Dominio dedekind

En álgebra abstracta, un dominio de Dedekind o anillo de Dedekind, llamado así por Richard Dedekind, es un dominio integral en el que cada ideal propio distinto de cero se factoriza en un producto de ideales primos. Se puede demostrar que tal factorización es entonces necesariamente única hasta el orden de los factores. Hay al menos otras tres caracterizaciones de los dominios de Dedekind que a veces se toman como definición: ver más abajo.

Un campo es un anillo conmutativo en el que no hay ideales propios no triviales, por lo que cualquier campo es un dominio de Dedekind, aunque de una manera bastante vacía. Algunos autores agregan el requisito de que un dominio Dedekind no sea un campo. Muchos más autores establecen teoremas para los dominios de Dedekind con la condición implícita de que pueden requerir modificaciones triviales para el caso de los campos.

Una consecuencia inmediata de la definición es que todo dominio ideal principal (PID) es un dominio de Dedekind. De hecho, un dominio de Dedekind es un dominio de factorización única (UFD) si y solo si es un PID.

La prehistoria de los dominios Dedekind

En el siglo XIX se convirtió en una técnica común para obtener información sobre soluciones enteros de ecuaciones polinómicas utilizando anillos de números algebraicos de mayor grado. Por ejemplo, fijar un entero positivo m{displaystyle m}. En el intento de determinar qué enteros están representados por la forma cuadrática x2+mSí.2{displaystyle ¿Qué?, es natural factorar la forma cuadrática en ()x+− − mSí.)()x− − − − mSí.){displaystyle (x+{sqrt {-m}y)(x-{sqrt {-m}y)}, la factorización que tiene lugar en el anillo de enteros del campo cuadrático Q()− − m){displaystyle mathbb {Q} ({sqrt {-m}}}}. Del mismo modo, para un entero positivo n{displaystyle n} el polinomio zn− − Sí.n{displaystyle z^{n}-y^{n} (que es relevante para resolver la ecuación de Fermat xn+Sí.n=zn{displaystyle ¿Qué?) se puede tener en cuenta sobre el anillo Z[Especificaciones Especificaciones n]{displaystyle mathbb {Z} [zeta _{n}}, donde Especificaciones Especificaciones n{displaystyle zeta _{n} es una raíz primitiva de la unidad.

Para unos pocos valores pequeños m{displaystyle m} y n{displaystyle n} estos anillos de enteros algebraicos son PIDs, y esto se puede ver como una explicación de los éxitos clásicos de Fermat (m=1,n=4{displaystyle m=1,n=4}) y Euler (m=2,3,n=3{displaystyle m=2,3,n=3}). Para este tiempo un procedimiento para determinar si el anillo de todos los enteros algebraicos de un campo cuadrático dado Q()D){displaystyle mathbb {Q} ({sqrt {D})} es un PID era bien conocido por los teóricos de la forma cuadrática. Especialmente, Gauss había visto el caso de campos cuadráticos imaginarios: encontró exactamente nueve valores de <math alttext="{displaystyle DD.0{displaystyle D realizadas0}<img alt="D para el cual el anillo de los enteros es un PID y conjetura que no había otros valores. (La conjetura de Gauss fue probada más de cien años después por Kurt Heegner, Alan Baker y Harold Stark.) Sin embargo, esto se entendía (sólo) en el lenguaje de clases de equivalencia de formas cuadráticas, de modo que en particular la analogía entre las formas cuadráticas y la ecuación de Fermat parece no haber sido percibida. En 1847 Gabriel Lamé anunció una solución del último teorema de Fermat para todos 2}" xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">n■2{displaystyle n confiado2}2" aria-hidden="true" class="mwe-math-fallback-image-inline" src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/44e71ac55b9fbf1e9f341b946cda63d61d3ef2cd" style="vertical-align: -0.338ex; width:5.656ex; height:2.176ex;"/>; es decir, que la ecuación de Fermat no tiene soluciones en los enteros no cero, pero resultó que su solución se fijó en la suposición de que el anillo ciclotómico Z[Especificaciones Especificaciones n]{displaystyle mathbb {Z} [zeta _{n}} es un UFD. Ernst Kummer había mostrado tres años antes de que este no era el caso ya para n=23{displaystyle n=23} (la lista completa y finita de valores para los cuales Z[Especificaciones Especificaciones n]{displaystyle mathbb {Z} [zeta _{n}} es un UFD ahora se conoce). Al mismo tiempo, Kummer desarrolló poderosos nuevos métodos para probar el último teorema de Fermat al menos para una gran clase de exponentes principales n{displaystyle n} usando lo que ahora reconocemos como el hecho de que el anillo Z[Especificaciones Especificaciones n]{displaystyle mathbb {Z} [zeta _{n}} es un dominio Dedekind. De hecho Kummer no trabajó con ideales sino con "números ideales", y la definición moderna de un ideal fue dada por Dedekind.

