Ecuación de calor

Parcela animada de la evolución de la temperatura en una placa de metal cuadrado como predijo por la ecuación de calor. La altura y el enrojecimiento indican la temperatura en cada punto. El estado inicial tiene una región uniformemente caliente (rojo) rodeada de región uniformemente fría (amarillo). A medida que pasa el tiempo el calor se difunde en la región fría.

En matemáticas y física, la ecuación del calor es una cierta ecuación diferencial parcial. Las soluciones de la ecuación del calor a veces se conocen como funciones calóricas. La teoría de la ecuación del calor fue desarrollada por primera vez por Joseph Fourier en 1822 con el propósito de modelar cómo una cantidad como el calor se difunde a través de una región determinada.

Como la ecuación diferencial parcial parabólica prototípica, la ecuación del calor se encuentra entre los temas más estudiados en matemáticas puras, y su análisis se considera fundamental para el campo más amplio de las ecuaciones diferenciales parciales. La ecuación del calor también se puede considerar en variedades de Riemann, lo que lleva a muchas aplicaciones geométricas. Siguiendo el trabajo de Subbaramiah Minakshisundaram y Åke Pleijel, la ecuación del calor está estrechamente relacionada con la geometría espectral. James Eells y Joseph Sampson introdujeron una variante no lineal seminal de la ecuación del calor en la geometría diferencial en 1964, inspirando la introducción del flujo de Ricci por Richard Hamilton en 1982 y culminando en la prueba de la conjetura de Poincaré por Grigori Perelman en 2003. Las soluciones de la ecuación del calor conocidas como núcleos de calor brindan información sutil sobre la región en la que se definen, como se ejemplifica a través de su aplicación al teorema del índice de Atiyah-Singer.

La ecuación del calor, junto con sus variantes, también es importante en muchos campos de la ciencia y las matemáticas aplicadas. En la teoría de la probabilidad, la ecuación del calor está relacionada con el estudio de los paseos aleatorios y el movimiento browniano a través de la ecuación de Fokker-Planck. La ecuación de Black-Scholes de las matemáticas financieras es una pequeña variante de la ecuación del calor, y la ecuación de Schrödinger de la mecánica cuántica puede considerarse como una ecuación del calor en un tiempo imaginario. En el análisis de imágenes, la ecuación de calor a veces se usa para resolver la pixelación e identificar los bordes. Tras la introducción de Robert Richtmyer y John von Neumann de la "viscosidad artificial" métodos, soluciones de ecuaciones de calor han sido útiles en la formulación matemática de choques hidrodinámicos. Las soluciones de la ecuación del calor también han recibido mucha atención en la literatura de análisis numérico, comenzando en la década de 1950 con el trabajo de Jim Douglas, D.W. Pacificador y Henry Rachford Jr.

Enunciado de la ecuación

En matemáticas, si se le da un subconjunto abierto U de Rⁿ y un subintervalo I de < span class="texhtml">R, se dice que una función u: U × I → R es una solución de la ecuación del calor si

${displaystyle {frac {partial u}{partial #={frac {partial} ^{2}u}{partial ¿Qué? ##{frac {partial ^{2}u}{partial ¿Qué?$

donde (x₁, …, x_n, t) denota un punto general del dominio. Es típico referirse a t como "tiempo" y x₁, …, x_n como "variables espaciales," incluso en contextos abstractos donde estas frases no logran tener su significado intuitivo. La colección de variables espaciales a menudo se denomina simplemente x. Para cualquier valor dado de t, el lado derecho de la ecuación es el laplaciano de la función u(⋅, t): U → R. Como tal, la ecuación del calor a menudo se escribe de manera más compacta como

En contextos de física e ingeniería, especialmente en el contexto de difusión a través de un medio, es más común fijar un sistema de coordenadas cartesianas y luego considerar el caso específico de una función u(x, y, z, t) de tres variables espaciales (x, y, z) y variable de tiempo t. Entonces se dice que u es una solución de la ecuación del calor si

${displaystyle {frac {partial u}{partial t}=alpha left({frac {partial ^{2}u}{partial ##{2}}+{frac {partial ^{2}u}{partial ¿Qué?$

donde α es un coeficiente positivo llamado difusividad térmica del medio. Además de otros fenómenos físicos, esta ecuación describe el flujo de calor en un medio homogéneo e isotrópico, con u(x, y, z, t) siendo la temperatura en el punto (x, y, z) y tiempo t. Si el medio no es homogéneo e isotrópico, entonces α no sería un coeficiente fijo, sino que dependería de (x, y, z); la ecuación también tendría una forma ligeramente diferente. En la literatura de física e ingeniería, es común usar ∇² para denotar el Laplaciano, en lugar de ∆< /lapso>.

En matemáticas, así como en física e ingeniería, es común utilizar la notación de Newton para derivados del tiempo, de modo que ${displaystyle { dot {}}}$ se utiliza para denotar ∂u/∂, por lo que la ecuación puede ser escrita

Tenga en cuenta también que la capacidad de usar ∆ o ∇² para indicar el laplaciano, sin referencia explícita a las variables espaciales, es un reflejo del hecho de que el Laplaciano es independiente de la elección del sistema de coordenadas. En términos matemáticos, se diría que el laplaciano es "invariante traslacional y rotacionalmente". De hecho, es (en términos generales) el operador diferencial más simple que tiene estas simetrías. Esto puede tomarse como una justificación significativa (y puramente matemática) del uso del Laplaciano y de la ecuación del calor en el modelado de cualquier fenómeno físico que sea homogéneo e isotrópico, de los cuales la difusión del calor es un ejemplo principal.

