Ecuación cuadrática

En álgebra, una ecuación cuadrática (del latín quadratus 'cuadrado') es cualquier ecuación que se puede reorganizar en forma estándar como

$${displaystyle ax^{2}+bx+c=0,}$$

Los valores de x que satisfacen la ecuación se denominan soluciones de la ecuación, y < i>raíces o ceros de la expresión de su lado izquierdo. Una ecuación cuadrática tiene como máximo dos soluciones. Si solo hay una solución, se dice que es una raíz doble. Si todos los coeficientes son números reales, hay dos soluciones reales, o una sola raíz doble real, o dos soluciones complejas que son conjugadas complejas entre sí. Una ecuación cuadrática siempre tiene dos raíces, si se incluyen raíces complejas; y una raíz doble se cuenta por dos. Una ecuación cuadrática se puede factorizar en una ecuación equivalente

$${displaystyle ax^{2}+bx+c=a(x-r)(x-s)=0}$$

La fórmula cuadrática

$${displaystyle x={frac {-bpm {sqrt {b} {2}4ac}} {2a}}} {2a}}} {c}}}} {c}}}}}}}}}} {c}}}}}} {c}}}}}}}}}} {c}}}}}}}}}}}}}}} {c}}}}}}}}}}}}}}}}} {}}}}}}}}} {}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}} {}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}} {}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}} {}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}$$

Las soluciones a problemas que pueden expresarse en términos de ecuaciones cuadráticas se conocían desde el año 2000 a.

Debido a que la ecuación cuadrática implica solo una incógnita, se denomina "univariante". La ecuación cuadrática contiene solo potencias de x que son enteros no negativos y, por lo tanto, es una ecuación polinomial. En particular, es una ecuación polinomial de segundo grado, ya que la mayor potencia es dos.

Resolviendo la ecuación cuadrática

Gráfico 1. Parcelas de función cuadrática Sí. = ax² + bx + c, variar cada coeficiente por separado mientras que los otros coeficientes se fijan (a valores) a= 1, b= 0, c= 0)

Una ecuación cuadrática con coeficientes reales o complejos tiene dos soluciones, llamadas raíces. Estas dos soluciones pueden o no ser distintas, y pueden o no ser reales.

Factoring por inspección

Puede ser posible expresar una ecuación cuadrática ax² + bx + c = 0 como producto (px + q)(rx + s) = 0. En algunos casos, es posible, por simple inspección, determinar valores de p, q, r, y s que hacen que las dos formas sean equivalentes entre sí. Si la ecuación cuadrática se escribe en la segunda forma, entonces la "Propiedad del factor cero" establece que la ecuación cuadrática se cumple si px + q = 0 o rx + s = 0. Resolver estas dos ecuaciones lineales proporciona las raíces de la cuadrática.

Para la mayoría de los estudiantes, factorizar por inspección es el primer método para resolver ecuaciones cuadráticas al que están expuestos. Si a uno se le da una ecuación cuadrática en la forma x² + bx + c = 0, la factorización buscada tiene la forma (x + q)(x + s), y uno tiene que encontrar dos números q y s que suman b y cuyo producto es c (esto a veces se denomina "regla de Vieta" y está relacionado con las fórmulas de Vieta). Como ejemplo, x² + 5x + 6 se factoriza como (x + 3)(x + 2). El caso más general donde a no es igual a 1 puede requerir un esfuerzo considerable de prueba y error adivine y verifique, asumiendo que se puede factorizar en absoluto mediante inspección.

Excepto en casos especiales como donde b = 0 o c = 0, la factorización por inspección solo funciona para ecuaciones cuadráticas que tienen raíces racionales. Esto significa que la gran mayoría de las ecuaciones cuadráticas que surgen en aplicaciones prácticas no pueden resolverse factorizando por inspección.

Completando el cuadrado

Gráfico 2. Para la función cuadrática Sí. = x² − x − 2, los puntos donde el gráfico cruza x- Eje, x = 1 - y x = 2, son las soluciones de la ecuación cuadrática x² − x − 2 = 0.

El proceso de completar el cuadrado hace uso de la identidad algebraica

${displaystyle x^{2}+2hx+h^{2}=(x+h)^{2},}$

que representa un algoritmo bien definido que se puede utilizar para resolver cualquier ecuación cuadrática. Comenzando con una ecuación cuadrática en forma estándar, ax² + bx + c = 0

1. Divide cada lado a, el coeficiente del término cuadrado.
2. Retraer el término constante c/a de ambos lados.
3. Añadir el cuadrado de la mitad de b/a, el coeficiente de x, a ambos lados. Esto "completa la plaza", convirtiendo el lado izquierdo en un cuadrado perfecto.
4. Escribe el lado izquierdo como cuadrado y simplifica el lado derecho si es necesario.
5. Produce dos ecuaciones lineales equiparando la raíz cuadrada del lado izquierdo con las raíces cuadradas positivas y negativas del lado derecho.
6. Resolver cada una de las dos ecuaciones lineales.

