E (constante matemática)

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2.71828... base de logaritmos naturales

Gráfico de la ecuación

Sí. 1/ x

. Aquí,

e

es el número único más grande que 1 que hace que el área sombreada igual a 1.

El número $e$ , también conocido como número de Euler, es una constante matemática aproximadamente igual a 2,71828 que se puede caracterizar de muchas maneras. Es la base de los logaritmos naturales. Es el límite de $(1 + 1/ n) n$ como $n$ se acerca al infinito, una expresión que surge en el estudio del interés compuesto. También se puede calcular como la suma de la serie infinita

{displaystyle e=sum limits _{n=0}^{infty }{frac {1}{n!}}=1+{frac {1}{1}}+{frac {1}{1cdot 2}}+{frac {1}{1cdot 2cdot 3}}+cdots.}

También es el único número positivo $a$ tal que la gráfica de la función $y = a x$ tiene una pendiente de 1 en $x = 0$ .

La función exponencial (natural) $f (x) = e x$ es la función única $f$ que es igual a su propia derivada y satisface la ecuación $f (0) = 1$ ; por lo tanto, también se puede definir $e$ como $f (1). El logaritmo natural, o logaritmo en base e, es la función inversa de la función exponencial natural. El logaritmo natural de un número k > 1 se puede definir directamente como el área bajo la curva y = 1/ x entre x = 1 y x = k, en cuyo caso e es el valor de k para lo cual esta área es igual a uno (ver imagen). Hay varias otras caracterizaciones.$

El número $e$ a veces se llama Número de Euler (para no confundirse con la constante de Euler $gamma$ Después del matemático suizo Leonhard Euler, La constante de Napier- después de John Napier. La constante fue descubierta por el matemático suizo Jacob Bernoulli mientras estudiaba interés compuesto.

El número $e$ es de gran importancia en matemáticas, junto con 0, 1, π, y $i$ . Los cinco aparecen en una formulación de la identidad de Euler ${displaystyle e^{ipi }+1=0}$ y jugar roles importantes y recurrentes en matemáticas. Como la constante $π$ , $e$ es irracional (no puede ser representado como una relación de enteros) y trascendental (no es una raíz de ningún polinomio no cero con coeficientes racionales). A 50 lugares decimales, el valor $e$ es:

2.71828182845904523536028747135266249775724709369995....

Historia

Las primeras referencias a la constante fueron publicadas en 1618 en la tabla de un apéndice de una obra sobre logaritmos por John Napier. Sin embargo, esto no contenía la constante misma, sino simplemente una lista de logaritmos a la base $e$ . Se supone que la tabla fue escrita por William Oughtred.

El descubrimiento de la constante en sí se atribuye a Jacob Bernoulli en 1683, la siguiente expresión (que es igual a $e$ ):

{displaystyle lim _{nto infty }left(1+{frac {1}{n}}right)^{n}.}

El primer uso conocido de la constante, representada por la letra $b$ , fue en la correspondencia de Gottfried Leibniz a Christiaan Huygens en 1690 y 1691. Leonhard Euler introdujo la letra $e$ como base para los logaritmos naturales, escribiendo en una carta a Christian Goldbach el 25 de noviembre de 1731. Euler comenzó usar la letra $e$ para la constante en 1727 o 1728, en un artículo inédito sobre fuerzas explosivas en cañones, mientras que la primera aparición de $e$ en publicación fue en Euler's Mechanica (1736). Aunque algunos investigadores utilizaron la letra $c$ en los años siguientes, la letra $e$ era más común y finalmente se convirtió en estándar.

En matemáticas, la convención tipográfica más común es escribir la constante como " $e$ ", en cursiva, aunque a veces "e" en romano se usa. Sin embargo, la norma ISO 80000-2:2019 recomienda la composición tipográfica de las constantes en estilo vertical.

