Dominio estocástico

La dominancia estocástica es un orden parcial entre variables aleatorias. Es una forma de ordenamiento estocástico. El concepto surge en la teoría y el análisis de decisiones en situaciones en las que una apuesta (una distribución de probabilidad sobre posibles resultados, también conocida como perspectivas) puede clasificarse como superior a otra apuesta para una amplia clase de tomadores de decisiones. Se basa en preferencias compartidas con respecto a conjuntos de resultados posibles y sus probabilidades asociadas. Sólo se requiere un conocimiento limitado de las preferencias para determinar la dominancia. La aversión al riesgo es un factor sólo en la dominancia estocástica de segundo orden.

La dominancia estocástica no da un orden total, sino sólo parcial: para algunos pares de apuestas, ninguna domina estocásticamente a la otra, ya que los diferentes miembros de la amplia clase de tomadores de decisiones diferirán en cuanto a qué apuesta es preferible. sin que en general se consideren igualmente atractivos.

A lo largo del artículo, ${\displaystyle \rho\nu}$ stand for probability distributions on ${\displaystyle \mathbb {R}$, mientras ${\displaystyle A,B,X,Y,Z}$ soporte para variables aleatorias particulares ${\displaystyle \mathbb {R}$. La notación ${\displaystyle X\sim \rho }$ significa que ${\displaystyle X}$ distribución ${\displaystyle \rho }$.

Hay una secuencia de órdenes de dominación estocástica, desde el primer ${\displaystyle \succeq _{1}$, a segundo ${\displaystyle \succeq _{2}$, a órdenes superiores ${\displaystyle \succeq _{n}$. La secuencia es cada vez más incluyente. Eso es, si ${\displaystyle \rho \succeq _{n}\nu }$Entonces ${\displaystyle \rho \succeq _{k}\nu }$ para todos ${\displaystyle k\leq n}$. Además, existe ${\displaystyle \rho\nu}$ tales que ${\displaystyle \rho \succeq ¿Qué?$ pero no ${\displaystyle \rho \succeq _{n}\nu }$.

La dominancia estocástica se remonta a (Blackwell, 1953), pero no se desarrolló hasta 1969-1970.

Dominio estatal (orden cero)

El caso más simple de dominancia estocástica es la dominancia estatal (también conocida como dominancia estado por estado), definida de la siguiente manera:

Variable aleatorio A es dominante a nivel estatal sobre la variable aleatoria B si A da al menos como buen resultado en cada estado (todos los posibles conjuntos de resultados), y un resultado estrictamente mejor en al menos un estado.

Por ejemplo, si se agrega un dólar a uno o más premios de una lotería, la nueva lotería domina a nivel estatal a la anterior porque produce un mejor pago independientemente de los números específicos obtenidos por la lotería. De manera similar, si una póliza de seguro de riesgos tiene una prima más baja y una mejor cobertura que otra póliza, entonces con o sin daños, el resultado es mejor. Cualquiera que prefiera más a menos (en la terminología estándar, cualquiera que tenga preferencias monótonamente crecientes) siempre preferirá una apuesta estatal dominante.

Primer orden

La dominancia estatal implica dominancia estocástica de primer orden (FSD), que se define como:

Variable aleatorio A tiene dominio estocástico de primer orden sobre la variable aleatoria B si para cualquier resultado x, A da al menos tan alta una probabilidad de recibir al menos x como B, y para algunos x, A da una mayor probabilidad de recibir al menos x. En forma de notación, ${\displaystyle P[A\geq x]\geq P[B\geq x]}$ para todos x, y para algunos x, ${\displaystyle P[A\geq x] confianzaP[B\geq x]}$.

En términos de las funciones de distribución acumulativa de las dos variables aleatorias, A dominating B significa que ${\displaystyle F_{A}(x)\leq F_{B}(x)}$ para todos x, con una desigualdad estricta en algunos x.

