Duodecimal

El sistema duodecimal (también conocido como base 12, dozenal o, en raras ocasiones, uncial) es un sistema numérico de notación posicional que utiliza el doce como base. El número doce (es decir, el número escrito como "12" en el sistema numérico decimal) se escribe como "10" en duodecimal (que significa "1 docena y 0 unidades", en lugar de "1 decena y 0 unidades"), mientras que la cadena de dígitos "12" significa "1 docena y 2 unidades" (14 decimales). Del mismo modo, en duodecimal, "100" significa "1 bruto", "1000" significa "1 gran bruto" y "0.1" significa "1 doceavo" (en lugar de sus significados decimales "1 cien", "1 mil" y "1 décimo", respectivamente).

Se han utilizado varios símbolos para representar diez y once en notación duodecimal; esta página usa A y B, como en hexadecimal, que hacen un conteo duodecimal de cero a doce leído 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A, B, 10. Las Sociedades Docenales de América y Gran Bretaña (organizaciones que promueven el uso del duodecimal) utilizan dígitos convertidos en su material publicado: ↊ (un 2 convertido) para diez y ↋ (un 3 convertido) para once.

El número doce, un número altamente compuesto superior, es el número más pequeño con cuatro factores no triviales (2, 3, 4, 6), y el más pequeño para incluir como factores los cuatro números (1 a 4) dentro del rango subitizante, y el menor número abundante. Todos los múltiplos de recíprocos de 3 números suaves (a/2^b·3^c donde a,b,c son enteros) tienen una representación terminal en duodecimal. En particular, +1⁄4 (0.3), +1⁄3 (0.4), +1⁄2 (0.6), función +2⁄3 (0.8) y +3⁄4 (0.9) todos tienen una representación final breve en duodecimal. También se observa una mayor regularidad en la tabla de multiplicar duodecimal. Como resultado, el duodecimal se ha descrito como el sistema numérico óptimo.

En estos aspectos, el duodecimal se considera superior al decimal (que tiene solo 2 y 5 como factores) y otras bases propuestas como octal o hexadecimal. Sexagesimal lo hace aún mejor a este respecto (los recíprocos de todos los números de 5 lisos terminan), pero a costa de tablas de multiplicar difíciles de manejar y una cantidad mucho mayor de símbolos para memorizar.

Origen

En esta sección, los números se basan en lugares decimales. Por ejemplo, 10 significa diez, y 12 significa doce.

Los idiomas que usan sistemas numéricos duodecimales son poco comunes. Idiomas en el Cinturón Medio de Nigeria como Janji, Gbiri-Niragu (Gure-Kahugu), Piti y el dialecto Nimbia de Gwandara; y se sabe que el idioma Chepang de Nepal usa números duodecimales.

Los idiomas germánicos tienen palabras especiales para el 11 y el 12, como once y doce en inglés. Provienen del protogermánico *ainlif y *twalif (que significan, respectivamente, uno a la izquierda y dos a la izquierda), sugiriendo un origen decimal en lugar de duodecimal. Sin embargo, el nórdico antiguo usaba un sistema de conteo híbrido decimal/duodecimal, con sus palabras para "ciento ochenta" que significa 200 y "doscientos" es decir, 240. En las Islas Británicas, este estilo de contar sobrevivió hasta bien entrada la Edad Media como la centena larga.

Históricamente, las unidades de tiempo en muchas civilizaciones son duodecimales. Hay doce signos del zodíaco, doce meses en un año, y los babilonios tenían doce horas en un día (aunque en algún momento esto se cambió a 24). Los calendarios, relojes y brújulas chinos tradicionales se basan en las doce ramas terrestres o 24 (12 × 2) términos solares. Hay 12 pulgadas en un pie imperial, 12 onzas troy en una libra troy, 12 viejos peniques británicos en un chelín, 24 (12 × 2) horas en un día y muchos otros artículos contados por docena, brutos (144, cuadrado de 12), o gran bruto (1728, cubo de 12). Los romanos usaban un sistema de fracciones basado en 12, incluida la uncia, que se convirtió en las palabras inglesas onza y pulgada. Antes de la decimalización, Irlanda y el Reino Unido usaban un sistema monetario mixto duodecimal-vigesimal (12 peniques = 1 chelín, 20 chelines o 240 peniques por libra esterlina o libra irlandesa), y Carlomagno estableció un sistema monetario que también tenía una base mixta de doce y veinte, cuyos restos persisten en muchos lugares.