Aplicaciones

Interés compuesto

El efecto de ganar 20% de interés anual en un inicial $1,000 inversión en varias frecuencias de compuesto. La curva límite en la parte superior es el gráfico

{displaystyle y=1000e^{0.2t}}

, donde Sí. está en dólares, t en años, y 0,2 = 20%.

Jacob Bernoulli descubrió esta constante en 1683, mientras estudiaba una pregunta sobre el interés compuesto:

Una cuenta comienza con $1.00 y paga 100 por ciento de interés por año. Si el interés se acredita una vez, al final del año, el valor de la cuenta al final del año será de $2.00. ¿Qué pasa si el interés se calcula y se acredita con más frecuencia durante el año?

Si el interés se acredita dos veces al año, la tasa de interés para cada 6 meses será del 50 %, por lo que el $1 inicial se multiplica por 1,5 dos veces, lo que arroja $1,00 × 1,5² = $2,25 al final del año. Capitalización de rendimientos trimestrales $1,00 × 1,25⁴ = $2,44140625, y capitalización de rendimientos mensuales $1,00 × (1 + 1/12) ¹² = $2,613035.... Si hay $n$ intervalos de capitalización, el interés de cada intervalo será $100%/ n$ y el valor al final del año será de $1,00 × $(1 + 1/ n) n$ .

Bernoulli notó que esta secuencia se acerca a un límite (la fuerza de interés) con $n$ más grandes y, por lo tanto, intervalos compuestos más pequeños. La capitalización semanal ( $n = 52$ ) produce $2,692596..., mientras que la capitalización diaria ( $n = 365$ ) da $2.714567... (aproximadamente dos centavos más). El límite a medida que $n$ crece es el número que llegó a conocerse como $e$ . Es decir, con capitalización continua, el valor de la cuenta llegará a $2.718281828...

Más generalmente, una cuenta que comienza en $1 y ofrece una tasa de interés anual de $R$ , después de $t$ años, rendimiento $e Rt$ dólares con capitalización continua.

(Tenga en cuenta que $R$ es el equivalente decimal de la tasa de interés expresada como un porcentaje, por lo que para 5 % de interés, $R = 5/100 = 0,05$ ).

Juicios de Bernoulli

Gráficos de probabilidad P de no observación de eventos independientes cada una de las probabilidades 1/n después n Pruebas de Bernoulli, y 1 - Pvs n; se puede observar que n aumentos, probabilidad de 1/n-El evento de la oportunidad nunca aparece después n Intenta rápidamente convergencias a

1/ e

El número $e$ en sí mismo también tiene aplicaciones en la teoría de la probabilidad, de una manera que no está obviamente relacionada con el crecimiento exponencial. Suponga que un jugador juega en una máquina tragamonedas que paga con una probabilidad de uno en $n$ y juega $n$ veces. A medida que aumenta $n$ , la probabilidad de que el jugador pierda todos los $n$ las apuestas se acercan a $1/ e$ . Para $n = 20$ , esto ya es aproximadamente 1/2,789509....

Este es un ejemplo de un proceso de prueba de Bernoulli. Cada vez que el jugador juega en las máquinas tragamonedas, hay una oportunidad en n de ganar. Jugar n veces está modelado por la distribución binomial, que está estrechamente relacionada con el teorema del binomio y el triángulo de Pascal. La probabilidad de ganar $k$ veces de n intentos es:

{displaystyle {binom {n}{k}}left({frac {1}{n}}right)^{k}left(1-{frac {1}{n}}right)^{n-k}.}

En particular, la probabilidad de ganar cero veces ( $k = 0$ ) es

{displaystyle left(1-{frac {1}{n}}right)^{n}.}

El límite de la expresión anterior, como n tiende a infinito, es precisamente $1/ e$ .