La "constante de difusividad" α a menudo no está presente en los estudios matemáticos de la ecuación del calor, mientras que su valor puede ser muy importante en la ingeniería. Esta no es una diferencia importante, por la siguiente razón. Sea u una función con

${displaystyle {frac {partial u}{partial }=alpha Delta u.}$

Define una nueva función ${displaystyle v(t,x)=u(t/alphax)}$. Entonces, según la regla de la cadena, uno tiene

${fnMicrosoft Sans Serif} {fnMicrosoft Sans Serif} {fnMicros {partial } {partial t}u(t/alphax)=alpha ^{-1}{partial u}{partial t} {alphax]=Delta u(t/ttt]$

()⁎)

Por lo tanto, existe una forma sencilla de traducir entre soluciones de la ecuación del calor con un valor general de α y soluciones de la ecuación del calor con α = 1. Como tal, por el bien del análisis matemático, a menudo es suficiente considerar solo el caso α = 1.

Desde ${displaystyle alpha œ0}$ hay otra opción para definir una ${displaystyle v}$ satisfacción ${textstyle {frac {partial }{partial t}v=Delta vs}$ como en⁎) arriba ${displaystyle v(t,x)=u(t,alpha ^{1/2}x)}$. Tenga en cuenta que los dos posibles medios de definir la nueva función ${displaystyle v}$ discutido aquí cantidad, en términos físicos, para cambiar la unidad de medida del tiempo o la unidad de medida de longitud.

Interpretación

Interpretación física de la ecuación

De manera informal, el operador laplaciano ∆ da la diferencia entre el valor promedio de una función en la vecindad de un punto y su valor en ese punto. Por lo tanto, si u es la temperatura, ∆ indica si (y por qué mucho) el material que rodea cada punto es más caliente o más frío, en promedio, que el material en ese punto.

Por la segunda ley de la termodinámica, el calor fluirá de los cuerpos más calientes a los cuerpos adyacentes más fríos, en proporción a la diferencia de temperatura y de conductividad térmica del material entre ellos. Cuando el calor entra (respectivamente, sale) de un material, su temperatura aumenta (respectivamente, disminuye), en proporción a la cantidad de calor dividida por la cantidad (masa) de material, con un factor de proporcionalidad llamado capacidad calorífica específica del material.

Por la combinación de estas observaciones, la ecuación de calor dice la tasa ${displaystyle { dot {}}}$ en el que el material en un punto se calienta (o se enfría) es proporcional a cuánto más caliente (o más fresco) el material circundante es. El coeficiente α en la ecuación tiene en cuenta la conductividad térmica, el calor específico y la densidad del material.

Interpretación matemática de la ecuación

La primera mitad del pensamiento físico anterior se puede poner en forma matemática. La clave es que, para cualquier x fijo, uno tiene

${displaystyle {begin{aligned}u_{(x)}(0)}=u(x)\u_{(x)}'(0) limit=0\u_{(x)}'(0) {1} {n}Delta u(x)end{aligned}}$

donde u_(x)(r) es la función de variable única que denota el valor promedio de u sobre la superficie de la esfera de radio r centrado en x; se puede definir por

${displaystyle u_{(x)}(r)={frac {1}{omega ################################################################################################################################################################################################################################################################ ¿Por qué? {H} {n-1},}$

donde ω_{n − 1} denota el área de superficie de la unidad de bola en nespacio euclidiano dimensional. Esto formaliza la afirmación anterior de que el valor de ∆u en un punto x mide la diferencia entre el valor de u(x) y el valor de u en puntos cercanos a x, en el sentido de que este último está codificado por los valores de u_(x)( r) para valores positivos pequeños de r.

Siguiendo esta observación, uno puede interpretar la ecuación del calor como imponiendo un promedio infinitesimal de una función. Dada una solución de la ecuación del calor, el valor de u(x, t + τ) para un pequeño valor positivo de τ puede aproximarse como 1/2n veces el valor promedio de la función u(⋅, t) sobre una esfera de radio muy pequeño centrado en x.

Carácter de las soluciones

Solución de una ecuación diferencial parcial de calor 1D. La temperatura (${displaystyle u}$) se distribuye inicialmente a través de un intervalo unidimensional, un-unit-long (x= [0,1]) con puntos finales aislados. La distribución se acerca al equilibrio con el tiempo.

El comportamiento de la temperatura cuando los lados de una varilla 1D están a temperaturas fijas (en este caso, 0.8 y 0 con distribución gausiana inicial). La temperatura se aproxima a una función lineal porque es la solución estable de la ecuación: donde la temperatura tiene un derivado espacial no cero segundo, el derivado del tiempo es no cero también.

La ecuación de calor implica que los picos (máxima local) de ${displaystyle u}$ se reducirá gradualmente, mientras que las depresiones (minima local) se llenarán. El valor en algún momento permanecerá estable sólo mientras sea igual al valor promedio en su entorno inmediato. En particular, si los valores de un barrio están muy cerca de una función lineal ${displaystyle Ax+By+Cz+D}$, entonces el valor en el centro de ese vecindario no cambiará en ese momento (es decir, el derivado ${displaystyle { dot {}}}$ será cero).

Una consecuencia más sutil es el principio máximo, que dice que el valor máximo ${displaystyle u}$ en cualquier región ${displaystyle R.$ del medio no excederá el valor máximo que antes se había producido en ${displaystyle R.$, a menos que esté en el límite ${displaystyle R.$. Es decir, la temperatura máxima en una región ${displaystyle R.$ puede aumentar sólo si el calor viene desde fuera ${displaystyle R.$. Esta es una propiedad de ecuaciones diferenciales parciales parabólicas y no es difícil demostrar matemáticamente (ver abajo).

