Ecuación

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fórmula matemática que expresa la igualdad

El primer uso de un signo igual, equivalente a 14x + 15 = 71 en notación moderna. Desde El Whetstone de Witte por Robert Recorde de Gales (1557).

En matemáticas, una ecuación es una fórmula que expresa la igualdad de dos expresiones, conectándolas con el signo igual =. La palabra ecuación y sus afines en otros idiomas pueden tener significados sutilmente diferentes; por ejemplo, en francés, una ecuación se define como que contiene una o más variables, mientras que en inglés, cualquier fórmula bien formada que consta de dos expresiones relacionadas con un signo igual es una ecuación.

Resolver una ecuación que contiene variables consiste en determinar qué valores de las variables hacen que la igualdad sea verdadera. Las variables para las que se tiene que resolver la ecuación también se denominan incógnitas, y los valores de las incógnitas que satisfacen la igualdad se denominan soluciones de la ecuación. Hay dos tipos de ecuaciones: identidades y ecuaciones condicionales. Una identidad es verdadera para todos los valores de las variables. Una ecuación condicional solo es verdadera para valores particulares de las variables.

Una ecuación se escribe como dos expresiones, conectadas por un signo igual ("="). Las expresiones en los dos lados del signo igual se denominan "lado izquierdo" y "lado derecho" de la ecuación Muy a menudo se supone que el lado derecho de una ecuación es cero. Asumiendo que esto no reduce la generalidad, ya que esto se puede realizar restando el lado derecho de ambos lados.

El tipo de ecuación más común es una ecuación polinomial (comúnmente llamada también ecuación algebraica) en la que los dos lados son polinomios. Los lados de una ecuación polinomial contienen uno o más términos. Por ejemplo, la ecuación

{displaystyle Ax^{2}+Bx+C-y=0}

tiene la mano izquierda ${displaystyle Ax^{2}+Bx+C-y}$ , que tiene cuatro términos, y el lado derecho ${displaystyle 0 }$ , que consiste en un solo término. Los nombres de las variables sugieren que $x$ y $Sí.$ son desconocidos, y que $A$ , $B$ , y $C$ son parámetros, pero esto normalmente se fija por el contexto (en algunos contextos, $Sí.$ puede ser un parámetro, o $A$ , $B$ , y $C$ puede ser variables ordinarias).

Una ecuación es análoga a una balanza en la que se colocan pesos. Cuando se colocan pesos iguales de algo (p. ej., grano) en las dos bandejas, los dos pesos hacen que la balanza esté en equilibrio y se dice que son iguales. Si se retira una cantidad de grano de un plato de la balanza, se debe quitar una cantidad igual de grano del otro plato para mantener la balanza en equilibrio. De manera más general, una ecuación permanece en equilibrio si se realiza la misma operación en ambos lados.

En geometría cartesiana, las ecuaciones se utilizan para describir figuras geométricas. Como las ecuaciones que se consideran, como las ecuaciones implícitas o las ecuaciones paramétricas, tienen infinitas soluciones, el objetivo ahora es diferente: en lugar de dar las soluciones explícitamente o contarlas, lo que es imposible, se usan ecuaciones para estudiar propiedades de figuras. Esta es la idea inicial de la geometría algebraica, un área importante de las matemáticas.

El álgebra estudia dos familias principales de ecuaciones: las ecuaciones polinómicas y, entre ellas, el caso especial de las ecuaciones lineales. Cuando solo hay una variable, las ecuaciones polinómicas tienen la forma P(x) = 0, donde P es un polinomio, y las ecuaciones lineales tienen la forma ax + b = 0, donde a y b son parámetros. Para resolver ecuaciones de cualquiera de las dos familias, se utilizan técnicas algorítmicas o geométricas que se originan en el álgebra lineal o el análisis matemático. El álgebra también estudia las ecuaciones diofánticas donde los coeficientes y las soluciones son números enteros. Las técnicas utilizadas son diferentes y provienen de la teoría de números. Estas ecuaciones son difíciles en general; a menudo se busca sólo para encontrar la existencia o ausencia de una solución y, si existen, para contar el número de soluciones.

Las ecuaciones diferenciales son ecuaciones que involucran una o más funciones y sus derivadas. Se resuelven encontrando una expresión para la función que no involucre derivadas. Las ecuaciones diferenciales se utilizan para modelar procesos que implican las tasas de cambio de la variable y se utilizan en áreas como la física, la química, la biología y la economía.

