Dominio de factorización único

En matemáticas, un dominio de factorización único (UFD) (a veces también llamado anillo factorial siguiendo la terminología de Bourbaki) es un anillo en el que se cumple un enunciado análogo al teorema fundamental de la aritmética. Específicamente, un UFD es un dominio integral (un anillo conmutativo no trivial en el que el producto de dos elementos distintos de cero es distinto de cero) en el que cada elemento no unitario distinto de cero se puede escribir como un producto de elementos primos (o elementos irreducibles), únicamente hasta orden y unidades.

Ejemplos importantes de UFD son los números enteros y los anillos de polinomios en una o más variables con coeficientes provenientes de los números enteros o de un campo.

Los dominios de factorización únicos aparecen en la siguiente cadena de inclusiones de clases:

rngs. anillos. Anillos conmutativos. dominios integrales. dominios cerrados integralmente. dominios GCD. dominios de factorización únicos. principales dominios ideales. Euclidean domains. campos. campos cerrados algebraicamente

Definición

Formalmente, un dominio de factorización único se define como un dominio integral R en el que cada elemento distinto de cero x de R puede ser escrito como un producto (un producto vacío si x es una unidad) de elementos irreducibles p_i de R y una unidad u:

x = u p₁ p₂ ⋅⋅ p_n con n ≥ 0

y esta representación es única en el siguiente sentido: Si q₁,..., q_m son elementos irreducibles de R y w es una unidad tal que

x = w q₁ q₂ ⋅⋅ q_m con m ≥ 0,

entonces m = n, y existe una función biyectiva φ: {1,..., n} → {1,..., m} tal que p_i está asociado a q_φ(i) para i ∈ {1,..., n}.

La parte de unicidad suele ser difícil de verificar, por lo que la siguiente definición equivalente es útil:

Un dominio de factorización único es un dominio integral R en el que cada elemento no cero puede ser escrito como producto de una unidad y elementos principales R.

Ejemplos

La mayoría de los anillos familiares de las matemáticas elementales son UFD:

• Todos los dominios ideales principales, por lo tanto todos los dominios Euclidesanos, son UFDs. En particular, los enteros (también ver teorema fundamental de la aritmética), los enteros gausianos y los enteros de Eisenstein son UFDs.
• Si R es un UFD, entonces lo es R[X], el anillo de polinomios con coeficientes en R. A menos R es un campo, R[X] no es un dominio ideal principal. Por inducción, un anillo polinomio en cualquier número de variables sobre cualquier UFD (y en particular sobre un campo o sobre los enteros) es un UFD.
• El anillo de la serie de poder formal K[[2]X₁,...X_nSobre un campo K (o más generalmente sobre un UFD regular como un PID) es un UFD. Por otro lado, la serie de potencias formales sobre un UFD no necesita ser un UFD, incluso si el UFD es local. Por ejemplo, si R es la localización de k[x,Sí.,z]/x²+Sí.³+z⁷) en el ideal principal (x,Sí.,zentonces R es un anillo local que es un UFD, pero el anillo de la serie de energía formal R[[2]X] R no es un UFD.
• El teorema Auslander-Buchsbaum establece que cada anillo local regular es un UFD.
• Z[e2π π in]{displaystyle mathbb {Z} left[e^{frac {2pi i}{n}right]} es un UFD para todos los enteros 1 ≤ n ≤ 22, pero no para n = 23.
• Mori mostró que si la terminación de un anillo Zariski, como un anillo local noetheriano, es un UFD, entonces el anillo es un UFD. El contrario de esto no es cierto: hay anillos locales de Noetherian que son UFD pero cuyas terminaciones no son. La cuestión de cuándo sucede esto es bastante sutil: por ejemplo, para la localización de k[x,Sí.,z]/x²+Sí.³+z⁵) en el ideal principal (x,Sí.,z), tanto el anillo local como su terminación son UFDs, pero en el ejemplo aparentemente similar de la localización de k[x,Sí.,z]/x²+Sí.³+z⁷) en el ideal principal (x,Sí.,z) el anillo local es un UFD pero su terminación no es.
• Vamos R{displaystyle R. ser un campo de cualquier característica que no sea 2. Klein y Nagata mostraron que el anillo R[X₁,...X_n]/Q es un UFD cuando Q es una forma cuadrática no lineal en X 's n al menos 5. n=4 el anillo no necesita ser un UFD. Por ejemplo, R[X,Y,Z,W]/()XY− − ZW){displaystyle R[X,Y,Z,W]/(XY-ZW)} no es un UFD, porque el elemento XY{displaystyle XY. iguala el elemento ZW{displaystyle ZW! así XY{displaystyle XY. y ZW{displaystyle ZW! son dos factorizaciones diferentes del mismo elemento en irreducibles.
• El anillo Q[x,Sí.]/x²+ 2Sí.²+ 1) es un UFD, pero el anillo Q()i[x,Sí.]/x²+ 2Sí.²+ 1) no lo es. Por otro lado, el anillo Q[x,Sí.]/x²+Sí.²– 1) no es un UFD, sino el anillo Q()i[x,Sí.]/x²+Sí.²– 1) es (Samuel 1964, p.35). Del mismo modo el anillo de coordenadas R[X,Y,Z]/X²+Y²+Z²− 1) de la esfera real de 2 dimensiones es un UFD, pero el anillo de coordenadas C[X,Y,Z]/X²+Y²+Z²− 1) de la esfera compleja no es.
• Supongamos que las variables X_i se dan pesos w_i, y F()X₁,...X_n) es un polinomio homogéneo de peso w. Entonces si c es coprime w y R es un UFD y cada módulo de proyecto generado finitamente sobre R es gratis o c 1 mod w, el anillo R[X₁,...X_n,Z]/Z^c−F()X₁,...X_n)) es un UFD (Samuel 1964, p.31).