La importancia de 12 se ha atribuido a la cantidad de ciclos lunares en un año, así como al hecho de que los humanos tienen 12 huesos de los dedos (falanges) en una mano (tres en cada uno de los cuatro dedos). Es posible contar hasta 12 con el pulgar actuando como puntero, tocando cada hueso del dedo por turno. Un sistema tradicional de conteo de dedos que aún se usa en muchas regiones de Asia funciona de esta manera y podría ayudar a explicar la aparición de sistemas numéricos basados en 12 y 60 además de los basados en 10, 20 y 5. En este sistema, el uno (generalmente la mano derecha) cuenta repetidamente hasta 12, mostrando el número de iteraciones en la otra mano (generalmente la izquierda), hasta que cinco docenas, es decir, los 60, están llenos.

Anotaciones y pronunciaciones

En un sistema de numeración, la base (doce para duodecimal) debe escribirse como 10, pero existen numerosas propuestas sobre cómo escribir las cantidades (valores de conteo) "diez" y "once".

Notación
.	Antecedentes	Nota	Por teclado
Por caracteres dedicados
.A, B.	Como en hexadecimal	Para permitir la entrada en las máquinas de escribir.	Y
.T, E.	Iniciales de Diez y Once		Y
.X, E.	X del numeral romano por diez		Y
.X, Z.			Y
.δ, ε.	Griego δ, ε, de δЁα 'ten' y Valoracionesεκα Once '
.τ, ε.	Griego τ, ε
.X, E.	X, U+2130 E SCRIPT CAPITAL E	Frank Emerson Andrews entra Nuevos números (1935).
.⚹, #.	asterisco sexual o de seis puntos, hash o octothorpe	Edna Kramer en La Corriente Principal de las Matemáticas (1951). Se utiliza en publicaciones de la Sociedad Dozenal de América (DSA) de 1974 a 2008.	Y
.↊, ↋.	U+218A ↊ TURNED DIGIT TWO, U+218B ↋ TURNED DIGIT THREE	Isaac Pitman (1857); dígitos árabes rotaron 180°. Utilizado por la Sociedad Dozenal de Gran Bretaña (DSGB) Utilizado por DSA 2015–presente Incluido en Unicode 8.0 (2015).
., .	Pronunciado 'dek', 'el '	William Addison Dwiggins (1945/1932?). Utilizado por DSA 1945–1974 y 2008–2015
Por notación de base
decimal	Antecedentes	Nota	Por teclado
54= 64 54;6= 64,5	En cursiva Use semicolon en lugar de un punto decimal	Humphrey point	– Y
*54 = 64 54;6 = 64,5	Asterisked for whole numbers, Puntos de Humphrey para otros	Usado por DSGB.	– Y
54z= 64d	Subscript 'z '	De "dozenal". Utilizado por DSA desde 2015.
5412= 6410	Número de base de subscriptos	Uso común por matemáticos y libros de texto matemáticos
5412= 6410	Espelta base de subscriptos	Variación de lo anterior a veces encontrada en los libros de texto escolares
doz 54 = dec 64			Y

Símbolos transdecimales

Para permitir la entrada en máquinas de escribir, letras como ⟨A, B⟩ (como en hexadecimal), ⟨T, E⟩ (iniciales de Diez y Once), ⟨X, E⟩ (X del número romano para diez), o ⟨X, Z⟩. Algunos emplean letras griegas como ⟨δ, ε⟩ (del griego δέκα 'diez' y ένδεκα 'once'), o ⟨τ, ε⟩. Frank Emerson Andrews, uno de los primeros defensores estadounidenses del duodecimal, sugirió y utilizó en su libro New Numbers ⟨X, ℰ⟩ (script mayuscula E, U+2130).

Edna Kramer en su libro de 1951 The Main Stream of Mathematics usó un ⟨⚹, #⟩ (sextil o asterisco de seis puntas, hash o octohorpe). Los símbolos se eligieron porque estaban disponibles en algunas máquinas de escribir; también están en los teléfonos de botones. Esta notación se utilizó en publicaciones de la Dozenal Society of America (DSA) desde 1974 hasta 2008.

De 2008 a 2015, el DSA usó, Los símbolos ideados por William Addison Dwiggins.

La Sociedad Dozenal de Gran Bretaña (DSGB) propuso símbolos, . Esta notación, derivada de dígitos árabes por rotación de 180°, fue introducida por Isaac Pitman. En marzo de 2013, se presentó una propuesta para incluir los formularios de dígitos para diez y once propagados por las Sociedades Dozenal en la Norma Unicode. De ellos, las formas británicas/pitman fueron aceptadas para la codificación como caracteres en puntos de código U+218A ↊ TURNED DIGIT TWO y U+218B ↋ TURNED DIGIT THREE. Fueron incluidos en Unicode 8.0 (2015).