El "=" Este símbolo, que aparece en todas las ecuaciones, fue inventado en 1557 por Robert Recorde, quien consideraba que nada podía ser más igual que las líneas rectas paralelas de la misma longitud.

Introducción

Ilustración análoga

Ilustración de una ecuación simple; x, Sí., z son números reales, análogos a los pesos.

Una ecuación es análoga a una balanza, una balanza o un balancín.

Cada lado de la ecuación corresponde a un lado de la balanza. En cada lado se pueden colocar cantidades diferentes: si los pesos de los dos lados son iguales, la balanza se equilibra, y por analogía, la igualdad que representa el equilibrio también se equilibra (si no, entonces el desequilibrio corresponde a una desigualdad representada por una inecuación).

En la ilustración, x, y y z son cantidades diferentes (en este caso, números reales) representadas como pesos circulares, y cada uno de x, y y z tiene un peso diferente. La suma corresponde a agregar peso, mientras que la resta corresponde a quitar peso de lo que ya está allí. Cuando se mantiene la igualdad, el peso total en cada lado es el mismo.

Parámetros e incógnitas

Las ecuaciones a menudo contienen términos distintos de las incógnitas. Estos otros términos, que se supone que son conocidos, normalmente se denominan constantes, coeficientes o parámetros.

Un ejemplo de una ecuación que involucra x e y como incógnitas y el parámetro R es

{displaystyle x^{2}+y^{2}=R^{2}.}

Cuando se elige R para que tenga el valor de 2 (R = 2), esta ecuación se reconocería en coordenadas cartesianas como la ecuación para el círculo de radio de 2 alrededor del origen. Por lo tanto, la ecuación con R sin especificar es la ecuación general del círculo.

Por lo general, las incógnitas se indican con letras al final del alfabeto, x, y, z, w,..., mientras que los coeficientes (parámetros) se indican con letras al principio, a, b, c, d,.... Por ejemplo, la ecuación cuadrática general suele escribirse ax² + bx + c = 0.

El proceso de encontrar las soluciones o, en el caso de los parámetros, expresar las incógnitas en términos de los parámetros, se llama resolver la ecuación. Tales expresiones de las soluciones en términos de los parámetros también se denominan soluciones.

Un sistema de ecuaciones es un conjunto de ecuaciones simultáneas, normalmente con varias incógnitas para las que se buscan soluciones comunes. Por lo tanto, una solución del sistema es un conjunto de valores para cada una de las incógnitas, que juntas forman una solución para cada ecuación del sistema. Por ejemplo, el sistema

{begin{aligned}3x+5y&=2\5x+8y&=3end{aligned}}

tiene la solución única x = −1, y = 1.

Identidades

Una identidad es una ecuación que es verdadera para todos los valores posibles de la(s) variable(s) que contiene. Se conocen muchas identidades en álgebra y cálculo. En el proceso de resolver una ecuación, a menudo se usa una identidad para simplificar una ecuación, haciéndola más fácil de resolver.

En álgebra, un ejemplo de identidad es la diferencia de dos cuadrados:

x^{2}-y^{2}=(x+y)(x-y)

lo cual es cierto para todos los x e y.

La trigonometría es un área donde existen muchas identidades; estos son útiles para manipular o resolver ecuaciones trigonométricas. Dos de las muchas que involucran las funciones seno y coseno son:

{displaystyle sin ^{2}(theta)+cos ^{2}(theta)=1}

sin(2theta)=2sin(theta)cos(theta)

que son verdaderas para todos los valores de θ.

Por ejemplo, para resolver el valor de θ que satisface la ecuación:

3sin(theta)cos(theta)=1,,

donde θ se limita a entre 0 y 45 grados, se puede usar la identidad anterior del producto para dar:

{frac {3}{2}}sin(2theta)=1,,

produciendo la siguiente solución para θ:

theta ={frac {1}{2}}arcsin left({frac {2}{3}}right)approx 20.9^{circ }.

Dado que la función seno es una función periódica, hay infinitas soluciones si no hay restricciones en θ. En este ejemplo, restringir θ entre 0 y 45 grados restringiría la solución a un solo número.

Propiedades

Dos ecuaciones o dos sistemas de ecuaciones son equivalentes, si tienen el mismo conjunto de soluciones. Las siguientes operaciones transforman una ecuación o un sistema de ecuaciones en uno equivalente, siempre que las operaciones sean significativas para las expresiones a las que se aplican:

Añadiendo o restando la misma cantidad a ambos lados de una ecuación. Esto muestra que cada ecuación es equivalente a una ecuación en la que el lado derecho es cero.
Multiplicar o dividir ambos lados de una ecuación por una cantidad no cero.
Aplicar una identidad para transformar un lado de la ecuación. Por ejemplo, expandiendo un producto o factorizando una suma.
Para un sistema: añadir a ambos lados de una ecuación el lado correspondiente de otra ecuación, multiplicado por la misma cantidad.