En el caso de funciones de distribución que no se cruzan, la prueba de suma de rangos de Wilcoxon prueba la dominancia estocástica de primer orden.

Definiciones equivalentes

Vamos. ${\displaystyle \rho\nu}$ ser dos distribuciones de probabilidad en ${\displaystyle \mathbb {R}$, tal que ${\displaystyle \mathbb {E} _{X\sim \rho }[tenerse a la muerte],\mathbb {E} _{X\sim \nu } [sobrevivirX]}$ ambos son finitos, entonces las siguientes condiciones son equivalentes, por lo que todos pueden servir como la definición de dominio estocástico de primer orden:

• Para cualquier ${\displaystyle u:\mathbb {R} \to \mathbb {R}$ que no disminuye, ${\displaystyle \mathbb {E} _{X\sim \rho }[u(X)]\geq \mathbb {E} _{X\sim \nu }[u(X)}}}$

• ${\displaystyle F_{\rho }(t)\leq F_{\nu }(t),\quad \forall t\in \mathbb {R}$
• Existen dos variables aleatorias ${\displaystyle X\sim \rhoY\sim \nu }$, tal que ${\displaystyle X=Y+\delta }$, donde ${\displaystyle \delta \geq 0}$.

La primera definición establece que una apuesta ${\displaystyle \rho }$ primer orden stocásticamente domina la apuesta ${\displaystyle \nu }$ si y sólo si cada optimizador de utilidad esperado con una función de utilidad creciente prefiere apostar ${\displaystyle \rho }$ sobre la apuesta ${\displaystyle \nu }$.

La tercera definición establece que podemos construir un par de apuestas ${\displaystyle X,Y}$ con distribuciones ${\displaystyle \rho\nu}$, tal que apuesta ${\displaystyle X}$ siempre paga al menos tanto como apuesta ${\displaystyle Sí.$. Más concretamente, construir primero una distribución uniforme ${\displaystyle Z\sim \mathrm {Uniform} (0,1)}$, luego utilizar el muestreo de transformación inversa para conseguir ${\displaystyle X=F_{X}{-1}(Z),Y=F_{Y} {-1}(Z)}$Entonces ${\displaystyle X\geq Sí.$ para cualquier ${\displaystyle Z}$.

Gráficamente, la segunda y tercera definición son equivalentes, porque podemos pasar de la función de densidad graficada de A a la de B empujándola hacia arriba y hacia la izquierda.

Ejemplo ampliado

Considere tres apuestas con un solo lanzamiento de un dado justo de seis caras:

${\displaystyle {\begin{rcccc}{\text{State (die result)} {\begin{array}{rcccccccc}{\text{State (die result)}}} {\begin{\begin{array}{rcccccccc}{\text{gamble Una victoria. B wins }\$ unos pocos1 segundos1 unos pocos 2 segundos2\\{\text{gamble C wins }\$ unos 3 segundos3 unos 3 segundos3 otros1 y un doble1 uno de los dos.$

La apuesta A en los estados domina la apuesta B porque A da un rendimiento al menos igual de bueno en todos los estados posibles (resultados de la tirada del dado) y da un rendimiento estrictamente mejor en uno de ellos (estado 3). Dado que A domina a B, también domina a B en primer orden.

La apuesta C no domina a B en los estados porque B ofrece un mejor rendimiento en los estados 4 a 6, pero C de primer orden domina estocásticamente a B porque Pr(B ≥ 1) = Pr(C ≥ 1) = 1, Pr(B ≥ 2) = Pr(C ≥ 2) = 3/6, y Pr(B ≥ 3) = 0 mientras que Pr(C ≥ 3) = 3/6 > Pr(B ≥ 3).

Las apuestas A y C no se pueden ordenar entre sí basándose en la dominancia estocástica de primer orden porque Pr(A ≥ 2) = 4/6 > Pr(C ≥ 2) = 3/6 mientras que por otro lado Pr(C ≥ 3) = 3/6 > Pr(A ≥ 3) = 0.