Ilustramos el uso de este algoritmo resolviendo 2x² + 4x − 4 = 0

${displaystyle 2x^{2}+4x-4=0}$

${displaystyle x^{2}+2x-2=0}$

${displaystyle x^{2}+2x=2}$

${displaystyle x^{2}+2x+1=2+1}$

${displaystyle left(x+1right)}{2}=3}$

${displaystyle x+1=pm {sqrt {3}}$

${displaystyle #$

El símbolo más-menos "±" indica que tanto x = −1 + √3 y x = −1 − √3 son soluciones de la ecuación cuadrática.

Fórmula cuadrática y su derivación

Completar el cuadrado se puede usar para derivar una fórmula general para resolver ecuaciones cuadráticas, llamada fórmula cuadrática. La demostración matemática se resumirá ahora brevemente. Se puede ver fácilmente, por expansión polinomial, que la siguiente ecuación es equivalente a la ecuación cuadrática:

${displaystyle left(x+{frac {b}{2a}right)} {frac {b}-4ac}{4a^{2}}}}}$

Tomando la raíz cuadrada de ambos lados y despejando x, da:

${displaystyle x={frac {-bpm {sqrt {b^{2}-4ac}} {2a}}}} {b} {2a}}}} {b}{2a}}}}} {b} {2a}}}}} {b} {2a} {c}}}} {c}}}}}}}}}}}}}}} {b}}}}}}} {b}}}}}} {c}}}}}}}}}}}}}}}}} {b}}}}}}} {b}} {b}}}}}}}}} {c}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}} {b} {c}} {c}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}} {b}}}}}}}}}}}} {$

Algunas fuentes, particularmente las más antiguas, usan parametrizaciones alternativas de la ecuación cuadrática como ax² + 2bx< /i> + c = 0 o ax² − 2bx + c = 0, donde b tiene una magnitud la mitad del más común, posiblemente con signo opuesto. Estos dan como resultado formas ligeramente diferentes para la solución, pero por lo demás son equivalentes.

En la literatura se pueden encontrar varias derivaciones alternativas. Estas demostraciones son más sencillas que el estándar que completa el método del cuadrado, representan aplicaciones interesantes de otras técnicas de uso frecuente en álgebra u ofrecen información sobre otras áreas de las matemáticas.

Una fórmula cuadrática menos conocida, como la que se usa en el método de Muller, proporciona las mismas raíces a través de la ecuación

${displaystyle x={frac}{-bpm {sqrt {b^{2}-4ac}}}}}$

Esto se puede deducir de la fórmula cuadrática estándar por las fórmulas de Vieta, que afirman que el producto de las raíces es c/a. También se deriva de dividir la ecuación cuadrática por ${displaystyle x^{2}$ dar ${displaystyle cx^{-2}+bx^{-1}+a=0,}$ resolver esto para ${displaystyle x^{-1},}$ y luego invertir.

Una propiedad de esta forma es que produce una raíz válida cuando a = 0, mientras que la otra raíz contiene la división por cero, porque cuando a = 0, la ecuación cuadrática se convierte en una ecuación lineal, que tiene una raíz. Por el contrario, en este caso, la fórmula más común tiene una división por cero para una raíz y una forma indeterminada 0/0 para la otra raíz. Por otro lado, cuando c = 0, la fórmula más común produce dos raíces correctas mientras que esta forma produce la raíz cero y una forma indeterminada 0/0.

Cuando ni a ni c es cero, la igualdad entre la fórmula cuadrática estándar y el método de Muller,

${fnMicroc} {fnMicroc}}= {fnMicroc}} {fnMicroc}} {f}}} {fnMicroc} {-b+{sqrt {b^{2}-4ac}} {2a},}$

puede verificarse por multiplicación cruzada, y de manera similar para la otra elección de signos.

Ecuación cuadrática reducida

A veces es conveniente reducir una ecuación cuadrática para que su coeficiente principal sea uno. Esto se hace dividiendo ambos lados por a, lo cual siempre es posible ya que a es distinto de cero. Esto produce la ecuación cuadrática reducida:

${displaystyle x^{2}+px+q=0,}$

donde p = b/a y q = c/a. Esta ecuación polinómica mónica tiene las mismas soluciones que la original.

