Dualidad (geometría proyectiva)

En geometría, una característica sorprendente de los planos proyectivos es la simetría de los roles desempeñados por puntos y líneas en las definiciones y teoremas, y la dualidad (plano) es la formalización de este concepto. Hay dos enfoques sobre el tema de la dualidad, uno a través del lenguaje (§ Principio de dualidad) y el otro, un enfoque más funcional a través de asignaciones especiales. Estos son completamente equivalentes y cualquiera de los tratamientos tiene como punto de partida la versión axiomática de las geometrías bajo consideración. En el enfoque funcional hay un mapa entre geometrías relacionadas que se llama dualidad. Un mapa así puede construirse de muchas maneras. El concepto de dualidad plana se extiende fácilmente a la dualidad espacial y más allá a la dualidad en cualquier geometría proyectiva de dimensión finita.

Principio de dualidad

Un plano proyectivo C puede definirse axiomáticamente como una estructura de incidencia, en términos de un conjunto P de puntos, un conjunto L de líneas, y una relación de incidencia I que determina qué puntos se encuentran en qué líneas. Estos conjuntos se pueden utilizar para definir una estructura dual plana.

Intercambiar el papel de los "puntos" y "líneas" en

C =P, L, I)

para obtener la estructura dual

C^Alternativa =L, P, I^Alternativa),

donde I^∗ es la relación inversa de I. C^∗ también es un plano proyectivo, llamado plano dual de C.

Si C y C^∗< /span> son isomórficos, entonces C se llama autodual. Los planos proyectivos PG(2, K) para cualquier campo (o, más generalmente, para cada anillo de división (campo sesgado) isomorfo a su dual) < span class="texhtml">K son autoduales. En particular, los planos desarguesianos de orden finito son siempre autoduales. Sin embargo, hay planos no desarguesianos que no son autoduales, como los planos Hall y algunos que sí lo son, como los planos Hughes.

En un plano proyectivo, un enunciado que involucra puntos, líneas e incidencia entre ellos que se obtiene de otro enunciado similar intercambiando las palabras "punto" y "línea" y haciendo los ajustes gramaticales que sean necesarios, se llama enunciado dual plano del primero. La afirmación dual plana de "Dos puntos están en una recta única" es "Dos líneas se encuentran en un punto único". Formar el plano dual de una declaración se conoce como dualizar la declaración.

Si una afirmación es verdadera en un plano proyectivo C, entonces el plano dual de esa afirmación debe ser verdadero en el plano dual C^∗. Esto se sigue desde la dualización de cada declaración en la prueba "in C" da una declaración correspondiente de la prueba "en C^∗".

El principio de dualidad de planos dice que dualizar cualquier teorema en un plano proyectivo autodual C produce otro teorema válido en C.

Los conceptos anteriores se pueden generalizar para hablar de dualidad espacial, donde los términos "puntos" y "aviones" se intercambian (y las líneas siguen siendo líneas). Esto conduce al principio de dualidad espacial.

Estos principios proporcionan una buena razón para preferir utilizar un método "simétrico" término para la relación de incidencia. Así, en lugar de decir "un punto se encuentra en una línea", se debería decir "un punto incide con una línea"; ya que dualizar este último sólo implica intercambiar punto y línea ("una línea incide con un punto").

La validez del principio de dualidad de planos se deriva de la definición axiomática de un plano proyectivo. Los tres axiomas de esta definición se pueden escribir de modo que sean enunciados autoduales que implican que el dual de un plano proyectivo también es un plano proyectivo. El dual de un enunciado verdadero en un plano proyectivo es, por tanto, un enunciado verdadero en el plano proyectivo dual y la implicación es que para los planos autoduales, el dual de un enunciado verdadero en ese plano también es un enunciado verdadero en ese plano.

Teoremas duales

Como el plano proyectivo real, PG(2, R), es autodual, existen varios pares de resultados bien conocidos que son duales entre sí. Algunos de estos son:

• Teorema de los Desargues
• Teorema de Pascal
• Teorema de Menelaus

Configuraciones duales

No sólo se pueden dualizar enunciados, sino también sistemas de puntos y líneas.