Distribución normal estándar

La distribución normal con media cero y desviación estándar unitaria se conoce como distribución normal estándar, dada por la función de densidad de probabilidad

{displaystyle phi (x)={frac {1}{sqrt {2pi }}}e^{-{frac {1}{2}}x^{2}}.}

La limitación de la varianza unitaria (y, por lo tanto, también la desviación estándar unitaria) da lugar a la 1/2 en el exponente, y la limitación del área total de unidad bajo la curva $phi (x)$ resultados en el factor ${displaystyle textstyle 1/{sqrt {2pi }}}$ .^[prueba] Esta función es simétrica alrededor $x = 0$ , donde alcanza su valor máximo ${displaystyle textstyle 1/{sqrt {2pi }}}$ , y tiene puntos de inflexión en $x = \pm1$ .

Trastornos

Otra aplicación de $e$ , también descubierto en parte por Jacob Bernoulli junto con Pierre Remond de Montmort, está en el problema de los desrangements, también conocido como el problema de verificación de sombreros: $n$ los invitados son invitados a una fiesta, y en la puerta, todos los invitados revisan sus sombreros con el mayordomo, que a su vez coloca los sombreros en $n$ cajas, cada etiquetada con el nombre de un invitado. Pero el mayordomo no ha preguntado las identidades de los invitados, por lo que pone los sombreros en cajas seleccionadas al azar. El problema de Montmort es encontrar la probabilidad de que ninguno de los sombreros se pone en la caja correcta. Esta probabilidad, denotada por ${displaystyle p_{n}!}$ , es:

{displaystyle p_{n}=1-{frac {1}{1!}}+{frac {1}{2!}}-{frac {1}{3!}}+cdots +{frac {(-1)^{n}}{n!}}=sum _{k=0}^{n}{frac {(-1)^{k}}{k!}}.}

Como el número $n$ de invitados tiende a infinito, $p <sub n$ se acerca a $1/ e$ . Además, la cantidad de formas en que se pueden colocar los sombreros en las cajas para que ninguno de los sombreros esté en la caja correcta es $n!/ e,$ redondeado al entero más cercano, por cada $n$ positivo.

Problemas de planificación óptima

El valor máximo ${sqrt[{x}]{x}}$ ocurre en ${displaystyle x=e}$ . Equivalentemente, para cualquier valor de la base $b ■ 1$ , es el caso de que el valor máximo ${displaystyle x^{-1}log _{b}x}$ ocurre en ${displaystyle x=e}$ (Problema de Steiner, discutido a continuación).

Esto es útil en el problema de un palo de longitud $L$ que se divide en $n$ partes iguales. El valor de $n$ que maximiza el producto de las longitudes es entonces

{displaystyle n=leftlfloor {frac {L}{e}}rightrfloor }

{displaystyle leftlceil {frac {L}{e}}rightrceil.}

La cantidad ${displaystyle x^{-1}log _{b}x}$ es también una medida de información obtenida de un evento que ocurre con probabilidad $1/x$ , por lo que esencialmente la misma división óptima aparece en problemas de planificación óptima como el problema del secretario.

Asintóticos

El número $e$ aparece naturalmente en conexión con muchos problemas que involucran asintótica. Un ejemplo es la fórmula de Stirling para las asintóticas de la función factorial, en la que aparecen tanto los números $e$ como π:

{displaystyle n!sim {sqrt {2pi n}}left({frac {n}{e}}right)^{n}.}

Como consecuencia,

{displaystyle e=lim _{nto infty }{frac {n}{sqrt[{n}]{n!}}}.}

En cálculo

Los gráficos de las funciones

x \mapsto a x

se muestran para

a = 2

(dotado),

a = e

(azul) y

a = 4

(destruido). Todos pasan por el punto

(0,1)

, pero la línea roja (que tiene pendiente

1

) es tangente sólo

e x

Ahí.

El valor de la función de registro natural para el argumento

e

, es decir.

In e

, igual

1.