La fórmula cuadrática para las soluciones de la ecuación cuadrática reducida, escrita en términos de sus coeficientes, es:

${displaystyle x={2}left(-ppm {sqrt {p^{2}-4q}}right),}}$

o equivalente:

${displaystyle x=-{frac {p}{2}pm {sqrt {left {fnMicroc}derecha)} {2}-q}}$

Discriminante

Gráfico 3. Signos discriminantes

En la fórmula cuadrática, la expresión debajo del signo de la raíz cuadrada se denomina discriminante de la ecuación cuadrática y, a menudo, se representa usando mayúsculas D o un delta griego en mayúsculas:

${displaystyle Delta =b^{2}-4ac. }$

Una ecuación cuadrática con coeficientes reales puede tener una o dos raíces reales distintas, o dos raíces complejas distintas. En este caso el discriminante determina el número y naturaleza de las raíces. Hay tres casos:

• Si el discriminante es positivo, entonces hay dos raíces distintas

${displaystyle {frac {-b+{sqrt {Delta } {2a}quad {text{y}quad {frac}}quad {frac}}quad {text{y}f}f}f}fn}fn} {fnK}}}f}f}f}f}f}f}f}f}f}f}f}f}f}f}f}f}f}f}f}f}f}f}f}f}f}f}f}f}f}f}f}f}f}f}f}f}f}f}f}f}f}f}f}f}f}f}f}f}f}f}f}f}f}f}f}f}f}f}f}f}f}f}fn {-b-{sqrt {Delta } {2a}}}$

ambos son números reales. Para las ecuaciones cuadráticas con coeficientes racionales, si el discriminante es un número cuadrado, entonces las raíces son racionales, en otros casos pueden ser irracionales cuadráticas.

• Si el discriminante es cero, entonces hay exactamente una raíz real ${displaystyle -{frac {b}{2a}}$ a veces se llama una raíz repetida o doble.

• Si el discriminante es negativo, entonces no hay raíces reales. Más bien, hay dos raíces complejas distintas (no reales)${displaystyle -{frac {b}{2a}+i{frac} {fnK} {fnK} {fnK}f}f}f}fnK}f}fn} - ¿Qué? {cHFF} {-Delta } {2a}},}$

que son complejos conjugados entre sí. En estas expresiones i es la unidad imaginaria.

Por lo tanto, las raíces son distintas si y solo si el discriminante es distinto de cero, y las raíces son reales si y solo si el discriminante no es negativo.

Interpretación geométrica

Gráfico de Sí. = ax² + bx + c, donde a y la discriminación b² − 4ac son positivos, con

• Roots and Sí.-intercepto rojo
• Vertex y eje de simetría en azul
• Focus and directrix in rosa

Visualización de las complejas raíces Sí. = ax² + bx + c: la parabola se gira 180° sobre su vértice (naranja). Es... x-Los interceptos giran 90° alrededor de su punto medio, y el plano cartesiano se interpreta como el plano complejo (verde).

La función f()x) ax² + bx + c es una función cuadrática. El gráfico de cualquier función cuadrática tiene la misma forma general, que se llama parabola. La ubicación y el tamaño de la parabola, y cómo se abre, dependen de los valores de a, b, y c. Como se muestra en la Figura 1, si a ■ 0, la parabola tiene un punto mínimo y se abre hacia arriba. Si a 0, la parabola tiene un punto máximo y se abre hacia abajo. El punto extremo de la parabola, sea mínimo o máximo, corresponde a su vértice. El x-coordinado del vértice se ubicará en ${displaystyle scriptstyle x={tfrac {-b}{2a}}$, y el Sí.-coordinado del vértice se puede encontrar sustituyendo esto x- valor en la función. El Sí.- interceptación se encuentra en el punto (0, c).

Las soluciones de la ecuación cuadrática ax² + bx + c = 0 corresponden a las raíces de la función f (x) = ax² + bx + c< /span>, ya que son los valores de x para los que f(< i>x) = 0. Como se muestra en la figura 2, si a, b y c son números reales y el dominio de f es el conjunto de números reales, entonces las raíces de f son exactamente las x-coordenadas de los puntos donde el gráfico toca el eje x. Como se muestra en la Figura 3, si el discriminante es positivo, el gráfico toca el eje x en dos puntos; si es cero, la gráfica se toca en un punto; y si es negativo, el gráfico no toca el eje x.

Factorización cuadrática

El término

${displaystyle x-r}$

es un factor del polinomio

${displaystyle ax^{2}+bx+c}$

si y solo si r es una raíz de la ecuación cuadrática

${displaystyle ax^{2}+bx+c=0.}$

De la fórmula cuadrática se sigue que

${displaystyle ax^{2}+bx+c=aleft(x-{frac {-b+{sqrt {b^{2}}}{2a}right)left(x-{frac}} {c}}}{2a}}right)left(x-{frac} {-b-{sqrt {b^{2}} {2a}derecho).}$

En el caso especial b² = 4ac donde la cuadrática tiene solo una raíz distinta (es decir, el discriminante es cero), el polinomio cuadrático se puede factorizar como

${displaystyle ax^{2}+bx+c=aleft(x+{frac {b}right)^{2}}}$

Solución gráfica

Gráfico 4. Calculadora de gráficos computación de una de las dos raíces de la ecuación cuadrática 2x² + 4x − 4 = 0. Aunque la pantalla muestra sólo cinco cifras significativas de precisión, el valor recuperado de xc es 0.732050807569, exacto a doce cifras significativas.

