Dominio integral

En matemáticas, específicamente en álgebra abstracta, un dominio integral es un anillo conmutativo distinto de cero en el que el producto de dos elementos cualesquiera distintos de cero es distinto de cero. Los dominios integrales son generalizaciones del anillo de números enteros y proporcionan un entorno natural para estudiar la divisibilidad. En un dominio integral, todo elemento distinto de cero a tiene la propiedad de cancelación, es decir, si a ≠ 0, una igualdad ab = ac implica b = c.

"Dominio integral" se define casi universalmente como arriba, pero hay alguna variación. Este artículo sigue la convención de que los anillos tienen una identidad multiplicativa, generalmente denotada como 1, pero algunos autores no siguen esto, al no requerir que los dominios integrales tengan una identidad multiplicativa. A veces se admiten dominios integrales no conmutativos. Sin embargo, este artículo sigue la convención mucho más habitual de reservar el término "dominio integral" para el caso conmutativo y usando "dominio" para el caso general incluyendo anillos no conmutativos.

Algunas fuentes, notablemente Lang, usan el término anillo completo para dominio integral.

Algunos tipos específicos de dominios integrales se dan con la siguiente cadena de inclusiones de clases:

rngs. anillos. Anillos conmutativos. dominios integrales. dominios cerrados integralmente. dominios GCD. dominios de factorización únicos. principales dominios ideales. Euclidean domains. campos. campos cerrados algebraicamente

Definición

Un dominio integral es un anillo conmutativo distinto de cero en el que el producto de dos elementos cualesquiera distintos de cero es distinto de cero. Equivalentemente:

• Un dominio integral es un anillo conmutativo no cero sin divisores no cero.
• Un dominio integral es un anillo conmutativo en el que el cero ideal {0} es un ideal primario.
• Un dominio integral es un anillo conmutativo no cero para el cual cada elemento no cero es cancelable bajo la multiplicación.
• Un dominio integral es un anillo para el cual el conjunto de elementos no cero es un monoide conmutativo bajo la multiplicación (porque un monoide debe cerrarse bajo la multiplicación).
• Un dominio integral es un anillo conmutativo no cero en el que por cada elemento no cero r, la función que mapea cada elemento x del anillo al producto xr es inyectable. Elementos r con esta propiedad se llama ordinario, por lo que es equivalente a exigir que cada elemento no cero del anillo sea regular.
• Un dominio integral es un anillo que es isomorfo a un subring de un campo. (Dentro de un dominio integral, uno puede incrustarlo en su campo de fracciones.)

Ejemplos

• El ejemplo arquetípico es el anillo Z{displaystyle mathbb {Z} de todos los enteros.
• Cada campo es un dominio integral. Por ejemplo, el campo R{displaystyle mathbb {R} de todos los números reales es un dominio integral. Por el contrario, cada dominio integral Artiniano es un campo. En particular, todos los dominios integrales finitos son campos finitos (más generalmente, por el pequeño teorema de Wedderburn, dominios finitos son campos finitos). El anillo de los enteros Z{displaystyle mathbb {Z} proporciona un ejemplo de un dominio no-Artiniano infinito integral que no es un campo, poseyendo secuencias infinitas descendientes de ideales tales como:

Z.. 2Z.. ⋯ ⋯ .. 2nZ.. 2n+1Z.. ⋯ ⋯ {displaystyle mathbb {Z} supset 2mathbb {Z} supset cdots supset 2^{n}mathbb {Z} supset 2^{n+1}mathbb {Z} supset cdots }

• Los anillos de polinomios son dominios integrales si los coeficientes proceden de un dominio integral. Por ejemplo, el anillo Z[x]{displaystyle mathbb {Z} [x] de todos los polinomios en una variable con coeficientes enteros es un dominio integral; así es el anillo C[x1,...... ,xn]{displaystyle mathbb {C} [x_{1},ldotsx_{n}} de todos los polinomios en n-variables con coeficientes complejos.