Si se aplica alguna función a ambos lados de una ecuación, la ecuación resultante tiene las soluciones de la ecuación inicial entre sus soluciones, pero puede tener otras soluciones llamadas soluciones extraneous. Por ejemplo, la ecuación $x=1$ tiene la solución $x=1.$ Levantar ambos lados al exponente de 2 (lo que significa aplicar la función $f(s)=s^{2}$ a ambos lados de la ecuación) cambia la ecuación a $x^{2}=1$ , que no sólo tiene la solución anterior, sino que también introduce la solución extraneous, $x=-1.$ Además, si la función no se define en algunos valores (como 1/)x, que no se define x = 0), las soluciones existentes en esos valores pueden perderse. Por lo tanto, la precaución debe ser ejercida al aplicar tal transformación a una ecuación.

Las transformaciones anteriores son la base de la mayoría de los métodos elementales para resolver ecuaciones, así como de algunos menos elementales, como la eliminación gaussiana.

Álgebra

Ecuaciones polinómicas

El soluciones –1 y 2 de los ecuación polinómica x² – x + 2 = 0 son los puntos donde el gráfico de la función cuadrática Sí. = x² – x + 2 corta los x-Eje.

En general, una ecuación algebraica o ecuación polinomial es una ecuación de la forma

P=0

, o

P=Q

donde P y Q son polinomios con coeficientes en algún campo (por ejemplo, números racionales, números reales, números complejos). Una ecuación algebraica es univariante si involucra solo una variable. Por otro lado, una ecuación polinomial puede involucrar varias variables, en cuyo caso se denomina multivariante (múltiples variables, x, y, z, etc.).

Por ejemplo,

x^{5}-3x+1=0

es una ecuación algebraica (polinomial) univariada con coeficientes enteros y

y^{4}+{frac {xy}{2}}={frac {x^{3}}{3}}-xy^{2}+y^{2}-{frac {1}{7}}

es una ecuación polinomial multivariante sobre los números racionales.

Algunas ecuaciones polinómicas con coeficientes racionales tienen una solución que es una expresión algebraica, con un número finito de operaciones que involucran solo esos coeficientes (es decir, se pueden resolver algebraicamente). Esto se puede hacer para todas las ecuaciones de grado uno, dos, tres o cuatro; pero las ecuaciones de grado cinco o más no siempre se pueden resolver de esta manera, como demuestra el teorema de Abel-Ruffini.

Se ha dedicado una gran cantidad de investigación a calcular aproximaciones precisas y eficientes de las soluciones reales o complejas de una ecuación algebraica univariada (ver Determinación de raíces de polinomios) y de las soluciones comunes de varias ecuaciones polinómicas multivariadas (ver Sistema de ecuaciones polinómicas).

Sistemas de ecuaciones lineales

Los Nueve Capítulos en el Matemático El arte es un libro chino anónimo del siglo II que propone un método de resolución para ecuaciones lineales.

Un sistema de ecuaciones lineales (o sistema lineal) es una colección de ecuaciones lineales que involucran una o más variables. Por ejemplo,

{begin{alignedat}{7}3x&&;+;&&2y&&;-;&&z&&;=;&&1&\2x&&;-;&&2y&&;+;&&4z&&;=;&&-2&\-x&&;+;&&{tfrac {1}{2}}y&&;-;&&z&&;=;&&0&end{alignedat}}

es un sistema de tres ecuaciones en las tres variables $x, y, z$ . Una solución a un sistema lineal es una asignación de números a las variables tal que todas las ecuaciones se satisfagan simultáneamente. Una solución al sistema anterior está dada por

{begin{alignedat}{2}x&,=,&1\y&,=,&-2\z&,=,&-2end{alignedat}}

ya que hace que las tres ecuaciones sean válidas. La palabra "sistema" indica que las ecuaciones deben considerarse colectivamente, en lugar de individualmente.