Una función cuadrática sin raíz real: Sí. =x 5) -² + 9. La "3" es la parte imaginaria de la x- Intercepto. La parte real es la x-coordinado del vértice. Así las raíces son 5 ± 3i.

Las soluciones de la ecuación cuadrática

${displaystyle ax^{2}+bx+c=0}$

puede deducirse del gráfico de la función cuadrática

${displaystyle f(x)=ax^{2}+bx+c,}$

que es una parábola.

Si la parábola corta el eje x en dos puntos, hay dos raíces reales, que son las x-coordenadas de estos dos puntos (también llamados x -intersección).

Si la parábola es tangente al eje x, hay una raíz doble, que es la x-coordenada del punto de contacto entre el gráfico y la parábola.

Si la parábola no interseca el eje x, hay dos raíces conjugadas complejas. Aunque estas raíces no se pueden visualizar en la gráfica, sí se pueden visualizar sus partes reales e imaginarias.

Sean h y k< /span> ser respectivamente la coordenada x y la y-coordenada del vértice de la parábola (que es el punto con máximo o mínimo y- coordenada La función cuadrática se puede reescribir

${displaystyle y=a(x-h)}{2}+k.}$

Sea d la distancia entre el punto de y-coordenada 2k en el eje de la parábola, y un punto en la parábola con el mismo y-coordenada (vea la figura; hay dos de esos puntos, que dan la misma distancia, debido a la simetría de la parábola). Entonces la parte real de las raíces es h, y su parte imaginaria es ± d. Es decir, las raíces son

${displaystyle h+idquad {text{y}quad h-id,}$

o en el caso del ejemplo de la figura

${displaystyle 5+3iquad {text{and}quad 5-3i}$

Evitar la pérdida de importancia

Aunque la fórmula cuadrática proporciona una solución exacta, el resultado no es exacto si se aproximan los números reales durante el cálculo, como es habitual en el análisis numérico, donde los números reales se aproximan mediante números de coma flotante (llamados "reales" en muchos lenguajes de programación). En este contexto, la fórmula cuadrática no es completamente estable.

Esto ocurre cuando las raíces tienen un orden diferente de magnitud, o, equivalentemente, cuando b² y b² − 4ac están cerca de magnitud. En este caso, la resta de dos números casi iguales causará pérdida de significado o cancelación catastrófica en la raíz más pequeña. Para evitar esto, la raíz que es menor en magnitud, r, puede ser calculado como ${displaystyle (c/a)/R}$ Donde R es la raíz que es más grande en magnitud. Esto equivale a usar la fórmula

${displaystyle x={frac {-2c}{bpm {sqrt {b^{2}-4ac}}}} {c} {c}} {c}}} {c}}} {c}}}}} {c}} {c}}} {c}}}} {c}}} {c}}}} {c}}}}}}}}}}}} {c}}}}}}}}}}}}}}}}} {c}}}}}}}}} {c}}}}}}}}} {cc}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}} {c}}}}}}}}}}}}}}}} {c}}}}}}}}}}} {ccccc}}}}}}}}}} {c}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}$

usando el signo más si ${displaystyle b confía0}$ y el signo menos si ${displaystyle b made0.}$

Puede ocurrir una segunda forma de cancelación entre los términos b² y 4ac del discriminante, es decir cuando las dos raíces están muy cerca. Esto puede provocar la pérdida de hasta la mitad de las cifras significativas correctas en las raíces.

Ejemplos y aplicaciones

La trayectoria del puente es parabólica porque el desplazamiento horizontal es una función lineal del tiempo ${displaystyle x=v_{x}t}$, mientras el desplazamiento vertical es una función cuadrática del tiempo ${displaystyle y={tfrac {1} {2}at^{2}+v_{y}t+h}$. Como resultado, el camino sigue la ecuación cuadrática ${displaystyle y={tfrac {2}{2v_{x}}x^{2}+{tfrac} [V_{y} {v_{x}}x+h}$, donde ${displaystyle v_{x}$ y ${displaystyle v_{y}$ son componentes horizontales y verticales de la velocidad original, a es aceleración gravitacional y h es la altura original. El a el valor debe considerarse negativo aquí, ya que su dirección (hacia abajo) es opuesta a la medición de altura (hacia arriba).

