Ecuación de arrastre

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Equation for the force of drag

En dinámica de fluidos, la ecuación de arrastre es una fórmula que se utiliza para calcular la fuerza de arrastre experimentada por un objeto debido al movimiento a través de un fluido completamente envolvente. la ecuacion es:

{displaystyle F_{rm {d}},=,{tfrac {1}{2}},rho ,u^{2},c_{rm {d}},A}

${displaystyle F_{rm {d}}}$ es la fuerza de arrastre, que es por definición el componente de fuerza en la dirección de la velocidad de flujo,
$rho$ es la densidad de masa del fluido,
$u$ es la velocidad de flujo relativa al objeto,
$A$ es el área de referencia, y
${displaystyle c_{rm {d}}}$ es el coeficiente de arrastre – un coeficiente adimensional relacionado con la geometría del objeto y teniendo en cuenta tanto la fricción de la piel como la arrastre de forma. Si el líquido es un líquido, ${displaystyle c_{rm {d}}}$ depende del número de Reynolds; si el fluido es un gas, ${displaystyle c_{rm {d}}}$ depende tanto del número Reynolds como del número Mach.

La ecuación se atribuye a Lord Rayleigh, quien originalmente usó L² en lugar de A (con L siendo alguna dimensión lineal).

El área de referencia A normalmente se define como el área de la proyección ortográfica del objeto en un plano perpendicular a la dirección del movimiento. Para objetos no huecos con forma simple, como una esfera, esto es exactamente lo mismo que el área de sección transversal máxima. Para otros objetos (por ejemplo, un tubo rodante o el cuerpo de un ciclista), A puede ser significativamente mayor que el área de cualquier sección transversal a lo largo de cualquier plano perpendicular a la dirección del movimiento. Los perfiles aerodinámicos utilizan el cuadrado de la longitud de la cuerda como área de referencia; dado que las cuerdas aerodinámicas generalmente se definen con una longitud de 1, el área de referencia también es 1. Las aeronaves usan el área del ala (o el área de las palas del rotor) como área de referencia, lo que facilita la comparación con la sustentación. Los dirigibles y los cuerpos de revolución utilizan el coeficiente de arrastre volumétrico, en el que el área de referencia es el cuadrado de la raíz cúbica del volumen del dirigible. A veces se dan diferentes áreas de referencia para el mismo objeto, en cuyo caso se debe dar un coeficiente de arrastre correspondiente a cada una de estas áreas diferentes.

Para cuerpos romos con esquinas afiladas, como cilindros cuadrados y placas que se mantienen transversales a la dirección del flujo, esta ecuación es aplicable con el coeficiente de arrastre como un valor constante cuando el número de Reynolds es mayor que 1000. Para cuerpos lisos, como un cilindro, el coeficiente de arrastre puede variar significativamente hasta los números de Reynolds hasta 10⁷ (diez millones).

Discusión

La ecuación es más fácil de entender para la situación idealizada donde todo el líquido impacienta sobre el área de referencia y llega a una parada completa, construyendo presión de estancamiento sobre toda la zona. Ningún objeto real corresponde exactamente a este comportamiento. ${displaystyle c_{rm {d}}}$ es la relación de arrastre para cualquier objeto real a la del objeto ideal. En la práctica un cuerpo áspero sin corriente (un cuerpo blando) tendrá un ${displaystyle c_{rm {d}}}$ alrededor de 1, más o menos. Los objetos Smoother pueden tener valores mucho más bajos ${displaystyle c_{rm {d}}}$ . La ecuación es precisa – simplemente proporciona la definición de ${displaystyle c_{rm {d}}}$ (coeficiente), que varía con el número Reynolds y se encuentra por experimento.

De particular importancia es la $u^{2}$ dependencia de la velocidad de flujo, lo que significa que la arrastre del fluido aumenta con el cuadrado de la velocidad de flujo. Cuando la velocidad de flujo se duplica, por ejemplo, no sólo el fluido golpea con el doble de la velocidad de flujo, sino dos veces la masa de los golpes de fluido por segundo. Por lo tanto, el cambio de impulso por tiempo, es decir, la fuerza experimentada, se multiplica por cuatro. Esto contrasta con la fricción dinámica sólida, que generalmente tiene muy poca dependencia de velocidad.