Otra propiedad interesante es que incluso si ${displaystyle u}$ Inicialmente tiene un salto agudo (discontinuidad) de valor a través de alguna superficie dentro del medio, el salto se suaviza inmediatamente por un momentáneo, infinitamente corto pero infinitamente grande tasa de flujo de calor a través de esa superficie. Por ejemplo, si dos cuerpos aislados, inicialmente a temperaturas uniformes pero diferentes ${displaystyle u_{0}$ y ${displaystyle U_{1}$, se hacen para tocarse, la temperatura en el punto de contacto asumirá inmediatamente algún valor intermedio, y una zona se desarrollará alrededor de ese punto donde ${displaystyle u}$ variará gradualmente entre ${displaystyle u_{0}$ y ${displaystyle U_{1}$.

Si se aplica repentinamente una determinada cantidad de calor en un punto del medio, se extenderá en todas las direcciones en forma de onda de difusión. A diferencia de las ondas elásticas y electromagnéticas, la velocidad de una onda de difusión disminuye con el tiempo: a medida que se extiende sobre una región más grande, el gradiente de temperatura disminuye y, por lo tanto, también disminuye el flujo de calor.

Ejemplos específicos

Flujo de calor en una barra uniforme

Para el flujo de calor, la ecuación del calor se deriva de las leyes físicas de conducción del calor y conservación de la energía (Cannon 1984).

Según la ley de Fourier para un medio isotrópico, la tasa de flujo de energía térmica por unidad de área a través de una superficie es proporcional al gradiente de temperatura negativo a través de ella:

${displaystyle mathbf {q} =-k,nabla u}$

Donde ${displaystyle k}$ es la conductividad térmica del material, ${displaystyle u=u(mathbf {x}t)}$ es la temperatura, y ${displaystyle mathbf {q} =mathbf {q} (mathbf {x}t)}$ es un campo vectorial que representa la magnitud y dirección del flujo de calor en el punto ${displaystyle mathbf {x}$ espacio y tiempo ${displaystyle t}$.

Si el medio es una vara delgada de la sección y el material uniforme, la posición es una sola coordenadas ${displaystyle x}$, el flujo de calor hacia el aumento ${displaystyle x}$ es un campo de escalar ${displaystyle q=q(t,x)}$, y el gradiente es un derivado ordinario con respecto a ${displaystyle x}$. La ecuación se convierte

${displaystyle q=-k,{frac {partial u}{partial #$

Vamos ${displaystyle Q=Q(x,t)}$ ser la energía térmica interna por volumen de la barra en cada punto y hora. En ausencia de generación de energía térmica, de fuentes externas o internas, la tasa de cambio de energía térmica interna por volumen de unidad en el material, ${displaystyle partial Q/partial t}$, es proporcional a la tasa de cambio de su temperatura, ${displaystyle partial u/partial t}$. Eso es,

${fnMicrosoft {fnMicrosoft {fnMicrosoft {fnMicrosoft {fnMicrosoft {\fnMicrosoft} ¿Qué?$

Donde ${displaystyle c}$ es la capacidad de calor específica (a presión constante, en caso de gas) y ${displaystyle rho }$ es la densidad (masa por volumen de unidad) del material. Esta derivación supone que el material tiene una densidad de masa constante y capacidad de calor a través del espacio y del tiempo.

Aplicar la ley de conservación de la energía a un pequeño elemento del medio centrado en ${displaystyle x}$, se concluye que la tasa a la que el calor se acumula en un momento dado ${displaystyle x}$ es igual al derivado del flujo de calor en ese punto, negado. Eso es,

${fnMicrosoft {fnMicrosoft {fnMicrosoft {fnMicrosoft {fnMicrosoft {\fnMicrosoft} Q}{partial {fnK} {fnMicroc {fnMicrosoft Sans Serif} {fnMicroc} {cH} {f} {fn}} {fnMicroc}} {fnMicroc {fn}} {f}f}f}f}fnMicroc} {f}f}f}f}f}f}f}f}\f}f}f}f}f}f}f}f}\f}f}\\\fn\\fn\\\\\fn\\\fnMicrocHfnMicrocH\\\\\\\\\fn\\fnfn\\\\\\\\fn\\fn\\\fn #$

De las ecuaciones anteriores se deduce que

${displaystyle {frac {partial u}{partial t};=;-{frac {1}{crho {fnMicroc {fnMicrosoft Sans Serif} {fnMicrosoft Sans Serif}}} {fnMicroc {fnMicrosoft Sans Serif}}}} {fnMicroc {fnMicroc {fnMicroc {c}}}} {fnMicroc {fnMicroc}}}}}}}}}}}} {f}}}}}}}}f}}fnMicroc {fnMicroc {f}f}f}fnMicroc {fnMicroc {f}f}f}f}f}fnMicroc {fnMicroc {fnMicroc {fnMicroc {fnMicroc {f}f}fnMicroc {fnMicrocfnMicroc {fnMicroc {fnMicroc {fnMicro q}{partial ###;=;-{frac {1}{crho } {frac {partial }{partial x}left(-k,{frac {partial u}{partial x}right);=;{frac {k}{crho {fnMicrosoft Sans Serif} {fnMicrosoft Sans Serif} #$

que es la ecuación del calor en una dimensión, con coeficiente de difusividad

${displaystyle alpha ={frac {k}{crho }$

Esta cantidad se denomina difusividad térmica del medio.