La relación de oro se encuentra como la solución positiva de la ecuación cuadrática ${displaystyle x^{2}-x-1=0}$

Las ecuaciones del círculo y las otras secciones cónicas (elipse, parábola e hipérbola) son ecuaciones cuadráticas en dos variables.

Dado el coseno o seno de un ángulo, encontrar el coseno o seno del ángulo que es la mitad de grande implica resolver una ecuación cuadrática.

El proceso de simplificación de expresiones que involucran la raíz cuadrada de una expresión que involucra la raíz cuadrada de otra expresión implica encontrar las dos soluciones de una ecuación cuadrática.

Descartes' El teorema establece que por cada cuatro círculos que se besan (mutuamente tangentes), sus radios satisfacen una ecuación cuadrática particular.

La ecuación dada por Fuss' El teorema, que da la relación entre el radio del círculo inscrito de un cuadrilátero bicéntrico, el radio de su círculo circunscrito y la distancia entre los centros de esos círculos, se puede expresar como una ecuación cuadrática para la cual la distancia entre los dos círculos' centros en términos de sus radios es una de las soluciones. La otra solución de la misma ecuación en términos de los radios relevantes da la distancia entre el centro del círculo circunscrito y el centro del excírculo de un cuadrilátero ex-tangencial.

Los puntos críticos de una función cúbica y los puntos de inflexión de una función cuártica se encuentran resolviendo una ecuación cuadrática.

Historia

Los matemáticos babilónicos ya en el año 2000 a. C. (que se muestran en tablillas de arcilla de la antigua Babilonia) podían resolver problemas relacionados con las áreas y los lados de los rectángulos. Hay evidencia que data de este algoritmo desde la Tercera Dinastía de Ur. En la notación moderna, los problemas típicamente implicaban resolver un par de ecuaciones simultáneas de la forma:

${displaystyle x+y=p, xy=q,}$

que es equivalente a la declaración que x y y son las raíces de la ecuación:

${displaystyle z^{2}+q=pz.}$

Los pasos dados por los escribas babilónicos para resolver el problema del rectángulo anterior, en términos de x y y, eran los siguientes:

1. Compute half of p.
2. Cubra el resultado.
3. Subtract q.
4. Encuentra la raíz cuadrada (positiva) usando una tabla de cuadrados.
5. Añada los resultados de los pasos (1) y (4) para dar x.

En notación moderna esto significa calcular ${displaystyle x=left({frac {p}{2}right)+{sqrt {left({frac] {fnMicrosoft Sans Serif}$, que es equivalente a la fórmula cuadrática moderna para la raíz real más grande (si la hay) ${displaystyle x={frac {-b+{sqrt {b} {2}4ac}} {2a}}} {2a}}} {c}}}} {c}}}}}}}}}} {c}}}}}} {c}}}}}}}}}} {c}}}}}}}}}}}}}}} {c}}}}}}}}}}}}}}}}} {}}}}}}}}} {}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}} {}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}} {}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}} {}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}$ con a = 1, b =p, y c = q.

Se utilizaron métodos geométricos para resolver ecuaciones cuadráticas en Babilonia, Egipto, Grecia, China e India. El papiro egipcio de Berlín, que data del Reino Medio (2050 a. C. a 1650 a. C.), contiene la solución a una ecuación cuadrática de dos términos. Los matemáticos babilónicos de alrededor del 400 a. C. y los matemáticos chinos de alrededor del 200 a. C. utilizaron métodos geométricos de disección para resolver ecuaciones cuadráticas con raíces positivas. Las reglas para las ecuaciones cuadráticas se dieron en Los nueve capítulos sobre el arte matemático, un tratado chino sobre matemáticas. Estos primeros métodos geométricos no parecen haber tenido una fórmula general. Euclides, el matemático griego, produjo un método geométrico más abstracto alrededor del año 300 a. Con un enfoque puramente geométrico, Pitágoras y Euclides crearon un procedimiento general para encontrar soluciones de la ecuación cuadrática. En su obra Arithmetica, el matemático griego Diofanto resolvió la ecuación cuadrática, pero dando una sola raíz, aun cuando ambas raíces fueran positivas.

En el año 628 d.C., Brahmagupta, un matemático indio, dio la primera solución explícita (aunque todavía no completamente general) de la ecuación cuadrática ax^{2< /sup> + bx = c} de la siguiente manera: "Al número absoluto multiplicado por cuatro veces el [coeficiente del] cuadrado, agregue el cuadrado del [coeficiente del] término medio; la raíz cuadrada de la misma, menos el [coeficiente del] término medio, siendo dividido por el doble del [coeficiente del] cuadrado es el valor." (Brahmasphutasiddhanta, traducción de Colebrook, 1817, página 346) Esto es equivalente a