Para el siglo XX, los algebraistas y los teóricos del número habían llegado a darse cuenta de que la condición de ser un PID es bastante delicada, mientras que la condición de ser un dominio Dedekind es bastante robusta. Por ejemplo, el anillo de los enteros ordinarios es un PID, pero como se ve por encima del anillo OK{fnMicrosoft Sans Serif} de enteros algebraicos en un campo número K{displaystyle K} No es necesario ser un PID. De hecho, aunque Gauss también conjetura que hay infinitamente muchos primos p{displaystyle p} tal que el anillo de los enteros de Q()p){displaystyle mathbb {Q} ({sqrt {p})} es un PID, a partir de 2016 todavía no se sabe si hay infinitamente muchos campos de números K{displaystyle K} (de grado arbitrario) tal que OK{fnMicrosoft Sans Serif} es un PID. Por otro lado, el anillo de enteros en un campo número es siempre un dominio Dedekind.

Otra ilustración de la dicotomía delicada/robustible es el hecho de que ser un dominio Dedekind es, entre los dominios noetherianos, una propiedad local: un dominio noetheriano R{displaystyle R. es Dedekind iff para cada ideal maximal M{displaystyle M} de R{displaystyle R. la localización RM{displaystyle R_{M} es un anillo Dedekind. Pero un dominio local es un anillo Dedekind sif es un PID sif es un anillo de valoración discreto (DVR), por lo que la misma caracterización local no puede mantener para los PID: más bien, uno puede decir que el concepto de un anillo Dedekind es el globalización de la de un DVR.

Definiciones alternativas

Para un dominio integral R{displaystyle R. que no es un campo, todas las condiciones siguientes son equivalentes:

(DD1) Cada uno de los factores ideales adecuados no cero en los primeros.

(DD2) R{displaystyle R. es Noetherian, y la localización en cada ideal maximal es un anillo de valoración discreto.

(DD3) Todo ideal fraccional no cero R{displaystyle R. es invertible.

(DD4) R{displaystyle R. es un dominio integralmente cerrado, Noetherian con la dimensión Krull uno (es decir, cada ideal no cero es maximal).

(DD5) Para cualquier dos ideales I{displaystyle Yo... y J{displaystyle J} dentro R{displaystyle R., I{displaystyle Yo... figura en J{displaystyle J} si J{displaystyle J} divideciones I{displaystyle Yo... como ideales. Es decir, existe un ideal H{displaystyle H. tales que I=JH{displaystyle I=JH. Un anillo conmutativo (no necesariamente un dominio) con unidad que satisface esta condición se llama anillo de contención-división (CDR).

Por lo tanto, un dominio de Dedekind es un dominio que es un campo o satisface cualquiera, y por lo tanto los cinco, de (DD1) a (DD5). Cuál de estas condiciones se toma como definición es, por lo tanto, meramente una cuestión de gusto. En la práctica, suele ser más fácil de verificar (DD4).

Un dominio Krull es un análogo de dimensión superior de un dominio Dedekind: un dominio Dedekind que no es un campo es un dominio Krull de dimensión 1. Esta noción se puede utilizar para estudiar las diversas caracterizaciones de un dominio Dedekind. De hecho, esta es la definición de dominio de Dedekind utilizada en el 'álgebra conmutativa' de Bourbaki.

Un dominio de Dedekind también se puede caracterizar en términos de álgebra homológica: un dominio integral es un dominio de Dedekind si y solo si es un anillo hereditario; es decir, todo submódulo de un módulo proyectivo sobre él es proyectivo. De manera similar, un dominio integral es un dominio de Dedekind si y solo si todo módulo divisible sobre él es inyectivo.

Algunos ejemplos de dominios Dedekind

Todos los dominios ideales principales y, por lo tanto, todos los anillos de valoración discretos son dominios de Dedekind.

El anillo R=OK{displaystyle R={mathcal {fnK} de enteros algebraicos en un campo número K es Noetherian, integralmente cerrado, y de dimensión uno: para ver la última propiedad, observe que para cualquier ideal no cero I de R, R/I es un conjunto finito, y recuerda que un dominio integral finito es un campo; así por (DD4) R es un dominio Dedekind. Como se ha dicho, esto incluye todos los ejemplos considerados por Kummer y Dedekind y fue el caso motivador de la definición general, y estos siguen siendo uno de los ejemplos más estudiados.