Contabilización de la pérdida radiativa

Un término adicional puede introducirse en la ecuación para contabilizar la pérdida radiativa de calor. Según la ley Stefan-Boltzmann, este término es ${displaystyle mu left(u^{4}-v^{4}right)}$, donde ${displaystyle v=v(x,t)}$ es la temperatura del entorno, y ${displaystyle mu }$ es un coeficiente que depende de la constante Stefan-Boltzmann y de la emisividad del material. La tasa de cambio en la energía interna se convierte en

${fnMicrosoft {fnMicrosoft {fnMicrosoft {fnMicrosoft {fnMicrosoft {\fnMicrosoft} Q}{partial t}=-{frac {partial q}{partial x}}-mu left(u^{4}-v^{4}right)}$

y la ecuación para la evolución de ${displaystyle u}$ se convierte en

${displaystyle {frac {partial u}{partial {fnK} {fnMicroc} {crho} {fnMicrosoft Sans Serif} {fnMicrosoft Sans Serif} ¿Qué? }$

Medio isotrópico no uniforme

Tenga en cuenta que la ecuación estatal, dada por la primera ley de la termodinámica (es decir, la conservación de la energía), está escrita en la siguiente forma (asumiendo que no hay transferencia de masa o radiación). Esta forma es más general y particularmente útil para reconocer qué propiedad (por ejemplo. c_p o ${displaystyle rho }$) influencia qué término.

${displaystyle rho c_{}{frac {partial T}{partial t}-nabla cdot left(knabla Tright)={dot {q}_{V}$

Donde ${displaystyle { dot {q}_{V}$ es la fuente de calor volumétrica.

Problema tridimensional

En los casos especiales de propagación del calor en un medio isótropo y homogéneo en un espacio tridimensional, esta ecuación es

${displaystyle {frac {partial u}{partial t}=alpha nabla ^{2}u=alpha left({frac {partial ^{2}u}{partial ##{2}}+{frac {partial ^{2}u}{partial ¿Qué?$ ${displaystyle =alpha left (u_{xx}+u_{yy}+u_{zz}right)}$

donde:

• ${displaystyle u=u(x,y,z,t)}$ es la temperatura como función del espacio y del tiempo;
• ${displaystyle {tfrac {partial u}{partial t}}$ es la tasa de cambio de temperatura a un punto con el tiempo;
• ${displaystyle u_{xx}$, ${displaystyle u_{yyy}$, y ${displaystyle u_{zz}$ son los segundos derivados espaciales (conductividades térmicas) de la temperatura en el ${displaystyle x}$, ${displaystyle y}$, y ${displaystyle z}$ instrucciones, respectivamente;
• ${displaystyle alpha equiv {tfrac {k}{c_{p}rho }$ es la difusividad térmica, una cantidad específica de material dependiendo de la conductividad térmica ${displaystyle k}$, el capacidad de calor específica ${displaystyle c_{p}$, y el densidad de masa ${displaystyle rho }$.

La ecuación del calor es una consecuencia de la ley de conducción de Fourier (ver conducción de calor).

Si el medio no es todo el espacio, para resolver la ecuación de calor de manera única también necesitamos especificar las condiciones de contorno para u. Para determinar la unicidad de las soluciones en todo el espacio, es necesario asumir condiciones adicionales, por ejemplo, un límite exponencial en el crecimiento de las soluciones o una condición de signo (las soluciones no negativas son únicas por un resultado de David Widder).

Las soluciones de la ecuación del calor se caracterizan por una suavización gradual de la distribución de la temperatura inicial por el flujo de calor de las áreas más cálidas a las más frías de un objeto. Generalmente, muchos estados y condiciones iniciales diferentes tenderán hacia el mismo equilibrio estable. Como consecuencia, invertir la solución y concluir algo sobre tiempos anteriores o condiciones iniciales a partir de la distribución de calor actual es muy impreciso, excepto en períodos de tiempo muy cortos.

La ecuación del calor es el ejemplo prototípico de una ecuación diferencial parcial parabólica.

Usando el operador de Laplace, la ecuación del calor se puede simplificar y generalizar a ecuaciones similares en espacios de un número arbitrario de dimensiones, como

${displaystyle U_{t}=alpha nabla ^{2}u=alpha Delta u,}$

donde se toma el operador de Laplace, Δ o ∇², la divergencia del gradiente, en las variables espaciales.

La ecuación del calor rige la difusión del calor, así como otros procesos de difusión, como la difusión de partículas o la propagación del potencial de acción en las células nerviosas. Aunque no son de naturaleza difusiva, algunos problemas de mecánica cuántica también se rigen por un análogo matemático de la ecuación del calor (ver más abajo). También se puede utilizar para modelar algunos fenómenos que surgen en las finanzas, como los procesos Black-Scholes u Ornstein-Uhlenbeck. La ecuación y varios análogos no lineales también se han utilizado en el análisis de imágenes.

La ecuación del calor es, técnicamente, una violación de la relatividad especial, porque sus soluciones implican la propagación instantánea de una perturbación. La parte de la perturbación fuera del cono de luz frontal generalmente se puede ignorar con seguridad, pero si es necesario desarrollar una velocidad razonable para la transmisión de calor, se debe considerar un problema hiperbólico en su lugar, como una ecuación diferencial parcial que involucra un segundo orden. derivada del tiempo. Algunos modelos de conducción de calor no lineal (que también son ecuaciones parabólicas) tienen soluciones con una velocidad de transmisión de calor finita.

