Dominio del riesgo

El dominio del riesgo y el dominio de los pagos son dos refinamientos relacionados del concepto de solución de equilibrio de Nash (EN) en la teoría de juegos, definido por John Harsanyi y Reinhard Selten. Un equilibrio de Nash se considera dominante en los pagos si es Pareto superior a todos los demás equilibrios de Nash en el juego.¹ Cuando se enfrentan a una elección entre equilibrios, todos los jugadores estarían de acuerdo en el equilibrio dominante en los pagos, ya que ofrece a cada jugador al menos tantos pagos como los otros equilibrios de Nash. Por el contrario, un equilibrio de Nash se considera dominante en el riesgo si tiene la cuenca de atracción más grande (es decir, es menos riesgoso). Esto implica que cuanto mayor sea la incertidumbre que tengan los jugadores sobre las acciones de los otros jugadores, más probable será que elijan la estrategia correspondiente.

La matriz de pagos de la Figura 1 ofrece un ejemplo sencillo de dos jugadores y dos estrategias de un juego con dos equilibrios de Nash puros. El par de estrategias (cazar, cazar) es dominante en cuanto a los pagos, ya que los pagos son mayores para ambos jugadores en comparación con el otro EN puro (recoger, recolectar). Por otro lado, (recoger, recolectar) el riesgo domina (cazar, cazar) ya que si existe incertidumbre sobre la acción del otro jugador, la recolección proporcionará un pago esperado mayor. El juego de la Figura 1 es un dilema de teoría de juegos bien conocido llamado caza del ciervo. La lógica detrás de esto es que la acción comunitaria (cazar) produce un mayor rendimiento si todos los jugadores combinan sus habilidades, pero si se desconoce si el otro jugador ayuda en la caza, la recolección puede resultar ser la mejor estrategia individual para la provisión de alimentos, ya que no depende de la coordinación con el otro jugador. Además, la recolección en solitario es preferible a la recolección en competencia con otros. Al igual que el dilema del prisionero, ofrece una razón por la cual la acción colectiva podría fracasar en ausencia de compromisos creíbles.

El juego que se muestra en la Figura 2 es un juego de coordinación si se cumplen las siguientes desigualdades de pagos para el jugador 1 (filas): A > B, D > C, y para el jugador 2 (columnas): a > b, d > c. Los pares de estrategias (H, H) y (G, G) son entonces los únicos equilibrios de Nash puros. Además, existe un equilibrio de Nash mixto en el que el jugador 1 juega H con probabilidad p = (d-c)/(a-b-c+d) y G con probabilidad 1–p; el jugador 2 juega H con probabilidad q = (D-C)/(A-B-C+D) y G con probabilidad 1–q.

El par de estrategias (H, H) predomina (G, G) si A ≥ D, a ≥ d y al menos una de las dos es una desigualdad estricta: A > D o a > d.

En el par de estrategias (G, G), el riesgo domina (H, H) si el producto de las pérdidas por desviación es mayor para (G, G) (Harsanyi y Selten, 1988, Lema 5.4.4). En otras palabras, si se cumple la siguiente desigualdad: (C – D)(c – d)≥(B – A)(b – a). Si la desigualdad es estricta, entonces (G, G) domina estrictamente el riesgo (H, H).²(Es decir, los jugadores tienen más incentivos para desviarse).

Si el juego es simétrico, es decir, si A = a, B = b, etc., la desigualdad permite una interpretación sencilla: suponemos que los jugadores no están seguros de qué estrategia elegirá el oponente y asignamos probabilidades para cada estrategia. Si cada jugador asigna probabilidades ½ a H y G, entonces el riesgo (G, G) domina a (H, H) si la ganancia esperada de jugar G supera la ganancia esperada de jugar H: ½ B + ½ D ≥ ½ A + ½ C, o simplemente B + D ≥ A + C.