En matemáticas, la teoría de sistemas lineales es una parte fundamental del álgebra lineal, un tema que se utiliza en muchas partes de las matemáticas modernas. Los algoritmos computacionales para encontrar las soluciones son una parte importante del álgebra lineal numérica y desempeñan un papel destacado en la física, la ingeniería, la química, la informática y la economía. Un sistema de ecuaciones no lineales a menudo se puede aproximar mediante un sistema lineal (ver linealización), una técnica útil al hacer un modelo matemático o una simulación por computadora de un sistema relativamente complejo.

Geometría

Geometría analítica

La línea azul y roja es el conjunto de todos los puntos (x,Sí.. x+Sí.=5 yx+2Sí.=4, respectivamente. Su punto de intersección (2,3) satisface ambas ecuaciones.

Una sección cónica es la intersección de un avión y un cono de revolución.

En la geometría euclidiana, es posible asociar un conjunto de coordenadas a cada punto del espacio, por ejemplo por una red ortogonal. Este método permite caracterizar figuras geométricas por ecuaciones. Un plano en espacio tridimensional se puede expresar como el conjunto de solución de una ecuación de la forma $ax+by+cz+d=0$ , donde $a,b,c$ y $d$ son números reales y $x,y,z$ son los desconocidos que corresponden a las coordenadas de un punto en el sistema dado por la red ortogonal. Los valores $a,b,c$ son las coordenadas de un vector perpendicular al plano definido por la ecuación. Una línea se expresa como la intersección de dos planos, que es como el conjunto de solución de una única ecuación lineal con valores en $mathbb {R} ^{2}$ o como la solución de dos ecuaciones lineales con valores en $mathbb {R} ^{3}.$

Una sección cónica es la intersección de un cono con ecuación $x^{2}+y^{2}=z^{2}$ y un avión. En otras palabras, en el espacio, todos los conicos se definen como el conjunto de solución de una ecuación de un plano y de la ecuación de un cono acaba de dar. Este formalismo permite determinar las posiciones y las propiedades de los focos de un cónico.

El uso de ecuaciones permite recurrir a una gran área de las matemáticas para resolver cuestiones geométricas. El sistema de coordenadas cartesianas transforma un problema geométrico en un problema de análisis, una vez transformadas las figuras en ecuaciones; de ahí el nombre de geometría analítica. Este punto de vista, esbozado por Descartes, enriquece y modifica el tipo de geometría concebida por los antiguos matemáticos griegos.

Actualmente, la geometría analítica designa una rama activa de las matemáticas. Aunque todavía usa ecuaciones para caracterizar figuras, también usa otras técnicas sofisticadas como el análisis funcional y el álgebra lineal.

Ecuaciones cartesianas

Un sistema de coordenadas cartesianas es un sistema de coordenadas que especifica cada punto de forma única en un plano mediante un par de coordenadas numéricas, que son las distancias con signo desde el punto hasta dos líneas fijas perpendiculares dirigidas, que son marcados usando la misma unidad de longitud.

Se puede utilizar el mismo principio para especificar la posición de cualquier punto en el espacio tridimensional mediante el uso de tres coordenadas cartesianas, que son las distancias con signo a tres planos perpendiculares entre sí (o, de manera equivalente, mediante su proyección perpendicular sobre tres líneas mutuamente perpendiculares).

Sistema de coordenadas cartesiano con un círculo de radio 2 centrado en el origen marcado en rojo. La ecuación de un círculo es ()x − a)² +Sí. − b)² = r² Donde a y b son las coordenadas del centro ()a, b) y r es el radio.

La invención de las coordenadas cartesianas en el siglo XVII por René Descartes (nombre en latín: Cartesius) revolucionó las matemáticas al proporcionar el primer vínculo sistemático entre la geometría euclidiana y el álgebra. Usando el sistema de coordenadas cartesianas, las formas geométricas (como las curvas) se pueden describir mediante ecuaciones cartesianas: ecuaciones algebraicas que involucran las coordenadas de los puntos que se encuentran en la forma. Por ejemplo, un círculo de radio 2 en un plano, con centro en un punto particular llamado origen, puede describirse como el conjunto de todos los puntos cuyas coordenadas x e y satisfacen la ecuación x² + y² = 4.

Ecuaciones paramétricas

Una ecuación paramétrica para una curva expresa las coordenadas de los puntos de la curva como funciones de una variable, llamada parámetro. Por ejemplo,

{begin{aligned}x&=cos t\y&=sin tend{aligned}}

son ecuaciones paramétricas para el círculo unitario, donde t es el parámetro. Juntas, estas ecuaciones se denominan representación paramétrica de la curva.

