E7 (matemáticas)

En matemáticas, E₇ es el nombre de varios grupos de Lie estrechamente relacionados, grupos algebraicos lineales o sus álgebras de Lie e ₇, todos los cuales tienen dimensión 133; se utiliza la misma notación E₇ para la red de raíces correspondiente, que tiene rango 7. La designación E₇ proviene de la clasificación de Cartan-Killing de las álgebras de Lie simples y complejas, que se dividen en cuatro series infinitas denominadas A_n, B_n, C_n, D_n y cinco casos excepcionales denominados E6, E₇, E8, F4 y G2. El álgebra E₇ es, por tanto, uno de los cinco casos excepcionales.

El grupo fundamental de la forma compleja (adjunta), la forma real compacta o cualquier versión algebraica de E₇ es el grupo cíclico Z/2Z , y su grupo de automorfismo externo es el grupo trivial. La dimensión de su representación fundamental es 56.

Formas reales y complejas

Existe un álgebra de Lie compleja única de tipo E₇, correspondiente a un grupo complejo de dimensión compleja 133. El grupo complejo de Lie adjunto E₇ de dimensión compleja 133 puede considerarse como un grupo de Lie real simple de dimensión real 266. Este tiene un grupo fundamental Z/2Z, tiene un subgrupo compacto máximo de la forma compacta (ver más abajo) de E ₇, y tiene un grupo de automorfismo externo de orden 2 generado por conjugación compleja.

Además del grupo de Lie complejo de tipo E₇, hay cuatro formas reales del álgebra de Lie y, correspondientemente, cuatro formas reales del grupo con centro trivial (todas las cuales tienen un doble cobertura, y tres de las cuales tienen más coberturas no algebraicas, dando más formas reales), todas de dimensión real 133, como sigue:

• La forma compacta (que generalmente es la que significa si no se da otra información), que tiene un grupo fundamental Z/2Z y tiene un grupo de automorfismo externo trivial.
• La forma dividida, EV (o E)₇₍₇₎), que tiene el subgrupo compacto máximo SU(8)/{±1}, cíclica de grupo fundamental del orden 4 y grupo de automorfismo externo del orden 2.
• EVI (o E)_7(-5)), que tiene el subgrupo SU(2)·SO(12)/(centro), grupo fundamental no ciclo de orden 4 y grupo de automorfismo externo trivial.
• EVII (o E)_7(-25)), que tiene subgrupo compacto maximal SO(2)· E₆/(centro), grupo fundamental cíclico infinito y grupo de automorfismo externo 2.

Para obtener una lista completa de formas reales de álgebras de Lie simples, consulte la lista de grupos de Lie simples.

La forma real compacta de E₇ es el grupo de isometría del excepcional espacio simétrico compacto de Riemann EVI de 64 dimensiones (en la clasificación de Cartan). Se le conoce informalmente como "plano proyectivo cuateroctoniónico" porque se puede construir usando un álgebra que es el producto tensorial de los cuaterniones y los octoniones, y también se conoce como plano proyectivo de Rosenfeld, aunque no obedece a los axiomas habituales de un plano proyectivo. Esto se puede comprobar sistemáticamente mediante una construcción conocida como cuadrado mágico, debida a Hans Freudenthal y Jacques Tits.

La construcción de Tags-Koecher produce formas del álgebra de Lie E₇ a partir de álgebras de Albert, álgebras de Jordan excepcionales de 27 dimensiones.

E7 como grupo algebraico

Mediante una base de Chevalley para el álgebra de Lie, se puede definir E₇ como un grupo algebraico lineal sobre los números enteros y, en consecuencia, sobre cualquier anillo conmutativo y en particular sobre cualquier cuerpo: esto define la forma adjunta denominada dividida (a veces también conocida como “sin torcer”) de E₇. Sobre un campo algebraicamente cerrado, ésta y su doble cobertura son las únicas formas; sin embargo, en otros campos, a menudo hay muchas otras formas, o “giros” de E₇, que se clasifican en el marco general de la cohomología de Galois (sobre un campo perfecto k) por el conjunto H¹(k, Aut(E₇)) que, debido a que el diagrama de Dynkin de E₇ (ver más abajo) no tiene automorfismos, coincide con H¹(k, E _{7, anuncio}).