La otra clase de anillos de Dedekind que podría decirse que tiene la misma importancia proviene de la geometría: sea C una curva algebraica afín geométricamente integral no singular sobre un campo k . Entonces el anillo de coordenadas k[C] de funciones regulares en C es un dominio de Dedekind. Esto es en gran parte claro simplemente al traducir términos geométricos al álgebra: el anillo de coordenadas de cualquier variedad afín es, por definición, un álgebra k generada de forma finita, por lo tanto, noetheriana; además, curva significa dimensión uno y no singular implica (y, en dimensión uno, es equivalente a) normal, que por definición significa integralmente cerrado.

Estas dos construcciones pueden verse como casos especiales del siguiente resultado básico:

Teorema: Sea R un dominio de Dedekind con campo fraccionario K. Sea L una extensión de campo de grado finito de K y denotemos por S el cierre integral de R en L. Entonces S es en sí mismo un dominio Dedekind.

La aplicación de este teorema cuando R es en sí mismo un PID nos brinda una forma de construir dominios de Dedekind a partir de PID. Tomando R = Z, esta construcción dice precisamente que los anillos de enteros de campos numéricos son dominios de Dedekind. Tomando R = k[t], se obtiene el caso anterior de curvas afines no singulares como cubiertas ramificadas de la línea afín.

Zariski y Samuel estaban lo suficientemente entusiasmados con esta construcción como para preguntarse si todos los dominios de Dedekind surgen de ella; es decir, comenzando con un PID y tomando el cierre integral en una extensión de campo de grado finito. L. Claborn dio una respuesta negativa sorprendentemente simple.

Si la situación es igual a la anterior pero la extensión L de K es algebraico de grado infinito, entonces todavía es posible para el cierre integral S de R dentro L ser un dominio Dedekind, pero no está garantizado. Por ejemplo, tome de nuevo R = Z, K = Q y ahora L para ser el campo Q̄ ̄ {displaystyle {overline {textbf {}} de todos los números algebraicos. El cierre integral no es otra cosa que el anillo Z̄ ̄ {displaystyle {overline {textbf {Z}}} de todos los enteros algebraicos. Puesto que la raíz cuadrada de un entero algebraico es de nuevo un entero algebraico, no es posible factorar cualquier entero algebraico no cero no unidad en un producto finito de elementos irreducibles, lo que implica que Z̄ ̄ {displaystyle {overline {textbf {Z}}} ¡Ni siquiera es Noetherian! En general, el cierre integral de un dominio Dedekind en una extensión algebraica infinita es un dominio Prüfer; resulta que el anillo de enteros algebraicos es un poco más especial que esto: es un dominio Bézout.

Ideales fraccionarios y el grupo de clase

Vamos R ser un dominio integral con campo de fracción K. Un ideal fraccional es un no cero R- Submodulo I de K para el cual existe un no cero x dentro K tales que xI⊂ ⊂ R.{displaystyle xIsubset R.}

Dados dos ideales fraccionados I y J, uno define su producto IJ como conjunto de todas las sumas finitas .. ninjn,in▪ ▪ I,jn▪ ▪ J{displaystyle sum _{n}i_{n}j_{n},i_{n}in Yo... J.: el producto IJ es otra vez un ideal fraccional. El set Frac(R) de todos los ideales fraccionados con el producto anterior es un semigrupo conmutativo y de hecho un monoide: el elemento de identidad es el ideal fraccional R.

Para cualquier ideal fraccionario I, se puede definir el ideal fraccionario

IAlternativa Alternativa =()R:I)={}x▪ ▪ K▪ ▪ xI⊂ ⊂ R}.{displaystyle I^{*}=(R:I)={xin Kmid xIsubset R}

Uno tiene tautológicamente IAlternativa Alternativa I⊂ ⊂ R{displaystyle I^{*}Isubset R}. De hecho uno tiene igualdad si y sólo si I, como elemento del monoide de Frac(REs invertible. En otras palabras, si I tiene cualquier inverso, entonces el inverso debe ser IAlternativa Alternativa {displaystyle I^{*}.

A ideal fraccional principal es una de las formas xR{displaystyle xR} para algunos no cero x dentro K. Tenga en cuenta que cada ideal fraccional principal es invertible, el inverso de xR{displaystyle xR} ser simplemente 1xR{displaystyle {frac}{x}R}. Denotamos el subgrupo de los principales ideales fraccionados por Prin(R).