En general, aunque cuando una apuesta de primer orden domina estocásticamente una segunda apuesta, el valor esperado del pago bajo la primera será mayor que el valor esperado del pago bajo la segunda, lo contrario no es cierto: no se puede ordenar loterías con respecto al dominio estocástico simplemente comparando las medias de sus distribuciones de probabilidad. Por ejemplo, en el ejemplo anterior C tiene una media más alta (2) que A (5/3), pero C no domina a A en primer orden.

Segundo orden

El otro tipo comúnmente utilizado de dominación estocástica es dominancia estocástica de segundo orden. Roughly speaking, for two gambles ${\displaystyle \rho }$ y ${\displaystyle \nu }$, juego ${\displaystyle \rho }$ tiene la dominación estocástica de segundo orden sobre la apuesta ${\displaystyle \nu }$ si el primero es más predecible (es decir, implica menos riesgo) y tiene al menos una media alta. Todos los maximizadores de la utilidad esperada a la inversa (es decir, aquellos con funciones de utilidad crecientes y concaves) prefieren una apuesta de segunda orden estásticamente dominante a uno dominado. La dominación de segundo orden describe las preferencias compartidas de una clase más pequeña de los responsables de la adopción de decisiones (aquellas para las cuales más es mejor y que son inversos al riesgo, en lugar de Todos aquellos para quienes más es mejor) que hace la dominación de primer orden.

En términos de funciones de distribución acumulativa ${\displaystyle F_{\rho }$ y ${\displaystyle F_{\nu}}$, ${\displaystyle \rho }$ es el segundo orden es estocásticamente dominante sobre ${\displaystyle \nu }$ si ${\displaystyle \int _{-\infty }{x}[F_{\nu }(t)-F_{\rho }(t)]\,dt\geq 0}$ para todos ${\displaystyle x}$, con una desigualdad estricta en algunos ${\displaystyle x}$. Equivalentemente, ${\displaystyle \rho }$ dominados ${\displaystyle \nu }$ en el segundo orden si y sólo si ${\displaystyle \mathbb {E} _{X\sim \rho }[u(X)]\geq \mathbb {E} _{X\sim \nu }[u(X)}}}$ para todas las funciones de utilidad de ruido y concave ${\displaystyle u(x)}$.

La dominación estocástica de segundo orden también se puede expresar de la siguiente manera: Gamble ${\displaystyle \rho }$ segundo orden domina estocásticamente ${\displaystyle \nu }$ si y sólo si existen algunas apuestas ${\displaystyle y}$ y ${\displaystyle z}$ tales que ${\displaystyle x_{\nu }{\overset {d} {=}(x_{\rho }+y+z)}$Con ${\displaystyle y}$ siempre menos o igual a cero, y con ${\displaystyle \mathbb {E} (z\mid x_{\rho }+y)=0}$ para todos los valores ${\displaystyle x_{\rho - Sí.$. Aquí la introducción de variable aleatoria ${\displaystyle y}$ # ${\displaystyle \nu }$ de primera orden dominado por ${\displaystyle \rho }$ (haciendo) ${\displaystyle \nu }$ desagrado por aquellos con una función de utilidad creciente), y la introducción de variable aleatoria ${\displaystyle z}$ presenta una mera conservación que se extiende ${\displaystyle \nu }$ que es desagradado por aquellos con utilidad de concave. Note que si ${\displaystyle \rho }$ y ${\displaystyle \nu }$ tienen la misma media (para que la variable aleatoria ${\displaystyle y}$ degenera al número fijo 0), entonces ${\displaystyle \nu }$ es una mezquina reserva de ${\displaystyle \rho }$.

