Dominio de una función

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Concepto matemático

Una función

f

desde

X

Y

. El conjunto de puntos en el oval rojo

X

es el dominio de

f

Gráfico de la función de raíz cuadrada de valor real, f()x) √x, cuyo dominio consta de todos los números reales no negativos

En matemáticas, la dominio de una función es el conjunto de entradas aceptadas por la función. A veces se denota ${displaystyle operatorname {dom} (f)}$ o ${displaystyle operatorname {dom} f}$ , donde $f$ es la función.

Más precisamente, dada una función $fcolon Xto Y$ , el dominio de $f$ es $X$ . Tenga en cuenta que en lenguaje matemático moderno, el dominio es parte de la definición de una función en lugar de una propiedad de ella.

En el caso especial $X$ y $Y$ son ambos subconjuntos de $mathbb {R}$ , la función $f$ puede ser graficado en el sistema de coordenadas cartesiano. En este caso, el dominio está representado en el $x$ -eje del gráfico, como proyección del gráfico de la función sobre el $x$ -Eje.

Para una función $fcolon Xto Y$ , el conjunto $Y$ se llama codomain, y el conjunto de valores alcanzado por la función (que es un subconjunto de $Y$ ) se llama su rango o imagen.

Cualquier función puede restringirse a un subconjunto de su dominio. La restricción $f colon X to Y$ a $A$ , donde $Asubseteq X$ , está escrito como ${displaystyle left.fright|_{A}colon Ato Y}$ .

Dominio natural

Si una función real $f$ viene dada por una fórmula, es posible que no esté definida para algunos valores de la variable. En este caso, es una función parcial, y el conjunto de números reales en los que la fórmula se puede evaluar como un número real se denomina dominio natural o dominio de definición de $f$ . En muchos contextos, una función parcial se llama simplemente función, y su dominio natural se llama simplemente su dominio.

Ejemplos

La función $f$ definidas por $f(x)={frac {1}{x}}$ no se puede evaluar a 0. Por lo tanto el dominio natural de $f$ es el conjunto de números reales excluyendo 0, que puede ser denotado por ${displaystyle mathbb {R} setminus {0}}$ o ${displaystyle {xin mathbb {R}:xneq 0}}$ .
Función de la pieza $f$ definidas por ${displaystyle f(x)={begin{cases}1/x&xnot =0\0&x=0end{cases}},}$ tiene como su dominio natural el conjunto $mathbb {R}$ de números reales.
Función de la raíz cuadrada ${displaystyle f(x)={sqrt {x}}}$ tiene como su dominio natural el conjunto de números reales no negativos, que pueden ser denotados por ${displaystyle mathbb {R} _{geq 0}}$ , el intervalo $[0,infty)$ , o ${displaystyle {xin mathbb {R}:xgeq 0}}$ .
La función tangente, denotada $tan$ , tiene como su dominio natural el conjunto de todos los números reales que no son de la forma ${displaystyle {tfrac {pi }{2}}+kpi }$ para algunos enteros $k$ , que se puede escribir como ${displaystyle mathbb {R} setminus {{tfrac {pi }{2}}+kpi:kin mathbb {Z} }}$ .

Otros usos

La palabra "dominio" se utiliza con otros significados relacionados en algunas áreas de matemáticas. En topología, un dominio es un conjunto abierto conectado. En análisis real y complejo, un dominio es un subconjunto conectado abierto de un espacio vectorial real o complejo. En el estudio de ecuaciones diferenciales parciales, un dominio es el subconjunto conectado abierto del espacio Euclideano $mathbb {R} ^{n}$ donde se plantea un problema (es decir, donde se definen las funciones desconocidas).

Establecer nociones teóricas

Por ejemplo, a veces es conveniente en la teoría de conjuntos permitir que el dominio de una función sea una clase propia $X$ , en cuyo caso, formalmente no existe tal cosa como un triple $(X, Y, G). Con tal definición, las funciones no tienen un dominio, aunque algunos autores todavía lo usan informalmente después de introducir una función en la forma f : X \to Y .$

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