${displaystyle x={frac {sqrt {4ac+b^{2}}-b} {2a}}$

El manuscrito Bakhshali escrito en la India en el siglo VII d. C. contenía una fórmula algebraica para resolver ecuaciones cuadráticas, así como ecuaciones cuadráticas indeterminadas (originalmente del tipo ax/c = y). Muhammad ibn Musa al-Khwarizmi (siglo IX), posiblemente inspirado por Brahmagupta, desarrolló un conjunto de fórmulas que funcionaban para soluciones positivas. Al-Khwarizmi va más allá al proporcionar una solución completa a la ecuación cuadrática general, aceptando una o dos respuestas numéricas para cada ecuación cuadrática, mientras proporciona pruebas geométricas en el proceso. También describió el método para completar el cuadrado y reconoció que el discriminante debe ser positivo, lo que fue probado por su contemporáneo 'Abd al-Hamīd ibn Turk (Asia Central, siglo IX) quien dio figuras geométricas para probar que si el discriminante es negativo, una ecuación cuadrática no tiene solución. Si bien el propio al-Khwarizmi no aceptó soluciones negativas, los matemáticos islámicos posteriores que lo sucedieron aceptaron soluciones negativas, así como números irracionales como soluciones. Abū Kāmil Shujā ibn Aslam (Egipto, siglo X) en particular fue el primero en aceptar números irracionales (a menudo en forma de raíz cuadrada, raíz cúbica o raíz cuarta) como soluciones a ecuaciones cuadráticas o como coeficientes en una ecuación. El matemático indio del siglo IX, Sridhara, escribió reglas para resolver ecuaciones cuadráticas.

El matemático judío Abraham bar Hiyya Ha-Nasi (siglo XII, España) fue el autor del primer libro europeo que incluyó la solución completa de la ecuación cuadrática general. Su solución se basó en gran medida en el trabajo de Al-Khwarizmi. El escrito del matemático chino Yang Hui (1238-1298 d. C.) es el primero conocido en el que las ecuaciones cuadráticas con coeficientes negativos de 'x' aparecer, aunque atribuye esto al anterior Liu Yi. Hacia 1545 Gerolamo Cardano compiló los trabajos relacionados con las ecuaciones cuadráticas. La fórmula cuadrática que cubre todos los casos fue obtenida por primera vez por Simon Stevin en 1594. En 1637, René Descartes publicó La Géométrie que contenía la fórmula cuadrática en la forma que conocemos hoy.

Temas avanzados

Métodos alternativos de cálculo de raíces

Fórmulas de Vieta

Gráfico de la diferencia entre la aproximación de Vieta para la raíz más pequeña de la ecuación cuadrática x² + bx + c = 0 comparado con el valor calculado utilizando la fórmula cuadrática

Las fórmulas de Vieta (llamadas así por François Viète) son las relaciones

${displaystyle x_{1}+x_{2}=-{frac {b}{a},quad x_{1}x_{2}={frac {c}{a}}$

entre las raíces de un polinomio cuadrático y sus coeficientes. Resultan de comparar término a término la relación

${displaystyle left(x-x_{1}right)left(x-x_{2}right)=x^{2}-left (x_{1}+x_{2}right)x+x_{1}x_{2}=0}$

con la ecuación

${displaystyle x^{2}+{frac [b] {a}x+{frac] {c}=0.}$

La primera fórmula de Vieta es útil para graficar una función cuadrática. Dado que el gráfico es simétrico con respecto a una línea vertical a través del vértice, la coordenada x del vértice está ubicada en el promedio de la raíces (o intersecciones). Por lo tanto, la coordenada x del vértice es

${displaystyle x_{V}={frac {x_{1}+x_{2} {2}=-{frac} {b}{2a}}$

La coordenada y se puede obtener sustituyendo el resultado anterior en la ecuación cuadrática dada, dando

${displaystyle Y... {b^{2}{4a}+c=-{frac} {b^{2}-4ac}{4a}}$

Estas fórmulas para el vértice también se pueden deducir directamente de la fórmula (ver Completar el cuadrado)

${displaystyle ax^{2}+bx+c=aleft(x-{frac {b}{2a}right)} {2}-{frac {b^{2}-4ac}{4a}right).}$

Para el cálculo numérico, las fórmulas de Vieta proporcionan un método útil para encontrar las raíces de una ecuación cuadrática en el caso de que una raíz sea mucho más pequeña que la otra. Si |x₂| << |x₁|, luego x₁ + < i>x₂ ≈ x₁, y tenemos la estimación:

${displaystyle x_{1}approx - {frac {b} {a}}.}$

La segunda fórmula de Vieta proporciona:

${displaystyle x_{2}={frac {c}{ax_{1}}approx - {frac {c}{b}.}$

Estas fórmulas son mucho más fáciles de evaluar que la fórmula cuadrática bajo la condición de una raíz grande y una pequeña, porque la fórmula cuadrática evalúa la raíz pequeña como la diferencia de dos números casi iguales (el caso de grandes b), lo que provoca un error de redondeo en una evaluación numérica. La figura muestra la diferencia entre (i) una evaluación directa usando la fórmula cuadrática (precisa cuando las raíces tienen un valor cercano) y (ii) una evaluación basada en la aproximación anterior de las fórmulas de Vieta (precisa cuando el las raíces están muy espaciadas). A medida que aumenta el coeficiente lineal b, inicialmente la fórmula cuadrática es precisa y la fórmula aproximada mejora en precisión, lo que conduce a una diferencia menor entre los métodos como b aumenta. Sin embargo, en algún momento la fórmula cuadrática comienza a perder precisión debido al error de redondeo, mientras que el método aproximado continúa mejorando. En consecuencia, la diferencia entre los métodos comienza a aumentar a medida que la fórmula cuadrática empeora cada vez más.

Esta situación surge comúnmente en el diseño de amplificadores, donde se desean raíces muy separadas para garantizar un funcionamiento estable (consulte Respuesta escalonada).

Solución trigonométrica

En los días previos a las calculadoras, la gente usaba tablas matemáticas (listas de números que mostraban los resultados del cálculo con diferentes argumentos) para simplificar y acelerar el cálculo. Las tablas de logaritmos y funciones trigonométricas eran comunes en los libros de texto de matemáticas y ciencias. Se publicaron tablas especializadas para aplicaciones como astronomía, navegación celeste y estadística. Existían métodos de aproximación numérica, llamados prostaféresis, que ofrecían atajos para operaciones que consumían mucho tiempo, como la multiplicación y la extracción de potencias y raíces. Los astrónomos, en especial, estaban preocupados por métodos que pudieran acelerar la larga serie de cálculos involucrados en los cálculos de la mecánica celeste.

Es dentro de este contexto que podemos entender el desarrollo de medios para resolver ecuaciones cuadráticas con la ayuda de la sustitución trigonométrica. Considere la siguiente forma alternativa de la ecuación cuadrática,

[1] ${displaystyle ax^{2}+bxpm c=0,}$

donde se elige el signo del símbolo ± para que a y c pueden ser ambos positivos. sustituyendo

[2] ${displaystyle x={sqrt {c/a}tan theta }$

y luego multiplicando por cos²(θ) / c, obtenemos

[3] ${displaystyle sin ^{2}theta +{frac {b}{sqrt {ac}}sin theta cos theta pm cos ^{2}theta =0.}$

Introduciendo funciones de 2θ y reordenando, obtenemos

[4] ${displaystyle tan 2theta - ¿Qué? {sqrt {ac}{b}}}$

[5] ${displaystyle sin 2theta - ¿Qué? {sqrt {ac}{b}}}$

donde corresponden los subíndices n y p, respectivamente, al uso de un signo negativo o positivo en la ecuación [1]. Sustituyendo los dos valores de θ_n o θ _p encontrado a partir de las ecuaciones [4] o [5] en [2] da el raíces de [1]. Las raíces complejas ocurren en la solución basada en la ecuación [5] si el valor absoluto de sen 2θ_p excede la unidad. La cantidad de esfuerzo involucrada en la resolución de ecuaciones cuadráticas utilizando esta estrategia de búsqueda de tablas logarítmicas y trigonométricas mixtas fue dos tercios del esfuerzo utilizando únicamente tablas logarítmicas. Calcular raíces complejas requeriría usar una forma trigonométrica diferente.

Para ilustrar, asumamos que teníamos disponibles tablas de logaritmo de siete lugares y trigonométricas, y queríamos resolver la siguiente a seis cifras significativas:

${displaystyle 4.16130x^{2}+9.15933x-11.4207=0}$

1. Una tabla de búsqueda de siete lugares podría tener sólo 100.000 entradas, y calcular resultados intermedios a siete lugares requeriría generalmente la interpolación entre entradas adyacentes.
2. ${displaystyle log a=0.6192290,log b=0.9618637,log c=1.0576927}$
3. ${displaystyle 2{sqrt {ac}/b=2times 10^{(0.6192290+1.0576927)/2-0.9618637}=1.505314}$
4. ${displaystyle theta =(tan ^{-1}1.505314)/2=28.20169^{circ } {text{ or }}-61.79831^{circ }$
5. ${displaystyle log tan theta Silencio=-0.2706462{text{ or }0.2706462}$
6. ${displaystyle log {sqrt {c/a}=(1.0576927-0.6192290)/2=0.2192318}$
7. ${displaystyle x_{1}=10^{0.2192318-0.2706462}=0.888353}$ (redondeado a seis cifras importantes)