Definiciones equivalentes

Vamos. ${\displaystyle \rho\nu}$ ser dos distribuciones de probabilidad en ${\displaystyle \mathbb {R}$, tal que ${\displaystyle \mathbb {E} _{X\sim \rho }[tenerse a la muerte],\mathbb {E} _{X\sim \nu } [sobrevivirX]}$ ambos son finitos, entonces las siguientes condiciones son equivalentes, por lo que todos pueden servir como la definición de la dominación estocástica de segundo orden:

• Para cualquier ${\displaystyle u:\mathbb {R} \to \mathbb {R}$ que no disminuye, y (no necesariamente estrictamente) cóncavo,${\displaystyle \mathbb {E} _{X\sim \rho }[u(X)]\geq \mathbb {E} _{X\sim \nu }[u(X)}}}$

• ${\displaystyle \int _{-\infty }{t}F_{\rho }(x)dx\leq \int _{-\infty }^{t}F_{\nu }(x)dx,\quad \forall t\in \mathbby {R}$
• Existen dos variables aleatorias ${\displaystyle X\sim \rhoY\sim \nu }$, tal que ${\displaystyle Y=X-\delta +\epsilon }$, donde ${\displaystyle \delta \geq 0}$ y ${\displaystyle \mathbb {E} [\epsilon tenciónX-\delta]=0}$.

Éstas son análogas a las definiciones equivalentes de dominancia estocástica de primer orden, dadas anteriormente.

Condiciones suficientes

• Predominio estocástico de primer orden A sobre B es una condición suficiente para la dominación de segundo orden A sobre B.
• Si B es una mezquina reserva de AEntonces A segundo orden domina estocásticamente B.

Condiciones necesarias

• ${\displaystyle \mathbb {E} _{\rho }(x)\geq \mathbb {E} _{\nu }(x)}$ es una condición necesaria para A a segundo orden domina estocásticamente B.
• ${\displaystyle \min _{\rho }(x)\geq \min _{\nu }(x)}$ es una condición necesaria para A dominar el segundo orden B. La condición implica que la cola izquierda de ${\displaystyle F_{\nu}}$ debe ser más grueso que la cola izquierda ${\displaystyle F_{\rho }$.

Tercer orden

Vamos. ${\displaystyle F_{\rho }$ y ${\displaystyle F_{\nu}}$ ser las funciones de distribución acumulativa de dos inversiones distintas ${\displaystyle \rho }$ y ${\displaystyle \nu }$. ${\displaystyle \rho }$ dominados ${\displaystyle \nu }$ dentro la tercera orden si y sólo si ambos

• ${\displaystyle \int _{-\infty }{x}\left(\int _{-\infty }{z}[F_{\nu }(t)-F_{\rho }(t)]\,dt\right)dz\geq 0{\text{ for all }x,}$
• ${\displaystyle \mathbb {E} _{\rho }(x)\geq \mathbb {E} _{\nu }(x)}$.

Equivalentemente, ${\displaystyle \rho }$ dominados ${\displaystyle \nu }$ en el tercer orden si y sólo si ${\displaystyle \mathbb {E} _{\rho }U(x)\geq \mathbb {E} _{\nu }U(x)}$ para todos ${\displaystyle U\in D_{3}$.

El set ${\displaystyle D_{3}$ tiene dos definiciones equivalentes:

• el conjunto de funciones de la utilidad nondecreasing, concave que son positivo (es decir, tener un tercer derivado no negativo en todo).
• el conjunto de funciones de la utilidad nondecreasing, concave, tal que para cualquier variable aleatoria ${\displaystyle Z}$, la función de premium de riesgo ${\displaystyle \pi _{u}(x,Z)}$ es una función monotonicamente no creciente ${\displaystyle x}$.

Aquí, ${\displaystyle \pi _{u}(x,Z)}$ se define como la solución al problema$${\displaystyle u(x+\mathbb {E} [Z]-\pi)=\mathbb {E} [u(x+Z)].}$$Ver más detalles en la página premium de riesgo.

Condición suficiente

• La dominación de segundo orden es una condición suficiente.