• El ejemplo anterior puede ser explotado aún más tomando cocientes de ideales primos. Por ejemplo, el anillo C[x,Sí.]/()Sí.2− − x()x− − 1)()x− − 2)){displaystyle mathbb {C} [x,y]/(y^{2}-x(x-1)(x-2)}corresponde a una curva elíptica plana es un dominio integral. La integralidad se puede comprobar mostrando Sí.2− − x()x− − 1)()x− − 2){displaystyle y^{2}-x(x-1)(x-2)}es un polinomio irreducible.

• El anillo Z[x]/()x2− − n).. Z[n]{displaystyle mathbb {Z} [x]/(x^{2}-n)cong mathbb {Z} [{sqrt {n}}}} es un dominio integral para cualquier entero no cuadrado n{displaystyle n}. Si 0}" xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">n■0{displaystyle n confiado0}0" aria-hidden="true" class="mwe-math-fallback-image-inline" src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/27a6a5d982d54202a14f111cb8a49210501b2c96" style="vertical-align: -0.338ex; width:5.656ex; height:2.176ex;"/>, entonces este anillo es siempre un subing de R{displaystyle mathbb {R}, de lo contrario, es un subing de C.{displaystyle mathbb {C}

• El anillo de los enteros p-adic Zp{displaystyle mathbb {Z} _{p} es un dominio integral.

• Si U{displaystyle U} es un subconjunto abierto conectado del plano complejo C{displaystyle mathbb {C}, entonces el anillo H()U){displaystyle {Mathcal}(U)} que consiste en todas las funciones holomorfas es un dominio integral. Lo mismo es cierto para anillos de funciones analíticas en subconjuntos abiertos conectados de manifolds analíticos.

• Un anillo local regular es un dominio integral. De hecho, un anillo local regular es un UFD.

No-ejemplos

Los siguientes anillos son dominios no integrales.

• El anillo cero (el anillo en el que 0=1{displaystyle 0=1}).

• El anillo cociente Z/mZ{displaystyle mathbb {Z} /mmathbb {Z} cuando m es un número compuesto. De hecho, elija una factorización adecuada m=xSí.{displaystyle m=xy} (que significa que x{displaystyle x} y Sí.{displaystyle y} no son iguales 1{displaystyle 1} o m{displaystyle m}). Entonces... x≢0modm{displaystyle xnot equiv 0{bmod {m}} y Sí.≢0modm{displaystyle ynot equiv 0{bmod {m}}, pero xSí.↑ ↑ 0modm{displaystyle xyequiv 0{bmod {m}}.

• Un producto de dos anillos conmutativos no cero. En tal producto R× × S{displaystyle Rtimes S}, uno tiene ()1,0)⋅ ⋅ ()0,1)=()0,0){displaystyle (1,0)cdot (0,1)=(0,0)}.

• El anillo cociente Z[x]/()x2− − n2){displaystyle mathbb {Z} [x]/(x^{2}-n^{2}} para cualquier n▪ ▪ Z{displaystyle nin mathbb {Z}. Las imágenes de x+n{displaystyle x+n} y x− − n{displaystyle x-n} son no cero, mientras que su producto es 0 en este anillo.

• El anillo de n × n matrices sobre cualquier anillo no cero cuando n ≥ 2. Si M{displaystyle M} y N{displaystyle N} son matrices tales que la imagen de N{displaystyle N} está contenida en el núcleo M{displaystyle M}, entonces MN=0{displaystyle MN=0}. Por ejemplo, esto sucede por M=N=()0100){displaystyle M=N=({begin{smallmatrix}0 tarde1}}}.

