(x-x_{4})=0,,}

pero esta ecuación de cuarto grado es equivalente al producto de dos ecuaciones de segundo grado:

{displaystyle (x-x_{1})(x-x_{2})=0}

()9)

{displaystyle (x-x_{3})(x-x_{4})=0.}

()10)

Desde

{displaystyle x_{2}=x_{1}^{star }}

entonces

{displaystyle {begin{aligned}(x-x_{1})(x-x_{2})&=x^{2}-(x_{1}+x_{1}^{star })x+x_{1}x_{1}^{star }\&=x^{2}-2operatorname {Re} (x_{1})x+[operatorname {Re} (x_{1})]^{2}+[operatorname {Im} (x_{1})]^{2}.end{aligned}}}

Dejar

{displaystyle a=-2operatorname {Re} (x_{1}),}

{displaystyle b=left[operatorname {Re} (x_{1})right]^{2}+left[operatorname {Im} (x_{1})right]^{2}}

para que la ecuación (9) se convierta en

{displaystyle x^{2}+ax+b=0.}

()11)

Sean también variables (desconocidas) w y v tales que la ecuación (10) se convierte en

{displaystyle x^{2}+wx+v=0.}

()12)

Multiplicar ecuaciones (11) y (12) produce

{displaystyle x^{4}+(a+w)x^{3}+(b+wa+v)x^{2}+(wb+va)x+vb=0.}

()13)

Comparando la ecuación (13) con la ecuación cuártica original, se puede ver que

{displaystyle a+w={B over A},}

{displaystyle b+wa+v={C over A},}

{displaystyle wb+va={D over A},}

{displaystyle vb={E over A}.}

Por lo tanto

{displaystyle w={B over A}-a={B over A}+2operatorname {Re} (x_{1}),}

{displaystyle v={E over Ab}={frac {E}{Aleft(left[operatorname {Re} (x_{1})right]^{2}+left[operatorname {Im} (x_{1})right]^{2}right)}}.}

La ecuación (12) puede resolverse para x dando

{displaystyle x_{3}={-w+{sqrt {w^{2}-4v}} over 2},}

{displaystyle x_{4}={-w-{sqrt {w^{2}-4v}} over 2}.}

Una de estas dos soluciones debería ser la solución real deseada.

Métodos alternativos

Solución rápida y memorable desde los primeros principios

La mayoría de las soluciones de libros de texto de la ecuación de cuarto grado requieren una sustitución mágica que es casi imposible de memorizar. Aquí hay una manera de abordarlo que lo hace fácil de entender.

El trabajo está hecho si podemos factorizar la ecuación cuártica en un producto de dos cuadráticas. Dejar

{displaystyle {begin{aligned}0&=x^{4}+bx^{3}+cx^{2}+dx+e\&=left(x^{2}+px+qright)left(x^{2}+rx+sright)\&=x^{4}+(p+r)x^{3}+(q+s+pr)x^{2}+(ps+qr)x+qsend{aligned}}}

Al igualar los coeficientes, se obtiene el siguiente conjunto de ecuaciones simultáneas:

{displaystyle {begin{aligned}b&=p+r\c&=q+s+pr\d&=ps+qr\e&=qsend{aligned}}}

Esto es más difícil de resolver de lo que parece, pero si empezamos de nuevo con una cuarta deprimida donde $b=0$ , que se puede obtener mediante sustitución ${displaystyle (x-b/4)}$ para $x$ , entonces $r=-p$ , y:

{displaystyle {begin{aligned}c+p^{2}&=s+q\d/p&=s-q\e&=sqend{aligned}}}

Ahora es fácil eliminar ambos $s$ y $q$ haciendo lo siguiente:

{displaystyle {begin{aligned}left(c+p^{2}right)^{2}-(d/p)^{2}&=(s+q)^{2}-(s-q)^{2}\&=4sq\&=4eend{aligned}}}

Si nos fijamos $P=p^{2}$ , entonces esta ecuación se convierte en la ecuación cúbica:

{displaystyle P^{3}+2cP^{2}+left(c^{2}-4eright)P-d^{2}=0}

que se resuelve en otro lugar. Una vez que tengas $p$ , entonces:

{displaystyle {begin{aligned}r&=-p\2s&=c+p^{2}+d/p\2q&=c+p^{2}-d/pend{aligned}}}

Las simetrías en esta solución son fáciles de ver. Hay tres raíces del cúbico, correspondientes a las tres maneras que un cuartic puede ser factorizado en dos cuadráticos, y elegir valores positivos o negativos de $p$ para la raíz cuadrada $P$ simplemente intercambia los dos cuadráticos unos con otros.