La noción de ecuación paramétrica se ha generalizado a superficies, variedades y variedades algebraicas de mayor dimensión, siendo el número de parámetros igual a la dimensión de la variedad o variedad, y el número de ecuaciones siendo igual a la dimensión del espacio en el que se considera la variedad o variedad (para curvas la dimensión es uno y se utiliza el parámetro uno, para superficies dimensión dos y dos parámetros, etc.).

Teoría de números

Ecuaciones diofánticas

Una ecuación diofántica es una ecuación polinomial con dos o más incógnitas para las que solo se buscan soluciones enteras (una solución entera es una solución en la que todas las incógnitas toman valores enteros). Una ecuación diofántica lineal es una ecuación entre dos sumas de monomios de grado cero o uno. Un ejemplo de ecuación diofántica lineal es $ax + by = c$ donde a, b y c son constantes. Una ecuación diofántica exponencial es aquella en la que los exponentes de los términos de la ecuación pueden ser incógnitas.

Problemas diofánticos tienen menos ecuaciones que variables desconocidas e implican encontrar números enteros que funcionen correctamente para todas las ecuaciones. En un lenguaje más técnico, definen una curva algebraica, una superficie algebraica o un objeto más general, y preguntan sobre los puntos de la red en ella.

La palabra Diofantino se refiere al matemático helenístico del siglo III, Diofanto de Alejandría, quien hizo un estudio de tales ecuaciones y fue uno de los primeros matemáticos en introducir el simbolismo en el álgebra. El estudio matemático de los problemas diofánticos que inició Diofanto se llama ahora análisis diofántico.

Números algebraicos y trascendentes

Un número algebraico es un número que es una solución de una ecuación polinomial distinta de cero en una variable con coeficientes racionales (o de manera equivalente, limpiando denominadores, con coeficientes enteros). Se dice que números como π que no son algebraicos son trascendentales. Casi todos los números reales y complejos son trascendentales.

Geometría algebraica

La geometría algebraica es una rama de las matemáticas que estudia clásicamente las soluciones de ecuaciones polinómicas. La geometría algebraica moderna se basa en técnicas más abstractas de álgebra abstracta, especialmente álgebra conmutativa, con el lenguaje y los problemas de geometría.

Los objetos fundamentales de estudio de la geometría algebraica son las variedades algebraicas, que son manifestaciones geométricas de soluciones de sistemas de ecuaciones polinómicas. Ejemplos de las clases de variedades algebraicas más estudiadas son: curvas algebraicas planas, que incluyen líneas, círculos, parábolas, elipses, hipérbolas, curvas cúbicas como curvas elípticas y curvas cuárticas como lemniscatas y óvalos de Cassini. Un punto del plano pertenece a una curva algebraica si sus coordenadas satisfacen una ecuación polinomial dada. Las preguntas básicas involucran el estudio de los puntos de especial interés como los puntos singulares, los puntos de inflexión y los puntos en el infinito. Preguntas más avanzadas involucran la topología de la curva y las relaciones entre las curvas dadas por diferentes ecuaciones.

Ecuaciones diferenciales

Un extraño atracción, que surge al resolver una determinada ecuación diferencial

Una ecuación diferencial es una ecuación matemática que relaciona alguna función con sus derivadas. En las aplicaciones, las funciones generalmente representan cantidades físicas, las derivadas representan sus tasas de cambio y la ecuación define una relación entre las dos. Debido a que tales relaciones son extremadamente comunes, las ecuaciones diferenciales desempeñan un papel destacado en muchas disciplinas, incluidas la física, la ingeniería, la economía y la biología.

En matemáticas puras, las ecuaciones diferenciales se estudian desde varias perspectivas diferentes, principalmente relacionadas con sus soluciones: el conjunto de funciones que satisfacen la ecuación. Solo las ecuaciones diferenciales más simples se pueden resolver mediante fórmulas explícitas; sin embargo, algunas propiedades de las soluciones de una ecuación diferencial dada pueden determinarse sin encontrar su forma exacta.

Si no se dispone de una fórmula independiente para la solución, la solución se puede aproximar numéricamente usando computadoras. La teoría de los sistemas dinámicos pone énfasis en el análisis cualitativo de los sistemas descritos por ecuaciones diferenciales, mientras que se han desarrollado muchos métodos numéricos para determinar soluciones con un cierto grado de precisión.

Ecuaciones diferenciales ordinarias

Una ecuación diferencial ordinaria o EDO es una ecuación que contiene una función de una variable independiente y sus derivadas. El término "ordinario" se utiliza en contraste con el término ecuación diferencial parcial, que puede ser con respecto a más de una variable independiente.