• El anillo cociente k[x1,...... ,xn]/()fg){displaystyle k[x_{1},ldotsx_{n}/(fg)} para cualquier campo k{displaystyle k} y cualquier polinomio no constante f,g▪ ▪ k[x1,...... ,xn]{displaystyle f,gin k[x_{1},ldotsx_{n}}. Las imágenes de f y g en este anillo de cociente son elementos no cero cuyo producto es 0. Este argumento muestra, equivalentemente, que ()fg){displaystyle (fg)} no es un ideal. La interpretación geométrica de este resultado es que los ceros de fg forma un conjunto affine algebraico que no es irreducible (es decir, no una variedad algebraica) en general. El único caso donde este conjunto algebraico puede ser irreducible es cuando fg es un poder de un polinomio irreducible, que define el mismo conjunto algebraico.

• El anillo de funciones continuas en el intervalo de unidad. Considerar las funciones

f()x)={}1− − 2xx▪ ▪ [0,12]0x▪ ▪ [12,1]g()x)={}0x▪ ▪ [0,12]2x− − 1x▪ ▪ [12,1]{2}} {2}ccH00}cH0} {ccH00}cH00}ccH00}ccH0} {ccH0} {cH0} {ccH00}}ccH0} {ccH00}cH0} {ccH0}ccH00}cH00}cH00}ccccH00}ccccccccH00}ccH00}}cH00}ccH00}cH00}ccccccccccccccccccH00}cccccH00}}cH00}ccH00}ccH00}ccccccc

Ni tampoco f{displaystyle f} ni g{displaystyle g} está en todas partes cero, pero fg{displaystyle fg} Lo es.

• El producto tensor C⊗ ⊗ RC{displaystyle mathbb {C} otimes _{mathbb Mathbb {C}. Este anillo tiene dos idempotentes no-triviales, e1=12()1⊗ ⊗ 1)− − 12()i⊗ ⊗ i){displaystyle ¿Qué? y e2=12()1⊗ ⊗ 1)+12()i⊗ ⊗ i){displaystyle ¿Qué?. Son ortogonales, lo que significa que e1e2=0{displaystyle E_{1}e_{2}=0}, y por lo tanto C⊗ ⊗ RC{displaystyle mathbb {C} otimes _{mathbb Mathbb {C} no es un dominio. De hecho, hay un isomorfismo C× × C→ → C⊗ ⊗ RC{displaystyle mathbb {C} times mathbb {C} to mathbb {C} otimes _{mathbb Mathbb {C} definidas por ()z,w)↦ ↦ z⋅ ⋅ e1+w⋅ ⋅ e2{displaystyle (z,w)mapsto zcdot E_{1}+wcdot e_{2}. Su inverso se define por z⊗ ⊗ w↦ ↦ ()zw,zw̄ ̄ ){displaystyle zotimes wmapsto (zw,z{overline {w})}. Este ejemplo muestra que un producto de fibra de esquemas afines irreducibles no necesita ser irreducible.

Divisibilidad, elementos primos y elementos irreducibles

En esta sección, R es un dominio integral.

Dados los elementos a y b de R, se dice que a divide b, o que a es un divisor de b, o que b es un múltiplo de a, si existe un elemento x en R tal que ax = b.

Las unidades de R son los elementos que dividen a 1; estos son precisamente los elementos invertibles en R. Las unidades dividen todos los demás elementos.

Si a divide a b y b divide a a, entonces a y b son elementos asociados o asociados. De manera equivalente, a y b son asociados si a = ub para alguna unidad u.

Un elemento irreducible es una no unidad distinta de cero que no se puede escribir como un producto de dos no unidades.

Un p distinto de cero que no es unidad es un elemento primo si, cada vez que p divide un producto ab, entonces p divide a a o p divide a b. De manera equivalente, un elemento p es primo si y solo si el ideal principal (p) es un ideal primo distinto de cero.

Ambas nociones de elementos irreducibles y elementos principales generalizan la definición ordinaria de números primos en el anillo Z,{displaystyle mathbb {Z} si uno considera como primario los primos negativos.