Generación de calor interno

La función u anterior representa la temperatura de un cuerpo. Alternativamente, a veces es conveniente cambiar las unidades y representar u como la densidad de calor de un medio. Dado que la densidad del calor es proporcional a la temperatura en un medio homogéneo, la ecuación del calor aún se cumple en las nuevas unidades.

Suponga que un cuerpo obedece a la ecuación del calor y, además, genera su propio calor por unidad de volumen (p. ej., en vatios/litro - W/L) a una velocidad dada por una función conocida q varían en el espacio y el tiempo. Entonces el calor por unidad de volumen u satisface una ecuación

${displaystyle {frac}{alpha {fnMicroc {fnMicrosoft Sans Serif} {fnMicrosoft Sans Serif} {fnMicrosoft Sans Serif} {fn}}} {fnMicroc {fnMicroc {fn}} {fnMicroc {c}}} {fnMicroc {fnMicrosoft}}}}}} {f}}} {fnMicroc {f}}}}}}}}}}}} {fnMicroc {f}} {f}}}} {fnMicroc} {fn}}}}}}}}}}}}}}}} {b} {fnMicroc {fnMicroc {fnMicroc {fnMicroc {f}}} {f}fnMicroc {fnMicroc {f}}f}}}f}f}}}}}}} #=left({frac {partial ^{2}u}{partial ##{2}}+{frac {partial ^{2}u}{partial ¿Qué? {1}{k}q.}$

Por ejemplo, el filamento de una bombilla de tungsteno genera calor, por lo que tendría un valor positivo distinto de cero para q cuando se enciende. Mientras la luz está apagada, el valor de q para el filamento de tungsteno sería cero.

Resolviendo la ecuación del calor usando series de Fourier

Ajuste físico idealizado para la conducción de calor en una varilla con condiciones de límites homogéneos.

La siguiente técnica de solución para la ecuación del calor fue propuesta por Joseph Fourier en su tratado Théorie analytique de la chaleur, publicado en 1822. Considere la ecuación del calor para una variable espacial. Esto podría usarse para modelar la conducción de calor en una barra. la ecuacion es

${displaystyle displaystyle u_{t}=alpha u_{xx}$

()1)

donde u = u(x, t) es una función de dos variables x y t. Aquí

• x es la variable espacio, por lo que x [0, L], donde L es la longitud de la vara.
• t es la variable tiempo, así que t ≥ 0.

Asumimos la condición inicial

${displaystyle u(x,0)=f(x)quad forall xin [0,L]}$

()2)

donde se da la función f, y las condiciones de contorno

${displaystyle u(0,t)=0=u(L,t)quad forall t título0}$.

()3)

Intentemos encontrar una solución de (1) que no sea idénticamente cero y satisfaga las condiciones de frontera (3) pero con la siguiente propiedad: u es un producto en el que se separa la dependencia de u de x, t, es decir:

${displaystyle u(x,t)=X(x)T(t). }$

()4)

Esta técnica de solución se llama separación de variables. Sustituyendo u de nuevo en la ecuación (1),

${displaystyle {frac}{alpha T(t)}={frac {X'(x)} {X(x)}}$

Dado que el lado derecho depende solo de x y el lado izquierdo solo de t, ambos lados son iguales a un valor constante −λ. De este modo:

${displaystyle T'(t)=-lambda alpha T(t)}$

()5)

y

${displaystyle X''(x)=-lambda X(x).}$

()6)

Ahora mostraremos que no pueden ocurrir soluciones no triviales para (6) para valores de λ ≤ 0:

1. Supongamos que λ λ 0. Luego existen números reales B, C tales que
   $${displaystyle X(x)=Be^{sqrt {-lambda },x},x}$$

   
   De (3) X(0) = 0 = X()L) y por lo tanto B = 0 = C que implica u es idéntico 0.
2. Supongamos que λ = 0. Entonces existen números reales B, C tales que X()x) Bx + C. De la ecuación3) concluimos de la misma manera que en 1 que u es idéntico 0.
3. Por lo tanto, debe ser el caso que λ 0. Entonces existen números reales A, B, C tales que
   $${displaystyle T(t)=Ae^{-lambda alpha t}$$

   
   y
   $${displaystyle X(x)=Bsin left({sqrt {lambda },xright)+Ccos left({sqrt {lambda },xright). }$$

   
   De (3) C = 0 y eso para un número entero positivo n,
   $${fnMicrosoft {fnMicrosoft {fnMicrosoft {fnMicrosoft {\fnMicrosoft {\\fnMicrosoft {\\\\fnMicrosoft {\\\\\\fnMicrosoft {\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\ }=n{frac ♪ - Sí.$$

   

Esto resuelve la ecuación del calor en el caso especial de que la dependencia de u tenga la forma especial (4).

En general, la suma de las soluciones de (1) que satisfacen las condiciones de contorno (3) también satisfacen (1) y (3). Podemos demostrar que la solución de (1), (2) y (3) está dada por

${displaystyle u(x,t)=sum _{n=1}{infty }D_{n}sin left({frac {npi ################################################################################################################################################################################################################################################################ {}}}$

dónde

${displaystyle ¿Qué?$

Generalización de la técnica de solución

La técnica de solución utilizada anteriormente se puede extender en gran medida a muchos otros tipos de ecuaciones. La idea es que el operador u_xx con las condiciones de contorno cero se pueda representar en términos de sus funciones propias. Esto lleva naturalmente a una de las ideas básicas de la teoría espectral de operadores lineales autoadjuntos.