Las ecuaciones diferenciales lineales, que tienen soluciones que se pueden sumar y multiplicar por coeficientes, están bien definidas y comprendidas, y se obtienen soluciones exactas de forma cerrada. Por el contrario, las EDO que carecen de soluciones aditivas no son lineales y resolverlas es mucho más complicado, ya que rara vez se pueden representar mediante funciones elementales en forma cerrada: en cambio, las soluciones exactas y analíticas de las EDO están en serie o en forma integral. Los métodos gráficos y numéricos, aplicados a mano o por computadora, pueden aproximar las soluciones de las EDO y tal vez brindar información útil, que a menudo es suficiente en ausencia de soluciones analíticas exactas.

Ecuaciones diferenciales parciales

Una ecuación diferencial parcial (EDP) es una ecuación diferencial que contiene funciones multivariables desconocidas y sus derivadas parciales. (Esto contrasta con las ecuaciones diferenciales ordinarias, que tratan con funciones de una sola variable y sus derivadas). Las PDE se usan para formular problemas que involucran funciones de varias variables y se resuelven a mano o se usan para crear un modelo de computadora relevante..

Las PDE se pueden utilizar para describir una amplia variedad de fenómenos, como el sonido, el calor, la electrostática, la electrodinámica, el flujo de fluidos, la elasticidad o la mecánica cuántica. Estos fenómenos físicos aparentemente distintos se pueden formalizar de manera similar en términos de PDE. Así como las ecuaciones diferenciales ordinarias a menudo modelan sistemas dinámicos unidimensionales, las ecuaciones diferenciales parciales a menudo modelan sistemas multidimensionales. Las PDE encuentran su generalización en ecuaciones diferenciales parciales estocásticas.

Tipos de ecuaciones

Las ecuaciones se pueden clasificar según los tipos de operaciones y cantidades involucradas. Los tipos importantes incluyen:

Una ecuación algebraica o ecuación polinomio es una ecuación en la que ambos lados son polinomios (ver también sistema de ecuaciones polinomio). Estos se clasifican por grado:
- ecuación lineal para grado uno
- ecuación cuadrática para el grado dos
- ecuación cúbica para el grado tres
- cuartic ecuación para grado cuatro
- ecuación quinética para el grado cinco
- ecuación sexta para el grado seis
- ecuación séptica para el grado siete
- ecuación octic para grado ocho
Una ecuación Diofantina es una ecuación donde los desconocidos son necesarios para ser enteros
Una ecuación trascendental es una ecuación que implica una función trascendental de sus desconocidos
Una ecuación paramétrica es una ecuación en la que se expresan las soluciones para las variables como funciones de algunas otras variables, llamadas parámetros que aparecen en las ecuaciones
Una ecuación funcional es una ecuación en la que los desconocidos son funciones más que simples cantidades
Equations involving derivatives, integrals and finite differences:
- Una ecuación diferencial es una ecuación funcional que implica derivados de las funciones desconocidas, donde la función y sus derivados se evalúan en el mismo punto, como ${displaystyle f'(x)=x^{2}}$ . Las ecuaciones diferenciales se subdividen en ecuaciones diferenciales ordinarias para funciones de una sola variable y ecuaciones diferenciales parciales para funciones de múltiples variables
- Una ecuación integral es una ecuación funcional que implica los antiderivativos de las funciones desconocidas. Para las funciones de una variable, tal ecuación difiere de una ecuación diferencial principalmente a través de un cambio de variable sustitución de la función por su derivado, sin embargo este no es el caso cuando se toma la parte integral sobre una superficie abierta
- Una ecuación integro-diferencial es una ecuación funcional que implica tanto los derivados como los antiderivativos de las funciones desconocidas. Para funciones de una variable, tal ecuación difiere de ecuaciones integrales y diferenciales a través de un cambio similar de variable.
- Una ecuación diferencial funcional de la ecuación diferencial de demora es una ecuación de función que implica derivados de las funciones desconocidas, evaluadas en múltiples puntos, como ${displaystyle f'(x)=f(x-2)}$
- Una ecuación de diferencia es una ecuación donde lo desconocido es una función f que ocurre en la ecuación a través f()x), f()x-1),... f()x−k), para un entero entero k llamado orden de la ecuación. Si x se limita a ser un entero, una ecuación de diferencia es la misma que una relación de recurrencia
- Una ecuación diferencial estocástica es una ecuación diferencial en la que uno o más de los términos es un proceso estocástico

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