Después de que se agregaron los dígitos Pitman a Unicode, la DSA votó y luego comenzó a publicar contenido usando los dígitos Pitman en su lugar. Todavía usan las letras X y E en texto ASCII. Como los caracteres Unicode son poco compatibles, esta página usa "A" y "B".

Otras propuestas son más creativas o estéticas; por ejemplo, muchos no usan números arábigos bajo el principio de "identidad separada".

Notación básica

También hay diversas propuestas sobre cómo distinguir un número duodecimal de uno decimal. Incluyen números duodecimales en cursiva "54 = 64", agregando un "punto de Humphrey" (un punto y coma en lugar de un punto decimal) a números duodecimales "54;6 = 64.5", o alguna combinación de los dos. Otros usan subíndices o etiquetas fijas para indicar la base, lo que permite representar más que decimales y duodecimales (para letras individuales 'z' de "dozenal" se usa porque 'd' significaría decimal) como "54_z = 64_d," "54₁₂ = 64₁₀" o "doz 54 = dic 64."

Pronunciación

La Dozenal Society of America sugirió la pronunciación de diez y once como "dek" y "el". Para los nombres de potencias de doce hay dos sistemas destacados.

Números duodecimales

En este sistema, se agrega el prefijo e- para las fracciones.

Múltiples dígitos en esta serie se pronuncian de manera diferente: 12 es "haz dos"; 30 es "tres do"; 100 es "gro"; BA9 es "el gro dek do nine"; B86 es "el gro ocho do seis"; 8BB,15A es "ocho gro el do el, uno gro cinco do dek" ABA es "dek gro el do dek" BBB es "el gro el do el" y 0,06 es "seis egro" etcétera.

Nomenclatura Docenal Sistemática (SDN)

Este sistema utiliza "-qua" terminación para las potencias positivas de 12 y "-cia" terminación para las potencias negativas de 12, y una extensión de los nombres de elementos sistemáticos de la IUPAC (con las sílabas dec y lev para los dos dígitos adicionales necesarios para el duodecimal) para expresar qué potencia se significa.

Abogacía y "dozenalismo"

William James Sidis usó 12 como base para su lenguaje construido Vendergood en 1906, señalando que es el número más pequeño con cuatro factores y su prevalencia en el comercio.

El caso del sistema duodecimal se expuso extensamente en Frank Emerson Andrews' Libro de 1935 Nuevos números: cómo la aceptación de una base duodecimal simplificaría las matemáticas. Emerson señaló que, debido a la prevalencia de factores de doce en muchas unidades tradicionales de peso y medida, muchas de las ventajas computacionales reclamadas para el sistema métrico podrían realizarse ya sea mediante la adopción de pesos basados en diez. y medir o por la adopción del sistema numérico duodecimal.

Un reloj duodecimal como en el logotipo de la Sociedad Dozenal de América, aquí utilizado para denotar las teclas musicales

Tanto la Dozenal Society of America como la Dozenal Society of Great Britain promueven la adopción generalizada del sistema de base doce. Usan la palabra "dozenal" en lugar de "duodecimal" para evitar la terminología de base diez más abierta. Sin embargo, la etimología de "dozenal" en sí también es una expresión basada en terminología de base diez, ya que "dozen" es una derivación directa de la palabra francesa douzaine que es un derivado de la palabra francesa para doce, douze, descendiente del latín duodecim.

Al menos desde 1945, algunos miembros de la Dozenal Society of America y la Dozenal Society of Great Britain han sugerido que una palabra más adecuada sería "uncial". Uncial es una derivación de la palabra latina uncia, que significa "un doceavo", y también el análogo en base doce de la palabra latina decima, que significa "una décima".

El matemático y calculador mental Alexander Craig Aitken fue un abierto defensor del duodecimal:

Las tablas duodecimales son fáciles de dominar, más fáciles que las decimales; y en la enseñanza elemental serían mucho más interesantes, ya que los niños pequeños encontrarían cosas más fascinantes que hacer con doce varas o bloques que con diez. Cualquier persona que tenga estas tablas al mando hará estos cálculos más de una y media veces tan rápido en la escala duodecimal como en el decimal. Esta es mi experiencia; estoy seguro de que aún más así sería la experiencia de otros.