Un conjunto de m puntos y n líneas es llamado (m_c, n_d ) configuración si c del n líneas pasan por cada punto y d del m puntos se encuentran en cada línea. El dual de un (m_c, n_d) configuración, es una configuración (n_d, configuración m_c). Así, el dual de un cuadrilátero, una configuración (4₃, 6₂) de cuatro puntos y seis rectas, es un cuadrilátero, un (6_{2< /sub>, 43) configuración de seis puntos y cuatro líneas.}

El conjunto de todos los puntos de una recta, llamado rango proyectivo, tiene como dual un lápiz de rectas, el conjunto de todas las rectas de un punto.

Dualidad como mapeo

Dualidades planas

Una dualidad de plano es un mapa de un plano proyectivo C = (P, L, I) a su plano dual C^∗ = (< i>L, P, I^∗) (ver § Principio de dualidad más arriba) que preserva la incidencia. Es decir, una dualidad plana σ asignará puntos a líneas y líneas a puntos (P^σ = L y L ^σ = P) de tal manera que si un punto Q está en una línea m (indicada por Q I m) entonces Q Yo m ⇔ m^{< i>σ} I^∗Q^σ. Una dualidad plana que es un isomorfismo se llama correlación. La existencia de una correlación significa que el plano proyectivo C es autodual.

El plano proyectivo C en esta definición no tiene por qué ser un plano desarguesiano. Sin embargo, si lo es, es decir, C = PG(2, K) con K un anillo de división (campo sesgado), luego una dualidad, como se define a continuación para espacios proyectivos generales, da una dualidad plana en C que satisface la definición anterior.

En espacios proyectivos generales

Una dualidad δ de un espacio proyectivo es una permutación de los subespacios de PG(n , K) (también indicado por KP^{< i>n}) con K un campo (o más generalmente un campo sesgado (anillo de división)) que revierte la inclusión, es decir:

S ⊆ T implicación S^δ ⊇ T^δ para todos los subespacios S, T de PG(n, K).

En consecuencia, una dualidad intercambia objetos de dimensión r con objetos de dimensión n − 1 − r (= codimensión r + 1). Es decir, en un espacio proyectivo de dimensión n, los puntos (dimensión 0) corresponden a hiperplanos (codimensión 1), las líneas que unen dos puntos (dimensión 1) corresponden a la intersección de dos hiperplanos (codimensión 2), y así sucesivamente.

Clasificación de dualidades

El dual V^∗ de un espacio vectorial de dimensión finita (derecha) V sobre un campo sesgado K puede considerarse como un (derecho) espacio vectorial de la misma dimensión sobre el campo sesgado opuesto K^o. Por tanto, existe una biyección que invierte la inclusión entre los espacios proyectivos PG(n, K) y PG(n, K^o). Si K y K^o son isomórficos, entonces existe una dualidad en PG(n, K). Por el contrario, si PG(n, K) admite una dualidad para n > 1, luego K y K^o son isomórficos.

Sea π una dualidad de PG(n, K) para n > 1. Si π está compuesto con el isomorfismo natural entre PG(n, K) y PG(n, K^o), la composición θ es una incidencia que preserva la biyección entre PG(n, K) y PG(n, K^o). Según el teorema fundamental de la geometría proyectiva, θ es inducido por un mapa semilineal T: V → V^∗ con isomorfismo asociado σ: < i>K → K^o, que puede verse como un antiautomorfismo de K. En la literatura clásica, π se llamaría reciprocidad en general, y si σ = id se llamaría correlación (y K< /span> sería necesariamente un campo). Algunos autores suprimen el papel del isomorfismo natural y llaman a θ una dualidad. Cuando se hace esto, se puede pensar en una dualidad como una colineación entre un par de espacios proyectivos especialmente relacionados y se le llama reciprocidad. Si esta colineación es una proyectividad, entonces se llama correlación.

Sea T_w = T(w) denota el funcional lineal de V^∗ asociado con el vector w en V. Defina la forma φ: V × V → K por:

${displaystyle varphi (v,w)=T_{w}(v). }$

φ es una forma sesquilineal no degenerada con antiautomorfismo acompañante σ.

Cualquier dualidad de PG(n, K) para n > 1 es inducido por una forma sesquilineal no degenerada en el espacio vectorial subyacente (con un antiautomorfismo acompañante) y viceversa.