La motivación principal para introducir el número $e$ , particularmente en cálculo, es realizar cálculo diferencial e integral con funciones exponenciales y logaritmos Una función exponencial general $y = a x$ tiene una derivada, dada por un límite:

{displaystyle {begin{aligned}{frac {d}{dx}}a^{x}&=lim _{hto 0}{frac {a^{x+h}-a^{x}}{h}}=lim _{hto 0}{frac {a^{x}a^{h}-a^{x}}{h}}\&=a^{x}cdot left(lim _{hto 0}{frac {a^{h}-1}{h}}right).end{aligned}}}

El límite entre paréntesis a la derecha es independiente de la variable $x$ . Su valor cambia resulta ser el logaritmo de $a$ en base $e. Por lo tanto, cuando el valor de a se establece en e, este límite es igual a 1, y así sucesivamente llega a la siguiente identidad simple:$

{frac {d}{dx}}e^{x}=e^{x}.

En consecuencia, la función exponencial con base $e$ es particularmente adecuada para hacer cálculos. Elegir $e$ (a diferencia de algún otro número como base de la exponencial función) hace que los cálculos que involucran las derivadas sean mucho más simples.

Otra motivación proviene de considerar la derivada del logaritmo base- $a$ (es decir, $log a x$ ), para $x > 0$ :

{displaystyle {begin{aligned}{frac {d}{dx}}log _{a}x&=lim _{hto 0}{frac {log _{a}(x+h)-log _{a}(x)}{h}}\&=lim _{hto 0}{frac {log _{a}(1+h/x)}{xcdot h/x}}\&={frac {1}{x}}log _{a}left(lim _{uto 0}(1+u)^{frac {1}{u}}right)\&={frac {1}{x}}log _{a}e,end{aligned}}}

donde se realizó la sustitución $u = h / x$ . El logaritmo base $a$ de $e$ es 1, si $a$ es igual a $e$ . Así simbólicamente,

{displaystyle {frac {d}{dx}}log _{e}x={frac {1}{x}}.}

El logaritmo con esta base especial se llama logaritmo natural y se denota como $ln$ ; se comporta bien bajo diferenciación ya que no hay un límite indeterminado para realizar los cálculos.

Por lo tanto, hay dos formas de seleccionar tales números especiales $a$ . Una forma es establecer la derivada de la función exponencial $a x$ igual a $a x$ , y resuelva para $a$ . La otra forma es establecer la derivada del logaritmo base $a$ en $1/ x$ y resuelve $a$ . En cada caso, se llega a una elección conveniente de base para hacer el cálculo. Resulta que estas dos soluciones para $a$ son en realidad lo mismo: el número e.

Caracterizaciones alternativas

Las cinco regiones de color son de igual área, y definen unidades de ángulo hiperbólico a lo largo de la hiperbola

{displaystyle xy=1.}

También son posibles otras caracterizaciones de $e$ : una es como el límite de una secuencia, otra es como la suma de una series infinitas, y otros más se basan en el cálculo integral. Hasta ahora, se han introducido las siguientes dos propiedades (equivalentes):

El número $e$ es el número real positivo único tal que ${displaystyle {frac {d}{dt}}e^{t}=e^{t}}$ .
El número $e$ es el número real positivo único tal que ${displaystyle {frac {d}{dt}}log _{e}t={frac {1}{t}}}$ .

Se puede demostrar que las siguientes cuatro caracterizaciones son equivalentes:

El número $e$ es el límite
$e=lim _{nto infty }left(1+{frac {1}{n}}right)^{n}$
Análogamente:
${displaystyle e=lim _{tto 0}left(1+tright)^{frac {1}{t}}}$
El número $e$ es la suma de la serie infinita
${displaystyle e=sum _{n=0}^{infty }{frac {1}{n!}}={frac {1}{0!}}+{frac {1}{1!}}+{frac {1}{2!}}+{frac {1}{3!}}+{frac {1}{4!}}+cdots}$
Donde $n!$ es el factorial de $n$ .
El número $e$ es el número real positivo único tal que
$int _{1}^{e}{frac {1}{t}},dt=1.$
Si $f () t)$ es una función exponencial, entonces la cantidad ${displaystyle tau =f(t)/f'(t)}$ es una constante, a veces llamada constante del tiempo (es la reciproca de la constante de crecimiento exponencial o constante de decadencia). El tiempo constante es el tiempo que se necesita para que la función exponencial aumente por un factor $e$ : ${displaystyle f(t+tau)=ef(t)}$ .