Considere el operador lineal Δu = u_xx. La sucesión infinita de funciones

${displaystyle e_{n}(x)={sqrt {frac {2}{L}}sin left({frac {npi x}{L}}right)}$

para n ≥ 1 son funciones propias de Δ. En efecto,

${displaystyle Delta e_{n}=-{frac {n^{2}pi ^{2} {L^{2}}}e_{n}}$

Además, cualquier función propia f de Δ con las condiciones de contorno f(0) = f(L) = 0 es de la forma e_n para alguna n ≥ 1. Las funciones e_n para n ≥ 1 forman una secuencia ortonormal con respecto a cierto producto interno en el espacio de funciones de valor real en [ 0, L]. Esto significa

${displaystyle langle E_{n},e_{m}rangle ################################################################################################################################################################################################################################################################$

Finalmente, la secuencia {e_n}_{n ∈ N} abarca un subespacio lineal denso de L²((0, L)). Esto muestra que, en efecto, hemos diagonalizado el operador Δ.

Conducción de calor en medios anisotrópicos no homogéneos

En general, el estudio de la conducción del calor se basa en varios principios. El flujo de calor es una forma de flujo de energía y, como tal, tiene sentido hablar de la tasa de flujo de calor en el tiempo en una región del espacio.

• El tiempo de flujo de calor en una región V es dado por una cantidad dependiente del tiempo q_t()V). Asumimos q tiene una densidad QAsí que
  $${displaystyle q_{t}(V)=int _{V}Q(x,t),dxquad }$$

  
• El flujo de calor es una función vectorial dependiente del tiempo H()x) caracterizado como sigue: la velocidad del calor fluyendo a través de un elemento de superficie infinitesimal con área DS y con vector normal de unidad n es
  $${displaystyle mathbf {H} (x)cdot mathbf {n} (x),dS.}$$

  
  Así la tasa de flujo de calor en V se da también por la superficie integral
  $${displaystyle q_{t}(V)=-int _{partial V}mathbf {H} (x)cdot mathbf {n} (x),dS}$$

  
  Donde n()x) es el vector normal apuntando hacia afuera x.
• La ley Fourier establece que el flujo de energía térmica tiene la siguiente dependencia lineal del gradiente de temperatura
  $${displaystyle mathbf {H} (x)=-mathbf {A} (x)cdot nabla u(x)}$$

  
  Donde A()x) es una matriz real 3 × 3 que es simétrica y positiva definida.
• Por el teorema de divergencia, la superficie anterior integral para el flujo de calor V se puede transformar en el volumen integral
  $${fnMicrosoft Sans Serif} {fnMicrosoft Sans Serif} {fnMicrosoft Sans Serif} {cdot}cdot mathbf {n}(x),dS\cH=int _{i}cdot}cdotcdotcdoc ¿Por qué?$$

  
• El tiempo de cambio de temperatura a x es proporcional al calor que fluye en un elemento de volumen infinitesimal, donde la constante de proporcionalidad depende de una constante κ
  $${displaystyle partial _{t}u(x,t)=kappa (x)Q(x,t)}$$

  

Al juntar estas ecuaciones se obtiene la ecuación general del flujo de calor:

${displaystyle partial _{t}u(x,t)=kappa (x)sum _{i,j}partial ¿Por qué?$

Observaciones.

• El coeficiente κ()x) es el inverso de calor específico de la sustancia en x × densidad de la sustancia en x: ${displaystyle kappa =1/(rho c_{p}}$.
• En el caso de un medio isotrópico, la matriz A es una matriz de escalar igual a la conductividad térmica k.
• En el caso anisotrópico donde la matriz de coeficiente A no es escalar y/o si depende de x, entonces una fórmula explícita para la solución de la ecuación de calor raramente se puede escribir abajo, aunque es generalmente posible considerar el problema de Cauchy abstract asociado y mostrar que es un problema bien planteado y/o mostrar algunas propiedades cualitativas (como la preservación de datos iniciales positivos, la velocidad infinita de propagación, la convergencia hacia un equilibrio, propiedades de licuado). Esto se hace generalmente por la teoría de semigrupos de un parámetro: por ejemplo, si A es una matriz simétrica, luego el operador elíptico definido por
  $${displaystyle Au(x):=sum _{i,j}partial _{x_{i}a_{ij}(x)partial _{x_{j}u(x)}$$

  
  es autoadjunto y disipante, por lo tanto por el teorema espectral genera un semigrupo de un parámetro.

Soluciones fundamentales

Una solución fundamental, también llamada núcleo de calor, es una solución de la ecuación de calor correspondiente a la condición inicial de una fuente de calor puntual inicial en una posición conocida. Estos se pueden usar para encontrar una solución general de la ecuación del calor en ciertos dominios; ver, por ejemplo, (Evans 2010) para un tratamiento introductorio.