Un dominio R es un PID si y sólo si cada ideal fraccional es principal. En este caso, tenemos Frac(RPrinR) K× × /R× × {displaystyle K^{times }/R^{times }, desde dos ideales fraccionados principales xR{displaystyle xR} y Sí.R{displaystyle yR} son iguales si f xSí.− − 1{displaystyle xy^{-1} es una unidad en R.

Para un dominio general R, tiene sentido tomar el cociente del monoide Frac(R) de todos los ideales fraccionarios por el submonoide Prin(R ) de ideales fraccionarios principales. Sin embargo, este cociente en sí mismo es generalmente solo un monoide. De hecho, es fácil ver que la clase de un ideal fraccionario I en Frac(R)/Prin(R) es invertible si y solo si I mismo es invertible.

Ahora podemos apreciar (DD3): en un dominio de Dedekind (y solo en un dominio de Dedekind) todo ideal fraccionario es invertible. Por lo tanto, estos son precisamente la clase de dominios para los que Frac(R)/Prin(R) forma un grupo, el grupo de clase ideal Cl(R) de R. Este grupo es trivial si y solo si R es un PID, por lo que puede verse como una cuantificación de la obstrucción a un dominio general de Dedekind que es un PID.

Observamos que para un dominio arbitrario se puede definir el grupo de Picard Pic(R) como el grupo de ideales fraccionarios invertibles Inv(R) módulo el subgrupo de principales ideales fraccionarios. Para un dominio de Dedekind esto es, por supuesto, lo mismo que el grupo de clase ideal. Sin embargo, en una clase más general de dominios, incluidos los dominios de Noether y los dominios de Krull, el grupo de clases ideal se construye de una manera diferente y existe un homomorfismo canónico

Pic(R) → Cl(R)

que, sin embargo, generalmente no es inyectiva ni sobreyectiva. Este es un análogo afín de la distinción entre divisores de Cartier y divisores de Weil en una variedad algebraica singular.

Un notable teorema de L. Claborn (Claborn 1966) afirma que para cualquier grupo abeliano G, existe un dominio de Dedekind R cuyo grupo de clase ideal es isomorfo a G. Más tarde, C.R. Leedham-Green demostró que tal R puede construirse como el cierre integral de un PID en una extensión de campo cuadrática (Leedham-Green 1972). En 1976, M. Rosen mostró cómo realizar cualquier grupo abeliano contable como el grupo de clase de un dominio de Dedekind que es un subanillo del campo de función racional de una curva elíptica, y conjeturó que tal "elíptica" la construcción debería ser posible para un grupo abeliano general (Rosen 1976). La conjetura de Rosen fue probada en 2008 por P.L. Clark (Clark 2009).

Por el contrario, uno de los teoremas básicos de la teoría algebraica de números afirma que el grupo de clases del anillo de enteros de un cuerpo numérico es finito; su cardinalidad se llama número de clase y es un invariante importante y bastante misterioso, a pesar del arduo trabajo de muchos matemáticos destacados desde Gauss hasta el día de hoy.

Módulos generados finitamente sobre un dominio Dedekind

En vista del conocido y extremadamente útil teorema de estructura para módulos generados de forma finita sobre un dominio ideal principal (PID), es natural pedir una teoría correspondiente para módulos generados de forma finita sobre un dominio de Dedekind.

Recordemos brevemente la teoría de la estructura en el caso de un módulo generado finitamente M{displaystyle M} sobre un PID R{displaystyle R.. Definimos el submodulo de torsión T{displaystyle T} ser el conjunto de elementos m{displaystyle m} de M{displaystyle M} tales que rm=0{displaystyle rm=0} para algunos no cero r{displaystyle r} dentro R{displaystyle R.. Entonces:

(M1) T{displaystyle T} se puede descomponer en una suma directa de los módulos de torsión cíclica, cada uno de la forma R/I{displaystyle R/I} para algunos no cero ideal I{displaystyle Yo... de R{displaystyle R.. Por el Teorema del Restante Chino, cada uno R/I{displaystyle R/I} se puede descomponer en una suma directa de los submódulos de la forma R/Pi{displaystyle R/P^{i}, donde Pi{displaystyle P^{i} es un poder de un ideal primo. Esta descomposición no necesita ser única, pero ninguna de las dos descomposiciones

T.. R/P1a1⊕ ⊕ ⋯ ⋯ ⊕ ⊕ R/Prar.. R/Q1b1⊕ ⊕ ⋯ ⋯ ⊕ ⊕ R/Qsbs{displaystyle Tcong R/P_{1}oplus cdots oplus R/P. R/Q_{1}oplus cdots oplus R/Q.

difieren solo en el orden de los factores.