Propiedades

Cálculo

Como en la motivación, la función exponencial $e x$ es importante en parte porque es la única función no trivial que es su propia derivada (hasta la multiplicación por una constante):

{frac {d}{dx}}e^{x}=e^{x}

y por lo tanto su propia antiderivada también:

{displaystyle int e^{x},dx=e^{x}+C.}

Desigualdades

Funciones exponenciales

Sí. = 2 x

Sí. = 4 x

intersecta el gráfico de

Sí. = x + 1

, respectivamente, a

x = 1

x = 1/2

. El número

e

es la base única tal que

Sí. = e x

intersects only at

x = 0

. Podemos inferir que

e

entre 2 y 4.

El número $e$ es el único número real tal que

<math alttext="{displaystyle left(1+{frac {1}{x}}right)^{x}<e()1+1x)x.e.()1+1x)x+1{displaystyle left(1+{frac {1}{x}right)^{x}Seleccionado left(1+{frac {1}{x}}right)}{x+1}}}}<img alt="{displaystyle left(1+{frac {1}{x}}right)^{x}<e

para todas las $x$ positivas.

Además, tenemos la desigualdad

{displaystyle e^{x}geq x+1}

para todos los $x$ reales, con igualdad si y solo si $x = 0$ . Además, $e$ es la única base de la exponencial para la cual la desigualdad $a x \geq x + 1$ se mantiene para todos los $x . Este es un caso límite de la desigualdad de Bernoulli.$

Funciones exponenciales

El máximo global

x \sqrt x

ocurre en

x = e

El problema de Steiner pide encontrar el máximo global para la función

{displaystyle f(x)=x^{frac {1}{x}}.}

Este máximo ocurre precisamente en $x = e$ .

El valor de este máximo es $1.44466 7861009766 13365...$ .

Para la prueba, la desigualdad ${displaystyle e^{y}geq y+1}$ , desde arriba, evaluado ${displaystyle y=(x-e)/e}$ y simplificación da ${displaystyle e^{x/e}geq x}$ . Así que... ${displaystyle e^{1/e}geq x^{1/x}}$ para todos los positivos x.

Del mismo modo, $x = 1/ e$ es donde ocurre el mínimo global para la función

{displaystyle f(x)=x^{x}}

definido para $x$ positivos. Más generalmente, para la función

{displaystyle f(x)=x^{x^{n}}}

el máximo global para $x$ positivo ocurre en $x = 1/ e$ para cualquier $n < 0$ ; y el mínimo global ocurre en $x = e -1/ n$ para cualquier $n > 0$ .

La tetración infinita

x^{x^{x^{cdot ^{cdot ^{cdot }}}}}

{^{infty }}x

converge si y solo si $e - e \leq x \leq e 1/ e$ (o aproximadamente entre 0,0660 y 1,4447), debido a un teorema de Leonhard Euler.

Teoría de números

El número real $e$ es irracional. Euler probó esto mostrando que su desarrollo simple en fracciones continuas es infinito. (Consulte también la prueba de Fourier de que e es irracional).

Además, según el teorema de Lindemann-Weierstrass, $e$ es trascendental, lo que significa que no es una solución de ningún problema que no sea ecuación polinomial constante con coeficientes racionales. Fue el primer número que se demostró trascendental sin haber sido construido específicamente para este propósito (compárese con el número de Liouville); la prueba fue dada por Charles Hermite en 1873.