Formulación de coordenadas homogénea

Se pueden utilizar coordenadas homogéneas para dar una descripción algebraica de dualidades. Para simplificar esta discusión asumiremos que K es un campo, pero todo se puede hacer de la misma manera cuando K es un campo sesgado siempre que se preste atención al hecho de que la multiplicación no tiene por qué ser una operación conmutativa.

Los puntos de PG(n, K) pueden considerarse vectores distintos de cero en (< span class="texhtml">n + 1) espacio vectorial dimensional sobre K, donde Identifique dos vectores que se diferencien por un factor escalar. Otra forma de decirlo es que los puntos del espacio proyectivo n-dimensional son los subespacios vectoriales unidimensionales, que pueden visualizarse como las líneas que pasan por el origen en Kⁿ⁺¹. También los n- subespacios dimensionales (vectoriales) de Kⁿ⁺¹ representan los (n − 1)- hiperplanos dimensionales (geométricos) de proyectivos. n-espacio sobre K, es decir, PG(n, K).

Un vector distinto de cero u = (u₀, u< sub>1,..., u_n) en K ⁿ⁺¹ también determina un (n − 1) - geométrico subespacio dimensional (hiperplano) H_u, por

H_u *x₀, x₁,... x_n) u₀x₀ +... + u_nx_n = 0}.

Cuando se utiliza un vector u para definir un hiperplano de esta manera, se denotará por u_H, mientras que si está designando un punto usaremos u_{P< /sub>}. Se denominan coordenadas de puntos o coordenadas de hiperplano respectivamente (en el importante caso bidimensional, las coordenadas de hiperplano se denominan coordenadas de línea). Algunos autores distinguen cómo se debe interpretar un vector escribiendo las coordenadas del hiperplano como vectores horizontales (filas), mientras que las coordenadas puntuales se escriben como vectores verticales (columnas). Por lo tanto, si u es un vector columna tendríamos u_P = u mientras que u_H = u^T. En términos del producto escalar habitual, H_u = {x_P: u_H ⋅ x_P = 0}. Dado que K es un campo, el producto escalar es simétrico, lo que significa u_H ⋅ x_P = u₀x₀ + u₁x₁ +... + u_nx_n = x₀u_{0 + x1u1 +... + xnun = xH ⋅ uP< /lapso>.}

Un ejemplo fundamental

Una reciprocidad simple (en realidad una correlación) puede estar dada por u_P ↔ u_H entre puntos e hiperplanos. Esto se extiende a una reciprocidad entre la línea generada por dos puntos y la intersección de dos de esos hiperplanos, y así sucesivamente.

Específicamente, en el plano proyectivo, PG(2, K), con K un campo, tenemos la correlación dada por: puntos en coordenadas homogéneas (a, b, c) ↔ líneas con ecuaciones ax + by + cz = 0. En un espacio proyectivo, PG(3, K), una correlación viene dada por: puntos en coordenadas homogéneas (a, b, c, d) ↔ planos con ecuaciones ax + por + cz + dw = 0. Esta correlación también mapearía una línea determinada por dos puntos (a₁, b_{1< /sub>, c1, d1)} y (a₂, b₂, c_{2, d2)} a la recta que es la intersección de los dos planos con ecuaciones a₁x + b₁y + c₁z + d₁w = 0 y a₂x + b₂ y + c₂z + d₂ w = 0.

La forma sesquilineal asociada a esta correlación es:

φ()u, x) u_H ⋅ x_P = u₀x₀ + u₁x₁ +... + u_nx_n,

donde el antiautomorfismo acompañante σ = id. Por lo tanto, se trata de una forma bilineal (tenga en cuenta que K debe ser un campo). Esto se puede escribir en forma matricial (con respecto a la base estándar) como:

φ()u, x) u_H G x_P,

donde G es el (n + 1) × (n + 1) matriz de identidad, usando la convención de que u_H es una vector de fila y x_P es un vector de columna.