${displaystyle x_{2}=-10^{0.2192318+0.2706462}=-3.08943}$

Solución para raíces complejas en coordenadas polares

Si la ecuación cuadrática ${displaystyle ax^{2}+bx+c=0}$ con coeficientes reales tiene dos raíces complejas: el caso donde ${displaystyle b^{2}-4ac won0,}$ necesidad a y c para tener el mismo signo que el otro, entonces las soluciones para las raíces se pueden expresar en forma polar como

${displaystyle x_{1},,x_{2}=r(cos theta pm isin theta),}$

Donde ${fnMicroc} {c}{a}}}$ y ${displaystyle theta =cos ^{-1}left({tfrac {-b}{2{sqrt {}}derecha).}$

Solución geométrica

Gráfico 6. Solución geométrica ax² + bx + c = 0 usando el método de Lill. Soluciones −AX1/SA, −AX2/SA

La ecuación cuadrática se puede resolver geométricamente de varias maneras. Una forma es a través del método de Lill. Los tres coeficientes a, b, c se dibujan con ángulos rectos entre ellos como en SA, AB y BC en la figura 6. Se dibuja un círculo con el punto inicial y final SC como un diámetro. Si esto corta la línea media AB de las tres, entonces la ecuación tiene una solución, y las soluciones están dadas por el negativo de la distancia a lo largo de esta línea desde A dividida por el primer coeficiente a< /i> o SA. Si a es 1, los coeficientes se pueden leer directamente. Por tanto, las soluciones en el diagrama son −AX1/SA y −AX2/SA.

Círculo de Carlyle de la ecuación cuadrática x²−Sx+p= 0.

El círculo de Carlyle, llamado así por Thomas Carlyle, tiene la propiedad de que las soluciones de la ecuación cuadrática son las coordenadas horizontales de las intersecciones del círculo con el eje horizontal. Los círculos de Carlyle se han utilizado para desarrollar construcciones de regla y compás de polígonos regulares.

Generalización de la ecuación cuadrática

La fórmula y su derivación siguen siendo correctas si los coeficientes a, b y c son números complejos, o más generalmente miembros de cualquier campo cuya característica no es 2< /lapso>. (En un campo de característica 2, el elemento 2a es cero y es imposible dividirlo por él).

El símbolo

${displaystyle pm {sqrt {b^{2}-4ac}}$

en la fórmula debe entenderse como "cualquiera de los dos elementos cuyo cuadrado es b² − 4ac, si tales elementos existen". En algunos campos, algunos elementos no tienen raíces cuadradas y otros tienen dos; solo el cero tiene una sola raíz cuadrada, excepto en los campos de característica 2. Incluso si un campo no contiene la raíz cuadrada de algún número, siempre hay un campo de extensión cuadrática que sí la contiene, por lo que la fórmula cuadrática siempre tendrá sentido como fórmula en ese campo de extensión.

Característica 2

En un campo de característica 2, la fórmula cuadrática, que se basa en que 2 es una unidad, no se cumple. Considere el polinomio cuadrático mónico

${displaystyle x^{2}+bx+c}$

sobre un campo de característica 2. Si b = 0, entonces la solución se reduce a extraer una raíz cuadrada, por lo que la solución es

${displaystyle x={sqrt {c}}$

y solo hay una raíz desde

${displaystyle - ¿Qué? {c}+2{sqrt {c}={sqrt {c}}$

En resumen,

${displaystyle displaystyle x^{2}+c=(x+{sqrt {c})^{2}.}$

Consulte residuo cuadrático para obtener más información sobre la extracción de raíces cuadradas en campos finitos.

En el caso de que b ≠ 0, hay dos raíces distintas, pero si el polinomio es irreducible, no se pueden expresar en términos de raíces cuadradas de números en el campo de coeficientes. En su lugar, defina la 2 raíces R(c) de c para ser una raíz del polinomio x² + x + c, un elemento del campo de división de ese polinomio. Se verifica que R(c) + 1 es también una raíz. En términos de la operación de 2 raíces, las dos raíces de la cuadrática (no mónica) ax² + bx< /i> + c son

${displaystyle {frac {fn}}}}}}}}}}derecho)}$

y

${displaystyle {frac {}}left(Rleft({frac}{b^{2}}}right)+1right).}$

Por ejemplo, sea a un generador multiplicativo del grupo de unidades de F< /i>₄, el campo de Galois de orden cuatro (así a y a + 1 son raíces de x² + x< /i> + 1 sobre F₄. Porque (< i>a + 1)² = a, a + 1 es la solución única de la ecuación cuadrática x² + a = 0.Por otro lado, el polinomio x² + ax + 1 es irreducible sobre F₄, pero se divide sobre F ₁₆, donde tiene las dos raíces ab y ab + a, donde b es una raíz de x² + x + a en F₁₆.

Este es un caso especial de la teoría de Artin-Schreier.