—A. C. Aitken, "Twelves and Tens" en El oyente (25 de enero de 1962)

Pero la ventaja cuantitativa final, en mi propia experiencia, es ésta: en cálculos variados y extensos de un tipo ordinario y no indebidamente complicado, llevado a cabo durante muchos años, llego a la conclusión de que la eficiencia del sistema decimal podría ser calificada a unos 65 o menos, si asignamos 100 al duodecimal.

—A. C. Aitken, El caso contra la decimalización (1962)

En los medios

En "Little Twelvetoes", la serie de televisión estadounidense Schoolhouse Rock! retrató a un ser extraterrestre usando aritmética de base doce, usando "dek" y "el" como nombres para diez y once, y Andrews' script-X y script-E para los símbolos de dígitos.

Sistemas de medidas duodecimales

Los sistemas de medición propuestos por los docenalistas incluyen:

• El sistema TGM de Tom Pendlebury
• Sistema de Unidad Universal de Takashi Suga
• El sistema Primel de John Volan

Comparación con otros sistemas numéricos

La Dozenal Society of America argumenta que si una base es demasiado pequeña, se necesitan expansiones significativamente más largas para los números; y si una base es demasiado grande, uno debe memorizar una gran tabla de multiplicar para realizar operaciones aritméticas. Por lo tanto, supone que 'una base numérica deberá estar entre aproximadamente 7 u 8 y aproximadamente 16, posiblemente incluyendo 18 y 20'.

El número 12 tiene seis factores, que son 1, 2, 3, 4, 6 y 12, de los cuales 2 y 3 son primos. Es el número más pequeño que tiene seis factores, el número más grande que tiene al menos la mitad de los números debajo de él como divisores, y no es mucho mayor que 10. (Los números 18 y 20 también tienen seis factores, pero son mucho más grandes.) El sistema decimal tiene solo cuatro factores, que son 1, 2, 5 y 10, de los cuales 2 y 5 son primos. Senary (base 6) comparte los factores primos 2 y 3 con duodecimal, pero al igual que decimal tiene solo cuatro factores (1, 2, 3 y 6) en lugar de seis, y está por debajo del umbral establecido por DSA.

Octal (base 8) tiene cuatro factores, 1, 2, 4 y 8, pero solo tiene un factor primo (2). El hexadecimal (base 16) agrega 16 como quinto factor, pero aún no es primo adicional.

Trigesimal (base 30) es el sistema más pequeño que tiene tres factores primos diferentes (los tres primos más pequeños: 2, 3 y 5) y tiene ocho factores en total (1, 2, 3, 5, 6, 10, 15 y 30). Sexagesimal, que los antiguos sumerios y babilonios, entre otros, realmente usaban, agrega los cuatro factores convenientes 4, 12, 20 y 60 a esto, pero no nuevos factores primos. El sistema más pequeño que tiene cuatro factores primos diferentes es la base 210 y el patrón sigue los primoriales. Sin embargo, estas son bases muy grandes.

En todos los sistemas de base, hay similitudes en la representación de múltiplos de números que son uno menos o uno más que la base.

Tablas de conversión a y desde decimal

Para convertir números entre bases, se puede usar el algoritmo de conversión general (ver la sección correspondiente bajo notación posicional). Alternativamente, se pueden usar tablas de conversión de dígitos. Los que se proporcionan a continuación se pueden usar para convertir cualquier número duodecimal entre 0;01 y BBB, BBB; BB a decimal, o cualquier número decimal entre 0.01 y 999,999.99 a duodecimal. Para usarlos, el número dado primero debe descomponerse en una suma de números con solo un dígito significativo cada uno. Por ejemplo:

123,456.78 = 100.000 + 20.000 + 3.000 + 400 + 50 + 6 + 0.7 + 0,08

Esta descomposición funciona igual sin importar en qué base se exprese el número. Simplemente aísle cada dígito distinto de cero, rellenándolos con tantos ceros como sea necesario para preservar sus respectivos valores de lugar. Si los dígitos en el número dado incluyen ceros (por ejemplo, 102,304.05), estos son, por supuesto, omitidos en la descomposición de dígitos (102,304.05 = 100,000 + 2,000 + 300 + 4 + 0.05). Luego, las tablas de conversión de dígitos se pueden usar para obtener el valor equivalente en la base objetivo para cada dígito. Si el número dado está en duodecimal y la base objetivo es decimal, obtenemos:

(duodecimal) 100.000 + 20.000 + 3.000 + 400 + 50 + 6 + 0;7 + 0;08 = (decimal) 248,832 + 41,472 + 5,184 + 576 + 60 + 6 + 0,583333333333... + 0,0555555555...