Condiciones necesarias

• ${\displaystyle \mathbb {E} _{\rho }(\log(x))\geq \mathbb {E} _{\nu }(\log(x)}}$ es una condición necesaria. La condición implica que la media geométrica de ${\displaystyle \rho }$ debe ser mayor o igual a la media geométrica de ${\displaystyle \nu }$.
• ${\displaystyle \min _{\rho }(x)\geq \min _{\nu }(x)}$ es una condición necesaria. La condición implica que la cola izquierda de ${\displaystyle F_{\nu}}$ debe ser más grueso que la cola izquierda ${\displaystyle F_{\rho }$.

Orden superior

También se han analizado órdenes superiores de dominancia estocástica, al igual que generalizaciones de la relación dual entre ordenamientos de dominancia estocástica y clases de funciones de preferencia. Podría decirse que el criterio de dominancia más poderoso se basa en el supuesto económico aceptado de una disminución de la aversión absoluta al riesgo. Esto implica varios desafíos analíticos y un esfuerzo de investigación está en camino para abordarlos.

Formalmente, la dominancia estocástica de orden n se define como

• Para cualquier distribución de probabilidad ${\displaystyle \rho }$ on ${\displaystyle [0,\infty]$, definir las funciones inductivamente:

$${\displaystyle F_{\rho }{1}(t)=F_{\rho }(t),\quad F_{\rho }{2}(t)=\int ¿Por qué?$$

• Para las dos distribuciones de probabilidad ${\displaystyle \rho\nu}$ on ${\displaystyle [0,\infty]$, la dominación estocástica no estricta y estricta n-a-orden se define como$${\displaystyle \rho \succeq _{n}\nu \quad {\text{ iff }\quad F_{\rho }\n}\leq F_{\nu }{n}{\text{ on }[0,\infty]}$$$${\displaystyle \rho \succ _{n}\nu \quad {\text{ iff }\quad \rho \succeq _{n}\nu {\text{ and }\rho \neq\nu }$$

Estas relaciones son transitivas y cada vez más inclusivas. Eso es, si ${\displaystyle \rho \succeq _{n}\nu }$Entonces ${\displaystyle \rho \succeq _{k}\nu }$ para todos ${\displaystyle k\geq n}$. Además, existe ${\displaystyle \rho\nu}$ tales que ${\displaystyle \rho \succeq ¿Qué?$ pero no ${\displaystyle \rho \succeq _{n}\nu }$.

Define el momento n-th por ${\displaystyle \mu _{k}(\rho)=\mathbb [E] _{X\sim \rho }[X^{k]=\int x^{k}dF_{\rho }(x)}$Entonces

Restricciones

Las relaciones de dominación estocástica pueden utilizarse como limitaciones en los problemas de optimización matemática, en particular la programación estocástica. En un problema de maximizar un funcionamiento real ${\displaystyle f(X)}$ sobre variables aleatorias ${\displaystyle X}$ en un conjunto ${\displaystyle X_{0}$ adicionalmente podemos requerir que ${\displaystyle X}$ estocásticamente domina un azar fijo parámetros de referencia ${\displaystyle B}$. En estos problemas, las funciones de utilidad desempeñan el papel de los multiplicadores Lagrange asociados con limitaciones de dominio estocástico. En condiciones apropiadas, la solución del problema es también una solución (posiblemente local) del problema para maximizar el máximo ${\displaystyle f(X)+\mathbb {E} [u(X)-u(B)}$ sobre ${\displaystyle X}$ dentro ${\displaystyle X_{0}$, donde ${\displaystyle u(x)}$ es una función de utilidad determinada. Si primer orden de restricción de dominación estocástica se emplea, la función de utilidad ${\displaystyle u(x)}$ no está disminuyendo; si se utiliza la segunda orden límite de dominación estocástica, ${\displaystyle u(x)}$ no está creciendo y concave. Un sistema de ecuaciones lineales puede probar si una solución determinada es eficaz para cualquier función de utilidad. Las limitaciones de dominio estocástico de tercera orden se pueden tratar utilizando la programación convexamente limitada (QCP).