Se conjetura que $e$ es normal, lo que significa que cuando $e$ se expresa en cualquier base los posibles dígitos en esa base se distribuyen uniformemente (ocurren con igual probabilidad en cualquier secuencia de longitud dada).

Se conjetura que $e$ no es un período Kontsevich-Zagier.

Números complejos

La función exponencial $e x$ se puede escribir como una serie de Taylor

e^{x}=1+{x over 1!}+{x^{2} over 2!}+{x^{3} over 3!}+cdots =sum _{n=0}^{infty }{frac {x^{n}}{n!}}

Debido a que esta serie es convergente para cada valor complejo de $x$ , se usa comúnmente para extender la definición de $e x$ a los números complejos. Esto, con la serie de Taylor para sen y cos x, permite derivar la fórmula de Euler:

{displaystyle e^{ix}=cos x+isin x,}

que se cumple para todo complejo $x$ . El caso especial con $x = π$ es la identidad de Euler:

{displaystyle e^{ipi }+1=0,}

de donde se sigue que, en la rama principal del logaritmo,

{displaystyle ln(-1)=ipi.}

Además, usando las leyes de exponenciación,

{displaystyle (cos x+isin x)^{n}=left(e^{ix}right)^{n}=e^{inx}=cos(nx)+isin(nx),}

que es la fórmula de De Moivre.

La expresión

{displaystyle cos x+isin x}

a veces se denomina $cis(x)$ .

Las expresiones de $sin x$ y $cos x$ en términos de la función exponencial se pueden deducir:

{displaystyle sin x={frac {e^{ix}-e^{-ix}}{2i}},qquad cos x={frac {e^{ix}+e^{-ix}}{2}}.}

Ecuaciones diferenciales

La familia de funciones

{displaystyle y(x)=Ce^{x},}

donde $C$ es cualquier número real, es la solución a la ecuación diferencial

{displaystyle y'=y.}

Representaciones

El número $e$ se puede representar de varias maneras: como una serie infinita, un producto infinito, una fracción continua, o un límite de una secuencia. Dos de estas representaciones, a menudo utilizadas en los cursos de introducción al cálculo, son el límite

{displaystyle e=lim _{nto infty }left(1+{frac {1}{n}}right)^{n},}

dado arriba, y la serie

e=sum _{n=0}^{infty }{frac {1}{n!}}

obtenido al evaluar en $x = 1$ la representación anterior en serie de potencias de $e x$ .

Menos común es la fracción continua

{displaystyle e=[2;1,2,1,1,4,1,1,6,1,...,1,2n,1,...],}

que escrito parece

{displaystyle e=2+{cfrac {1}{1+{cfrac {1}{2+{cfrac {1}{1+{cfrac {1}{1+{cfrac {1}{4+{cfrac {1}{1+{cfrac {1}{1+ddots }}}}}}}}}}}}}}.}

Esta fracción continua para $e$ converge tres veces más rápido:

{displaystyle e=1+{cfrac {2}{1+{cfrac {1}{6+{cfrac {1}{10+{cfrac {1}{14+{cfrac {1}{18+{cfrac {1}{22+{cfrac {1}{26+ddots }}}}}}}}}}}}}}.}

Se han probado muchas otras series, secuencias, fracciones continuas y representaciones de productos infinitos de $e$ .

Representaciones estocásticas

Además de expresiones analíticas exactas para la representación de $e$ , existen técnicas estocásticas para estimar $e$ . Uno de estos enfoques comienza con una secuencia infinita de variables aleatorias independientes $X 1$ , $X 2$ ..., extraído de la distribución uniforme en [0, 1]. Sea $V$ el menor número $n$ tal que la suma de las primeras $n$ observaciones exceden 1:

1right}.}" xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">V=min{}n▪ ▪ X1+X2+⋯ ⋯ +Xn■1}.{displaystyle V=minleft{nmid0} X_{1}+X_{2}+cdots - No.1right}.}" aria-hidden="true" class="mwe-math-fallback-image-inline" src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/229adce5af07552aa13c6bfb51e67fdb35169f34" style="vertical-align: -0.838ex; width:40.444ex; height:2.843ex;"/>

Entonces el valor esperado de $V$ es $e$ : $E(V) = e$ .