Sobre el cuerpo de los números reales, el componente real de la identidad de estas formas algebraicamente retorcidas de E₇ coincide con los tres grupos reales de Lie mencionados anteriormente, pero con una sutileza relativa al grupo fundamental: todas las formas adjuntas de E₇ tienen grupo fundamental Z/2Z en el sentido de geometría algebraica, lo que significa que admiten exactamente una doble cobertura; las otras formas reales no compactas del grupo de Lie de E₇ no son, por tanto, algebraicas y no admiten representaciones fieles de dimensión finita.

Sobre campos finitos, el teorema de Lang-Steinberg implica que H¹(k, E₇) = 0, lo que significa que E₇ no tiene formas torcidas: ver más abajo.

Álgebra

Diagrama de Dynkin

El diagrama de Dynkin para E₇ es dado por .

Sistema raíz

Aunque las raíces abarcan un espacio de 7 dimensiones, es más simétrico y conveniente representarlas como vectores que se encuentran en un subespacio de 7 dimensiones de un espacio vectorial de 8 dimensiones.

Las raíces son todas las permutaciones 8×7 de (1,−1,0,0,0,0,0,0,0) y todas las ${displaystyle {begin{pmatrix}84end{pmatrix}}$ permutations of (1⁄2,1⁄2,1⁄2,1⁄2,−1⁄2,—1⁄2,—1⁄2,—1⁄2,—1⁄2)

Tenga en cuenta que el subespacio de 7 dimensiones es el subespacio donde la suma de las ocho coordenadas es cero. Hay 126 raíces.

Las raíces simples son

(0,−1,0,0,0,0,0,0)

(0,0, 1,0,0,0,0,0)

(0,0,0,1,1,0,0,0)

(0,0,0,−1,0,0)

(0,0,0,0,−1,0)

(0,0,0,0,0,−1,1)

(1⁄2, 1⁄2, 1⁄2, 1⁄2, 1⁄2, 1⁄2 – 1⁄2, 1⁄2, 1⁄2 – 1⁄2)

Están enumerados de modo que sus nodos correspondientes en el diagrama de Dynkin estén ordenados de izquierda a derecha (en el diagrama mostrado arriba) con el nodo lateral al final.

Una descripción alternativa

Una descripción alternativa (7 dimensiones) del sistema raíz, que es útil para considerar E₇ × SU(2) como un subgrupo de E₈, es el siguiente:

Todos ${displaystyle 4times {begin{pmatrix}62end{pmatrix}}$ permutaciones de (±1,±1,0,0,0,0,0) preservando el cero en la última entrada, todas las siguientes raíces con un número uniforme de +1⁄2

${displaystyle left(pm {1 over 2},pm {1 over 2},pm {1 over 2},pm {1 over 2},pm {1 over 2},pm {1 over 2},pm {1 over 2},pm {1 over {2}}}}right)}}} {derecha)}$

y las dos raíces siguientes

${displaystyle left(0,0,0,0,0,0,pm {sqrt {2}right). }$

Así los generadores consisten en un 66-dimensional Así que...(12) subalgebra, así como 64 generadores que se transforman como dos espinas Weyl autoconjugadas de spin(12) de quiridad opuesta, y su generador de quiridad, y otros dos generadores de quiralidades ${displaystyle pm {sqrt {2}}$.

Dada la E₇ Matriz de Cartan (bajo) y un nodo de diagrama de Dynkin ordenando:

una opción de raíces simples es dada por las filas de la siguiente matriz:

${2} {2} {1}}} {2}}}}}} {2} {2}} {2}} {2}} {2} {1}}}}}} {2}}}} {2}}}} {2}}}} {2}}} {2}}}}}} {2}}}}} {}}}}}}}} {}}}}}}} {}}}}}}}}}}} {}}}}}}} {}}}}}}}}} {}}}}}}} {}}}}}}}}}}} {}}}}}}}}}}} {}}}}}}}}}}}}}}}}} { {2}{2}$