Teoría de Galois y factorización

El grupo simétrico S₄ en cuatro elementos tiene el grupo de cuatro de Klein como un subgrupo normal. Esto sugiere usar un solvente cuyas raíces pueden describirse de diversas formas como una transformada de Fourier discreta o una transformada de matriz de Hadamard de las raíces. Supongamos que r_i para i de 0 a 3 son raíces de

{displaystyle x^{4}+bx^{3}+cx^{2}+dx+e=0qquad (1)}

Si ahora establecemos

{displaystyle {begin{aligned}s_{0}&={tfrac {1}{2}}(r_{0}+r_{1}+r_{2}+r_{3}),\s_{1}&={tfrac {1}{2}}(r_{0}-r_{1}+r_{2}-r_{3}),\s_{2}&={tfrac {1}{2}}(r_{0}+r_{1}-r_{2}-r_{3}),\s_{3}&={tfrac {1}{2}}(r_{0}-r_{1}-r_{2}+r_{3}),end{aligned}}}

entonces, dado que la transformación es una involución, podemos expresar las raíces en términos de los cuatro s_i exactamente de la misma manera. Dado que conocemos el valor s₀ = −b/2, realmente solo necesitamos los valores para s₁, s₂ y s₃. Estos los podemos encontrar expandiendo el polinomio

{displaystyle left(z^{2}-s_{1}^{2}right)left(z^{2}-s_{2}^{2}right)left(z^{2}-s_{3}^{2}right)qquad (2)}

que si hacemos la suposición simplificada de que b = 0, es igual a

{displaystyle z^{6}+2cz^{4}+left(c^{2}-4eright)z^{2}-d^{2}qquad (3)}

Este polinomio es de grado seis, pero solo de grado tres en z², por lo que la ecuación correspondiente es solucionable. Por ensayo podemos determinar qué tres raíces son las correctas y, por lo tanto, encontrar las soluciones de la cuártica.

Podemos eliminar cualquier requisito de prueba usando una raíz del mismo polinomio de resolución para la factorización; si w es cualquier raíz de (3), y si

{displaystyle F_{1}=x^{2}+wx+{frac {1}{2}}w^{2}+{frac {1}{2}}c-{frac {1}{2}}cdot {frac {c^{2}w}{d}}-{frac {1}{2}}cdot {frac {w^{5}}{d}}-{frac {cw^{3}}{d}}+2{frac {ew}{d}}}

{displaystyle F_{2}=x^{2}-wx+{frac {1}{2}}w^{2}+{frac {1}{2}}c+{frac {1}{2}}cdot {frac {w^{5}}{d}}+{frac {cw^{3}}{d}}-2{frac {ew}{d}}+{frac {1}{2}}cdot {frac {c^{2}w}{d}}}

entonces

{displaystyle F_{1}F_{2}=x^{4}+cx^{2}+dx+eqquad qquad (4)}

Por lo tanto, podemos resolver la cuártica resolviendo w y luego resolviendo las raíces de los dos factores usando la fórmula cuadrática.

Métodos aproximados

Los métodos descritos anteriormente son, en principio, métodos exactos que encuentran las raíces de una vez por todas. También es posible utilizar métodos que den aproximaciones sucesivas que, con suerte, mejoren con cada iteración. Una vez que dicho método es el método Durand-Kerner. Dichos métodos pueden ser los únicos disponibles, aparte de casos especiales, cuando se trata de resolver ecuaciones quínticas y superiores.

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