Otra manera de calcular el equilibrio dominante de riesgo es calcular el factor de riesgo para todos los equilibrios y encontrar el equilibrio con el factor de riesgo más pequeño. Para calcular el factor de riesgo en nuestro juego 2x2, considere el pago esperado a un jugador si juegan H: ${\displaystyle E* ¿Qué?$ (donde) p es la probabilidad de que el otro jugador juegue H), y compararlo con el pago esperado si juega G: ${\displaystyle E* ¿Qué?$. El valor de p que hace que estos dos valores esperados sean iguales es el factor de riesgo para el equilibrio (H, H), con ${\displaystyle 1-p}$ el factor de riesgo para jugar (G, G). También puede calcular el factor de riesgo para jugar (G, G) haciendo el mismo cálculo, pero estableciendo p como la probabilidad el otro jugador jugará G. Una interpretación para p es la menor probabilidad de que el oponente debe jugar esa estrategia tal que el propio pago de la persona de copiar la estrategia del oponente es mayor que si la otra estrategia fue jugada.

Varios enfoques evolutivos han establecido que, cuando se juega en una población grande, los jugadores pueden no utilizar la estrategia de equilibrio dominante de pago y, en cambio, terminar en el equilibrio dominante de pago y riesgo. Dos modelos evolutivos separados respaldan la idea de que es más probable que ocurra el equilibrio dominante de riesgo. El primer modelo, basado en la dinámica de replicadores, predice que es más probable que una población adopte el equilibrio dominante de riesgo que el equilibrio dominante de pago. El segundo modelo, basado en la revisión y mutación de la estrategia de mejor respuesta, predice que el estado dominante de riesgo es el único equilibrio estocásticamente estable. Ambos modelos suponen que se juegan múltiples juegos de dos jugadores en una población de N jugadores. Los jugadores se emparejan aleatoriamente con oponentes, y cada jugador tiene las mismas probabilidades de sacar cualquiera de los otros N−1 jugadores. Los jugadores comienzan con una estrategia pura, G o H, y juegan esta estrategia contra su oponente. En la dinámica de replicadores, el juego de la población se repite en generaciones secuenciales donde las subpoblaciones cambian según el éxito de sus estrategias elegidas. En la mejor respuesta, los jugadores actualizan sus estrategias para mejorar los pagos esperados en las generaciones posteriores. El reconocimiento de Kandori, Mailath y Rob (1993) y Young (1993) fue que si la regla para actualizar la estrategia de uno permite la mutación⁴, y la probabilidad de mutación se desvanece, es decir, llega asintóticamente a cero con el tiempo, la probabilidad de que se alcance el equilibrio dominante del riesgo pasa a uno, incluso si está dominado por los pagos.³

• ^1 Un solo equilibrio Nash es trivialmente pago y riesgo dominante si es el único NE en el juego.
• ^2 Existen distinciones similares entre estrictas y débiles para la mayoría de las definiciones aquí, pero no se denotan explícitamente a menos que sea necesario.
• ^3 Harsanyi y Selten (1988) proponen que el equilibrio dominante de payoff es la elección racional en el juego de caza de despedidas de soltero, sin embargo Harsanyi (1995) retractó esta conclusión para asumir el dominio del riesgo como el criterio de selección pertinente.

• Samuel Bowles: Microeconómica: Comportamiento, Instituciones y Evolución, Princeton University Press, pp. 45–46 (2004) ISBN 0-691-09163-3
• Drew Fudenberg y David K. Levine: La teoría del aprendizaje en los juegosMIT Press, pág. 27 (1999) ISBN 0-262-06194-5
• John C. Harsanyi: "Una nueva teoría de selección de equilibrio para juegos con información completa", Juegos y comportamiento económico 8, págs. 91 a 122 (1995)
• John C. Harsanyi y Reinhard Selten: Una teoría general de la selección del equilibrio en los juegos, MIT Press (1988) ISBN 0-262-08173-3
• Michihiro Kandori, George J. Mailath " Rafael Rob: "Aprendizaje, Mutación y Equilibria de larga duración en los juegos", Econometrica 61, págs. 29 a 56 (1993)
• Roger B. Myerson: Teoría del juego, Análisis de Conflicto, Harvard University Press, pp. 118–119 (1991) ISBN 0-674-34115-5
• Larry Samuelson: Juegos evolutivos y selección de equilibrioMIT Press (1997) ISBN 0-262-19382-5
• H. Peyton Young: "La evolución de las convenciones", Econometrica, 61, págs. 57 a 84 (1993)
• H. Peyton Young: Estrategia individual y estructura social, Princeton University Press (1998) ISBN 0-691-08687-7