La correlación viene dada por:

${displaystyle pi (mathbf {x} _{P})=(Gmathbf {x} _{P})^{mathsf {T}}=(mathbf {x})} {Mathsf {}=mathbf {x} _{H}} {H}$

Interpretación geométrica en el plano proyectivo real

Esta correlación en el caso de PG(2, R) se puede describir geométricamente utilizando el modelo del plano proyectivo real que es un & #34;esfera unitaria con antípodas identificadas", o equivalentemente, el modelo de líneas y planos a través del origen del espacio vectorial R³. Asociar a cualquier recta que pasa por el origen el único plano que pasa por el origen que es perpendicular (ortogonal) a la recta. Cuando en el modelo estas rectas se consideran los puntos y los planos las rectas del plano proyectivo PG(2, R), esto la asociación se convierte en una correlación (en realidad, una polaridad) del plano proyectivo. El modelo de esfera se obtiene intersectando las líneas y planos que pasan por el origen con una esfera unitaria centrada en el origen. Las líneas se encuentran con la esfera en puntos antípodas que luego deben identificarse para obtener un punto del plano proyectivo, y los planos se encuentran con la esfera en círculos máximos que son, por tanto, las líneas del plano proyectivo.

Que esta asociación "preserva" La incidencia se ve más fácilmente en el modelo de líneas y planos. Un punto incidente con una línea en el plano proyectivo corresponde a una línea que pasa por el origen que se encuentra en un plano que pasa por el origen en el modelo. Al aplicar la asociación, el plano se convierte en una línea que pasa por el origen perpendicular al plano al que está asociado. Esta línea imagen es perpendicular a cada línea del plano que pasa por el origen, en particular a la línea original (punto del plano proyectivo). Todas las líneas que son perpendiculares a la línea original en el origen se encuentran en el plano único que es ortogonal a la línea original, es decir, el plano de la imagen bajo la asociación. Por tanto, la línea de la imagen se encuentra en el plano de la imagen y la asociación preserva la incidencia.

Forma matricial

Como en el ejemplo anterior, las matrices se pueden utilizar para representar dualidades. Sea π una dualidad de PG(n, K) para n > 1 y sea φ la forma sesquilineal asociada (con el antiautomorfismo acompañante σ) en el espacio vectorial subyacente (n + 1) V . Dada una base { e_i } de V , podemos representar este formulario mediante:

${displaystyle varphi (mathbf {u}mathbf {x}=mathbf {u} ^{mathsf {T}G(mathbf {x} ^{sigma }),}$

donde G es un (n + 1) × (< i>n + 1) matriz sobre K y los vectores se escriben como vectores de columna. La notación x^σ significa que el antiautomorfismo < i>σ se aplica a cada coordenada del vector x.

Ahora defina la dualidad en términos de coordenadas de puntos mediante:

${displaystyle pi (mathbf {x})=(G(mathbf {x} ^{sigma })^{mathsf {T}}.}$

Polaridad

Una dualidad que es una involución (tiene orden dos) se llama polaridad. Es necesario distinguir entre polaridades de espacios proyectivos generales y aquellas que surgen de la definición ligeramente más general de dualidad plana. También es posible dar afirmaciones más precisas en el caso de una geometría finita, por lo que enfatizaremos los resultados en planos proyectivos finitos.

Polaridades de espacios proyectivos generales

Si π es una dualidad de PG(n, K), con K un campo sesgado, entonces una notación común se define mediante π(S) = S ^⊥ para un subespacio S de PG(n, K). Por lo tanto, una polaridad es una dualidad para la cual S^⊥⊥ = S para cada subespacio S de PG(n, K)< /lapso>. También es común omitir la mención del espacio dual y escribir, en términos de la forma sesquilineal asociada:

${displaystyle - Sí. {text{ in }Vcolon varphi (mathbf {u}mathbf {x})=0{text{ for all }mathbf {x} {text{ in }S}}$

Una forma sesquilineal φ es reflexiva si φ(u, x) = 0 implica φ(x, u) = 0.

Una dualidad es una polaridad si y sólo si la forma sesquilineal (no degenerada) que la define es reflexiva.