Dígitos conocidos

El número de dígitos conocidos de $e$ ha aumentado sustancialmente durante las últimas décadas. Esto se debe tanto al mayor rendimiento de las computadoras como a las mejoras algorítmicas.

Número de dígitos decimales conocidos $e$
Fecha	dígitos decimales	Computación realizada por
1690	1	Jacob Bernoulli
1714	13	Roger Cotes
1748	23	Leonhard Euler
1853	137	William Shanks
1871	205	William Shanks
1884	346	J. Marcus Boorman
1949	2.010	John von Neumann (en el ENIAC)
1961	100.265	Daniel Shanks y John Wrench
1978	116.000	Steve Wozniak en la Apple II

Desde alrededor de 2010, la proliferación de computadoras de escritorio modernas de alta velocidad ha hecho factible para la mayoría de los aficionados calcular billones de dígitos de $e$ dentro de cantidades aceptables de tiempo. El 5 de diciembre de 2020, se realizó un cálculo récord, dando $e$ a 31 415 926 535 897 (aproximadamente $π$ ×10¹³) dígitos.

Calcular los dígitos

Una forma de calcular los dígitos de $e$ es con la serie

{displaystyle e=sum _{k=0}^{infty }{frac {1}{k!}}.}

Un método más rápido implica dos funciones recursivas $p(a,b)$ y ${displaystyle q(a,b)}$ . Las funciones se definen como

{displaystyle {binom {p(a,b)}{q(a,b)}}={begin{cases}{binom {1}{b}},&{text{if }}b=a+1{text{,}}\{binom {p(a,m)q(m,b)+p(m,b)}{q(a,m)q(m,b)}},&{text{otherwise, where }}m=lfloor (a+b)/2rfloor end{cases}}}

La expresión

{displaystyle 1+{frac {p(0,n)}{q(0,n)}}}

e

e

En la cultura informática

Durante el surgimiento de la cultura de Internet, las personas y las organizaciones a veces rendían homenaje al número $e$ .

En un ejemplo temprano, el científico informático Donald Knuth dejó que los números de versión de su programa Metafont se acercaran a $e$ . Las versiones son 2, 2.7, 2.71, 2.718, etc.

En otro caso, la presentación de la oferta pública inicial de Google en 2004, en lugar de la típica cantidad de dinero en números redondos, la empresa anunció su intención de recaudar 2.718.281.828 USD, que es $e$ miles de millones de dólares redondeados al dólar más cercano.

Google también fue responsable de una valla publicitaria que apareció en el corazón de Silicon Valley, y más tarde en Cambridge, Massachusetts; Seattle, Washington; y Austin, Texas. Decía "{primeros números primos de 10 dígitos encontrados en dígitos consecutivos de $e$ }.com". El primer número primo de 10 dígitos en $e$ es 7427466391, que comienza en el dígito 99. Resolviendo este problema y visitando el sitio web anunciado (ahora desaparecido) se generó un problema aún más difícil de resolver, que consistía en encontrar el quinto término en la secuencia 7182818284, 8182845904, 8747135266, 7427466391. Resultó que la secuencia constaba de 10- números de dígitos que se encuentran en dígitos consecutivos de $e$ cuyos dígitos suman 49. El quinto término de la secuencia es 5966290435, que comienza en el 127 dígito. La solución de este segundo problema finalmente condujo a una página web de Google Labs donde se invitaba al visitante a enviar un currículum.

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