Cada elemento primario es irreducible. El contrario no es cierto en general: por ejemplo, en el anillo de entero cuadrático Z[− − 5]{displaystyle mathbb {Z} left[{sqrt {-5}right] el elemento 3 es irreducible (si se tiene en cuenta no trívialmente, los factores tendrían que tener cada uno la norma 3, pero no hay elementos de la norma 3 ya que a2+5b2=3{displaystyle a^{2}+5b^{2}=3} no tiene soluciones inteligentes), pero no prima (desde 3 divisiones ()2+− − 5)()2− − − − 5){displaystyle left(2+{sqrt {-5}right)left(2-{sqrt {-5}right)} sin dividir ambos factores). En un dominio de factorización único (o más generalmente, un dominio GCD), un elemento irreducible es un elemento primario.

Aunque la factorización única no se mantiene Z[− − 5]{displaystyle mathbb {Z} left[{sqrt {-5}right], hay una factorización única de ideales. Ver Lasker-Noether theorem.

Propiedades

• Un anillo conmutativo R es un dominio integral si y sólo si el ideal (0) de R es un ideal excelente.
• Si R es un anillo conmutativo y P es un ideal en R, entonces el anillo cociente R/P es un dominio integral si y sólo si P es un ideal excelente.
• Vamos R ser un dominio integral. Luego los anillos polinomios sobre R (en cualquier número de indeterminados) son dominios integrales. This is in particular the case if R es un campo.
• La propiedad de cancelación tiene en cualquier dominio integral: para cualquier a, b, y c en un dominio integral, si a ل 0 y ab = ac entonces b = c. Otra manera de afirmar esto es que la función x ↦ ax es inyectable para cualquier no cero a en el dominio.
• La propiedad de cancelación tiene para ideales en cualquier dominio integral: si xI = xJ, entonces x es cero o I = J.
• Un dominio integral es igual a la intersección de sus localizaciones en ideales maximales.
• Un límite inductivo de dominios integrales es un dominio integral.
• Si A,B{displaystyle A,B} son dominios integrales sobre un campo algebraicamente cerrado k, entonces A⊗ ⊗ kB{displaystyle Aotimes _{k}B} es un dominio integral. Esto es una consecuencia de la nullstellensatz de Hilbert, y, en geometría algebraica, implica la afirmación de que el anillo de coordenadas del producto de dos variedades algebraicas a través de un campo algebraicamente cerrado es de nuevo un dominio integral.

Campo de fracciones

El campo de las fracciones K de un dominio integral R es el conjunto de fracciones a/b con a y b dentro R y b √ 0 modulo una relación de equivalencia apropiada, equipada con las operaciones habituales de adición y multiplicación. Es "el campo más pequeño que contiene R"en el sentido de que hay un homomorfismo de anillo inyectable R → K tal que cualquier homomorfismo de anillo inyectable de R a los factores sobre el terreno K. El campo de las fracciones del anillo de los enteros Z{displaystyle mathbb {Z} es el campo de los números racionales Q.{displaystyle mathbb {Q} El campo de las fracciones de un campo es isomorfo al campo mismo.

Geometría algebraica

Los dominios integrales se caracterizan por la condición de que son reducidos (es decir, x² = 0 implica x = 0) e irreducibles (es decir, sólo hay un ideal primo mínimo). La primera condición asegura que el radical nil del anillo sea cero, de modo que la intersección de todos los números primos mínimos del anillo sea cero. La última condición es que el anillo tenga solo un primo mínimo. De ello se deduce que el único ideal primo mínimo de un anillo reducido e irreducible es el ideal cero, por lo que tales anillos son dominios integrales. Lo contrario es claro: un dominio integral no tiene elementos nilpotentes distintos de cero, y el ideal cero es el único ideal primo mínimo.

Esto se traduce, en geometría algebraica, en el hecho de que el anillo de coordenadas de un conjunto algebraico afín es un dominio integral si y solo si el conjunto algebraico es una variedad algebraica.

Más generalmente, un anillo conmutativo es un dominio integral si y solo si su espectro es un esquema afín integral.

Característica y homomorfismos

La característica de un dominio integral es 0 o un número primo.

Si R es un dominio integral de característica prima p, entonces el endomorfismo de Frobenius f(x) = x^p es inyectivo.