Se han clasificado las polaridades, como resultado de Birkhoff & von Neumann (1936) que ha sido refutado varias veces. Sea V un espacio vectorial (izquierdo) sobre el campo sesgado K y φ ser una forma sesquilineal reflexiva no degenerada en V con antiautomorfismo acompañante σ. Si φ es la forma sesquilineal asociada con una polaridad, entonces:

1. σ = id (hence, K es un campo) y φ()u, x) φ()x, u) para todos u, x dentro V, es decir, φ es una forma bilineal. En este caso, la polaridad se llama ortogonal (o ordinario). Si la característica del campo K es dos, entonces para estar en este caso debe existir un vector z con φ()z, z), y la polaridad se llama a pseudo polaridad.
2. σ = id (hence, K es un campo) y φ()u, u) = 0 para todos u dentro V. La polaridad se llama una polaridad nula (o una polaridad simpléctica) y sólo puede existir cuando la dimensión proyectiva n Es extraño.
3. σ² = id σ (Aquí) K no ser un campo) y φ()u, x) φ()x, u)^σ para todos u, x dentro V. Tal polaridad se llama una polaridad unitaria (o una polaridad ermitiana).

Un punto P de PG(n, K) es un punto absoluto (punto autoconjugado) con respecto a la polaridad ⊥ si P I P^⊥. De manera similar, un hiperplano H es un hiperplano absoluto (hiperplano autoconjugado) si H^⊥ I H. Expresado en otros términos, un punto x es un punto de polaridad absoluta π con forma sesquilineal asociada φ si φ(< b>x, x) = 0 y si φ se escribe en términos de matriz G, x^T G x^σ = 0.

Se puede describir el conjunto de puntos absolutos de cada tipo de polaridad. Nuevamente restringimos la discusión al caso en que K es un campo.

1. Si K es un campo cuya característica no es dos, el conjunto de puntos absolutos de una polaridad ortogonal forma un quadric no singular (si K es infinito, esto podría estar vacío). Si la característica es dos, los puntos absolutos de una pseudo polaridad forman un hiperplano.
2. Todos los puntos del espacio PG(2s + 1, K) son puntos absolutos de una polaridad nula.
3. Los puntos absolutos de una polaridad hermitiana forman una variedad hermitiana, que puede estar vacía si K es infinito.

Cuando se compone consigo mismo, la correlación φ(x_P) = x_H (en cualquier dimensión) produce la función de identidad, por lo que es una polaridad. El conjunto de puntos absolutos de esta polaridad serían los puntos cuyas coordenadas homogéneas satisfacen la ecuación:

x_H ⋅ x_P = x₀x₀ + x₁x₁ +... + x_nx_n = x₀² + x₁² +... + x_n² = 0.

Los puntos que están en este conjunto de puntos dependen del campo K. Si K = R entonces el conjunto está vacío, no hay puntos absolutos (ni hiperplanos absolutos). Por otro lado, si K = C el conjunto de puntos absolutos forma una cuádrica no degenerada (una cónica de dos espacio dimensional). Si K es un campo finito de característica impar, los puntos absolutos también forman una cuádrica, pero si la característica es par, los puntos absolutos forman un hiperplano (esto es un ejemplo de pseudopolaridad).

Bajo cualquier dualidad, el punto P se llama polo del hiperplano P^⊥, y este hiperplano se llama polar del punto P. Usando esta terminología, los puntos absolutos de una polaridad son los puntos que inciden con sus polares y los hiperplanos absolutos son los hiperplanos que inciden con sus polos.

Polaridades en planos proyectivos finitos

Según el teorema de Wedderburn, todo campo sesgado finito es un campo y un automorfismo de orden dos (distinto de la identidad) sólo puede existir en un campo finito cuyo orden sea un cuadrado. Estos hechos ayudan a simplificar la situación general de los planos desarguesianos finitos. Tenemos:

Si π es una polaridad del plano proyectivo desarguesiano finito PG(2, < i>q) donde q = p^{e< /sup>} para algún primo p, luego el número de puntos absolutos de π es q + 1 si π es ortogonal o q^3/2 + 1 si π es unitario. En el caso ortogonal, los puntos absolutos se encuentran en una cónica si p es impar o forman una línea si p = 2. El caso unitario sólo puede ocurrir si q es un cuadrado; los puntos absolutos y las rectas absolutas forman un unital.

En el caso del plano proyectivo general donde dualidad significa dualidad del plano, las definiciones de polaridad, elementos absolutos, polo y polar siguen siendo las mismas.

Sea P un plano proyectivo de orden n. Los argumentos de conteo pueden establecer que para una polaridad π de P< /lapso>:

El número de puntos (líneas) no absolutas que inciden con una línea (punto) no absoluta es par.