En una variable, la función de Green es una solución del problema de valor inicial (según el principio de Duhamel, equivalente a la definición de la función de Green como una con una función delta como solución a la primera ecuación)

${displaystyle {begin{cases}u_{t}(x,t)-ku_{xx}(x,t)=0 tarde(x,t)in mathbb {R} times (0,infty)u(x,0)=delta (x) limitend{cases}}}}$

Donde ${displaystyle delta }$ es la función Dirac delta. La solución a este problema es la solución fundamental (kernel de calor)

${displaystyle Phi (x,t)={frac {1}{sqrt {4pi kt}}exp left(-{frac {x^{2} {4kt}right).}}$

Se puede obtener la solución general de la ecuación de calor de una variable con la condición inicial u(x, 0) = g(x) para −∞ < x < ∞ y 0 < t < ∞ aplicando una convolución:

${displaystyle u(x,t)=int Phi (x-y,t)g(y)dy.}$

En varias variables espaciales, la solución fundamental resuelve el problema análogo

${displaystyle {begin{cases}u_{t}(mathbf {x}t)-ksum ¿Por qué? {R} ^{n}times (0,infty)u(mathbf {x}0)=delta (mathbf {x})end{cases}}$

La solución fundamental de n-variable es el producto de las soluciones fundamentales en cada variable; es decir.,

${displaystyle Phi (mathbf {x}t)=Phi (x_{1},t)Phi (x_{2},t)cdots Phi (x_{n},t)={frac {1}{sqrt {(4pi kt)^{n}}}}exp left(-{frac {mathbf {x} cdot mathbf {x} {x} {4kt}}}}right).}}}$

La solución general de la ecuación del calor en Rⁿ se obtiene entonces mediante una convolución, de modo que para resolver el problema de valor inicial con u(x, 0) = g(x), uno tiene

${displaystyle u(mathbf {x}t)=int _{mathbb {R} {fn}fn} Phi (mathbf {x} -mathbf {y}t)g(mathbf {y}) - Mathbf.$

El problema general sobre un dominio Ω en Rⁿ es

${displaystyle {begin{cases}u_{t}(mathbf {x}t)-ksum {i=1} {cH00}=0}=0 {x}t)in Omega times (0,infty)u(mathbf {x}0)=g(mathbf {x})} {mathbf {x})} {ccH00} {cH00} {cH00cH00cH00}cH00}cH00cH00}cH00cH00}cH00}cH00}cH00}cH00cH00}cH00cH00cH00cH00cH00cH00cH00cH00}cH00cH00cH00cH00cH00cH00cH00cH00}cH00}cH00}cH00cH00cH00cH00cH00}cH00cH00$

con datos de frontera de Dirichlet o Neumann. Siempre existe una función de Green, pero a menos que el dominio Ω se pueda descomponer fácilmente en problemas de una variable (ver más abajo), puede que no sea posible escribirla explícitamente. Otros métodos para obtener las funciones de Green incluyen el método de las imágenes, la separación de variables y las transformadas de Laplace (Cole, 2011).

Algunas soluciones de funciones de Green en 1D

Aquí se registra una variedad de soluciones elementales de funciones de Green en una dimensión; muchos otros están disponibles en otros lugares. En algunos de estos, el dominio espacial es (−∞,∞). En otros, es el intervalo semi-infinito (0,∞) con condiciones de contorno de Neumann o Dirichlet. Una variación adicional es que algunos de estos resuelven la ecuación no homogénea

${displaystyle U_{t}=ku_{xx}+f.}$

donde f es alguna función dada de x y t.

Ecuación de calor homogéneo

Problema de valor inicial en (— puja, puja)

${displaystyle {begin{cases}u_{t}=ku_{xx} {x,t)in mathbb {R} times (0,infty)u(x,0)=g(x) limit{text{Initial condition}}end{cases}}}}}}}$

${displaystyle u(x,t)={frac {1}{sqrt [4pi kt}}int _{-infty }infty }exp left(-{frac {(x-y)^{2}{4kt}right)g(y),dy}$

Solución fundamental de la ecuación de calor unidimensional. Rojo: curso de tiempo ${displaystyle Phi (x,t)}$. Azul: cursos de tiempo ${displaystyle Phi (x_{0},t)}$ para dos puntos seleccionados x₀ = 0,2 y x₀ = 1. Tenga en cuenta los diferentes tiempos de ascenso / retrasos y amplitudes.
Versión interactiva.

Comentario. Esta solución es la convolución con respecto a la variable x de la solución fundamental

${displaystyle Phi (x,t):={frac {1}{sqrt {4pi kt}}exp left(-{frac {x^{2}{4kt}right),}$

y la función g(x). (El número de función de Green de la solución fundamental es X00).

Por lo tanto, de acuerdo con las propiedades generales de la convolución con respecto a la diferenciación, u = g ∗ Φ es una solución de la misma ecuación de calor, para

${displaystyle left(partial) ¿Por qué? _{t}-kpartial _{x}{2}right)Phi right]*g=0.}$

Además,

${displaystyle Phi (x,t)={sqrt {t}, Phi left({frac {x}{sqrt {t}},1right)}$

${displaystyle int _{-infty }infty }Phi (x,t),dx=1,}$

de modo que, por hechos generales sobre la aproximación a la identidad, Φ(⋅, t) ∗ g → g como t → 0 en varios sentidos, según la g específica. Por ejemplo, si g se supone acotado y continuo en R entonces Φ(⋅, t) ∗ < i>g converge uniformemente a g cuando t → 0, lo que significa que u(x, t) es continuo en R × [0, ∞) con u(x, 0) = g(x).

Problema de valor inicial en (0,∞) con condiciones de límites Dirichlet homogéneas

${displaystyle {begin{cases}u_{t}=ku_{x} distante(x,t)in [0,infty)times (0,infty)u(x,0)=g(x) {text{IC}u(0,t)=0 {text{BC}}end{case}}}}}}}$

${displaystyle u(x,t)={frac {1}{sqrt {4pi kt}}int _{0}{infty }left[exp left(-{frac {(x-y)^{2}}{4kt}right)-exp left(-{frac {(x+y)}{4kt}}}right)right]g(y)$

Comentario. Esta solución se obtiene de la fórmula anterior aplicada a los datos g(x) convenientemente extendidos a R , para que sea una función impar, es decir, sea g(−x):= −g(x) para todas las x. En consecuencia, la solución del problema de valor inicial en (−∞,∞) es una función impar con respecto a la variable x para todos los valores de t, y en particular satisface las condiciones de frontera homogéneas de Dirichlet u(0, t) = 0. El número de función de Green de esta solución es X10.