Ahora, debido a que los sumandos ya están convertidos a base diez, se usa la aritmética decimal habitual para realizar la suma y recomponer el número, llegando al resultado de la conversión:

Duodecimal --- Decimal

 100.000 = 248,832
20.000 = 41.472
3.000 = 5.184
400 = 576
50 = 60
+ 6 = + 6
0,7 = 0,583333333333...
0,08 = 0,0555555555...
--------
123.456;78 = 296,130.6388888888...

Es decir, (duodecimal) 123.456,78 es igual a (decimal) 296.130,638 ≈ 296.130,64

Si el número dado está en decimal y la base objetivo es duodecimal, el método es básicamente el mismo. Usando las tablas de conversión de dígitos:

(decimal) 100.000 + 20.000 + 3.000 + 400 + 50 + 6 + 0,7 + 0,08 = (duodecimal) 49,A54 + B,6A8 + 1,8A0 + 294 + 42 + 6 + 0;849724972497249724972497... + 0;0B62A68781B05915343A0B62...

Sin embargo, para hacer esta suma y recomponer el número, ahora se deben usar las tablas de suma para el sistema duodecimal, en lugar de las tablas de suma para decimal con las que la mayoría de la gente ya está familiarizada, porque los sumandos ahora están en base. doce, por lo que la aritmética con ellos también debe estar en duodecimal. En decimal, 6 + 6 es igual a 12, pero en duodecimal es igual a 10; entonces, si se usa la aritmética decimal con números duodecimales, se llegaría a un resultado incorrecto. Haciendo correctamente la aritmética en duodecimal, se obtiene el resultado:

 Decimal ----- Duodecimal

 100.000 = 49,A54
20,000 = B,6A8
3.000 = 1.8A0
400 = 294
50 = 42
+ 6 = + 6
0,7 = 0;849724972497249724972497...
0,08 = 0;0B62A68781B05915343A0B62...
------
123.456,78 = 5B.540;943A0B62A68781B05915343A...

Es decir, (decimal) 123.456,78 es igual a (duodecimal) 5B,540;943A0B62A68781B059153... ≈ 5B,540;94

Conversión de dígitos duodecimales a decimales

Conversión de dígitos decimales a duodecimales

Reglas de divisibilidad

(En esta sección, todos los números se escriben con duodecimal)

Esta sección trata sobre las reglas de divisibilidad en duodecimal.

1

Cualquier número entero es divisible por 1.

2

Si un número es divisible por 2, el dígito de la unidad de ese número será 0, 2, 4, 6, 8 o A.

3

Si un número es divisible por 3, el dígito de la unidad de ese número será 0, 3, 6 o 9.

4

Si un número es divisible por 4, el dígito de la unidad de ese número será 0, 4 u 8.

5

Para probar la divisibilidad por 5, duplica el dígito de las unidades y resta el resultado del número formado por el resto de los dígitos. Si el resultado es divisible por 5 entonces el número dado es divisible por 5.

Esta regla viene de 21 (52{displaystyle 5^{2}).

Ejemplos:
13 Regla = Silencio1− − 2× × 3Silencio=5{displaystyle tención1-2times 3 vidas=5}, que es divisible por 5.
2BA5 Regla = Silencio2BA− − 2× × 5Silencio=2B0()5× × 70){fnMicrosoft Sans Serif}{textttt {A}}-2times 5 vidas=2{texttt {B}0(5times 70)}, que es divisible por 5 (o aplicar la regla en 2B0).

O

Para probar la divisibilidad por 5, resta el dígito de las unidades y el triple del resultado al número formado por el resto de los dígitos. Si el resultado es divisible por 5 entonces el número dado es divisible por 5.

Esta regla viene de 13 (5× × 3{displaystyle 5times 3}).

Ejemplos:
13 Regla = Silencio3− − 3× × 1Silencio=0{displaystyle tención3-3times 1 actual=0}, que es divisible por 5.
2BA5 Regla = Silencio5− − 3× × 2BASilencio=8B1()5× × 195){displaystyle tención5-3times 2{texttt {B}{texttt {A}tuvo=8{texttt {B}1(5times 195)}, que es divisible por 5 (o aplicar la regla en 8B1).

O

Forma la suma alterna de bloques de dos de derecha a izquierda. Si el resultado es divisible por 5 entonces el número dado es divisible por 5.