Relación con la presión dinámica

La fuerza de arrastre también se puede especificar como

{displaystyle F_{rm {d}}propto P_{rm {D}}A}

P_DAP_Du

{displaystyle P_{rm {D}}={frac {1}{2}}rho u^{2}}

Derivación

La ecuación de arrastre puede derivarse dentro de una constante multiplicativa mediante el método de análisis dimensional. Si un fluido en movimiento se encuentra con un objeto, ejerce una fuerza sobre el objeto. Suponga que el fluido es un líquido y las variables involucradas, bajo algunas condiciones, son las siguientes:

velocidad u,
densidad de fluido ***,
viscosidad cinemática . del fluido,
tamaño del cuerpo, expresado en términos de su área mojada A, y
Fuerza arrastrada F_d.

Usando el algoritmo del teorema π de Buckingham, estas cinco variables se pueden reducir a dos grupos adimensionales:

coeficiente de arrastre c_d y
Reynolds número Re.

Que esto es así se hace evidente cuando la fuerza de arrastre F_d se expresa como parte de una función de las otras variables en el problema:

{displaystyle f_{a}(F_{rm {d}},u,A,rhonu)=0.}

Esta forma de expresión bastante extraña se usa porque no asume una relación de uno a uno. Aquí, f_a es una función (todavía desconocida) que toma cinco argumentos. Ahora el lado derecho es cero en cualquier sistema de unidades; por lo que debería ser posible expresar la relación descrita por f_a en términos de solo grupos adimensionales.

Hay muchas formas de combinar los cinco argumentos de f_a para formar grupos adimensionales, pero el teorema π de Buckingham establece que habrá dos de esos grupos. Los más apropiados son el número de Reynolds, dado por

{displaystyle mathrm {Re} ={frac {u{sqrt {A}}}{nu }}}

y el coeficiente de arrastre, dado por

{displaystyle c_{rm {d}}={frac {F_{rm {d}}}{{frac {1}{2}}rho Au^{2}}}.}

Así, la función de cinco variables puede ser reemplazada por otra función de solo dos variables:

{displaystyle f_{b}left({frac {F_{rm {d}}}{{frac {1}{2}}rho Au^{2}}},{frac {u{sqrt {A}}}{nu }}right)=0.}

donde f_b es alguna función de dos argumentos. La ley original se reduce entonces a una ley que involucra solo estos dos números.

Debido a que la única incógnita en la ecuación anterior es la fuerza de arrastre F_d, es posible expresarla como

{displaystyle {begin{aligned}{frac {F_{rm {d}}}{{frac {1}{2}}rho Au^{2}}}&=f_{c}left({frac {u{sqrt {A}}}{nu }}right)\F_{rm {d}}&={tfrac {1}{2}}rho Au^{2}f_{c}(mathrm {Re})\c_{rm {d}}&=f_{c}(mathrm {Re})end{aligned}}}

Por lo tanto, la fuerza es simplemente ½ ρ A u² veces algunas (todavía se desconoce) función f_c del número de Reynolds Re: un sistema considerablemente más simple que la función original de cinco argumentos dada anteriormente.

El análisis dimensional convierte así un problema muy complejo (intentar determinar el comportamiento de una función de cinco variables) en uno mucho más sencillo: la determinación del arrastre en función de una sola variable, el número de Reynolds.

Si el fluido es un gas, ciertas propiedades del gas influyen en el arrastre y esas propiedades también deben tenerse en cuenta. Esas propiedades se consideran convencionalmente como la temperatura absoluta del gas y la relación de sus calores específicos. Estas dos propiedades determinan la velocidad del sonido en el gas a su temperatura dada. El teorema pi de Buckingham conduce entonces a un tercer grupo adimensional, la relación entre la velocidad relativa y la velocidad del sonido, que se conoce como el número de Mach. En consecuencia, cuando un cuerpo se mueve en relación con un gas, el coeficiente de arrastre varía con el número de Mach y el número de Reynolds.

El análisis también brinda otra información de forma gratuita, por así decirlo. El análisis muestra que, en igualdad de condiciones, la fuerza de arrastre será proporcional a la densidad del fluido. Este tipo de información a menudo resulta extremadamente valiosa, especialmente en las primeras etapas de un proyecto de investigación.

Métodos experimentales

Para determinar empíricamente la dependencia del número de Reynolds, en lugar de experimentar en un cuerpo grande con fluidos de flujo rápido (como aviones de tamaño real en túneles de viento), también se puede experimentar usando un modelo pequeño en un flujo de mayor velocidad porque estos dos sistemas ofrecen similitud al tener el mismo número de Reynolds. Si no se puede lograr el mismo número de Reynolds y el mismo número de Mach simplemente usando un flujo de mayor velocidad, puede ser ventajoso usar un fluido de mayor densidad o menor viscosidad.

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