Problema de valor inicial en (0,∞) con condiciones de frontera homogéneas Neumann

${displaystyle {begin{cases}u_{t}=ku_{xx} {x,t)in [0,infty)times (0,infty)u(x,0)=g(x) {text{IC}u_{x}(0,t)=0}{text{BC}endcases}endcase$

${displaystyle u(x,t)={frac {1}{sqrt {4pi kt}}int _{0}{infty }left[exp left(-{frac {(x-y)^{2}}{4kt}right)+exp left(-{frac {(x+y)}{4kt}}right)right]g(y)$

Comentario. Esta solución se obtiene de la fórmula de la primera solución aplicada a los datos g(x) convenientemente extendida a R para que sea una función par, es decir, sea g(−x):= g( x) para todos los x. En consecuencia, la solución del problema de valor inicial en R es una función par con respecto a la variable x para todos los valores de t > 0, y en particular, al ser suave, satisface las condiciones de frontera homogéneas de Neumann u_x(0, t) = 0. El Green&# 39; el número de función de esta solución es X20.

Problema en (0,∞) con condiciones iniciales homogéneas y condiciones de límites no homogéneos Dirichlet

${displaystyle {begin{cases}u_{t}=ku_{xx} {x,t)in [0,infty)times (0,infty)u(x,0)=0 limit{text{IC}\u(0,t)=h(t) {text{BC}end{case}}}}}}}}$

${displaystyle u(x,t)=int _{0}{t}{frac {x}{sqrt {4pi k(t-s)^{3}}}}exp left(-{frac {x^{2}{4k(t-s)}}right)h(s),ds,q0}q0quadforall xall xall xall$

Comentario. Esta solución es la convolución con respecto a la variable t de

${displaystyle psi (x,t):=-2kpartial _{x}Phi (x,t)={frac {x}{sqrt {4fncH00} {fnMicrosoft Sans Serif} {fnMicroc {x^{2}{4kt}right)}$

y la función h(t). Como Φ(x, t) es la solución fundamental de

${displaystyle partial _{t}-kpartial _{x}{2}}$

la función ψ(x, t) también es una solución de la misma ecuación de calor, y también lo es u:= ψ ∗ h, gracias a las propiedades generales de la convolución con respecto a la diferenciación. Además,

${displaystyle psi (x,t)={frac {1}{x^{2}},psi left(1,{frac {T}{x^{2}}derecha)}$

${displaystyle int _{0}{infty }psi (x,t),dt=1,}$

de modo que, por hechos generales sobre la aproximación a la identidad, ψ(x, ⋅) ∗ h → h como x → 0 en varios sentidos, según la h específica. Por ejemplo, si se asume que h es continua en R con soporte en [0, ∞) entonces ψ(x, ⋅) ∗ h converge uniformemente en compacta a h cuando x → 0, lo que significa que u(x, t) es continuo en [0, ∞) × [0, ∞) con u(0, t) = h(t).

Depicted es una solución numérica de la ecuación de calor no homogénea. La ecuación se ha resuelto con 0 condiciones iniciales y límites y un término fuente que representa un quemador superior de estufa.

Ecuación de calor no homogénea

Problema en las condiciones iniciales homogéneas

Comentario. Esta solución es la convolución en R², es decir con respecto a ambas variables x y t, de la solución fundamental

${displaystyle Phi (x,t):={frac {1}{sqrt {4pi kt}}exp left(-{frac {x^{2}{4kt}right)}$

y la función f(x, t), ambos significados definidos en su conjunto R² e idénticamente 0 para todo t → 0. Se comprueba que

${displaystyle left(partial) ¿Por qué?$

que expresado en el lenguaje de las distribuciones se convierte en

${displaystyle left(partial) ¿Por qué?$

donde la distribución δ es la función delta de Dirac, que es la evaluación en 0.

Problema en (0,∞) con condiciones de límites Dirichlet homogéneas y condiciones iniciales

${displaystyle {begin{cases}u_{t}=ku_{xx}+f(x,t) conlleva(x,t)in [0,infty)times (0,infty)u(x,0)=0 limit{text{IC}u(0,t)=0}{text{BC}endcases}$

${displaystyle u(x,t)=int _{0}int {fnMicrosoft Sans Serif} {fnMicroc {fnMicrosoft Sans Serif}}}left(exp left(-{frac {(x-y)}{4k(t-s)}right)-exp]$

Comentario. Esta solución se obtiene de la fórmula anterior aplicada a los datos f(x, t) adecuadamente extendida a R × [0,∞), de modo que sea una función impar de la variable x, es decir, sea f(−x, t):= −f(x, t) para todas las x y t. En consecuencia, la solución del problema no homogéneo en (−∞,∞) es una función impar con respecto a la variable x para todos los valores de t, y en particular satisface las condiciones de frontera homogéneas de Dirichlet u(0, t) = 0.

Problema en (0,∞) con condiciones de frontera homogéneas Neumann y condiciones iniciales

${displaystyle {begin{cases}u_{t}=ku_{xx}+f(x,t) conlleva(x,t)in [0,infty)times (0,infty)u(x,0)=0щ{text{IC}u_{x}=0,tend=0 {$