Esta regla viene de 101, ya que 101=5× × 25{displaystyle 101=5times 25}; por lo tanto, esta norma también puede ser probada para la divisibilidad para 25.

Ejemplo:

97,374,627 = 27− − 46+37− − 97=− − 7B{displaystyle 27-46+37-97=-7{texttt {B}}, que es divisible por 5.

6

Si un número es divisible por 6 entonces el dígito de la unidad de ese número será 0 o 6.

7

Para probar la divisibilidad por 7, triplique el dígito de las unidades y sume el resultado al número formado por el resto de los dígitos. Si el resultado es divisible por 7 entonces el número dado es divisible por 7.

Esta regla viene de 2B (7× × 5{displaystyle 7times 5})

Ejemplos:
12Regla = Silencio3× × 2+1Silencio=7{displaystyle tención3times 2+1 vidas=7}, que es divisible por 7.
271BRegla = Silencio3× × B+271Silencio=29A()7× × 4A){displaystyle tención3times {texttt {B}+271 vidas=29{texttt}(7times 4{texttt {A})}, que es divisible por 7 (o aplicar la regla en 29A).

O

Para probar la divisibilidad por 7, resta el dígito de las unidades y duplica el resultado del número formado por el resto de los dígitos. Si el resultado es divisible por 7 entonces el número dado es divisible por 7.

Esta regla viene de 12 (7× × 2{displaystyle 7times 2}).

Ejemplos:
12Regla = Silencio2− − 2× × 1Silencio=0{displaystyle tención2-2times 1 actual=0}, que es divisible por 7.
271BRegla = SilencioB− − 2× × 271Silencio=513()7× × 89){displaystyle Silencio{texttt {B}-2times 271 privacy=513(7times 89)}, que es divisible por 7 (o aplicar la regla sobre 513).

O

Para probar la divisibilidad por 7, cuadruplica el dígito de las unidades y resta el resultado del número formado por el resto de los dígitos. Si el resultado es divisible por 7 entonces el número dado es divisible por 7.

Esta regla viene de 41 (72{displaystyle 7^{2}).

Ejemplos:
12Regla = Silencio4× × 2− − 1Silencio=7{displaystyle Silencio4times 2-1 vidas=7}, que es divisible por 7.
271BRegla = Silencio4× × B− − 271Silencio=235()7× × 3B){displaystyle tención4times {texttt {B}}-271 vidas=235(7times 3{texttt {B}}}}, que es divisible por 7 (o aplicar la regla el 235).

O

Forma la suma alterna de bloques de tres de derecha a izquierda. Si el resultado es divisible por 7 entonces el número dado es divisible por 7.

Esta regla viene de 1001, desde 1001=7× × 11× × 17{displaystyle 1001=7times 11times 17}, por lo tanto esta regla también puede ser probada para la divisibilidad por 11 y 17.

Ejemplo:

386,967,443 = 443− − 967+386=− − 168{displaystyle 443-967+386=-168}, que es divisible por 7.

8

Si el número de 2 dígitos formado por los últimos 2 dígitos del número dado es divisible por 8 entonces el número dado es divisible por 8.

Ejemplo: 1B48, 4120

 regla = contacto desde 48(8*7) divisible por 8, entonces 1B48 es divisible por 8.
regla = contacto desde 20(8*3) divisible por 8, entonces 4120 es divisible por 8.

9

Si el número de 2 dígitos formado por los últimos 2 dígitos del número dado es divisible por 9 entonces el número dado es divisible por 9.

Ejemplo: 7423, 8330

 regla = contacto desde 23(9*3) divisible por 9, entonces 7423 es divisible por 9.
regla = contacto desde 30(9*4) divisible por 9, entonces 8330 es divisible por 9.

A

Si el número es divisible por 2 y 5, entonces el número es divisible por A.

B

Si la suma de los dígitos de un número es divisible por B entonces el número es divisible por B (el equivalente a sacar nueves en decimal).

Ejemplo: 29, 61B13

 Regla = 2+9 = B que es divisible por B, entonces 29 es divisible por B.
regla = relación 6+1+B+1+3 = 1A que es divisible por B, entonces 61B13 es divisible por B.

10

Si un número es divisible por 10 entonces el dígito de la unidad de ese número será 0.

11

Suma los dígitos alternos y resta las sumas. Si el resultado es divisible por 11 el número es divisible por 11 (el equivalente de la divisibilidad por once en decimal).