(M2) El submódulo de torsión es un sustituto directo. Es decir, existe un submodulo complementario P{displaystyle P} de M{displaystyle M} tales que M=T⊕ ⊕ P{displaystyle M=Toplus P}.

(M3PID) P{displaystyle P} isomorfo a Rn{displaystyle R^{n} para un entero no negativo único n{displaystyle n}. En particular, P{displaystyle P} es un módulo gratuito generado finitamente.

Ahora M{displaystyle M} ser un módulo generado finitamente sobre un dominio arbitrario Dedekind R{displaystyle R.. Luego (M1) y (M2) tienen verbatim. Sin embargo, se deriva de (M3PID) que un módulo sin torsión generado finitamente P{displaystyle P} sobre un PID es libre. En particular, afirma que todos los ideales fraccionados son principales, una declaración que es falsa siempre que R{displaystyle R. no es un PID. En otras palabras, la notrivialidad del grupo de clase Cl()R){displaystyle Cl(R)} causa que (M3PID) falle. Cabe destacar que la estructura adicional en módulos generados sin torsión por fin sobre un dominio arbitrario de Dedekind es controlada precisamente por el grupo de clase, como explicamos ahora. Sobre un dominio arbitrario de Dedekind uno tiene

(M3DD) P{displaystyle P} es isomorfo a una suma directa de los módulos de proyecto de rango uno: P.. I1⊕ ⊕ ⋯ ⋯ ⊕ ⊕ Ir{displaystyle Pcong I_{1}oplus cdots oplus I_{r}. Además, para cualquier módulo de proyecto de categoría uno I1,...... ,Ir,J1,...... ,Js{displaystyle I_{1},ldotsI_{r},J_{1},ldotsJ_{s}, uno tiene

I1⊕ ⊕ ⋯ ⋯ ⊕ ⊕ Ir.. J1⊕ ⊕ ⋯ ⋯ ⊕ ⊕ Js{displaystyle I_{1}oplus cdots oplus I_{r}cong J_{1}oplus cdots oplus J.

si y solo si

r=s{displaystyle r=s}

y

I1⊗ ⊗ ⋯ ⋯ ⊗ ⊗ Ir.. J1⊗ ⊗ ⋯ ⋯ ⊗ ⊗ Js.{displaystyle I_{1}otimes cdots otimes I_{r}cong J_{1}otimes cdots otimes J_{s}.

Los módulos proyectivos de rango uno se pueden identificar con ideales fraccionarios, y la última condición se puede reformular como

[I1⋯ ⋯ Ir]=[J1⋯ ⋯ Js]▪ ▪ Cl()R).{displaystyle [I_{1}cdots I_{r}=[J_{1}cdots En Cl (R).

Así un módulo sin torsión generada finitamente de rango 0}" xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">n■0{displaystyle n confiado0}0" aria-hidden="true" class="mwe-math-fallback-image-inline" src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/27a6a5d982d54202a14f111cb8a49210501b2c96" style="vertical-align: -0.338ex; width:5.656ex; height:2.176ex;"/> se puede expresar como Rn− − 1⊕ ⊕ I{displaystyle R^{n-1}oplus Yo..., donde I{displaystyle Yo... es un módulo de proyecto de rango uno. El Clase Steinitz para P{displaystyle P} sobre R{displaystyle R. es la clase [I]{displaystyle [I]} de I{displaystyle Yo... dentro Cl()R){displaystyle Cl(R)}: es únicamente determinado. Una consecuencia de esto es:

Teorema: R{displaystyle R. ser un dominio Dedekind. Entonces... K0()R).. Z⊕ ⊕ Cl()R){displaystyle K_{0}(R)cong mathbb {Z} oplus Cl(R)}, donde K0()R){displaystyle K_{0}(R)} es el grupo Grothendieck del monoide conmutativo de finito generado proyecto R{displaystyle R. módulos.

Estos resultados fueron establecidos por Ernst Steinitz en 1912.

Una consecuencia adicional de esta estructura, que no está implícita en el teorema anterior, es que si los dos módulos proyectivos sobre un dominio de Dedekind tienen la misma clase en el grupo de Grothendieck, entonces, de hecho, son abstractamente isomorfos.

Anillos locales de Dedekind

Existen dominios integrales R{displaystyle R. que son local pero no globalmente Dedekind: la localización de R{displaystyle R. en cada ideal maximal es un anillo Dedekind (equivalentemente, un DVR) pero R{displaystyle R. en sí mismo no es Dedekind. Como se mencionó anteriormente, tal anillo no puede ser Noetherian. Parece que los primeros ejemplos de estos anillos fueron construidos por N. Nakano en 1953. En la literatura tales anillos son a veces llamados "aros casi de Dedekind".