Además,

La polaridad π tiene al menos n + 1 puntos absolutos y si n no es un cuadrado, exactamente n + 1 puntos absolutos. Si π tiene exactamente n + 1 absoluto puntos entonces;

1. si n es extraño, los puntos absolutos forman un oval cuyos tangentes son las líneas absolutas; o
2. si n es incluso, los puntos absolutos son collinear en una línea no absoluta.

Seib dio un límite superior en el número de puntos absolutos en el caso de que n sea un cuadrado y un argumento puramente combinatorio puede establecer:

Una polaridad π en un plano proyectivo de orden cuadrado n = s² tiene como máximo s³ + 1 puntos absolutos. Además, si el número de puntos absolutos es s³ + 1, entonces los puntos absolutos y las líneas absolutas forman un unital. (es decir, cada línea del plano se encuentra con este conjunto de puntos absolutos en 1 o s + 1 puntos).

Polos y polares

Recíprocidad en el plano euclidiano

Un método que puede usarse para construir una polaridad del plano proyectivo real tiene, como punto de partida, la construcción de una dualidad parcial en el plano euclidiano.

En el plano euclidiano, fija un círculo C con centro O< /span> y radio r. Para cada punto P distinto de O defina un punto de imagen < abarca clase="texhtml">Q de modo que OP ⋅ OQ = r². El mapeo definido por P → Q se llama inversión con respecto al círculo C. La línea p que pasa por Q que es perpendicular a la línea < span class="texhtml">OP se llama polar del punto P< /span> con respecto al círculo C.

Sea q una línea que no pasa por O. Coloque una perpendicular desde O a q, encontrándose con q en el punto P (este es el punto de q que es el más cercano a O). La imagen Q de P bajo inversión con respecto a C se denomina polo de q. Si un punto M está en una línea q (que no pasa pasando por O) entonces el polo de q se encuentra en el polo de M y viceversa. El proceso de preservación de la incidencia, en el que puntos y líneas se transforman en sus polares y polos con respecto a C se llama reciprocación.

Para convertir este proceso en una correlación, el plano euclidiano (que no es un plano proyectivo) debe expandirse al plano euclidiano extendido agregando una línea en el infinito y puntos en el infinito que se encuentran en esta línea. En este plano expandido, definimos la polar del punto O como la línea en el infinito (y O es el polo de la línea en el infinito), y los polos de las líneas que pasan por O son los puntos de infinito donde, si una recta tiene pendiente s (≠ 0) su polo es el punto infinito asociado a la clase paralela de rectas con pendiente −1/s. El polo del eje x es el punto de infinito de las líneas verticales y el polo del eje y-eje es el punto de infinito de las líneas horizontales.

La construcción de una correlación basada en la inversión en un círculo dada anteriormente se puede generalizar utilizando la inversión en una sección cónica (en el plano real extendido). Las correlaciones construidas de esta manera son de orden dos, es decir, polaridades.

Formulación algebraica

Describiremos esta polaridad algebraicamente siguiendo la construcción anterior en el caso de que C sea el círculo unitario (es decir, r = 1) centrado en el origen.

Un punto afín P, distinto del origen, con coordenadas cartesianas (a, b) tiene como inverso en el círculo unitario el punto Q con coordenadas,

${displaystyle left({frac {a}{2}+b^{2}}},{frac {b}{2}+b^{2}}}}right).}$

La línea que pasa por Q y que es perpendicular a la línea OP tiene la ecuación ax + by = 1< /lapso>.

Cambiar a coordenadas homogéneas usando la incrustación (a, b) ↦ (a, b, 1), la extensión al plano proyectivo real se obtiene permitiendo que la última coordenada sea 0. Recordando que las coordenadas de los puntos se escriben como vectores columna y las coordenadas de línea como vectores fila, podemos expresar esta polaridad por:

${displaystyle pi:mathbb {R} P^{2}rightarrow mathbb {R} P^{2}$

tal que

${displaystyle pi left(x,y,z)^{mathsf {T}right)=(x,y,-z). }$

O, usando la notación alternativa, π((x, y, z)_P) = (x, y, −z)_L. La matriz de la forma sesquilineal asociada (con respecto a la base estándar) es:

${displaystyle G=left({begin{matrix}1 punto0$