Ejemplo: 66, 9427

 Regla = TEN6-6 sometida = 0 que es divisible para 11, entonces 66 es divisible por 11.
regla = confianza TENIDO(9+2)-(4+7)

12

Si el número es divisible por 2 y 7, entonces el número es divisible por 12.

13

Si el número es divisible por 3 y 5, entonces el número es divisible por 13.

14

Si el número de 2 dígitos formado por los últimos 2 dígitos del número dado es divisible por 14 entonces el número dado es divisible por 14.

Ejemplo: 1468, 7394

 regla = contacto desde 68(14*5) divisible por 14, entonces 1468 es divisible por 14.
regla = contacto desde 94(14*7) divisible por 14, entonces 7394 es divisible por 14.

Fracciones y números irracionales

Fracciones

Las fracciones duodecimales pueden ser simples:

• 1/2 = 0;6
• 1/3 = 0;4
• 1/4 = 0;3
• 1/6 = 0;2
• 1/8 = 0;16
• 1/9 = 0;14
• 1/10 = 0;1 (esto es un duodécimo, 1/A es un décimo)
• 1/14 = 0;09 (esto es un 16, 1/12 es catorce)

o complicado:

• 1/5 = 0;2497... recurrente (redondeado a 0;24A)
• 1/7 = 0;186A35... recurrente (redondeado a 0;187)
• 1/A = 0;12497... recurrente (redondeado a 0;125)
• 1/B = 0;1... recurrente (redondeado a 0;111)
• 1/11 = 0;0B... recurrente (redondeado a 0;0B1)
• 1/12 = 0;0A35186... recurrente (redondeado a 0;0A3)
• 1/13 = 0;09724... recurrente (redondeado a 0;097)

Como se explica en decimales periódicos, cada vez que una fracción irreducible se escribe en notación de punto de base en cualquier base, la fracción se puede expresar exactamente (termina) si y solo si todos los factores primos de su denominador también son factores primos de la base.

Debido a que 2 × 5 = 10, en el sistema decimal, las fracciones cuyos denominadores se componen únicamente de múltiplos de 2 y 5 terminan: 1/8 = 1/(2×2×2), 1/20 = 1/(2×2×5) y 1/500 = 1/(2×2×5×5×5) se puede expresar exactamente como 0,125, 0,05 y 0,002 respectivamente. 1/ 3 y 1/7, sin embargo, recurrente (0.333... y 0.142857142857...).

Porque 2 × 2 × 3 = 12, en el sistema duodecimal, 1/8 es exacto; 1/ 20 y 1/500 recurren porque incluyen 5 como factor; 1/ 3 es exacto; y 1/7 se repite, tal como lo hace en decimal.

El número de denominadores que dan fracciones terminales dentro de un número dado de dígitos, digamos n, en una base b es el número de factores (divisores) de bⁿ, la nésima potencia de la base b (aunque esto incluye el divisor 1, que no produce fracciones cuando se usa como denominador). El número de factores de bⁿ se da usando su descomposición en factores primos.

Para decimal, 10ⁿ = 2ⁿ × 5ⁿ. El número de divisores se encuentra sumando uno a cada exponente de cada número primo y multiplicando las cantidades resultantes, por lo que el número de factores de 10ⁿ es (n + 1)(n + 1) = (n + 1)².

Por ejemplo, el número 8 es un factor de 10³ (1000), por lo que 1/8 y otras fracciones con un denominador de 8 no pueden requerir más de 3 dígitos decimales fraccionarios para terminar. 5/8 = 0,625₁₀

Para duodecimal, 10ⁿ = 2²ⁿ × 3 ⁿ. Esto tiene divisores (2n + 1)(n + 1). El denominador de muestra de 8 es un factor de un bruto (12² = 144 en decimal), por lo que los octavos no pueden necesitar más de dos lugares fraccionarios duodecimales para Terminar. 5/ 8 = 0,76₁₂

Debido a que tanto diez como doce tienen dos factores primos únicos, el número de divisores de bⁿ para b = 10 o 12 crece cuadráticamente con el exponente n (es decir, del orden de n²).

Dígitos recurrentes

La Dozenal Society of America argumenta que los factores de 3 se encuentran más comúnmente en los problemas de división de la vida real que los factores de 5. Por lo tanto, en las aplicaciones prácticas, la molestia de repetir decimales se encuentra con menos frecuencia cuando se usa la notación duodecimal. Los defensores de los sistemas duodecimales argumentan que esto es particularmente cierto en los cálculos financieros, en los que los doce meses del año a menudo entran en los cálculos.