No ejemplos

• El anillo de entero cuadrático Z[− − 5]{displaystyle mathbb {Z} [{sqrt {-5}] de todos los números complejos de la forma a+b− − 5{displaystyle a+b{sqrt {-5}}, donde a y b son enteros, no es un UFD porque 6 factores como 2×3 y como ()1+− − 5)()1− − − − 5){displaystyle left(1+{sqrt {-5}right)left(1-{sqrt {-5}right)}. Estas realmente son diferentes factorizaciones, porque las únicas unidades en este anillo son 1 y −1; por lo tanto, ninguna de 2, 3, 1+− − 5{displaystyle 1+{sqrt {-5}}, y 1− − − − 5{displaystyle 1-{sqrt {-5}} son asociados. No es difícil demostrar que los cuatro factores también son irreducibles, aunque esto puede no ser obvio. Vea también entero algebraico.
• Para un entero positivo sin cuadrado d, el anillo de enteros de Q[− − d]{displaystyle mathbb {Q} [{sqrt {-d}}} no será un UFD a menos que d sea un número Heegner.
• El anillo de la serie de potencia formal sobre los números complejos es un UFD, pero la subing de los que convergen en todas partes, en otras palabras el anillo de funciones enteras en una sola variable compleja, no es un UFD, ya que existen funciones enteras con un infinito de ceros, y por lo tanto un infinito de factores irreducibles, mientras que una factorización UFD debe ser finita, por ejemplo:

pecado⁡ ⁡ π π z=π π z∏ ∏ n=1JUEGO JUEGO ()1− − z2n2).{displaystyle sin pi z=pi zprod ¿Por qué?

Propiedades

Algunos conceptos definidos para números enteros se pueden generalizar a UFD:

• En los UFDs, cada elemento irreducible es primo. (En cualquier dominio integral, cada elemento primario es irreducible, pero el converso no siempre sostiene. Por ejemplo, el elemento z▪ ▪ K[x,Sí.,z]/()z2− − xSí.){displaystyle zin K[x,y,z]/(z^{2}-xy)} es irreducible, pero no primo.) Tenga en cuenta que esto tiene un revés parcial: un dominio que satisface el ACCP es un UFD si y sólo si cada elemento irreducible es primario.
• Cualquier dos elementos de un UFD tienen un divisor más común y un múltiplo menos común. Aquí, un divisor más común de a y b es un elemento d que divide ambos a y b, y tal que cada otro divisor común a y b divideciones d. Todos los más grandes divisores comunes de a y b están asociados.
• Cualquier UFD está completamente cerrado. En otras palabras, si R es un UFD con campo cociente K, y si un elemento k en K es una raíz de un polinomio monico con coeficientes en R, entonces k es un elemento de R.
• Vamos S ser un subconjunto multiplicativamente cerrado de un UFD A. Luego la localización S− − 1A{displaystyle S^{-1}A} es un UFD. Un contrario parcial a esto también sostiene; ver abajo.

Condiciones equivalentes para que un anillo sea un UFD

Un dominio integral de Noether es un UFD si y solo si todo ideal primo de altura 1 es principal (se da una demostración al final). Además, un dominio de Dedekind es un UFD si y solo si su grupo de clase ideal es trivial. En este caso, es de hecho un dominio ideal principal.

En general, para un dominio integral A, las siguientes condiciones son equivalentes:

1. A es un UFD.
2. Todo ideal no cero de A contiene un elemento primario. (Kaplansky)
3. A satisfies ascendente condición de cadena a los ideales principales (ACCP), y la localización S⁻¹A es un UFD, donde S es un subconjunto multiplicativamente cerrado A generado por elementos primos. (Norma Nagata)
4. A satisfizo ACCP y todo irreducible es primo.
5. A es atómico y todo irreducible es primo.
6. A es un dominio GCD que satisface ACCP.
7. A es un dominio Schreier, y atómico.
8. A es un dominio pre-Schreier y atómico.
9. A tiene una teoría divisor en la que cada divisor es principal.
10. A es un dominio Krull en el que cada ideal divisorial es principal (de hecho, esta es la definición de UFD en Bourbaki.)
11. A es un dominio Krull y cada ideal principal de la altura 1 es principal.

En la práctica, (2) y (3) son las condiciones más útiles para verificar. Por ejemplo, de (2) se sigue inmediatamente que un PID es un UFD, ya que todo ideal primo es generado por un elemento primo en un PID.

Para otro ejemplo, considere un dominio integral de Noether en el que cada ideal primo de altura es principal. Dado que todo ideal primo tiene una altura finita, contiene un ideal primo de altura (inducción sobre la altura) que es principal. Por (2), el anillo es un UFD.