Sin embargo, cuando las fracciones periódicas do aparecen en notación duodecimal, es menos probable que tengan un período muy corto que en notación decimal, porque 12 (doce) está entre dos números primos, 11 (once) y 13 (trece), mientras que diez es adyacente al número compuesto 9. Sin embargo, tener un período más corto o más largo no ayuda con el principal inconveniente de que no se obtiene una representación finita para tales fracciones en la base dada (por lo que el redondeo, que introduce inexactitud, es necesario para manejarlos en los cálculos), y en general es más probable que se tenga que tratar con infinitos dígitos recurrentes cuando las fracciones se expresan en decimal que en duodecimal, porque uno de cada tres números consecutivos contiene el el factor primo 3 en su factorización, mientras que solo uno de cada cinco contiene el factor primo 5. Todos los demás factores primos, excepto el 2, no son compartidos ni por diez ni por doce, por lo que no influir en la probabilidad relativa de encontrar dígitos recurrentes (cualquier fracción irreducible que contenga cualquiera de estos otros factores en su denominador se repetirá en cualquiera de las bases).

Además, el factor primo 2 aparece dos veces en la factorización de doce, mientras que solo una vez en la factorización de diez; lo que significa que la mayoría de las fracciones cuyos denominadores son potencias de dos tendrán una representación final más corta y conveniente en duodecimal que en decimal:

• 1/(2)²) = 0,25₁₀ = 0,3₁₂
• 1/(2)³) = 0.125₁₀ = 0,16₁₂
• 1/(2)⁴) = 0,0625₁₀ = 0,09₁₂
• 1/(2)⁵) = 0,03125₁₀ = 0,046₁₂

La duración del período duodecimal de 1/n es (en decimal)

0, 0, 0, 0, 4, 0, 6, 0, 4, 1, 0, 2, 6, 4, 0, 16, 0, 6, 4, 6, 1, 11, 0, 20, 2, 0, 6, 4, 4, 4, 30, 1, 16, 12, 0, 9, 6, 2, 4, 40, 6, 42, 1, 4, 11, 11, 23, 0, 42, 20, 16, 2, 52, 0, 4, 6, 4, 29, 4, 11 A246004 en el OEIS)

La duración del período duodecimal de 1/(nésimo primo) es (en decimal)

0, 0, 4, 6, 1, 2, 16, 6, 11, 4, 30, 9, 40, 42, 23, 52, 29, 15, 66, 35, 36, 26, 41, 8, 16, 100, 102, 53, 54, 112, 126, 65, 136, 138, 148, 150, 3, 162, 83, 172, 89, 90, 95, 24, 196, 131, 14, 542, 113, 114, 8, 25, 119, 120, 128, 120, 120, A246489 en el OEIS)

Los números primos más pequeños con período duodecimal n son (en decimal)

11, 13, 157, 5, 22621, 7, 659, 89, 37, 19141, 23, 20593, 477517, 211, 61, 17, 2693651, 1657, 290436306420266077, 85403261, 8177824843189, 57154490053, 47, 193, 303551, 79, 306829, 673, 59, 31, 373, 153953, 8881 A252170 en el OEIS)

Números irracionales

Las representaciones de números irracionales en cualquier sistema de numeración posicional (incluyendo decimal y duodecimal) no terminan ni se repiten. La siguiente tabla proporciona los primeros dígitos de algunos números algebraicos y trascendentales importantes tanto en decimal como en duodecimal.

Número irracional algebraico	En decimal	En duodecimal
√2, la raíz cuadrada de 2	1.414213562373...	1;4B79170A07B8...
φ (fi), la relación de oro = 1+52{fnMicroc} {1+{sqrt {}} {2}}}} {}}} {}}}}}} {}}}} {}}}} {}}}}} {}} {}}}}}} {}}}} {}}}}} {}}}} {}}}}}}}} {}}}}} {}}}}}}}}}}}} {}}}}}}} {}}}}} {}}}}}}}}} {}}}}}}}}}}}}}} {}}}}}}}}}}} {}}}}}}} {}}}}}}}}}}}}}} {}}}}}}}}}}}}}}} {}}} {}}}}}}}}} {}}}}}}} {}}}}} {}}}}}}}}}}}}}}}}}}}} {}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}	1.618033988749...	1;74BB6772802A...
Número de trascendencia	En decimal	En duodecimal
π (pi), la relación de la circunferencia del círculo con su diámetro	3.141592653589...	3;184809493B91...
e, la base del logaritmo natural	2.718281828459...	2;875236069821...